安徽省、河南省皖豫联盟体2020-2021学年高二下学期期末考试联合调研数学（理科）试卷+Word版含解析

这是一份安徽省、河南省皖豫联盟体2020-2021学年高二下学期期末考试联合调研数学（理科）试卷+Word版含解析，共20页。试卷主要包含了选择题.，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．已知集合A＝{x|lg2x＞1}，B＝{x||x﹣1|＜2}，则A∪B＝（ ）
A．（2，3）B．（﹣1，3）C．（2，+∞）D．（﹣1，+∞）
2. 已知为虚数单位，若，则的共扼复数（ ）
A. B. C. D.
3. 已知椭圆的长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（ ）
A. 3B. 5C. 7D. 8
4．“x＞0”是“sinx＞0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，图象对应函数解析式可能是（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知－1，a，b，－4成等差数列，－1，c，d, e，－4成等比数列，则＝（ ）
A. B. －C. D. 或－
8．令（x+1）2020＝a1+a2x+a3x2+⋯+a2020x2019+a2021x2020（x∈R），则a2+2a3+⋯+2019a2020+2020a2021＝（ ）
A．2019•22019B．2019•22020C．2020•22019D．2020•22020
9．3男3女六位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的不同排法种数是（ ）
A．576B．432C．388D．216
10. （ ）
A. B. 8 C. D.
11. 已知实数a，b，c满足，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
12. 若函数有三个不同零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上．
13. 已知单位向量满足，则___________.
14．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x+2y的最小值为 ．
15．已知三棱锥P﹣ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，PB＝PC，，O1为△ABC的外接圆的圆心，，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为 ．
16．已知点M为双曲线在第一象限上一点，点F为双曲线C的右焦点，O为坐标原点，4|MO|＝4|MF|＝7|OF|，则双曲线C的离心率为 ；若MF，MO分别交双曲线C于P，Q两点，记直线PM与PQ的斜率分别为k1，k2，则k1k2＝ ．
三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分．
17．如图，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且．
（1）求△ACD的面积；
（2）若，求AB的长．
18．在2021年高考体检中，某校随机选取了20名男生，测得其身高数据如下（单位：cm）：
由于统计时出现了失误，导致5，6，7，8号的身高数据丢失，先用字母a，b，c，d表示，但是已知这4个人的身高都在（160，182）之间（单位：cm），且这20组身高数据的平均数为，标准差为s＝7．
（1）为了更好地研究本校男生的身高数据决定用这20个数据中在区间（﹣2s，+2s）以内的数据，重新计算其平均数与方差，据此估计，高校男生身高的平均值与方差分别为多少（方差保留两位小数）？
（2）使用统计学的观点说明，（﹣2s，+2s）以内的数据与原数据对比有什么特点（主要用平均数与方差进行说明）？
（参考公式：s2＝（xi﹣）2＝（xi2﹣n2））
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，AD＝3，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，且PA＝3．点M在棱PD上，且DM＝2MP，点N为BC中点．
（1）证明：直线MN∥平面PAB；
（2）求二面角C﹣PD﹣N的正弦值．
20．已知点P（﹣2，y0）为抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点，F为抛物线C的焦点，抛物线C在点P处的切线与y轴相交于点Q，且△FPQ面积为2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l经过（2，5）交抛物线C于M，N两点（异于点P），求证：∠MPN的大小为定值．
21．已知函数．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当λ＝2时，求证：f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立；
（3）求证：当x＞0时，（ex﹣1）ln（x+1）＞x2．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．在平面直角坐标系xOy中，直线l参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ＝4csθ．
（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点P坐标为（1，1），圆C与直线l交于A、B两点，求|PA|+|PB|的值．
23．已知函数f（x）＝|x+1|+2|x﹣a|．
（1）当a＝2时，求f（x）的最小值；
（2）若函数在区间[﹣1，1]上递减，求a的取值范围．
参考答案
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）.
