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2021安徽省皖西南联盟高二上学期期末考试理科数学试题含答案
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2020年高二第一学期期末考试数学试题（理科）考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2. 请将各题答案填写在答题卡上.3. 本试卷主要考试内容：人教版必修2，必修3，选修2—1.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设命题：，，则为（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，2. 椭圆的短轴长为（ ）A. B. C. 3 D. 63. 某高中高二年级组织开展了“劳动美”社会实践活动，倡导学生回家帮父母做家务，体验父母的艰辛.某同学要在周一至周五任选两天做家务，则该同学连续两天做家务的概率为（ ）A. B. C. D. 4. 如图，在平行六面体中，与的交点记为.设，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）A. B. C. D. 5. 已知双曲线：经过点，则的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 6. 已知，，是三个不同的平面，是一条直线.（ ）A. 若，，则 B. 若，，则C. 若，，则 D. 若，，则7. 已知函数，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 充要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件8. 若双曲线：的实轴长与虚轴长的乘积等于离心率，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 9. 执行如图所示的程序框图，则输出的（ ）A. 153 B. 143 C. 133 D. 12310. 斜率为的直线与椭圆：相交于，两点，且过的左焦点，线段的中点为，的右焦点为，则的周长为（ ）A. B. C. D. 11. 在四面体中，，，，，则该四面体外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 12. 已知为直线：上一个定点，，为圆：上两个不同的动点.若的最大值为，则点的横坐标为（ ）A. B. C. D. 第Ⅱ卷二，填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13. 设向量，，，则实数________.14. 在中，已知，，若边所在的直线方程为，且边的中线所在的直线方程为，则过点且与直线平行的直线方程为__________.（用一般式表示）15. 某高中为了解学生课外知识的积累情况，随机抽取200名同学参加课外知识测试，测试共5道题，每答对一题得20分，答错得0分.已知每名同学至少能答对2道题，得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，现有下列四个结论：①该次课外知识测试及格率为；②该次课外知识测试得满分的同学有30名；③该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数；④若该校共有3000名学生，则课外知识测试成绩能得优秀的同学大约有1440名.其中所有正确结论的序号是________.16. 已知点是抛物线上一动点，则的最小值为________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知直线：与直线：垂直，且经过点.（1）求的方程；（2）若与圆：相交于，两点，求.18. 某企业投资两个新型项目，投资新型项目的投资额（单位：十万元）与纯利润（单位：万元）的关系式为，投资新型项目的投资额（单位：十万元）与纯利润（单位：万元）的散点图如图所示.（1）求关于的线性回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，若，两个项目都投资60万元，试预测哪个项目的收益更好.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.19. 如图，在正方体中，为的中点.（1）证明：平面.（2）若为底面的中心，求异面直线与所成角的余弦值.20. 如图，在中，，，，，，沿将点折至处，使得，点为的中点.（1）证明：平面.（2）求二面角的余弦值.21. 已知抛物线：和圆：交于，两点，且，其中为坐标原点.（1）求的方程；（2）过的焦点且不与坐标轴平行的直线与交于，两点，的中点为，的准线为，且，垂足为.证明直线，的斜率之积为定值，并求该定值.22. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，，且.（1）求的方程.