_河南省实验中学 2020-2021学年下期第一次月考试卷 九年级数学 解析版

这是一份_河南省实验中学 2020-2021学年下期第一次月考试卷 九年级数学 解析版，共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年河南省实验中学九年级（下）第一次月考数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列各数中，小于﹣2的数是（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣4
2．如图所示的几何体是由一个球体和一个长方体组成的，它的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
3．今年的政府工作报告中指出：去年脱贫攻坚取得决定性成就，农村贫困人口减少1109万．数字1109万用科学记数法可表示为（　　）
A．1.109×107 B．1.109×106 C．0.1109×108 D．11.09×106
4．下列计算中，正确的是（　　）
A．x3•x2＝x6 B．x（x﹣3）＝x2﹣3x
C．（x+y）（x﹣y）＝x2+y2 D．﹣2x3y2÷xy2＝2x4
5．如图，△ABC是等边三角形，两个锐角都是45°的三角尺的一条直角边在BC上，则∠1的度数为（　　）

A．60° B．65° C．70° D．75°
6．关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞4 B．k≤4 C．k＜4且k≠0 D．k≤4且k≠0
7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点B，点A，以线段AB为边作正方形ABCD，且点C在反比例函数y＝（x＜0）图象上，则k的值为（　　）

A．﹣12 B．﹣42 C．42 D．﹣21
8．如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（　　）

A．（﹣1，2） B．（，2） C．（3﹣，2） D．（﹣2，2）
9．如图1中，Rt△ABC，∠C＝90°，点D为AB的中点，动点P从A点出发沿AC→CB运动到点B，设点P的运动路程为x，△APD的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则AB的长为（　　）

A．10 B．12 C．14 D．16
10．如图，菱形ABCD的边长为5cm，sinA＝，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿折线AB→BC→CD运动，到达点D停止；点Q同时从点A出发，以1cm/s的速度沿AD运动，到达点D停止．设点P运动x（s）时，△APQ的面积为y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象是（　　）

A． B．
C． D．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．﹣（﹣）﹣1＝　 　．
12．一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是　 　．

13．如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD＝3，AB＝CF＝2，则CG的长为　 　．

14．如图，以BC为直径作圆O，A、D为圆周上的点，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝1，∠ABC＝60°．若点P为BC垂直平分线MN上的一动点，则阴影部分周长的最小值为　 　．

15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，点D是边AC上一动点．连接BD，将△ABD沿BD折叠，点A落在A′处，当点A′在△ABC内部（不含边界）时，AD长度的取值范围是　 　．

三、解答题（本大题共8个小题，总分75分）
16．（8分）先化简，再求值：÷（a﹣），其中a＝+3，b＝﹣3．
17．（9分）为了调查学生对垃级分类知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取20名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制，单位：分）并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．甲、乙两校学生样本成绩频数分布表及扇形统计图如图：
甲校学生样本成墙颜数分布表：（表1）
成绩m（分）
频数
频率
50≤m＜60
a
0.10
60≤m＜70
b
c
70≤m＜80
4
0.20
80≤m＜90
7
0.35
90≤m≤100
2
d
合计
20
1.0
b．甲、乙两校学生样本成绩的平均分、中位数、众数，方差如表所示：（表2）
学校
平均分
中位数
众数
方差
甲
76.7
77
89
150.2
乙
78.1
80
n
135.3
其中，乙校20名学生样本成绩的数据如下：
54，72，62，91，87，69，88，79，80，62，80，84，93，67，87，87，90，71，68，91．
请根据所给信息、解答下列问题：
（1）表1中c＝　 　；表2中的众数n＝　 　．
（2）在此次测试中、某学生的成绩是79分，在他所属学校排在前10名，由表中数据可知该学生是　 　校的学生（填“甲”或“乙”）．理由是　 　．
（3）乙校学生样本成绩扇形统计图中，70≤m＜80这一组成绩所在扇形的圆心角度数是　 　°．
（4）若甲、乙两校各有1000名学生参加此次测试，成绩80分及以上为优秀，请计算两校成绩优秀的学生大约共为多少人？

18．（9分）某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，红军路AB与某桥BC互相垂直．某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏东65°方向，另测得BC＝414m，AB＝300m，求出点D到AB的距离．
（参考数据sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）

