2021届山西省吕梁市高三理数三模试卷及答案

这是一份2021届山西省吕梁市高三理数三模试卷及答案，共12页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三理数三模试卷
一、单项选择题
1.集合 ，集合 ，那么 〔    〕
A.                              B.                              C.                              D. 
2.假设复数 满足 ， ，那么 在复平面内对应的点为〔    〕
A.                                   B.                                   C.                                   D. 
3.北斗导航系统由55颗卫星组成，于2021年6月23日完成全球组网部署，全面投入使用.北斗七星自古是我国人民区分方向判断季节的重要依据，北斗七星分别为天枢、天璇、天玑、天权、玉衡、开阳、摇光，其中玉衡最亮，天权最暗.一名天文爱好者从七颗星中随机选两颗进行观测，那么玉衡和天权至少一颗被选中的概率为〔    〕
 
A.                                        B.                                        C.                                        D. 
4. ， ， ，假设 ，那么向量 ， 夹角的正切值为〔    〕
A.                                         B. 1                                        C.                                         D. 
5.点 为直线 ： 上一点，点 为圆 ： 上一点，那么 的最小值为〔    〕
A.                                     B.                                     C. 1                                    D. 
6.设 ， ，化简 〔    〕
A.                                       B.                                       C.                                       D. 
7.函数 ，假设 的图象过点 ，相邻对称轴的距离为 ，那么 的解析式可能为〔    〕
A.                                         B. 
C.                                           D. 
8.的展开式中 的系数为〔    〕
A. 88                                     B. 104                                     C.                                      D. 
9.函数 的局部图象大致为〔    〕
A.            B.            C.            D. 
10.如图，在棱长为2的正方体 中，过 且与 平行的平面交 于点 ，那么 〔    〕

A. 2                                         B.                                          C.                                          D. 1
11.抛物线 ： 的焦点为 ，过点 的直线交 于 ， 两点， 的重心为点 ，那么点 到直线 的距离的最小值为〔    〕
A. 2                                       B.                                        C.                                        D. 
12.函数 满足 ，且 时， ，假设 时，方程 有三个不同的根，那么 的取值范围为〔    〕
A.                          B.                          C.                          D. 
二、填空题
13.假设变量 ， 满足约束条件 ，那么 的最小值为________.
14.双曲线 ： ， ，过点 的直线交 于 ， 两点， 为 的中点，且直线 与 的一条渐近线垂直，那么 的离心率为________.
15.锐角 中， ， ， ，延长 到点 ，使 ，那么 ________.

16.如以下图的三棱锥 ， 平面 ， ，假设 ， ， ， ，当 取最大值时，点 到平面 的距离为________.

三、解答题
17.正项等比数列 的前 项和为 ，假设 ， ， 成等差数列， .
〔Ⅰ〕求 与 ；
〔Ⅱ〕设 ，数列 的前 项和记为 ，求 .
18.如图，四边形 为正方形， 平面 ， 为等腰三角形， ， .

〔Ⅰ〕求证： 平面 ；
〔Ⅱ〕求二面角 的平面角的余弦值.
19.核酸检测也就是病毒DNA和RNA的检测，是目前病毒检测最先进的检验方法，在临床上主要用于新型冠状乙肝、丙肝和艾滋病的病毒检测.通过核酸检测，可以检测血液中是否存在病毒核酸，以诊断机体有无病原体感染.某研究机构为了提高检测效率降低检测本钱，设计了如下试验，预备12份试验用血液标本，其中2份阳性，10份阴性，从标本中随机取出n份分为一组，将样本分成假设干组，从每一组的标本中各取局部，混合后检测，假设结果为阴性，那么判定该组标本均为阴性，不再逐一检测；假设结果为阳性，需对该组标本逐一检测.以此类推，直到确定所有样本的结果.假设每次检测费用为a元，记检测的总费用为 元.
〔1〕当 时，求 的分布列和数学期望；
〔2〕〔ⅰ〕比较 与 两种方案哪一个更好，说明理由；
〔ⅱ〕试猜想100份标本中有2份阳性，98份阴性时， 和 两种方案哪一个更好〔只需给出结论不必证明〕.
20.椭圆 ： 上有一点 ，点 在 轴上方， ， 分别为 的左，右焦点，当△ 的面积取最大值 时， .
〔1〕求 的标准方程；
〔2〕假设直线 交 于 ， 两点，设 中点为 ， 为坐标原点， ，作 ，求证： 为定值.
21.函数 的导函数为 ， .
〔1〕求 的极值；
〔2〕判断函数 在区间 上的单调性.
22.在平面直角坐标系 中，直线 ： 〔 为参数〕，以坐标原点为极点，以 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
〔1〕求直线 的普通方程和 的直角坐标方程；
〔2〕假设直线 与曲线 的交点为 ， ， 为曲线 上的动点，假设 的面积最大值为 ，求 的值.
23.函数 ，不等式 的解集为 .
〔1〕求 ， 的值；
〔2〕假设三个实数 ， ， ，满足 .证明： .

