2021届湖南省邵阳市高三下学期数学新高考适应性考试试卷及答案

这是一份2021届湖南省邵阳市高三下学期数学新高考适应性考试试卷及答案，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
 高三下学期数学新高考适应性考试试卷
一、单项选择题
1.复数z满足 那么 〔    〕
A.                                          B. 2                                         C.                                          D. 8
2.集合 ， 或 ，那么〔    〕
A.                            B.                            C.                            D. 
3.假设双曲线 〔 ， 〕的一条渐近线过点 ，那么其离心率为〔    〕
A. 3                                        B.                                         C.                                         D. 
4.某旅游城市2021年前10个月的游客人数〔万人〕按从小到大的顺序排列如下：3，5，6，9，x，y，15，17，18，21，假设该组数据的中位数为13，那么该组数据的平均数为〔    〕
A. 12                                        B. 10.7                                        C. 13                                        D. 15
5.函数 的局部图象大致为〔    〕
A.                           B. 
C.                                           D. 
6.十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的根底.著名的“康托三分集〞是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间 均分为三段，去掉中间的区间段 ，记为第一次操作；再将剩下的两个区间段 ， 分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；如此这样，每次在上一次操作的根底上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集〞.假设使去掉的各区间长度之和不小于 ，那么需要操作的次数 的最小值为(参考数据： ， )〔    〕
A. 4                                           B. 5                                           C. 6                                           D. 7
7.图象连续不断的函数 的定义域为R， 是周期为2的奇函数， 在区间 上恰有5个零点，那么 在区间 上的零点个数为〔    〕
A. 5050                                   B. 4041                                   C. 4040                                   D. 2021
8.定义在 上的函数 ， ， ， ，那么 ， ， 的大小关系是〔    〕
A.                            B.                            C.                            D. 
二、多项选择题
9.2021年4月，八省市同时公布新高考改革“3+1+2〞模式.“3〞即语文、数学、外语为必考科目.“1〞即首选科目，考生须在物理、历史中二选一.“2〞即再选科目，考生在化学、生物、思想政治、地理中四选二.高校各专业根据本校培养实际，对考生的物理或历史科目提出要求.如下列图，“仅物理〞表示首选科目为物理的考生才可报考，且相关专业只在物理类别下安排招生方案；“仅历史〞表示首选科目为历史的考生才可报考，且相关专业只在历史类别下安排招生方案；“物理或历史〞表示首选科目为物理或历史的考生均可报考，且高校要统筹相关专业在物理历史类别下安排招生方案根据图中数据分析，以下说法正确的选项是〔    〕

A. 选物理的考生可报大学专业占47.53%                       B. 选历史的考生大学录取率为2.83%
C. 选物理或历史的考生均可报的大学专业占49.64%     D. 选历史的考生可报大学专业占52.47%
10.函数 ， 为奇函数，那么下述四个结论中说法正确的选项是〔    〕
A.                                                          B. 在 上存在零点，那么a的最小值为
C. 在 上单调递增                              D. 在 有且仅有一个极大值点
11.椭圆 的右焦点为 ，点 在椭圆 上，点 在圆 上，且圆 上的所有点均在椭圆 外，假设 的最小值为 ，且椭圆 的长轴长恰与圆 的直径长相等，那么以下说法正确的选项是〔    〕
A. 椭圆 的焦距为2                                              B. 椭圆 的短轴长为
C. 的最小值为                                 D. 过点 的圆 的切线斜率为
12.函数 的定义域为 ，其导函数 满足 ，且 ，那么以下结论正确的选项是〔    〕
A.       B.       C. ，       D. ，
三、填空题
13.随机变量 ，假设 ，那么 ________.
14.假设曲线 在点 处的切线与直线 平行，那么 ________.
15.在 中， ，假设点M满足 ，那么 ________.
16.四棱台 中，上、下底面都是正方形，下底面棱长为2，其余各棱长均为1，那么该四棱台的外接球的外表积为________.
四、解答题
17.如图，在平面四边形ABCD中， ， ， ， .

〔1〕假设 ，求四边形ABCD的面积；
〔2〕假设 ， ，求 .
18.在① ，② ，③ 这三个条件中选择两个，补充在下面问题中，并给出解答．数列 的前n项和为 ，满足__________，__________；又知正项等差数列 满足 ，且 ， ， 成等比数列．
〔1〕求 和 的通项公式；
〔2〕假设 ，求数列 的前n项和 ．
19.图1是直角梯形 ， ， ， ， ， ， .以 为折痕将 折起，使点 到达 的位置，且 ，如图2.
   