19．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，以边AC上一点O为圆心，OA为半径作圆，恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AB＝，点E是半圆AmF上一动点，连接AE、AD、DE，填空：
①当的长度是　 　时，四边形ABDE是菱形；
②当的长度是　 　时，△ADE是直角三角形．

20．（9分）书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我国基础教育的重要内容．某学校准备为学生的书法课购买一批毛笔和宣纸，已知购买40支毛笔和100张宣纸需要280元；购买30支毛笔和200张宣纸需要260元．
（1）求毛笔和宣纸的单价；
（2）某超市给出以下两种优惠方案：
方案A：购买一支毛笔，赠送一张宣纸；
方案B：购买200张宣纸以上，超出的部分按原价打八折，毛笔不打折．
学校准备购买毛笔50支，宣纸若干张（超过200张）．选择哪种方案更划算？请说明理由．
21．（10分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2（a≠0）．
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；
（3）设点P（m，y1），Q（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．
22．（10分）如图，Q是弧AB与直径AB所围成的图形的内部的一定点，P是直径AB上一动点，连接PQ并延长交弧AB于点C，连接AC．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A、C两点间的距离为y2cm．
小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y1/cm
5.62
4.67
3.76
　 　
2.65
3.18
4.37
y2/cm
　 　
5.59
5.53
5.42
5.19
4.73
4.11
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），并画出函数y1的图象；

（2）结合函数图象，解决问题：当△APC为等腰三角形时，AP的长度约为　 　cm．（保留2位小数）

23．（11分）在Rt△ABC中与Rt△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BAC＝∠DEC＝30°，AC＝DC＝，将Rt△DCE绕点C顺时针旋转，连接BD，AE，点F，G分别是BD，AE的中点，连接CF，CG．
（1）观察猜想
如图1，当点D与点A重合时，CF与CG的数量关系是　 　，位置关系是　 　；
（2）类比探究
当点D与点A不重合时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请仅就图2的情形给出证明；如果不成立，请说明理由．
（3）问题解决
在Rt△DCE旋转过程中，请直接写出△CFG的面积的最大值与最小值．


2020-2021学年河南省实验中学九年级（下）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．下列各数中，小于﹣2的数是（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣4
【分析】根据题意，结合有理数大小比较的法则，从符号和绝对值两个方面分析可得答案．
【解答】解：比﹣2小的数是应该是负数，且绝对值大于2的数，
分析选项可得，只有D符合．
故选：D．
2．如图所示的几何体是由一个球体和一个长方体组成的，它的主视图是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据主视图的意义和画法可以得出答案．
【解答】解：根据主视图的意义可知，从正面看物体所得到的图形，选项B符合题意，
故选：B．
3．今年的政府工作报告中指出：去年脱贫攻坚取得决定性成就，农村贫困人口减少1109万．数字1109万用科学记数法可表示为（　　）
A．1.109×107 B．1.109×106 C．0.1109×108 D．11.09×106
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，故先将1109万换成11090000，再按照科学记数法的表示方法表示即可得出答案．
【解答】解：∵1109万＝11090000，
∴11090000＝1.109×107．
故选：A．
4．下列计算中，正确的是（　　）
A．x3•x2＝x6 B．x（x﹣3）＝x2﹣3x
C．（x+y）（x﹣y）＝x2+y2 D．﹣2x3y2÷xy2＝2x4
【分析】根据同底数幂的乘法、单项式乘多项式的运算法则，平方差公式，单项式除以单项式的运算法则计算即可．
【解答】解：A、x3•x2＝x5，原计算错误，故此选项不符合题意；
B、x（x﹣3）＝x2﹣3x，原计算正确，故此选项符合题意；
C、（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2，原计算错误，故此选项不符合题意；
D、﹣2x3y2÷xy2＝﹣2x2，原计算错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
5．如图，△ABC是等边三角形，两个锐角都是45°的三角尺的一条直角边在BC上，则∠1的度数为（　　）

A．60° B．65° C．70° D．75°
【分析】根据等边三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论．
【解答】解：∠1＝∠3＝180°﹣45°﹣60°＝75°，
故选：D．

6．关于x的一元二次方程kx2﹣4x+1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞4 B．k≤4 C．k＜4且k≠0 D．k≤4且k≠0
【分析】若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式△＝b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为0．
【解答】解：∵方程有两个实数根，
∴根的判别式△＝b2﹣4ac＝16﹣4k≥0，
即k≤4，且k≠0．
故选：D．
7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+4的图象与x轴、y轴分别相交于点B，点A，以线段AB为边作正方形ABCD，且点C在反比例函数y＝（x＜0）图象上，则k的值为（　　）

