福建省漳州市2021届高三下学期3月第二次教学质量检测数学试题含答案

这是一份福建省漳州市2021届高三下学期3月第二次教学质量检测数学试题含答案，共11页。

数学试题
本试卷共5页。满分150分。
考生注意：
1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集U＝R，若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|y＝}，则如图所示的阴影部分表示的集合为
A.(－∞，0) B.[1，2] C.[1，＋∞) D.(2，＋∞)
2.若(3＋i)(2＋xi)＝y，其中x，y∈R，则复数x＋yi在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.纳斯卡线条是一种巨型的地上绘图，有着广大宽阔的直线，看起来就像机场跑道一样，描绘的大多是动植物，位于南美洲西部的秘鲁南部的纳斯卡荒原上，是存在了2000年的谜局：究竟是谁创造了它们并且为了什么而创造，至今仍无人能解，因此被列入“十大谜团”。在这些图案中，最清晰的图案之一是一只身长50米的大蜘蛛(如图)，据说这是一种学名为“节腹目”的蜘蛛的形状。这种蜘蛛十分罕见，只有亚马逊河雨林中最偏远隐秘的地区才能找到。现用视角为30°的摄像头(注：当摄像头和所拍摄的圆形区域构成一个圆锥时，该圆锥的轴截面的顶角称为该摄像头的视角)在该蜘蛛的上方拍摄，使得整个蜘蛛图案落在边长为50米的正方形区域内，则该摄像头距地面的高度的最小值是
A.50米 B.25(2＋)米 C.50(2＋)米 D.50(2＋)米
4.函数f(x)＝xln|x|＋sinx的部分图象大致为
5.已知实数x，y满足x2＋3y2＝3，则x＋y的最大值为
A.1 B.3 C.2 D.4
6.某校甲、乙、丙三位同学报名参加A，B，C，D四所高校的强基计划考试，每所高校报名人数不限，因为四所高校的考试时间相同，所以甲、乙、丙只能随机各自报考其中一所高校，则恰有两人报考同一所高校的概率为
A. B. C. D.
7.已知直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC＝90°，P是边BC上一点(不包括B、C两点)。若，，且，则的最小值为
A.0 B.2 C.3 D.4
8.已知函数f(x)＝，则下列结论错误的是
A.函数f(x)的值域为(0，4) B.函数f(x)的图象关于点(0，2)对称
C.函数g(x)＝f(x)－|x|有且只有2个零点 D.曲线y＝f(x)的切线斜率的最大值为－1
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。
9.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2，b＝，则角B可以是
A.15° B.30° C.45° D.75°
10.在第一次全市高三年级统考后，某数学老师为了解本班学生的本次数学考试情况，将全班50名学生的数学成绩绘制成频率分布直方图.已知该班级学生的数学成绩全部介于65分到145分之间(满分150分)，将数学成绩按如下方式分成八组：第一组[65，75)，第二组[75，85)，…，第八组[135，145]，按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，如图所示，则下列结论正确的是
A.第七组的频率为0.008
B.该班级数学成绩的中位数的估计值为101分
C.该班级数学成绩的平均分的估计值大于95分
D.该班级数学成绩的方差的估计值大于26
11.已知正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2，AA1＝1，M为AB的中点，点P在线段BC1上，则下列结论正确的是
A.直线BC1//平面A1MC B.A和P到平面A1MC的距离相等
C.存在点P，使得AP⊥平面A1MC D.存在点P，使得AP⊥A1C
12.已知F为抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，K为C的准线与x轴的交点，点P在抛物线C上，设∠KPF＝α，∠PKF＝β，∠PFK＝θ，则下列结论正确的是
A.抛物线C在点(，p)处的切线过点K B.β的最大值为
C.tanβ＝sinθ D.存在点P，使得α＝β
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.写出一个离心率为2的双曲线方程： 。
14.已知(x＋1)6＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a6(x－1)6，则a4＝ 。
15.已知ω>0，φ>0，函数f(x)＝2cs(3x＋)＋1的图象向右平移φ个单位得到g(x)的图象，若函数g(x)与函数h(x)＝4sin(ωx－)的极值点完全相同，则ω＝ ，φ的最小值为 。(第一空2分，第二空3分)
16.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，点P在平面A1BCD1内，且PA＝3PB，则点P的轨迹的长度为 。
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(10分)
已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝1，Sn＋1－3Sn＝1。
(1)求{an}的通项公式；
(2)若bn＝lg3an＋1，求数列的前n项和Tn。
18.(12分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足2sin2A－2sin2B－sin2C－2sinBsinC＝cs2C－cs2C。
(1)求角A；
(2)设点D在边BC上，且AD＝2，证明：若 ，则b＋c存在最大值或最小值。
请在下面的两个条件中选择一个条件填到上面的横线上，并证明。
①AD是△ABC的中线；
②AD是△ABC的角平分线。
19.(12分)
如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，AB⊥BC，∠PAB＝120°，PA＝AD＝AB＝1，BC＝2。

(1)证明：平面PBC⊥平面PAB；
(2)在线段PB上是否存在点M，使得直线AM与平面PBD所成角的正弦值为？若存在，求出线段PM的长度；若不存在，请说明理由。
20.(12分)
已知左、右焦点分别为F1、F2的椭圆C：过点(，)，以F1F2为直径的圆过C的下顶点A。
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点P(0，1)的直线l与椭圆C相交于M，N两点，且直线AM、AN的斜率分别为k1、k2，证明：k1·k2为定值。
21.(12分)
某种玩具启动后，该玩具上的LED灯会亮起红灯或绿灯(红灯和绿灯不会同时亮起)，第1次亮灯时，亮起红灯的概率为P1，亮起绿灯的概率为1－P1。若第n次亮起的是红灯，则第n＋1次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为；若第n次亮起的是绿灯，则第n＋1次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为。记第n次亮灯时，亮起红灯的概率为Pn，n∈N*。该玩具启动前可输入P1，玩具启动后，当(1)若输入P1＝，记该玩具启动后，前3次亮灯中亮起红灯的次数为X，求X的分布列和期望；
(2)若输入P1＝，
(i)求数列{Pn}的通项公式；
(ii)该玩具启动后，在前20次亮灯中，该玩具最多唱几次歌？
22.(12分)
已知函数f(x)＝＋blnx－a，g(x)＝aex－1＋lnx－a，h(x)＝f(x)－g(x)。
(1)求f(x)的单调区间；
(2)若b＝1，且f(x)有两个不同的零点x1，x2，
证明：h(x)有唯一零点(记为x0)，且x1＋x2>2x0。