1．已知集合A＝{x|lg2x＞1}，B＝{x||x﹣1|＜2}，则A∪B＝（ ）
A．（2，3）B．（﹣1，3）C．（2，+∞）D．（﹣1，+∞）
解：∵集合A＝{x|lg2x＞1}＝{x|x＞2}，
B＝{x||x﹣1|＜2}＝{x|﹣1＜x＜3}，
∴A∪B＝{x|x＞﹣1}＝（﹣1，+∞）．
故选：D．
2．已知i为虚数单位，若，则z的共轭复数＝（ ）
A．csθ﹣isinθB．csθ+isinθC．sinθ+icsθD．sinθ﹣icsθ
解：＝＝csθ﹣isinθ，
故z的共轭复数＝csθ+isinθ，
故选：B．
3．已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（ ）
A．4B．5C．7D．8
解：将椭圆的方程转化为标准形式为，
显然m﹣2＞10﹣m，即m＞6，
，解得m＝8
故选：D．
4．“x＞0”是“sinx＞0”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
解：当x＝时，sinx＝﹣1＜0，当x＝﹣时，sinx＝1＞0，
∴“x＞0”推不出“sinx＞0”；“sinx＞0”推不出“x＞0”；
故“x＞0”是“sinx＞0”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
5．10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲乙两人先后参加抽奖活动，每人从中不放回抽取一张奖券，甲先抽，乙后抽，在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率为（ ）
A． B． C． D．
解：根据题意，10张奖券中有4张“中奖”奖券，甲先抽，并且中奖，
此时还有9张奖券，其中3张为“中奖”奖券，
则在甲中奖条件下，乙没有中奖的概率P＝＝，
故选：B．
6．如图，图象对应的函数解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
解：根据题意，用排除法分析：
对于B，在区间（0，1）上，sinx＞0，csx＞0，x2＞0，（4x﹣4﹣x）＞0，则必有f（x）＞0，不符合题意，
对于C，其定义域为{x|x≠0}，不符合题意，
对于D，在区间（0，1）上，sinx＞0，＞0，必有f（x）＞0，不符合题意，
故选：A．
7．已知﹣1，a，b，﹣4成等差数列，﹣1，c，d，e，﹣4成等比数列，则＝（ ）
A．B．﹣C．D．或﹣
解：∵﹣1，a，b，﹣4成等差数列，
∴3（b﹣a）＝﹣4+1＝﹣3
∴d＝b﹣a＝﹣1
∵﹣1，c，d，e，﹣4五个实数成等比数列，
∴d2＝（﹣1）×（﹣4）＝4，d＝（﹣1）q2＜0，
∴d＝﹣2，
则＝．
故选：C．
8．令（x+1）2020＝a1+a2x+a3x2+⋯+a2020x2019+a2021x2020（x∈R），则a2+2a3+⋯+2019a2020+2020a2021＝（ ）
A．2019•22019B．2019•22020C．2020•22019D．2020•22020
解：∵（x+1）2020＝a1+a2x+a3x2+……+a2020x2019+a2021x2020，
∴2020（x+1）2019＝a2+2a3x+……+2019a2020x2018+2020a2021x2019，
令x＝1得，2020•22019＝a2+2a3+……+2019a2020+2020a2021，
故选：C．
9．3男3女六位同学站成一排，则3位女生中有且只有两位女生相邻的不同排法种数是（ ）
A．576B．432C．388D．216
解：根据题意，分2步进行分析：
①先将3名男生排好，有A33＝6种排法，排好后有4个空位，
②将女生分为1﹣2的两组，有C31＝3种分组方法，安排到4个空位中，考虑2个女生一组的顺序，有2×A42＝12种情况，则有3×24＝72种排法，
则有6×72＝432种不同排法，
故选：B．
10．（+x2）dx＝（ ）
A．B．C．8D．2π
解：＝＝＝2π．
故选：A．
11．已知实数a，b，c满足，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．b＞a＞cB．c＞b＞aC．b＞c＞aD．c＞a＞b
解：由＞60＝1，6＜8＝2，
故1＜a＜2，
b＝lg78+lg5649＝+≥2＝2＞2，
7b+24b＝25c≥2＞2×7×24＝336，
可得1＜c＜2，
由于a比c更靠近2一些，故a＞c，
所以b＞a＞c．
故选：A．