A．﹣12 B．﹣42 C．42 D．﹣21
【分析】过点C作CE⊥x轴于E，证明△AOB≌△BEC，可得点C坐标，代入求解即可．
【解答】解：∵一次函数y＝x+4中，当x＝0时，y＝0+4＝4，
∴A（0，4），
∴OA＝4；
∵当y＝0时，0＝x+4，
∴x＝﹣3，
∴B（﹣3，0），
∴OB＝3；
过点C作CE⊥x轴于E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，AB＝BC，
∵∠CBE+∠ABO＝90°，∠BAO+∠ABO＝90°，
∴∠CBE＝∠BAO．
在△AOB和△BEC中，
，
∴△AOB≌△BEC（AAS），
∴BE＝AO＝4，CE＝OB＝3，
∴OE＝3+4＝7，
∴C点坐标为（﹣7，3），
∵点C在反比例函数y＝（x＜0）图象上，
∴k＝﹣7×3＝﹣21．
故选：D．

8．如图，已知▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），点B在x轴正半轴上按以下步骤作图：①以点O为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边OA，OB于点D，E；②分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点F；③作射线OF，交边AC于点G，则点G的坐标为（　　）

A．（﹣1，2） B．（，2） C．（3﹣，2） D．（﹣2，2）
【分析】依据勾股定理即可得到Rt△AOH中，AO＝，依据∠AGO＝∠AOG，即可得到AG＝AO＝，进而得出HG＝﹣1，可得G（﹣1，2）．
【解答】解：∵▱AOBC的顶点O（0，0），A（﹣1，2），
∴AH＝1，HO＝2，
∴Rt△AOH中，AO＝，
由题可得，OF平分∠AOB，
∴∠AOG＝∠EOG，
又∵AG∥OE，
∴∠AGO＝∠EOG，
∴∠AGO＝∠AOG，
∴AG＝AO＝，
∴HG＝﹣1，
∴G（﹣1，2），
故选：A．

9．如图1中，Rt△ABC，∠C＝90°，点D为AB的中点，动点P从A点出发沿AC→CB运动到点B，设点P的运动路程为x，△APD的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则AB的长为（　　）

A．10 B．12 C．14 D．16
【分析】由图象可知：当x＝14时，AC+BC＝14，面积最大时，S等于12，再根据三角形的面积计算公式可得关于AC的方程，解得AC的值，最后由勾股定理可得AB的值．
【解答】解：由图象可知：当x＝14时，AC+BC＝14，
∴BC＝14﹣AC；
面积最大时，
S＝S△ACD
＝S△ABC
＝AC×BC
＝12，
∴AC×（14﹣AC）＝12，
解得AC＝6或AC＝8，
由图象可知AC＞BC，故AC＝8，BC＝6，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝＝10．
故选：A．
10．如图，菱形ABCD的边长为5cm，sinA＝，点P从点A出发，以1cm/s的速度沿折线AB→BC→CD运动，到达点D停止；点Q同时从点A出发，以1cm/s的速度沿AD运动，到达点D停止．设点P运动x（s）时，△APQ的面积为y（cm2），则能够反映y与x之间函数关系的图象是（　　）

A． B．
C． D．
【分析】根据题意可以分别得到各段y与x的函数解析式，从而可以解答本题．
【解答】解：当点P从点A到点B的过程中，y＝＝，故选项A、D错误，
当点P从B到C的过程中，y＝，
当点P从C到D的过程中，y＝＝30﹣2x，
故选项B错误，选项C正确．
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．﹣（﹣）﹣1＝　5　．
【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及立方根分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝3+2
＝5．
故答案为：5．
12．一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上．每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是　　．

【分析】若将每个小正方形的面积记为1，则大正方形的面积为16，其中阴影部分的面积为6，再根据概率公式求解可得．
【解答】解：若将每个小正方形的面积记为1，则大正方形的面积为16，其中阴影部分的面积为6，
所以该小球停留在黑色区域的概率是＝，
故答案为：．
13．如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG．若AD＝3，AB＝CF＝2，则CG的长为　　．