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】由题意，知： ， ，
∴ .
故答案为：B.

【分析】首先由对数函数和指数函数的单调性求出不等式的解集，由此得出集合A和B再由交集的定义即可得出答案。
2.【解析】【解答】由 ，
由 ，
所以 ，因此 在复平面内对应的点为 ，
故答案为：A

【分析】由复数代数形式的运算性质整理化简，再由复数模以及复数代数形式的定义，和几何意义即可得出答案。
3.【解析】【解答】因为玉衡和天权都没有被选中的概率为 ，
所以玉衡和天权至少一颗被选中的概率为 .
故答案为：B.

【分析】根据题意由概率的定义结合题意计算出结果即可。
4.【解析】【解答】由题意知： ，又 ，
∴ ，可得 ，
由 ， ，
∴ ，那么向量 ， 夹角的正切值为1.
故答案为：B.

【分析】首先由数量积的坐标公式计算出m的值，再由夹角的数量积公式计算出夹角的余弦值，由此得出夹角的大小以及夹角的正切值。
5.【解析】【解答】如以下图示，由题意知，圆心 且 ，那么圆心到直线的距离为 ，
、 是直线l和圆C上的动点， .

∵由图知， ，而 ，
∴要使 最小，当 和 重合时 ，
∴ .
故答案为：A.

【分析】根据题意由直线和圆的位置关系，结合点到直线的距离公式计算出答案即可。
6.【解析】【解答】因为 ， ，
所以 ，，
，
，
，
，
故答案为：A

【分析】根据题意由同角三角函数的根本关系式，结合两角和的正弦公式代入数值计算出结果即可。
7.【解析】【解答】因 的图象相邻对称轴的距离为 ，那么 的周期 ， ，
又 的图象过点 ，那么 ，而 ，那么 ，
，取A=1，那么A满足.
故答案为：A.

【分析】根据题意由函数平移的性质，再由正弦函数周期的公式计算出的值，把点的坐标代入计算出， 由此得到函数的解析式，再由诱导公式整理即可得出答案。
8.【解析】【解答】由题设， 的通项为 ， 的通项为 ；
∴原多项式的展开式通项可写为 ，
∴ ，可得 或 或 ，
∴ 的系数为 .
故答案为：D.

【分析】根据题意首先求出二项展开式的通项公式，再由条件得出由此得到从而求出m和n的值由此得出答案。
 
9.【解析】【解答】当 时， ，排除A，
此时 ，且 随着的增大， 越来越大，排除B D，
故答案为：C

【分析】由条件结合分段函数的解析式，利用导函数的性质得出的单调性，由函数单调性的图象得出答案。
10.【解析】【解答】连接 交 于 ，过 作 交 于 ，那么 是 的中点，如以下图示，

∵ 面 ， 面 ，
∴ 面 ，即 为所求的点，又在△ 中， ，而 ，
∴ .
故答案为：D.

【分析】利用正方体的几何性质结合线面平行的性质定理即可得出， 由此得出答案。
11.【解析】【解答】由题意，抛物线为 ，可令直线 为 ，假设 ， ，
∴联立直线与抛物线得 且 ，那么 ，
∴ ，又 的重心为点 ，即 ，
∴ ，那么 到直线 的距离 ，
∴当 时， .
故答案为：C.

