2021届北京平谷区高三数学一模试卷及答案

高三数学一模试卷

一、单项选择题

1.假设集合 ，那么 等于〔    〕           

A.                       B.                       C.                       D. 

2.设复数 满足 ，那么 等于〔    〕           

A.                                         B.                                         C.                                         D. 

3.的展开式中 的系数是〔    〕           

A. 28                                       B. 56                                       C. 112                                       D. 256 

4.一个几何体的三视图如下列图，该几何体的外表积是〔    〕 

A. 3π                                       B. 8π                                       C. 12π                                       D. 14π 

5.设 是圆 上的动点， 是直线 上的动点，那么 的最小值为〔    〕           

A. 6                                           B. 4                                           C. 3                                           D. 2 

6.函数 的图象与函数 的图象的交点个数为〔    〕           

A. 0                                           B. 1                                           C. 2                                           D. 3 

7.函数 ．那么“ 是偶函数“是“ 〞的〔    〕           

A. 充分不必要条件           B. 必要不充分条件 

           C. 充分必要条件           D. 既不充分也不必要条件 

8. 分别是双曲线 的两个焦点，双曲线 和圆 的一个交点为 ，且 ，那么双曲线 的离心率为〔    〕           

A.                                       B.                                       C. 2                                      D. 

9.数列 满足 ，且对任意 ，都有 ，那么 为〔    〕           

A.                                          B.                                          C.                                          D. 10 

10.某时钟的秒针端点 到中心点 的距离为5cm，秒针绕点 匀速旋转，当时间： 时，点 与钟面上标12的点 重合，当 两点间的距离为 〔单位：cm〕，那么 等于〔    〕           

A.                               B.                               C.                               D. 

二、填空题

11.函数 的定义域是________．   

12.假设抛物线 上一点M到焦点的距离为3，那么点M到y轴的距离为________．   

13.函数 ，在 上单调递增，那么常数 的一个取值________．   

14.从2021年京津城际铁路通车运营开始，高铁在过去儿年里快速开展，并在国民经济和日常生活中扮演着日益重要的角色．以下列图是2021年至2021年高铁运营总里程数的折线图〔图中的数据均是每年12月31日的统计结果〕． 

根据上述信息，以下结论中正确的选项是

①2021年这一年，高铁运营里程数超过0.5万公里；②2021年到2021高铁运营里程平均增长率大于2021到2021高铁运营里程平均增长率；③从2021年至2021年，新增高铁运营里程数最多的一年是2021年；④从2021年至2021年，新增高铁运营里程数逐年递增；其中所有正确结论的序号是________．

15.在直角三角形 中， ，那么 等于________；假设 是 边上的高，点 在 内部或边界上运动，那么 的最大值是________．   

三、解答题

16.如图，在四棱维 中，底面 是边长为2的正方形， 为正三角形，且侧面 底面 ， ． 

〔1〕求证： 平面 ；   

〔2〕求二面角 的余弦值   

17.在锐角 中，角 的对边分別为 ，且 ．   

〔1〕求角 的大小；   

〔2〕再从下面条件①、条件②这两个条件中选择一个作为，求 的面积． 

条件① ；条件②： ．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

18.随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高，某牛奶企业针对生产的鲜奶和酸奶，在一地区进行了质量满意调查，现从消费者人群中随机抽取500人次作为样本，得到下表〔单位：人次〕： 

〔1〕从样本中任取1个人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率；   

〔2〕从该地区的老年人中抽取2人，青年人中随机选取1人，估计这三人中恰有2人对生产的鲜奶质量满意的概率；   

〔3〕依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体鲜奶的满意度提升0.1，使得整体对鲜奶的满意度提升最大？〔直接写结果〕．   

19.椭圆 的离心率为 ，并且经过 点．   

〔1〕求椭圆 的方程；   

〔2〕设过点 的直线与 轴交于 点，与椭圆的另一个交点为 ，点 关于 轴的对称点为 ，直线 交 轴于点 ，求证： 为定值．   

20.函数

〔1〕当 时，求函数 的单调区间；   

〔2〕当 时，过点 可作几条直线与曲线 相切？请说明理由．   

21.数列 ，具有性质P：对任意 〔 〕 与 ，两数中至少有一个是该数列中的一项， 为数列 的前 项和．   

〔1〕分别判断数列0，1，3，5与数列0，2，4，6是否具有性质P：   

〔2〕证明： 且 ；   

〔3〕证明：当 时， 成等差数列．   

答案解析局部

一、单项选择题

1.【解析】【解答】因为 ，

所以 .

故答案为：A

 
【分析】进行交集的运算即可。

2.【解析】【解答】由题知: .

故答案为：B ．

 
【分析】 把等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．

3.【解析】【解答】 .

故答案为：C ．

 
【分析】 直接利用二项式定理的展开式的通项公式，求出 时的项数，即可求解 的系数．

4.【解析】【解答】由三视图可知几何体原图是一个底面半径为1高为3的圆柱，

所以几何体的外表积为 .

故答案为：B

 
【分析】 由三视图可知，该几何体为圆柱，从而求外表积．

5.【解析】【解答】解：由题知圆的标准方程为： ，故圆心为 ，半径为 ，

圆心 到直线 的距离为 ，

所以 的最小值为 .