【分析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质，可以得到BF和BE的长，然后可以证明△DCG和△EHG全等，然后即可得到CG的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，CD＝AB，DC∥AB，
∵AD＝3，AB＝CF＝2，
∴CD＝2，BC＝3，
∴BF＝BC+CF＝5，
∵△BEF是等边三角形，G为DE的中点，
∴BF＝BE＝5，DG＝EG，
延长CG交BE于点H，
∵DC∥AB，
∴∠CDG＝∠HEG，
在△DCG和△EHG中，
，
∴△DCG≌△EHG（ASA），
∴DC＝EH，CG＝HG，
∵CD＝2，BE＝5，
∴HE＝2，BH＝3，
∵∠CBH＝60°，BC＝BH＝3，
∴△CBH是等边三角形，
∴CH＝BC＝3，
∴CG＝CH＝，
故答案为：．

14．如图，以BC为直径作圆O，A、D为圆周上的点，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝1，∠ABC＝60°．若点P为BC垂直平分线MN上的一动点，则阴影部分周长的最小值为　+　．

【分析】根据对称的性质可知阴影部分的周长的最小值为BD+弧CD长，求出BD的长，弧CD的长即可．
【解答】解：根据对称的意义可知，PD+PC的最小值为BD，
连接BD，OD，由题意可知，∠COD＝∠ABC＝60°＝∠BCD，
∵OC＝OD，∠DCO＝60°，
∴OC＝OD＝CD＝1，
∴BC＝2OC＝2，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∴BD＝•BC＝，
又弧CD的长为＝，
所以阴影部分周长的最小值为BD+弧CD长，即+，
故答案为：+．

15．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，点D是边AC上一动点．连接BD，将△ABD沿BD折叠，点A落在A′处，当点A′在△ABC内部（不含边界）时，AD长度的取值范围是　＜AD＜　．

【分析】由勾股定理可而且AC的长，分别求出当点A'落在AC上时和当点A'落在BC上时，AD的长，即可求解．
【解答】解：∵∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝4，
∴AC＝＝＝2，
当点A'落在AC上时，如图，

∵将△ABD沿BD折叠，点A落在A′处，
∴∠ADB＝∠A'DB＝90°，
∵cosA＝，
∴AD＝＝，
当点A'落在BC上时，如图，过点D作DH⊥AB于H，

∵将△ABD沿BD折叠，点A落在A′处，
∴∠ABD＝∠DBC＝45°，
∵DH⊥AB，
∴∠HDB＝∠HBD＝45°，
∴BH＝DH，
∵tanA＝＝2，
∴HD＝2AH＝BH，
∵AB＝AH+BH＝2AH+AH＝2，
∴AH＝，BH＝＝DH，
∴AD＝＝＝，
∴当点A′在△ABC内部（不含边界）时，AD长度的取值范围为＜AD＜．
三、解答题（本大题共8个小题，总分75分）
16．（8分）先化简，再求值：÷（a﹣），其中a＝+3，b＝﹣3．
【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：当a＝+3，b＝﹣3时，
原式＝÷
＝
＝
＝
17．（9分）为了调查学生对垃级分类知识的了解情况，从甲、乙两校各随机抽取20名学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩（百分制，单位：分）并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．甲、乙两校学生样本成绩频数分布表及扇形统计图如图：
甲校学生样本成墙颜数分布表：（表1）
成绩m（分）
频数
频率
50≤m＜60
a
0.10
60≤m＜70
b
c
70≤m＜80
4
0.20
80≤m＜90
7
0.35
90≤m≤100
2
d
合计
20
1.0
b．甲、乙两校学生样本成绩的平均分、中位数、众数，方差如表所示：（表2）
学校
平均分
中位数
众数
方差
甲
76.7
77
89
150.2
乙
78.1
80
n
135.3
其中，乙校20名学生样本成绩的数据如下：
54，72，62，91，87，69，88，79，80，62，80，84，93，67，87，87，90，71，68，91．
请根据所给信息、解答下列问题：
（1）表1中c＝　0.25　；表2中的众数n＝　87　．
（2）在此次测试中、某学生的成绩是79分，在他所属学校排在前10名，由表中数据可知该学生是　甲　校的学生（填“甲”或“乙”）．理由是　该学生的成绩为79分，略高于甲校的中位数数77分，符合该学生在甲校排名前10名的要求　．
（3）乙校学生样本成绩扇形统计图中，70≤m＜80这一组成绩所在扇形的圆心角度数是　54　°．
（4）若甲、乙两校各有1000名学生参加此次测试，成绩80分及以上为优秀，请计算两校成绩优秀的学生大约共为多少人？