〔1〕证明：平面 平面 ；
〔2〕求直线 与平面 所成角的正弦值.
20.某款游戏的规那么如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次，假设出现一次音乐获得1分，假设出现两次音乐获得2分，假设出现三次音乐获得5分，假设没有出现音乐那么扣15分(即获得-15分).设每次击鼓出现音乐的概率为 ，且各次击鼓出现音乐相互独立.
〔1〕设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列.
〔2〕玩三盘此游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
〔3〕玩过这款游戏的人发现，假设干盘游戏后，与最初的得分相比，得分没有增加反而减少了.请你分析得分减少的原因.
21.抛物线 的焦点为 ，过点 且斜率为 的直线与抛物线 交于 ， 两点， .
〔1〕求抛物线 的标准方程；
〔2〕过点 的直线 交抛物线 于 ， 两点.过 ， 分别作抛物线 的切线，两切线交于点 ，假设直线 与抛物线 的准线交于第四象限的点 ，且 ，求直线 的方程.
22.函数 .
〔1〕讨论函数 的单调性；
〔2〕假设 ， 为函数 的两个极值点，且 ， 为函数 的两个零点， .求证：当 时， .

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】解：∵ ，∴ ，∴ .
故答案为：C．

【分析】由复数除法求出z，再由模的定义计算即可。
2.【解析】【解答】解不等式 ，得 ，那么 ，
因为 或 ，显然A，B不成立，
且 ，C不成立，
所以 ，即D成立.
故答案为：D.

【分析】求出集合A,然后即可判断每个选项的正误，从而得出正确的选项.
3.【解析】【解答】由双曲线公式，其渐近线为
∴由 ， 知：过点 的渐近线为 ，即

故答案为：B

【分析】由题意可得， 结合条件求得双曲线的离心率。
4.【解析】【解答】因偶数个数按从小到大排列的中位数是中间两个数的平均数，而x和y刚好排列在中间，
那么 ，即 ，
所以这组数据的平均数为 .
故答案为：A

【分析】由该组数据的中位数为13，得到， 由此能求出该组数据的平均数。
5.【解析】【解答】因为 ，
所以 是奇函数，故排除A，C；
因为 ，且 ，
所以 ，
故答案为：B

【分析】利用函数为奇函数排除A,C；利用结合选项，即可得出正确答案。
6.【解析】【解答】第一次操作去掉的区间长度为 ；
第二次操作去掉两个长度为 的区间，长度和为 ；
第三次操作去掉四个长度为 的区间，长度和为 ；
以此类推，第 次操作去掉 个长度为 的区间，长度和为 ，
进行了第 次操作后，去掉区间长度和 ，
由 ，即 ， ，
又 ， 的最小值为6.
故答案为：C.

【分析】 先由题设得到前几次操作去掉的区间的长度，然后总结出第n次操作去掉的区间的长度和为， 把n次操作和去掉的区间的长度之和转化为等比数列的前n项和，求出前n项和Sn ， 再求解不等式即可.
7.【解析】【解答】由函数 的定义域为R上的奇函数，可得 ，
又由 在区间 上恰有5个零点，
可得函数 在区间 和 内各有2个零点，
因为 是周期为2，所以区间 内有两个零点，且 ，
即函数 在区间 内有4个零点，
所以 在区间 上的零点个数为 个零点.
故答案为：B.

【分析】利用函数的奇偶性以及函数的周期性，转化求解函数的零点个数即可。
8.【解析】【解答】 时， 是增函数，且 ，
，
， ，
，
，
．
故答案为：A．

【分析】由题意可得出在上单调递增，且得出，并且可得出，根据增函数的定义即可得出   ，  ， 的大小关系。
二、多项选择题
9.【解析】【解答】根据题中信息易知选物理或历史的考生均可报的大学专业占49.64%，
选历史的考生可报大学专业占49.64%+2.83%=52.47%.
故答案为：CD

【分析】根据条件逐项进行验证，即可得出答案。
10.【解析】【解答】解：因为 ，所以 ，
所以
因为 为奇函数，那么 ，即 ，所以 ， ，因为 ，所以 ，
对于A， ，A不符合题意；
对于B，令 ，得 ， ，假设 在 上存在零点，那么 且a的最小值为 ，B符合题意；
对于C， ，当 时， ，那么 在 上单调递增，C符合题意.
对于D，因为 ，当 时， ，当 时， ，
∴ 在 上存在一个极小值点，没有极大值点，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】首先求出 ，即可得到 的解析式，再根据函数的奇偶性求出参数 ，最后结合正弦函数的性质一一验证即可；
11.【解析】【解答】圆 的圆心为 ，半径长为2，
由于椭圆 的长轴长恰与圆 的直径长相等，那么 ，可得 ，

设椭圆的左焦点为点 ，由椭圆的定义可得 ， ，
所以， ，
当且仅当 、 、 、 四点共线，且当 、 分别为线段 与椭圆 、圆 的交点时，等号成立，
那么 ， ，解得 ，
所以，椭圆 的焦距为 ，A选项正确；
椭圆 的短轴长为 ，B选项错误；
，
当且仅当 、 、 、 四点共线，且当 、 分别为线段 与椭圆 、圆 的交点时，等号成立，C选项错误；
假设所求切线的斜率不存在，那么直线方程为 ，圆心 到该直线的距离为 ，那么直线 与圆 相离，不符合题意；
假设所求切线的斜率存在，可设切线的方程为 ，即 ，
由题意可得 ，整理得 ，解得 .
D选项正确.
故答案为：AD.

