2021届陕西省高三下学期理数教学质量检测测评（五）及答案

这是一份2021届陕西省高三下学期理数教学质量检测测评（五）及答案，共12页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

 高三下学期理数教学质量检测测评〔五〕
一、单项选择题
1.集合 ，集合 ，那么 〔    〕
A.                              B.                              C.                              D. 
2.假设复数 满足 ， ，那么 在复平面内对应的点为〔    〕
A.                                   B.                                   C.                                   D. 
3.?易·系辞上?说：“河出图，洛出书，圣人那么之.〞“河图〞“洛书〞历来被认为是河洛文化的滥觞，是华夏文明的源头.如图“洛书〞中9个数字排列巧妙，“戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，五居中央.〞横纵斜方向上的3个数字之和均为15，从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个数，三个数字之和为15的概率为〔    〕

4
9
2
3
5
7
8
1
6
A.                                         B.                                         C.                                         D. 
4.点 为直线 ： 上一点，点 为圆 ： 上一点，那么 的最小值为〔    〕
A.                                     B.                                     C. 1                                    D. 
5.设 ， ，化简 〔    〕
A.                                       B.                                       C.                                       D. 
6.函数 〔 ， ， 〕，假设 的图象经过点 ，相邻对称轴的距离为 ，那么 的解析式可能为〔    〕
A. 
B. 
C. 
D. 
7.的展开式中 的系数为〔    〕
A. 88                                     B. 104                                     C.                                      D. 
8.菱形 中， ， ，点 为 上一点，且 ，那么 的余弦值为〔    〕
A.                                        B.                                        C.                                        D. 
9.函数 的局部图象大致为〔    〕
A.            B.            C.            D. 
10.如图，在棱长为2的正方体 中，过 且与 平行的平面交 于点 ，那么 〔    〕

A. 2                                         B.                                          C.                                          D. 1
11.抛物线 ： 的焦点为 ，过点 的直线交 于 ， 两点， 的重心为点 ，那么点 到直线 的距离的最小值为〔    〕
A. 2                                       B.                                        C.                                        D. 
12.函数 满足 ，且 时， ，假设 时，方程 有三个不同的根，那么 的取值范围为〔    〕
A.                          B.                          C.                          D. 
二、填空题
13.假设变量 ， 满足约束条件 ，那么 的最小值为________.
14.双曲线 ： ， ，过点 的直线交 于 ， 两点， 为 的中点，且直线 与 的一条渐近线垂直，那么 的离心率为________.
15.锐角 中， ， ， ，延长AB到点D，使 ，那么 ________.

16.如以下图的三棱锥 ， 平面 ， ，假设 ， ， ， ，当 取最大值时，点 到平面 的距离为________.

三、解答题
17.正项等比数列 的前 项和为 ，假设 ， ， 成等差数列， .
〔1〕求 与 ；
〔2〕设 ，数列 的前 项和记为 ，求 .
18.如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， ， 平面 ， 为 上一点，且 .

〔1〕求证： 平面 ；
〔2〕求二面角 的平面角的余弦值.
19.核酸检测也就是病毒DNA和RNA的检测，是目前病毒检测最先进的检验方法，在临床上主要用于新型冠状乙肝、丙肝和艾滋病的病毒检测.通过核酸检测，可以检测血液中是否存在病毒核酸，以诊断机体有无病原体感染.某研究机构为了提高检测效率降低检测本钱，设计了如下试验，预备12份试验用血液标本，其中2份阳性，10份阴性，从标本中随机取出n份分为一组，将样本分成假设干组，从每一组的标本中各取局部，混合后检测，假设结果为阴性，那么判定该组标本均为阴性，不再逐一检测；假设结果为阳性，需对该组标本逐一检测.以此类推，直到确定所有样本的结果.假设每次检测费用为a元，记检测的总费用为 元.
〔1〕当 时，求 的分布列和数学期望；
〔2〕〔ⅰ〕比较 与 两种方案哪一个更好，说明理由；
〔ⅱ〕试猜想100份标本中有2份阳性，98份阴性时， 和 两种方案哪一个更好〔只需给出结论不必证明〕.
20.椭圆 ： 〔 〕的左、右焦点分别为 ， ，上顶点为 ，假设 ， .
〔1〕求 的标准方程；
〔2〕假设直线 交 于 ， 两点，设 中点为 ， 为坐标原点， ，过点 作 ，求证： 为定值.
21.函数 ， .
〔1〕当 时，求 的图象在点 处的切线；
〔2〕求函数 的单调区间；
〔3〕判断函数 在区间 上的单调性.
22.在平面直角坐标系 中，直线 ： 〔 为参数〕，以坐标原点为极点，以 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
〔1〕求直线 的普通方程和 的直角坐标方程；
〔2〕假设直线 与曲线 的交点为 , , 为曲线 上的动点，假设 的面积最大值为 ，求 的值.
23.函数 ，不等式 的解集为 .
〔1〕求 ， 的值；
〔2〕假设三个实数 ， ， ，满足 .证明： .