（2）若，为上的两个动点，过且垂直轴的直线平分，证明：直线过定点.2020年高二第一学期期末考试数学试题参考答案（理科）一、选择题1. A ：，.2. B 因为，所以，则椭圆的短轴长.3. D 周一至周五任选两天的所有情况为（周一、周二）、（周一、周三）、（周一、周四）、（周一、周五）、（周二、周三）、（周二、周四）、（周二、周五）、（周三、周四）、（周三、周五）、（周四、周五），共10种，其中连续两天的有4种，故所求概率为.4. B .5. C 依题意可得，解得，则的渐近线方程为.6. D 若，，则或与相交，故A与B均不正确.若，，则可能与这两个平面的交线平行，故C不正确.若，，则，故D正确.7. A 若，则，因为，所以，故选A.8. C 的标准方程为，依题意可得，解得，则.9. B ∵，，∴，由算法的功能可知，输出的.10. C 易知直线的方程为，当时，，所以.设，，则，则，整理得，解得，则的周长为.11. D 由，，可知.因为，，所以，即.设的中点为，则，即四面体的外接球半径为，外接球表面积为.12. A 圆的标准方程为，其圆心，半径.因为点到的距离，所以与圆相离，所以当，分别为圆的切线时，最大，此时，所以.设，则，解得.二、填空题13. -6 因为，所以，解得.14. 设，则边的中点坐标为，代入，得.又，解得，则点的坐标为.因为，所以所求直线方程为，即.15. ①③ 由图可知及格率，故①正确.该次课外知识测试满分同学的百分比，名，故②错误.中位数为80分，平均数分，故③正确.，故①错误.16. 6 由，得，则的焦点为，准线为：.的几何意义是点到与点的距离之和，根据抛物线的定义点到的距离等于点到的距离，所以的最小值为.三、解答题17. 解：（1）依题意可得，解得，，故的方程为.（2）因为点到的距离，所以.18. 解：（1），，，则，故关于的线性回归方程为.（2）若项目投资60万元，则该企业所得纯利润的估计值为万元；若项目投资60万元，则该企业所得纯利润的估计值为万元.因为，所以可预测项目的收益更好.19.（1）证明：因为在正方体中，，所以，又平面，平面，所以平面.（2）解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，，，.因为，，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.20.（1）证明：由，，且，可得平面，因此.由，，得，因此，，由勾股定理可得.又因为点为的中点，所以，而，故平面.（2）解：因为，，所以平面，又，所以平面.如图，以为原点，建立空间直角坐标系，则，，，易知是平面的一个法向量.设平面的法向量为，则，即，令，得.，易知二面角为锐角，故二面角的余弦值为.21.（1）解：由为坐标原点，且，得直线的方程为，代入圆的方程，得，解得或，则.将点的坐标代入的方程，得，则，故的方程为.（2）证明：由（1）可知，：.设直线的方程为，联立，整理得，.设，，则，所以点的横坐标为，则，所以，故是定值，且定值为.22.（1）解：因为，所以，所以，又，所以，，故的方程为.（2）证明：由题意可知直线的斜率存在，，设直线的方程为，设，，由，得，则，且，.设直线，的倾斜角分别为，，则，，所以，即，所以，所以，化简可得，所以直线的方程为，故直线过定点.
2020年高二第一学期期末考试数学试题（理科）考生注意：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.2. 请将各题答案填写在答题卡上.3. 本试卷主要考试内容：人教版必修2，必修3，选修2—1.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设命题：，，则为（ ）A. ， B. ，C. ， D. ，2. 椭圆的短轴长为（ ）A. B. C. 3 D. 63. 某高中高二年级组织开展了“劳动美”社会实践活动，倡导学生回家帮父母做家务，体验父母的艰辛.某同学要在周一至周五任选两天做家务，则该同学连续两天做家务的概率为（ ）A. B. C. D. 4. 如图，在平行六面体中，与的交点记为.设，，，则下列向量中与相等的向量是（ ）A. B. C. D. 5. 已知双曲线：经过点，则的渐近线方程为（ ）A. B. C. D. 6. 已知，，是三个不同的平面，是一条直线.（ ）A. 若，，则 B. 若，，则C. 若，，则 D. 若，，则7. 已知函数，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 充要条件C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件8. 若双曲线：的实轴长与虚轴长的乘积等于离心率，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 9. 执行如图所示的程序框图，则输出的（ ）A. 153 B. 143 C. 133 D. 12310. 斜率为的直线与椭圆：相交于，两点，且过的左焦点，线段的中点为，的右焦点为，则的周长为（ ）A. B. C. D. 11. 在四面体中，，，，，则该四面体外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 12. 已知为直线：上一个定点，，为圆：上两个不同的动点.若的最大值为，则点的横坐标为（ ）A. B. C. D. 第Ⅱ卷二，填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13. 设向量，，，则实数________.14. 在中，已知，，若边所在的直线方程为，且边的中线所在的直线方程为，则过点且与直线平行的直线方程为__________.（用一般式表示）15. 