故答案为：A

 
【分析】 由题意求出圆的标准方程，再根据直线和圆的位置关系，求得|PQ|的最小值．

6.【解析】【解答】解：由于函数 图像是由函数 图像向左平移 个单位得到，进而函数 在定义域内单调递增，且过定点 ，渐近线为 ，

函数 ，故函数对称轴为 ，顶点坐标为 ，开口向上，

所以作出 的图像如图，

故图像有两个交点.

故答案为：C

 
【分析】 在同一坐标系中分别画出函数f〔x〕=ln〔x+1〕与函数  的图象，然后利用数形结合思想即可求解． 在同一坐标系中分别画出函数f〔x〕=ln〔x+1〕与函   的图象，然后利用数形结合思想即可求解．

7.【解析】【解答】假设 ，那么 ， ，所以 为偶函数；

假设 为偶函数，那么 ， ， 不一定等于 .

所以“ 是偶函数“是“ 〞的必要不充分条件.

故答案为：B

 
【分析】 先求出函数f〔x〕是偶函数的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．

8.【解析】【解答】由题知， ，又 ，且 ，那么 ，

由双曲线定义得， ，得

故答案为：D

 
【分析】 由题意可得， 由题意可得|PF1|，|PF2|的值，再由双曲线的定义可得a，c的关系，求出双曲线的离心率．

9.【解析】【解答】化简可得 ，那么 ， ， .

故答案为：A

 
【分析】 利用题中的条件，可以进一步推出an+1与an的递推关系，进而可以解出．

10.【解析】【解答】由题知，圆心角为 ，过O作AB的垂线，那么 ．

故答案为：D

 
【分析】 先求出经过t秒秒针转过的角度，然后利用圆的性质以及垂径定理即可求解．

二、填空题

11.【解析】【解答】解：由题意得 ，解得 ，

∴函数 的定义域为(1,3]，

故答案为：(1,3]．

 
【分析】 根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可．

12.【解析】【解答】抛物线 上一点M到焦点的距离为3，那么抛物线 上一点M到准线 得距离为3，那么点M到y轴的距离为 .
【分析】 先设出该点的坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而利用点到直线的距离求得x的值，代入抛物线方程求得y值，即可得到所求点的坐标．

13.【解析】【解答】 在 上单调递增,

那么 ,

，取一个该范围内的值即可，如 ．

故答案为： .

 
【分析】由正弦函数的性质可知 在 上单调递增,那么 ,进而即可解得， 即可得出常数  的一个取值。

14.【解析】【解答】解：对于①，看2021年，2021年对应的纵坐标之差，小于 ，①错误；

对于②，连线看斜率即可，2021年到2021两点连线斜率更大，②正确；

对于③，看两点纵坐标之差哪组最大，③正确；

对于④，看相邻纵坐标之差是否逐年增加，显然不是，有增有减，④错误；

综上，填②③．

故答案为：②③

 
【分析】根据统计折线图对各选项逐一做出判断即可。

15.【解析】【解答】由于直角三角形 中， ，

所以 ，

.

由于 ，所以 .

，

由于 ，所以 的最大值是0．

故答案为：-1；

 
【分析】 由题意画出图形，然后建系，求出M的坐标，数形结合可得   的最大值为0．

三、解答题

16.【解析】【分析】〔1〕根据三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可；
〔2〕根据面面垂直的性质定理、正三角形的性质建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可。

17.【解析】【分析】 〔1〕由结合正弦定理进行化简可求sinB，结合锐角三角形条件可求B；
〔2〕选①：由余弦定理可求c，然后结合三角形面积公式可求；选②：由正弦定理可求b，然后结合三角形面积公式可求．

18.【解析】【分析】〔1〕用频率估计概率直接计算；
〔2〕先分别求出老年人和青年人满意度的概率，然后对“抽取这三人中恰有两人对生产的鲜奶质量满意〞分成一老年人，一青年人满意和两老年人满意讨论进行计算即可；
〔3〕直接判断出青年人。

19.【解析】【分析】 〔1〕由离心率及过的点的坐标，a，b，c之间的关系求出a，b的值，进而求出椭圆的方程；
〔2〕设P，B，M，N的坐标，由题意求出B'的坐标，设直线PB的方程，与椭圆联立求出两根之和及两根之积，由B'，P，M三点共线可得直线B'M，PM斜率相等〔斜率存在〕，求出直线B'M，PM的斜率，由等量关系可证得|OM|•|ON|的值为定值，斜率不存在时也能满足条件．

20.【解析】【分析】〔1〕 当  时，求得  ， 结合导数的符号即可求解；
〔2〕 当  时 ，求得函数的导数 ，进而得出切线方程，根据切线过点 ， 化简得到  ，构造新函数 ，求得函数的单调性，结合零点的存在定理即可求解。

21.【解析】【分析】 〔1〕利用性质P分别判断即可的结论；
〔2〕由性质P可得  与  中至少有一个属于A ，根据  ，   ，   ，从而可证得a1=0；
由性质P可知 ，从而可得， ，  ；从而  ，即可证得 ；
〔3〕由〔2〕可得   ，  ， ，从而得证．