【分析】 由题知，a=2，设椭圆的左焦点为F1(-c,0)，由椭圆的定义可知，|PF1|+|PF|=2a,进而推出 从而求得|EF1|的值，再结合两点间的距离公式解出c的值即可判断选项A；由，求出b的值后即可判断选项B；由,利用两点间距离公式算出|EF|的长，即可判断选项C；设切线的方程为  ，结合点到直线的距离公式即可判断选项D.
12.【解析】【解答】令 ， ，
在 单调递减，
， ，
对A， ，A不符合题意；
以B， ，B符合题意；
对C， ， ，
， ， ，C符合题意；
对D，
， ，
，D符合题意；
故答案为：BCD.

【分析】 构造函数， 利用函数的导数，判断函数的单调性，然后通过函数值判断选项的正误即可.
三、填空题
13.【解析】【解答】∵ ，假设 ，那么 ，
∴ .


【分析】根据正态分布的随机变量概率计算公式，计算即可。
14.【解析】【解答】解：因为 .
所以 ，
所以 .
因为曲线 在点 处的切线与直线 平行，
即 .
故答案为：-1.

【分析】 求得f (x) 的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件，可得a的方程，解方程可得a的值.
15.【解析】【解答】如图，


，

,
又 ，
，


故答案为：

【分析】 根据条件对 两边平方即可求出,根据   即可求出
， 从而可得出， 这样进行数量积的运算即可求出 的值.
16.【解析】【解答】如图，在四棱台 中，连接 ，
设 ， ，连接 并延长到点O，

设O为四棱台 外接球心，连接 ，
在平面 中，作 ，垂足为 ，那么 ，
在直角三角形 中， ，
，
在直角三角形 中， ，
在直角三角形 中， ，
， ，
解得 ， ，
∴该四棱台的外接球的外表积为 .
故答案为：

【分析】设 ， ，连接 并延长到点O，设O为四棱台 外接球心，连接 ，根据条件可求出进而求出该四棱台的外接球的外表积 。
四、解答题
17.【解析】【分析】 (1)由结合勾股定理可求BD，然后结合余弦定理可求C，再由三角形的面积公式可求；
(2)由结合正弦定理可求sin∠BDC，然后结合同角平方关系可求cos∠BDC，结合特殊角的三角函数值及两角和的正弦公式可求.
 
 
18.【解析】【分析】 (1)直接利用所选的条件和数列的递推关系式求出数列的通项公式；
(2) 利用(1) 的结论，进一步利用乘公比错位相减法的应用求出数列的和.
 
 
19.【解析】【分析】〔1〕在图1中，连接AE，由得四边形ABCE为菱形，连接AC交BE于点F,得   ， 求解三角形证明   ,再由线面垂直的判定可得  面 ,从而得到 平面  平面 ；
〔2〕以  为坐标原点，  ，  分别为  轴， 方向为  轴正方向建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线  与平面  所成角的正弦值 。
 
 
20.【解析】【分析】 (1)设每盘游戏获得的分数为X，那么X可能取值为-15，1, 2, 5,分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列；
(2)利用对立事件概率公式能求出玩一盘游戏，至少出现一次音乐的概率；
(3)由X的分布列，求出   获得分数X的均值为负 ，利用概率统计的相关知识可知:玩的盘数越多，分数没有增加反而减少了.
21.【解析】【分析】〔1〕设 ， ，设直线 的方程为 ，然后联立直线 的方程与抛物线的方程，利用韦达定理得出弦长 ，求解出 ，那么可得出抛物线的标准方程；〔2〕设直线 的方程为 ， ， ，利用导数的几何意义得出抛物线 在点 ， 处的切线斜率，然后写出在点 ， 处切线的方程，联立解得 的坐标，再联立直线 的方程与准线方程，解出点 的坐标，写出 ，利用弦长公式解出 ，利用 解出 的值
22.【解析】【分析】 (1)求出函数的导数，通过讨论m的范围，求出函数的单调区间即可；
(2)求出函数g (x) 的导数，由  ， 为 的零点，得到   可得， 根据函数的单调性求出函数的最小值即可.