2021届福建省莆田市高三高中毕业班数学3月第二次教学质量检测试卷及答案

 高三高中毕业班数学3月第二次教学质量检测试卷

一、单项选择题

1.集合 ，那么 〔    〕           

A.
B.
C.
D.

2.是虚数单位，复数 满足 ，那么 〔    〕           

B.

D.

3.“平均增长量〞是指一段时间内某一数据指标增长量的平均值，其计算方法是将每一期增长量相加后，除以期数，即 ．以以下图是我国 年 数据根据图中数据， 年我国 的平均增长量为〔    〕 

4.抛物线 的准线与圆 相切，那么 〔    〕           

5.等差数列 满足 ，那么 的值为〔    〕           

6.甲、乙两位同学到莆田市湄洲岛当志愿者，他们同时从“妈祖祖庙〞站上车，乘坐开往“黄金沙滩〞站方向的3路公交车〔线路图如下〕．甲将在“供水公司〞站之前的任意一站下车，乙将在“鹅尾神化石〞站之前的任意一站下车．假设每人自“管委会〞站开始在每一站点下车是等可能的，那么甲比乙后下车的概率为〔    〕 

A.
B.
C.
D.

7.函数 的定义域为 ，其图象大致如以以下图，那么〔    〕 

A.
B.
C.
D.

8.假设非零实数 满足 ，那么与 最接近的整数是〔    〕           

二、多项选择题

9.在直三棱柱 中，各棱长均为2， 分别为线段 的中点，那么〔    〕           

A.平面 平面
B.
C.直线 和 所成角的余弦值为
外表积为

10.设 为坐标原点， 是双曲线 的左、右焦点．在双曲线的右支上存在点 满足 ，且线段 的中点 在 轴上，那么〔    〕           

A.双曲线的离心率为
B.双曲线的方程可以是
C.
D.的面积为

11.假设函数 ，那么〔    〕           

A.是周期函数
B.在 上有4个零点
C.在 上是增函数
D.的最小值为-1

12.假设连续函数 在其定义区间 上的任意 个点 ，恒有 ，那么称 在 上满足性质 ．设函数 在区间 上满足性质 ，且过点 ， 的图象与线段 围成封闭图形的面积记为 ，那么〔    〕           

A.
B.可以为
C.
D.

三、填空题

13.设 、 、 为单位向量，且 ，那么 与 夹角的余弦值是________．   

14.在 的展开式中，假设 的奇数次幂项的系数之和为64，那么 ________．   

15.“敕勒川，阴山下．天似穹庐，笼盖四野．〞的特征，诗中的“穹庐〞即“毡帐〞，屋顶近似圆锥，为了衬托节日气氛，方案在屋顶安装灯光带．某个屋顶的圆锥底面直径长8米，母线长6米，其中一条灯光带从该圆锥一条母线的下端点开始，沿侧面经过与该母线在同一轴截面的另一母线的中点，环绕一圈回到起点，那么这条灯光带的最短长度是________米．   

16.函数 ，当 ________时， 的最小值为________   

四、解答题

17.在 中，角 所对的边分别为 ．   

〔1〕求 的值；   

〔2〕求 的周长．   

18.在① ，且 ；② 成等差数列，且 ；③ 〔 为常数〕这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答． 

问题：数列 的前 项和为 ，________，其中 ．

〔1〕求 的通项公式；   

〔2〕记 ，数列 的前 项和为 ，求证： ．   

19.正方形 的边长为2，沿 将 折起至 位置〔如图〕， 为 的重心，点 在边 上，且 ． 

〔1〕证明： 平面 ；   

〔2〕假设 ，求二面角 的余弦值．   

20.某工厂生产一种精密仪器，由第一、第二和第三工序加工而成，三道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果只有 两个等级．三道工序的加工结果直接决定该仪器的产品等级：三道工序的加工结果均为 级时，产品为一等品；第三工序的加工结果为 级，且第一、第二工序至少有一道工序加工结果为 级时，产品为二等品；其余均为三等品．每一道工序加工结果为 级的概率如表一所示，一件产品的利润〔单位：万元〕如表二所示： 

表一

表二

〔1〕用 表示一件产品的利润，求 的分布列和数学期望；   

〔2〕因第一工序加工结果为 级的概率较低，工厂方案通过增加检测本钱对第一工序进行改良，假设改良过程中，每件产品检测本钱增加 万元〔即每件产品利润相应减少 万元〕时，第一工序加工结果为 级的概率增加 ．问该改良方案对一件产品利润的期望是否会产生影响？并说明理由．   

21.曲线 上任意一点 到点 的距离与它到直线 的距离之比等于 ，过点 且与 轴不重合的直线 与 交于不同的两点 ．   

〔1〕求 的方程；   

〔2〕求证： 内切圆的圆心在定直线上．   

22.设函数 ．   

〔1〕假设 在 上存在零点，求实数 的取值范围；   

〔2〕证明：当 时， ．   

答案解析局部

一、单项选择题

1.【解析】【解答】由 ，可得 ，解得 ，即 ，

又由 或 ，

可得 .