12．若函数f（x）＝（2ax+）lnx﹣（a﹣1）x3有三个不同的零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．（0，）
B．（1，）
C．（0，1）∪（1，）
D．（0，1）∪{}
解：令f（x）＝（2ax+）lnx﹣（a﹣1）x3＝0，
即2a•+（）2﹣（a﹣1）＝0，
设t＝g（x）＝，令g′（x）＝＝0，则x＝，即有g（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，则t＜g（）＝，
原方程可化为t2+2at﹣（a﹣1）＝0，设方程两根为t1＜t2，则0＜t2＜，t1＜0，
设h（t）＝t2+2at﹣（a﹣1），
则，解得1＜a＜，
故选：B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上．
13．已知单位向量满足，则＝ 90° ．
解：因为单位向量满足，
所以＝，所以5﹣4＝5，
所以＝0，所以＝90°．
故答案为：90°．
14．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝x+2y的最小值为 2 ．
解：设变量x、y满足约束条件，
在坐标系中画出可行域△ABC，A（1，1），B（3，1），C（2，0），
则直线z＝x+2y，过可行域内的点C（2，0）时的最小值，
目标函数z＝x+2y的最小值为：2．
故答案为：2．
15．已知三棱锥P﹣ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，PB＝PC，PA＝，O1为△ABC的外接圆的圆心，cs∠PAO1＝，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为 14π ．
解：因为∠BAC＝90°，O1为△ABC的外接圆的圆心，
所以O1为BC的中点，则AO1＝，
因为AB＝AC＝2，PB＝PC，
所以BC⊥AO1，BC⊥PO1，又AO1∩PO1＝O1，AO1，PO1⊂平面PAO1，
所以BC⊥平面PAO1，又BC⊂平面ABC，
故平面ABC⊥平面PAO1，
作PH⊥平面ABC，垂足为H，因为P∈平面PAO1，则PH⊂平面PAO1，
又平面ABC∩平面PAO1＝AO1，则H∈AO1，
所以AH＝PAcs∠PAO1＝，
因为∠BAC＝90°，所以ABHC是矩形，
取PA的中点O，连结OO1，则OO1∥PH，从而OO1⊥平面ABC，
则点O即为三棱锥P﹣ABC也就是四棱锥P﹣ABHC的外接球的球心，
球的半径R＝，
所以三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为＝14π．
故答案为：14π．
16．已知点M为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）在第一象限上一点，点F为双曲线C的右焦点，O为坐标原点，4|MO|＝4|MF|＝7|OF|，则双曲线C的离心率为 4 ；若MF，MO分别交双曲线C于P，Q两点，记直线PM与PQ的斜率分别为k1，k2，则k1k2＝ 15 ．
解：设M（x0，y0），由已知可得，4|MO|＝4|MF|＝7|OF|＝7c，
则，＝，即M（），
把M代入双曲线方程，可得，
即4b2c2﹣45a2c2＝16a2b2，
又b2＝c2﹣a2，代入上式可得4c4﹣65a2c2+16a4＝0，
即4e4﹣65e2+16＝0，解得e2＝16或（舍），
所以双曲线C的离心率e＝4；
设P（x1，y1），则Q（﹣x0，﹣y0），
所以＝，
把P、M的坐标分别代入双曲线方程，得，
两式作差,可得，
由e＝4，得，即c2＝a2+b2＝16a2，所以．
∴k1k2＝15．
故答案为：4；15．
三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．（一）必考题：共60分．
17．如图，在四边形ABCD中，∠D＝2∠B，且AD＝2，CD＝6，csB＝．
（1）求△ACD的面积；
（2）若BC＝6，求AB的长．
解：（1）∵csB＝，0＜B＜π，可求：sinB＝．
∴sinD＝sin2B＝2sinBcsB＝．
∴S△ACD＝•AD•CD•sinD＝4．…
（2）∵AD＝2，CD＝6，csD＝2cs2B﹣1＝﹣，
∴在△ACD中，由余弦定理知，AC＝＝＝4，
∵在△ABC中，BC＝6，可得：csB＝＝＝，整理可得AB2﹣4AB+24＝0，
∴解得：AB＝2．…