【分析】（1）根据70≤m＜80的频数为4，频率为0.20，可求出调查人数，进而确定a 的值，b的值，再计算c的值即可，根据众数的意义可求出n的值；
（2）根据中位数的意义进行判断即可；
（3）求出70≤x＜80这组的频数所占得百分比即可；
（4）分别求出两个学校优秀的人数即可．
【解答】解：4÷0.20＝40（人），
a＝20×0.10＝2（人），
b＝20﹣2﹣4﹣7﹣2＝5（人），
c＝5÷20＝0.25，
乙校20名学生的成绩中出现次数最多的是87分，因此众数是87，即n＝87，
故答案为：0.25，87；
（2）甲，理由为：该学生的成绩为79分，略高于甲校的中位数数77分，符合该学生在甲校排名前10名的要求；
（3）360°×（1﹣5%﹣20%﹣25%﹣35%）＝54°，
故答案为：54；
（4）1000×（35%+20%）+1000×（35%+10%）＝1000（人），
答：两校成绩优秀的学生大约共为1000人．
18．（9分）某区域平面示意图如图所示，点D在河的右侧，红军路AB与某桥BC互相垂直．某校“数学兴趣小组”在“研学旅行”活动中，在C处测得点D位于西北方向，又在A处测得点D位于南偏东65°方向，另测得BC＝414m，AB＝300m，求出点D到AB的距离．
（参考数据sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）

【分析】过点D作DE⊥AB于E，过D作DF⊥BC于F，则四边形EBFD是矩形，设DE＝x，根据BE＝DF＝CF，列方程可得结论．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，过D作DF⊥BC于F，则四边形EBFD是矩形，

设DE＝x，
在Rt△ADE中，∠AED＝90°，
∵tan∠DAE＝，
∴AE＝＝，
∴BE＝300﹣，
又BF＝DE＝x，
∴CF＝414﹣x，
在Rt△CDF中，∠DFC＝90°，∠DCF＝45°，
∴DF＝CF＝414﹣x，
又BE＝DF，
即：300﹣＝414﹣x，
解得：x＝214，
故：点D到AB的距离是214m．
19．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，以边AC上一点O为圆心，OA为半径作圆，恰好经过边BC的中点D，并与边AC相交于另一点F．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若AB＝，点E是半圆AmF上一动点，连接AE、AD、DE，填空：
①当的长度是　π　时，四边形ABDE是菱形；
②当的长度是　π或π　时，△ADE是直角三角形．

【分析】（1）首先连接OD，只要证明OD⊥BC即可证得结论；
（2）①当DE⊥AC时，四边形ABDE是菱形，求出∠AOE的度数，半径OD的长即可；
②分别从∠ADE＝90°，∠DAE＝90°，∠AED＝90°去分析求解即可求得答案．
【解答】（1）证明：如图1，连接OD，

∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°，
∴AB＝BC，
∵D是BC的中点，
∴BD＝BC，
∴AB＝BD，
∴∠BAD＝∠BDA，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠ODB＝∠BAO＝90°，
即OD⊥BC，
∴BD是⊙O的切线．

（2）解：①当DE⊥AC时，四边形ABDE是菱形；

如图2，设DE交AC于点M，连接OE，则DE＝2DM，
∵∠C＝30°，
∴CD＝2DM，∴DE＝CD＝AB＝BC，
∵∠BAC＝90°，
∴DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵AB＝BD，
∴四边形ABDE是菱形；
∵AD＝BD＝AB＝CD＝BC＝，
∴△ABD是等边三角形，OD＝CD•tan30°＝1，
∴∠ADB＝60°，
∵∠CDE＝90°﹣∠C＝60°，
∴∠ADE＝180°﹣∠ADB﹣∠CDE＝60°，
∴∠AOE＝2∠ADE＝120°，
∴的长度为：＝π；
故答案为：π；