【分析】 由求出抛物线方程，设出直线AB的方程为x=my+2，与抛物线方程联立，化为关于y的一元二次方程，由根与系数的关系及重心坐标公式求得G的坐标，再由点到直线的距离公式写出G到直线的距离，结合二次函数求最值.
12.【解析】【解答】由题设知， 关于 对称，又 有 ， 有 ，
∵ 过定点 ，
∴在 上， 有三个不同根，即为 与 有三个不同交点，函数图象如下，

∴当 与 左侧相切时，切点为 ，那么 ，即 ，
∴ ，即 ，此时 与 有两个交点，如以下图示，

当 过 时，有 ，此时 与 有三个交点，如以下图示，

∴综上知： 时， 时，方程 有三个不同的根.
故答案为：C

【分析】 根据题意即可得出f(x)关于直线x=1对称，作出f(x)的图象，求得两个极端情况下的实数k，结合图象即可求得其范围.
二、填空题
13.【解析】【解答】由题设约束条件可得如下可行域，

要使 最小，那么该直线与可行域有交点的情况下与x轴的截距最小，
∴当且仅当直线过 时， .
故答案为：-6.

【分析】 根据题意作出可行域再由条件找出目标函数，把目标函数化为直线方程的截距由数形结合法即可得出当直线经过点A时，z取得最小值并由直线的方程求出点A的坐标，然后把坐标代入到目标函数计算出z的值即可。
14.【解析】【解答】设 ，代入双曲线方程中得： ，两个等式相减得： ，
因为 为 的中点，所以 ，所以 ，
由题意可知： ，
即 ，
故答案为：

【分析】根据题意由双曲线的定义把点的坐标代入利用点差法，结合中点的坐标公式即可求出直线的斜率，再由题意整理即可得出然后由双曲线里a、b、c的关系，结合离心率公式计算出结果即可。
15.【解析】【解答】 ， ， ， ，
中，由余弦定理可知 ，
，
， 为钝角，
是锐角， ， ，
， ，
，
中，由正弦定理得 ， ，
.
故答案为：

【分析】利用条件得出角和边的大小，再由余弦定理代入数值计算出BC的值，然后由余弦定理计算出角的大小，结合诱导公式求出再由正弦定理计算出CD的值，由三角形的面积公式计算出结果即可。
16.【解析】【解答】 ， ， ， 的最大值是 ，当 时，等号成立， ，
平面 ， ，且 ，
平面 ， 平面 ， ，
，
，
解得： ，
即点 到平面 的距离为5.
故答案为：5

【分析】根据题意由边之间的关系结合根本不等式即可求出ac的最大值，再由线面垂直的性质定理得出线面垂直由此得到平面的高，再由体积公式代入数值计算出结果即可。
三、解答题
17.【解析】【分析】 〔Ⅰ〕 利用等比数列的通项公式和数列前n项和公式整理得到关于公比的方程， 求解出q的值以及首项从而得出数列的通项公式和数列前n项和公式。
〔Ⅱ〕 由〔Ⅰ〕 的结论即可得出数列的通项公式，再由错位相减法计算出答案即可。
18.【解析】【分析】 〔Ⅰ〕 根据题意由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，再由三角形的几何性质得出边的大小，再由线面垂直的性质定理以及面面垂直的判定定理即可得证出结论。
〔Ⅱ〕 根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到 二面角 的平面角的余弦值 。
19.【解析】【分析】 (1)2份阳性在一组，检测7次，各一组，检测10次，写出X的可能值，求出对应的概率即可得解；
(2)(i)由(1)的思路求出检测总费用Y的数学期望并比较大小而得解；
(ii)对n=5和n=10的两种方案的检测次数的分析即可得解.
 
 
20.【解析】【分析】 (1)设椭圆的半焦距为C，即有c=1，当P为椭圆的短轴的端点时，P到x轴的距离最大，PFiF2的面积取得最大值，可得b，a的值，进而得到椭圆方程；
(2)根据题意讨论直线|的斜率不存在，设为x=t，代入椭圆方程求得A，B的坐标，由向量垂直的条件：数量积为0，可得t，进而得到O到直线|的距离；当直线|的斜率存在时，设直线|的方程为y=kx+m，联立椭圆方程，运用韦达定理和向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，结合点到直线的距离公式，计算可得所求定值.
21.【解析】【分析】 (1)通过讨论a的范围，从而得出函数的单调性；
〔2)先假设存在实数a，满足题意，通过讨论X1 ， ×2的大小，得不等式组，求出a无解，从而得出结论.
22.【解析】【分析】 〔1〕根据题意直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
(2)由条件求出|AB|，利用椭圆的参数方程求三角形高的最大值，从而得到结果。
23.【解析】【分析】 (1)由f(x)<3的解为(1m)知：f(1)=3可求m，由f(n)=3且n>1，整理得到， 再对n分情况讨论，整理原式即可求出m和n的值。
(2)由(1)知a+b+c=1，求出m的值由此得到， 利用柯西不等式即可证结论.