18．在2021年高考体检中，某校随机选取了20名男生，测得其身高数据如下（单位：cm）：
由于统计时出现了失误，导致5，6，7，8号的身高数据丢失，先用字母a，b，c，d表示，但是已知这4个人的身高都在（160，182）之间（单位：cm），且这20组身高数据的平均数为，标准差为s＝7．
（1）为了更好地研究本校男生的身高数据决定用这20个数据中在区间（﹣2s，+2s）以内的数据，重新计算其平均数与方差，据此估计，高校男生身高的平均值与方差分别为多少（方差保留两位小数）？
（2）使用统计学的观点说明，（﹣2s，+2s）以内的数据与原数据对比有什么特点（主要用平均数与方差进行说明）？
（参考公式：s2＝（xi﹣）2＝（xi2﹣n2））
解：（1）由平均数为，标准差为s＝7，所以区间（﹣2s，+2s）＝（158，186），
不在该区间内的数据有158和186，剔除后，剩余18个数据，
其平均数为，
方差为：＝，
（2）（﹣2s，+2s）以内的数据与原数据对比，有以下特点：
①（﹣2s，+2s）以内的数据占总数据个数的90%，
说明该校90%左右的男生身高都在区间（158，186）以内；
②（﹣2s，+2s）以内的数据与原数据对比，平均数没变，即平均身高没有变化；
③原数据的方差为49，而（﹣2s，+2s）以内的数据的方差约为32.67，方差变小了，
说明剔除两个极端数据后，数据更趋于集中，更具有代表性．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，其中AD∥BC，AD＝3，AB＝BC＝2，PA⊥平面ABCD，且PA＝3．点M在棱PD上，且DM＝2MP，点N为BC中点．
（1）证明：直线MN∥平面PAB；
（2）求二面角C﹣PD﹣N的正弦值．
解：（Ⅰ）证明：如图，以A为原点，分别以方向为x，y，z轴方向建立空间直角坐标系，
由题意，可得A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），
D（0，3，0），P（0，0，3），M（0，1，2），N（2，1，0）．
显然，是平面ABP的一个法向量，，
故，即，
又因为MN⊄平面PAB，故直线MN∥平面PAB．
（Ⅱ）设平面PCD的法向量为，
又，
由，得取z＝2，可得．
由已知，可得．
设平面PDN的法向量为，有，
取z＝1，可得．
所以，
因此．
所以二面角C﹣PD﹣N的正弦值为．
20．已知点P（﹣2，y0）为抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点，F为抛物线C的焦点，抛物线C在点P处的切线与y轴相交于点Q，且△FPQ面积为2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l经过（2，5）交抛物线C于M，N两点（异于点P），求证：∠MPN的大小为定值．
解：（1）因为△FPQ面积为2．
所以|FQ|•2＝2，即|FQ|＝2，
x2＝2py即y＝的导数为y′＝，可得P处的切线的斜率为，
切线的方程为y﹣y0＝﹣（x+2），令x＝0，可得y＝y0﹣＝﹣＝﹣，
所以+＝2，解得p＝2，
所以抛物线的方程为x2＝4y；
（2）证明：设M（x1，），N（x2，），
设直线l的方程为y＝k（x﹣2）+5，
由可得x2﹣4kx+8k﹣20＝0，
所以x1+x2＝4k，x1x2＝8k﹣20，
因为P（﹣2，1），＝（x1+2，﹣1），＝（x2+2，﹣1），
所以•＝（x1+2）（x2+2）+（﹣1）（﹣1）
x1x2+2（x1+x2）+4+﹣+1
＝8k﹣20+8k+﹣+5＝0，
所以⊥，
所以∠PMN的大小为定值90°．
21．已知函数f（x）＝lnx+（λ∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当λ＝2时，求证：f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立；
（3）求证：当x＞0时，（ex﹣1）ln（x+1）＞x2．
【解答】（1）解：函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝﹣＝，
令g（x）＝x2﹣λx+1，△＝λ2﹣4，
当λ＜﹣2时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当﹣2≤λ≤2时，△≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当λ＞2时，△＞0，设方程g（x）＝0的两个根为x1，x2，且x1＜x2，则x1＝＞0，x2＝＞0，