②若∠ADE＝90°，则点E与点F重合，此时的长度为：＝π；
若∠DAE＝90°，则DE是直径，则∠AOE＝2∠ADO＝60°，此时的长度为：＝π；
∵AD不是直径，∴∠AED≠90°；
综上可得：当的长度是π或π时，△ADE是直角三角形．
故答案为：π或π．
20．（9分）书法是中华民族的文化瑰宝，是人类文明的宝贵财富，是我国基础教育的重要内容．某学校准备为学生的书法课购买一批毛笔和宣纸，已知购买40支毛笔和100张宣纸需要280元；购买30支毛笔和200张宣纸需要260元．
（1）求毛笔和宣纸的单价；
（2）某超市给出以下两种优惠方案：
方案A：购买一支毛笔，赠送一张宣纸；
方案B：购买200张宣纸以上，超出的部分按原价打八折，毛笔不打折．
学校准备购买毛笔50支，宣纸若干张（超过200张）．选择哪种方案更划算？请说明理由．
【分析】（1）设毛笔的单价为x元，宣纸的单价为y元，根据“购买40支毛笔和100张宣纸需要28元；购买30支毛笔和200张宣纸需要260元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买宣纸m（m＞200）张，利用总价＝单价×数量，可找出选择方案A和选择方案B所需费用，分0.4m+280＜0.32m+316，0.4m+280＝0.32m+316和0.4m+280＞0.32m+316三种情况，求出m的取值范围（或m的值）即可得出结论．
【解答】解：（1）设毛笔的单价为x元，宣纸的单价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：毛笔的单价为6元，宣纸的单价为0.4元．
（2）设购买宣纸m（m＞200）张．
选择方案A所需费用为50×6+0.4×（m﹣50）＝0.4m+280（元）；
选择方案B所需费用为50×6+0.4×200+0.4×0.8×（m﹣200）＝0.32m+316．
当0.4m+280＜0.32m+316时，解得：m＜450，
∴当200＜m＜450时，选择方案A更划算；
当0.4m+280＝0.32m+316时，解得：m＝450，
∴当m＝450时，选择方案A和方案B所需费用一样；
当0.4m+280＞0.32m+316时，解得：m＞450，
∴当m＞450时，选择方案B更划算．
答：当购买的宣纸数量超过200张不足450张时，选择方案A更划算；当购买的宣纸数量等于450张时，选择两方案所需费用相同；当购买的宣纸数量超过450张时，选择方案B更划算．
21．（10分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2（a≠0）．
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求其解析式；
（3）设点P（m，y1），Q（3，y2）在抛物线上，若y1＜y2，求m的取值范围．
【分析】（1）把解析式化成顶点式即可求得；
（2）根据顶点式求得坐标，根据题意得到关于a的方程解方程求得a的值，从而求得抛物线的解析式；
（3）根据对称轴得到其对称点，再根据二次函数的增减性写出m的取值．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3+2a2＝a（x﹣1）2+2a2﹣a﹣3．
∴抛物线的对称轴为直线x＝1；
（2）∵抛物线的顶点在x轴上，
∴2a2﹣a﹣3＝0，
解得a＝或a＝﹣1，
∴抛物线为y＝x2﹣3x+或y＝﹣x2+2x﹣1；
（3）∵抛物线的对称轴为x＝1，
则Q（3，y2）关于x＝1对称点的坐标为（﹣1，y2），
∴当a＞0，﹣1＜m＜3时，y1＜y2；当a＜0，m＜﹣1或m＞3时，y1＜y2．
22．（10分）如图，Q是弧AB与直径AB所围成的图形的内部的一定点，P是直径AB上一动点，连接PQ并延长交弧AB于点C，连接AC．已知AB＝6cm，设A，P两点间的距离为xcm，P，C两点间的距离为y1cm，A、C两点间的距离为y2cm．
小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：
（1）按照表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：
x/cm
0
1
2
3
4
5
6
y1/cm
5.62
4.67
3.76
　3　
2.65
3.18
4.37
y2/cm
　5.62　
5.59
5.53
5.42
5.19
4.73
4.11
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，描出补全后的表中各组数值所对应的点（x，y1），并画出函数y1的图象；