故答案为：D.

 
【分析】 先分别求出集合A, B,然后利用集合交集的定义求解即可.

2.【解析】【解答】因为 ，所以 ，

所以 .

故答案为：B.

 
【分析】 把等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由复数的模的定义求解即可.

3.【解析】【解答】解：令

那么由题意可得， 年我国 的平均增长量为

，

故答案为：C

 
【分析】 由图中的数据分别求出四期的增长量,作和后除以4得答案即可.

4.【解析】【解答】圆 与 轴的交点为 、 ，

抛物线 的准线方程为 ，

由题意可得 或 ，解得 或 .

故答案为：D.

 
【分析】 求得抛物线的准线方程,圆的圆心和半径，由直线和圆相切的条件，可得p的方程,解方程可得所求值.

5.【解析】【解答】由等差中项的性质可得 ，解得 ，

设等差数列 的公差为 ，那么 .

故答案为：A.

 
【分析】 利用等差数列的通项公式及其性质即可得出.

6.【解析】【解答】甲从“管委会〞站到“东环〞站的每一站下车都可以，有8种情况，

乙从“管委会〞站到“北埭〞站的每一站下车都可以，有15种情况，

假设乙在“管委会〞站下车，那么甲有7种情况，

假设乙在“地税分局〞站下车，那么甲有6种情况，

假设乙在“兴海路〞站下车，那么甲有5种情况，

假设乙在“闽台风情街〞站下车，那么甲有4种情况，

假设乙在“莲池小学〞站下车，那么甲有3种情况，

假设乙在“金海岸〞站下车，那么甲有2种情况，

假设乙在“莲池沙滩〞站下车，那么甲有1种情况，

因此，甲比乙后下车的概率为 .

故答案为：C.

 
【分析】 先求出根本领件总数，再分类讨论乙的下车情况，由此能求出甲比乙后下车的概率.

7.【解析】【解答】设 ，可得 ，

由图象可知，函数 先递增，再递减，最后递增，且当 时， 取得极小值，

所以函数 既有极大值，也有极小值，

所以 有两个根，即 ，

所以 ，可得 且 ，

又由 ，可得 ，

由 ，可得 ，

所以 ，所以 .

故答案为：A.

 
【分析】 设， 利用导数判断函数的单调性，以及结合图象中的函数单调性的可得a, b,c的大小关系.

8.【解析】【解答】设 ，得到 ，

所以 ，

由 ，

由函数 ，当 时，函数 为单调递增函数，

令 ，可得 且 ，解得 ，

又因为 ，所以 ，

即 ，所以 的值更接近整数4.

故答案为：B.

 
【分析】 设， 那么， 然后利用对数的运算性质结合根本不等式进行求解即可.

二、多项选择题

9.【解析】【解答】对于A：在直三棱柱 中，各棱长均为2， 分别为线段 的中点，

所以 且 ，所以四边形 是平行四边形，所以 ，

因为 面 ， 面 ，所以 面 ，

因为 且 ，所以四边形 是平行四边形，所以 ，因为 面 ， 面 ，所以 面 ，

因为 ，所以平面 平面 ，A符合题意；

对于B：因为 是等边三角形， 是线段 的中点，可得 ，因为三棱柱为直棱柱，可得 面 ， 面 ，所以 ，由 ，所以

面 ，因为 面 ，所以 ，B符合题意；

对于C：因为 所以 即为异面直线 和 所成角， ， ， ，由余弦定理可得：

，C不正确；

对于D：设上下底面的中心分别为 ， ，那么三棱锥的外接球的球心 为 的中点，

设 外接圆的半径为 ，三棱锥的外接球的半径为 ，那么 ，

所以 ，所以外接球的外表积为

， D符合题意，

故答案为：ABD.

 
【分析】根据直三棱柱的结构特征及面面平行的判定定理、余弦定理、球的外表积公式，逐项进行分析，可得答案。

10.【解析】【解答】解：对于A，设 ，因为线段 的中点为 ， 为 的中点，所以 ∥ ，所以 ，由双曲线的定义可得 ，设 ，因为 ，所以 ，那么 ，因为 ，所以 ，由 ，得 ，所以 ，所以A符合题意，

对于B，因为 ，所以 ，所以双曲线的渐近线方程为 ，所以B不符合题意，

对于C，因为 为 的中点，所以 ，所以 ，所以 ，即 ，因为 ，所以 ，即 ，即 ，所以可得 ， ，得 ，所以C符合题意；

对于D， ，所以D不符合题意，

故答案为：AC

 
【分析】 由可得,设,再由结合双曲线定义可得a, b, c与m的关系，即可求得双曲线的离心率及渐近线方程，从而判断A与B;由 为 的中点，得， 两边平方后结合双曲线定义联立求得判断C;进一步求出△PF1F2的面积判断D.