当0＜x＜x1或x＞x2时，g（x）＞0，f′（x）＞0，当x1＜x＜x2时，g（x）＜0，f′（x）＜0，
故f（x）在（x1，x2）上单调递减，在（0，x1）和（x2，+∞）上单调递增．
综上，当λ≤2时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
当λ＞2时，f（x）在（，）上单调递减，在（0，）和（，+∞）上单调递增．
（2）证明：由（1）可得，当λ＝2时，f（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以f（x）＞f（1）＝0，故f（x）＞0在（1，+∞）上恒成立．
（3）证明：由（2）知，当x＞1时，lnx＞，当x＞0时，ln（x+1）＞，
要证（ex﹣1）ln（x+1）＞x2，只需证（ex﹣1）＞x2，只需证ex＞x2+x+1，
令h（x）＝ex﹣x2﹣x﹣1（x＞0），h′（x）＝ex﹣x﹣1，
h″（x）＝ex﹣1＞0，所以h′（x）在（0，+∞）上为增函数，
所以h′（x）＞h′（0）＝0，
所以h（x）在（0，+∞）上为增函数，
h（x）＞h（0）＝0，即ex＞x2+x+1，
故当x＞0时，（ex﹣1）ln（x+1）＞x2．
（另解）要证当x＞0时，（ex﹣1）ln（x+1）＞x2，
即证＞，即证＞，
令m（x）＝，即证m[ln（x+1）]＞m（x），
m′（x）＝，令φ（x）＝（1﹣x）ex﹣1，φ′（x）＝﹣xex＜0，φ（x）在（0，+∞）上单调递减，
所以φ（x）＜φ（0）＝0，所以m′（x）＜0，所以m（x）单调递减，
又ln（x+1）＜x，
所以m[ln（x+1）]＞m（x），
所以当x＞0时，（ex﹣1）ln（x+1）＞x2，成立．
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．在平面直角坐标系xOy中，直线l参数方程为（t为参数）．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，圆C的方程为ρ＝4csθ．
（Ⅰ）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点P坐标为（1，1），圆C与直线l交于A、B两点，求|PA|+|PB|的值．
解：（Ⅰ）∵直线l参数方程为（t为参数）．
∴直线l消去参数t可得直线l的普通方程为x+y﹣2＝0，
∵圆C的方程为ρ＝4csθ，即ρ2＝4ρcsθ，
∴圆C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝4．
（Ⅱ）将直线l参数方程，代入（x﹣2）2+y2＝4，得t2+2﹣2＝0，
设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，
则t1+t1＝﹣2＜0，t1t2＝﹣2＜0，
∴|PA|+|PB|＝|t1﹣t2|＝＝4．
23．已知函数f（x）＝|x+1|+2|x﹣a|．
（1）当a＝2时，求f（x）的最小值；
（2）若函数在区间[﹣1，1]上递减，求a的取值范围．
解：（1）当a＝2时，f（x）＝|x+1|+2|x﹣2|＝，
当x≤﹣1时，函数f（x）＝﹣3x+3≥f（﹣1）＝6，
当﹣1＜x＜2时，f（x）＝﹣x+5＞f（2）＝3，
当x≥2时，f（x）＝3x﹣3≥f（2）＝3，
综上所述函数f（x）的最小值为3；
（2）当a＜﹣1时，x≥﹣1时，f（x）＝x+1+2（x﹣a）＝3x+1﹣2a，函数单调递增，与题意不符合，
当a≥﹣1时，f（x）＝，
∵f（x）在[﹣1，1]上单调递减，
则a≥1，
综上所述a的取值范围为[1，+∞）．
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
身高
168
167
165
186
a
b
c
d
178
158
序号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
身高
166
178
175
169
172
177
182
169
168
176
序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
身高
168
167
165
186
a
b
c
d
178
158
序号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
身高
166
178
175
169
172
177
182
169
168
176