某高中为了解学生课外知识的积累情况，随机抽取200名同学参加课外知识测试，测试共5道题，每答对一题得20分，答错得0分.已知每名同学至少能答对2道题，得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，现有下列四个结论：①该次课外知识测试及格率为；②该次课外知识测试得满分的同学有30名；③该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数；④若该校共有3000名学生，则课外知识测试成绩能得优秀的同学大约有1440名.其中所有正确结论的序号是________.16. 已知点是抛物线上一动点，则的最小值为________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知直线：与直线：垂直，且经过点.（1）求的方程；（2）若与圆：相交于，两点，求.18. 某企业投资两个新型项目，投资新型项目的投资额（单位：十万元）与纯利润（单位：万元）的关系式为，投资新型项目的投资额（单位：十万元）与纯利润（单位：万元）的散点图如图所示.（1）求关于的线性回归方程；（2）根据（1）中的回归方程，若，两个项目都投资60万元，试预测哪个项目的收益更好.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.19. 如图，在正方体中，为的中点.（1）证明：平面.（2）若为底面的中心，求异面直线与所成角的余弦值.20. 如图，在中，，，，，，沿将点折至处，使得，点为的中点.（1）证明：平面.（2）求二面角的余弦值.21. 已知抛物线：和圆：交于，两点，且，其中为坐标原点.（1）求的方程；（2）过的焦点且不与坐标轴平行的直线与交于，两点，的中点为，的准线为，且，垂足为.证明直线，的斜率之积为定值，并求该定值.22. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，，且.（1）求的方程.（2）若，为上的两个动点，过且垂直轴的直线平分，证明：直线过定点.2020年高二第一学期期末考试数学试题参考答案（理科）一、选择题1. A ：，.2. B 因为，所以，则椭圆的短轴长.3. D 周一至周五任选两天的所有情况为（周一、周二）、（周一、周三）、（周一、周四）、（周一、周五）、（周二、周三）、（周二、周四）、（周二、周五）、（周三、周四）、（周三、周五）、（周四、周五），共10种，其中连续两天的有4种，故所求概率为.4. B .5. C 依题意可得，解得，则的渐近线方程为.6. D 若，，则或与相交，故A与B均不正确.若，，则可能与这两个平面的交线平行，故C不正确.若，，则，故D正确.7. A 若，则，因为，所以，故选A.8. C 的标准方程为，依题意可得，解得，则.9. B ∵，，∴，由算法的功能可知，输出的.10. C 易知直线的方程为，当时，，所以.设，，则，则，整理得，解得，则的周长为.11. D 由，，可知.因为，，所以，即.设的中点为，则，即四面体的外接球半径为，外接球表面积为.12. A 圆的标准方程为，其圆心，半径.因为点到的距离，所以与圆相离，所以当，分别为圆的切线时，最大，此时，所以.设，则，解得.二、填空题13. -6 因为，所以，解得.14. 设，则边的中点坐标为，代入，得.又，解得，则点的坐标为.因为，所以所求直线方程为，即.15. ①③ 由图可知及格率，故①正确.该次课外知识测试满分同学的百分比，名，故②错误.中位数为80分，平均数分，故③正确.，故①错误.16. 6 由，得，则的焦点为，准线为：.的几何意义是点到与点的距离之和，根据抛物线的定义点到的距离等于点到的距离，所以的最小值为.三、解答题17. 解：（1）依题意可得，解得，，故的方程为.（2）因为点到的距离，所以.18. 解：（1），，，则，故关于的线性回归方程为.（2）若项目投资60万元，则该企业所得纯利润的估计值为万元；若项目投资60万元，则该企业所得纯利润的估计值为万元.因为，所以可预测项目的收益更好.19.（1）证明：因为在正方体中，，所以，又平面，平面，所以平面.（2）解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，设，则，，，.因为，，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为.20.（1）证明：由，，且，可得平面，因此.由，，得，因此，，由勾股定理可得.又因为点为的中点，所以，而，故平面.（2）解：因为，，所以平面，又，所以平面.如图，以为原点，建立空间直角坐标系，则，，，易知是平面的一个法向量.设平面的法向量为，则，即，令，得.，易知二面角为锐角，故二面角的余弦值为.21.（1）解：由为坐标原点，且，得直线的方程为，代入圆的方程，得，解得或，则.将点的坐标代入的方程，得，则，故的方程为.（2）证明：由（1）可知，：.设直线的方程为，联立，整理得，.设，，则，所以点的横坐标为，则，所以，故是定值，且定值为.22.（1）解：因为，所以，所以，又，所以，，故的方程为.（2）证明：由题意可知直线的斜率存在，，设直线的方程为，设，，由，得，则，且，.设直线，的倾斜角分别为，，则，，所以，即，所以，所以，化简可得，所以直线的方程为，故直线过定点.
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