11.【解析】【解答】解：函数 ，

对于A：函数 不是周期函数，A不符合题意；

对于B ，令 ，在 ， 上，

求得 ， ， ， ，B符合题意；

对于C：当 时， ，

所以 ，

由于 ，所以 且 ，故 ，

故函数 在 上单调递增，C符合题意；

对于D：由于 ，

当 时， ，D不符合题意．

故答案为：BC．

 
【分析】 直接利用函数的性质，函数的周期性，单调性，函数的导数，二次函数的性质的应用判断A. B. C. D的结论。

12.【解析】【解答】解：根据函数 在区间 ， 上满足性质 ，

且过点 ， ， ， ， ， ，

如以以下图：

所以： ，A符合题意，

由于函数 的图像比线段 要低，第一条边比线段 要低，就是凹形，

所以 的图象与线段 围成的封闭图形面积要大于梯形 的面积，

即 ，C符合题意；

由 ，得： ， ，所以 ，与题意相违背，

B不符合题意；

由于函数 的图象比线段 低，是凹的，所以 不一定小于2，D不符合题意．

故答案为：AC．

 
【分析】 直接利用信息关系式，函数的性质，凹函数的图，象和性质判断A、B、C、D的结论.

三、填空题

13.【解析】【解答】由题意可得 ，

解得 .

故答案为： .

 
【分析】由  ，变形可得变形可得的值，即可得答案.

14.【解析】【解答】设 ，

令 那么 ①，

令 那么 ②，

两式相减可得： ，

所以

解得： ，

故答案为：5.

 
【分析】 设出解析式，给展开式中的x分别赋值1, -1,可得两个等式，两式相减，再除以2得到答案.

15.【解析】【解答】将侧面沿母线 剪开， 点对应 点，轴截面对应的另一条母线为 ， 的中点为 ，连接 ， ，那么 为灯光带的最短长度，如以以下图：

因为 ，圆锥底面直径长8，那么半径为 ，所以 ，即 ，

所以 ，

因为 ，

在 中，由余弦定理可得：

，

所以 ，所以 ，

所以这条灯光带的最短长度是 米.

 
【分析】 将侧面沿母线 剪开， 点对应 点，轴截面对应的另一条母线为SB, SB的中点为C, 连接连接 ， ， 为灯光带的最短长度，结合图形计算即可.

16.【解析】【解答】令 ，那么 ，

所以

由 可得： ；由 可得： ；

所以 在 单调递减，在 单调递增，

所以 ，

所以当 即 时， 取得最小值， 的最小值为8.

故答案为： ；8.

 
【分析】 首先利用换元法,对函数的关系式进行变换，再利用函数的导数求出函数的单调区间，进一步求出函数的最值.

四、解答题

17.【解析】【分析】 (1)根据A, B的关系求出cosA,根据同角的根本关系求出sinB, sinA,从而求出cosC的值;
(2)根据正弦定理以及余弦定理求出三角形的三边长，从而求出三角形的周长即可.

18.【解析】【分析】〔1〕 假设选条件①： 把条件   变形为   ，从而得到 ，记得到数列 是首项为    ， 公比为  的等比数列； 假设选条件②： 由条件得到    ，  再根据Sn与an的关系式得到   ，从而得到数列  是首项为    ， 公比为  的等比数列； 假设选条件③：根据Sn与an的关系式得到   ，从而得到数列   是首项为    ， 公比为  的等比数列 ；
〔2〕 由〔1〕知：   ，从而根据错位相减求和法求 。

19.【解析】【分析】 (1)连结CG交AP于点F,连结GE, BF,利用重心的性质以及相似比的性质,可得CG//BF,由线面平行的判定定理证明即可;
(2)利用等腰三角形、正方形的性质以及勾股定理，可证明OB, OC, OP互相垂直,建立空间直角坐标系，求出所需各点的坐标，利用待定系数法求出平面的法向量,由向量的夹角公式求解即可.

20.【解析】【分析】 (1)分别求出一等品、二等品、三等品的概率，然后列出分布列，求出数学期望即可;
(2)求出改良后一等品、二等品、三等品的概率，求出改良后产品利润的数学期望，由此得到答案.

21.【解析】【分析】 (1)设P(x, y)，根据动点P到点F的距离与它到直线x=4的距离之比等于   ,建立等式，化
简变形即可;
(2) 设直线    ，  ，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理可求出y1+y2, y1y2, 设直线AF与BF的斜率分别为  ，可得那么 ,从而可证得结论.

22.【解析】【分析】 (1) 设 ，根据函数的单调性得到关于a的不等式，解出即可;
(2)设G(x)=f(x) -2x-3,求出函数的导数，根据函数的单调性证明结论成立即可.