答案解析局部
一、单项选择题
1.【解析】【解答】由题意，知： ， ，
∴ .
故答案为：B.

【分析】首先由对数函数和指数函数的单调性求出不等式的解集，由此得出集合A和B再由交集的定义即可得出答案。
2.【解析】【解答】由 ，
由 ，
所以 ，因此 在复平面内对应的点为 ，
故答案为：A

【分析】由复数代数形式的运算性质整理化简，再由复数模以及复数代数形式的定义，和几何意义即可得出答案。
3.【解析】【解答】解：从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个数，共有 〔种〕等可能的结果，
三个数字之和为15的所有可能结果有 ， ， ， ， ，
， ， ，共8种情况，那么所求概率 ，
故答案为：B.

【分析】从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取3个数，共有 〔种〕等可能的结果，利用列举法能求出被抽到的三个数字之和为15的所有可能结果有8种，由此能求出 三个数字之和为15的概率 。
4.【解析】【解答】如以下图示，由题意知，圆心 且 ，那么圆心到直线的距离为 ，
、 是直线l和圆C上的动点， .

∵由图知， ，而 ，
∴要使 最小，当 和 重合时 ，
∴ .
故答案为：A.

【分析】根据题意由直线和圆的位置关系，结合点到直线的距离公式计算出答案即可。
5.【解析】【解答】因为 ， ，
所以 ，，
，
，
，
，
故答案为：A

【分析】根据题意由同角三角函数的根本关系式，结合两角和的正弦公式代入数值计算出结果即可。
6.【解析】【解答】因为相邻对称轴的距离为周期的一半，所以函数 的最小正周期 ，又 ，所以 ，应选项B，D错误；把点 代入选项A， ，选项A成立，而把点 代入选项C， ，选项C不成立.
故答案为：A.

【分析】 根据对称轴的距离得出周期，从而可求出的值，由图象过点，结合φ的取值范围
可求得φ的值，利用诱导公式结合选项即可得结论.
7.【解析】【解答】由题设， 的通项为 ， 的通项为 ；
∴原多项式的展开式通项可写为 ，
∴ ，可得 或 或 ，
∴ 的系数为 .
故答案为：D.

【分析】根据题意首先求出二项展开式的通项公式，再由条件得出由此得到从而求出m和n的值由此得出答案。
 
8.【解析】【解答】设 与 交于点 ，以 为坐标原点， ， 所在的直线分别为 ， 轴建立平面直角坐标系如以下图，

那么点 ， ， ，
∴ ， ，那么 ，
故答案为：D.

【分析】设 与 交于点 ，以 为坐标原点， ， 所在的直线分别为 ， 轴建立平面直角坐标系，求出， ，再利用数量积的运算即可求出  的余弦值 。
9.【解析】【解答】当 时， ，排除A，
此时 ，且 随着的增大， 越来越大，排除B D，
故答案为：C

【分析】由条件结合分段函数的解析式，利用导函数的性质得出的单调性，由函数单调性的图象得出答案。
10.【解析】【解答】连接 交 于 ，过 作 交 于 ，那么 是 的中点，如以下图示，

∵ 面 ， 面 ，
∴ 面 ，即 为所求的点，又在△ 中， ，而 ，
∴ .
故答案为：D.

【分析】利用正方体的几何性质结合线面平行的性质定理即可得出， 由此得出答案。
11.【解析】【解答】由题意，抛物线为 ，可令直线 为 ，假设 ， ，
∴联立直线与抛物线得 且 ，那么 ，
∴ ，又 的重心为点 ，即 ，
∴ ，那么 到直线 的距离 ，
∴当 时， .
故答案为：C.

【分析】 由求出抛物线方程，设出直线AB的方程为x=my+2，与抛物线方程联立，化为关于y的一元二次方程，由根与系数的关系及重心坐标公式求得G的坐标，再由点到直线的距离公式写出G到直线的距离，结合二次函数求最值.
12.【解析】【解答】因为 ，所以函数 的图像关于直线 对称.
当 时， ，那么当 时， 的图像如以下图，直线 为过定点 的一条直线.