（2）结合函数图象，解决问题：当△APC为等腰三角形时，AP的长度约为　3或4.91或5.77　cm．（保留2位小数）

【分析】（1）利用圆的半径相等即可解决问题；
（2）利用描点法画出图象即可；
（3）图中寻找直线y＝x与两个函数的交点的横坐标以及y1与y2的交点的横坐标即可．
【解答】解：（1）当AP＝0时，点A和点P重合，此时AC＝PC＝5.62cm，
∴y2＝5.63cm，
当PA＝6时，AB＝6，BC＝4.37，AC＝4.11，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴AB是直径．
当x＝3时，PA＝PB＝PC＝3cm，
∴y1＝3cm，
故答案为：5.62；3；
（2）函数图象如图所示：

（3）观察图象可知：当x＝y，即当PA＝PC或PA＝AC时，x＝3或4.91，
当y1＝y2时，即PC＝AC时，x＝5.77，
综上所述，满足条件的x的值为3或4.91或5.77．
故答案为：3或4.91或5.77．
23．（11分）在Rt△ABC中与Rt△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BAC＝∠DEC＝30°，AC＝DC＝，将Rt△DCE绕点C顺时针旋转，连接BD，AE，点F，G分别是BD，AE的中点，连接CF，CG．
（1）观察猜想
如图1，当点D与点A重合时，CF与CG的数量关系是　CG＝CF　，位置关系是　CF⊥CG　；
（2）类比探究
当点D与点A不重合时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请仅就图2的情形给出证明；如果不成立，请说明理由．
（3）问题解决
在Rt△DCE旋转过程中，请直接写出△CFG的面积的最大值与最小值．

【分析】（1）观察猜想
由直角三角形的性质可得AE＝2DC＝2，AC＝BC＝，AB＝2BC，∠CDE＝60°，可求BC＝1，AB＝2，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求CG＝AE＝，∠GDC＝∠GCD＝60°，∠ACF＝∠FAC＝30°，CF＝AB＝1，CF＝AF，可得CG＝CF，CF⊥CG；
（2）类比探究
通过证明△BCD∽△ACE，可得，∠CAE＝∠CBD，通过证明△ACG∽△BCF，可得，∠BCF＝∠ACG，可得结论；
（3）问题解决
延长BC至H，使BC＝CH＝1，连接DG，由三角形中位线定理可得CF＝DH，由三角形面积公式可求△CFG的面积＝DH2，由题意可得点D在以点C为圆心，为半径的圆上，则当点D在射线HC的延长线上时，DH有最大值为+1，可求△CFG的面积最大值，当点D在射线CH的延长线上时，DH有最小值为﹣1，可求△CFG的面积最小值．
【解答】解：（1）观察猜想
∵在Rt△ABC中与Rt△DCE中，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BAC＝∠DEC＝30°，AC＝DC＝，
∴AE＝2DC＝2，AC＝BC＝，AB＝2BC，∠CDE＝60°，
∴BC＝1，AB＝2，
∵点F，G分别是BD，AE的中点，
∴CG＝AE＝，CG＝AG，CF＝AB＝1，CF＝AF，
∴CG＝CF，∠GDC＝∠GCD＝60°，∠ACF＝∠FAC＝30°，
∴∠FCG＝90°，
∴CF⊥CG，
故答案为：CG＝CF，CF⊥CG；
（2）类比探究
仍然成立，
理由如下：
∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∠BAC＝∠DEC＝30°，AC＝DC＝，
∴∠BCD＝∠ACE，AC＝BC，CE＝CD，
∴＝，
∴△BCD∽△ACE，
∴，∠CAE＝∠CBD，
∵点F，G分别是BD，AE的中点，
∴BF＝BD，AG＝AE，
∴
∴△ACG∽△BCF，
∴，∠BCF＝∠ACG，
∴CG＝CF，∠ACB＝∠FCG＝90°，
∴CF⊥CG；
（3）问题解决
如图，延长BC至H，使BC＝CH＝1，连接DH，

∵点F是BD中点，BC＝CH＝1，
∴CF＝DH，
由（2）可知，CF⊥CG，
∴△CFG的面积＝×CF×CG＝CF2，
∴△CFG的面积＝DH2，
∴当DH取最大值时，△CFG的面积有最大值，当DH取最小值时，△CFG的面积有最小值，
∵CD＝，
∴点D在以点C为圆心，为半径的圆上，
∴当点D在射线HC的延长线上时，DH有最大值为+1，
∴△CFG的面积最大值＝（+1）2＝，
当点D在射线CH的延长线上时，DH有最小值为﹣1，
∴△CFG的面积最小值＝（﹣1）2＝．