当直线与当 时的函数 的图像相切时，直线与 在 的图像有两个公共点.
当 时，函数 ， ，
设切点为 ，切线的斜率 ，
那么切线方程为 ，把点 代入得 ，所以 ；
当直线过点 时， ，
所以 的取值范围为 ，
故答案为：C.

【分析】 易知f (x)关于直线x = 1对称，作出f (x)的图象，求得两个极端情况下的实数k,结合图象即可求得其范围.
二、填空题
13.【解析】【解答】由题设约束条件可得如下可行域，

要使 最小，那么该直线与可行域有交点的情况下与x轴的截距最小，
∴当且仅当直线过 时， .
故答案为：-6.

【分析】 根据题意作出可行域再由条件找出目标函数，把目标函数化为直线方程的截距由数形结合法即可得出当直线经过点A时，z取得最小值并由直线的方程求出点A的坐标，然后把坐标代入到目标函数计算出z的值即可。
14.【解析】【解答】设 ，代入双曲线方程中得： ，两个等式相减得： ，
因为 为 的中点，所以 ，所以 ，
由题意可知： ，
即 ，
故答案为：

【分析】根据题意由双曲线的定义把点的坐标代入利用点差法，结合中点的坐标公式即可求出直线的斜率，再由题意整理即可得出然后由双曲线里a、b、c的关系，结合离心率公式计算出结果即可。
15.【解析】【解答】因为 ， ， ，由余弦定理得， ，

所以 ，那么 .设 ，那么 ，因为 ，所以 ，由余弦定理得 ，即 ，解得 或 〔舍〕，所以 ， ，那么 .
故答案为： .

【分析】 由余弦定理可得BC，sin∠ABC的值，由 .设 ，那么 ， 利用同角三角函数根本关系式可求cos∠ABC，进而可求 ， 由余弦定理得求得x，利用三角形的面积公式即可求解  的值.
16.【解析】【解答】 ， ， ， 的最大值是 ，当 时，等号成立， ，
平面 ， ，且 ，
平面 ， 平面 ， ，
，
，
解得： ，
即点 到平面 的距离为5.
故答案为：5

【分析】根据题意由边之间的关系结合根本不等式即可求出ac的最大值，再由线面垂直的性质定理得出线面垂直由此得到平面的高，再由体积公式代入数值计算出结果即可。
三、解答题
17.【解析】【分析】〔1〕 设正项等比数列  的公比为  〔  〕， 由题设列方程求q，a1，根据等比数列的通项公式，前n项和公式写出  与  ；
〔2〕由〔1〕知 ，应用错位相减法求前n项和  即可。
18.【解析】【分析】〔1〕先根据直线与平面垂直的判定定理与性质定理证明  ，再利用勾股定理逆定理证明 即可得证；
〔2〕 以  为坐标原点，  、  、  所在的直线分别为  、  、  轴建立空间直角坐标系 ，分别求出平面  和平面 的一个法向量，再利用空间向量的夹角公式即可求解。
19.【解析】【分析】 (1)2份阳性在一组，检测7次，各一组，检测10次，写出X的可能值，求出对应的概率即可得解；
(2)(i)由(1)的思路求出检测总费用Y的数学期望并比较大小而得解；
(ii)对n=5和n=10的两种方案的检测次数的分析即可得解.
 
 
20.【解析】【分析】〔1〕根据条件及椭圆中根本量的关系列出方程，求出a，b的值，即可求解椭圆的标准方程；
〔2〕当直线l的斜率存在时，设出直线l的方程并与椭圆的方程联立，再利用 即可得证；当直线l的斜率不存在时， 设点   ，    ，利用韦达定理得出 ， ， 坐标原点  到直线  的距离  为定值，即可得证。
21.【解析】【分析】〔1〕求出切线的切点坐标，对  求导，求出切线的斜率，即可求解；
〔2〕对 求导，分  ，    ，  三种情况讨论 的正负，即可求解；
〔3〕构造函数，结合〔2〕求出函数的最小值，即可求解。
22.【解析】【分析】〔1〕将直线  的参数方程消参可得直线l的普通方程，利用极坐标方程和直角坐标方程的互化公式，即可求得曲线C的直角坐标方程；
〔2〕将直线的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，再利用弦长公式求得 ， 设出点P的极坐标，求出点P到直线l的距离的最大值，再利用三角形的面积公式即可求解。
23.【解析】【分析】 (1)由f(x)<3的解为(1m)知：f(1)=3可求m，由f(n)=3且n>1，整理得到， 再对n分情况讨论，整理原式即可求出m和n的值。
(2)由(1)知a+b+c=1，求出m的值由此得到， 利用柯西不等式即可证结论.