安徽省皖豫联盟2023-2024学年高二上学期期中数学试卷（Word版附解析）

这是一份安徽省皖豫联盟2023-2024学年高二上学期期中数学试卷（Word版附解析），共18页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

数学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知A，B，C，D是空间中互不相同的四个点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】运用向量加法法则、减法法则计算即可.
详解】.
故选：B.
2. 直线的倾斜角是（ ）
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
【答案】C
【解析】
【分析】先求解出直线的斜率，然后根据倾斜角与斜率的关系求解出倾斜角的大小.
【详解】因为直线方程为，所以斜率，
设倾斜角为，所以，所以，
故选：C.
3. 经过点，且以为圆心的圆的一般方程为（ ）
A. B.
C D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据两点间的距离公式求出圆的半径，结合圆的标准方程与一般方程之间的转化，即可求解.
【详解】由题意得，圆的半径，
所以圆的标准方程为，
所以圆的一般方程为．
故选：A.
4. 设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线平行的条件和充分必要条件的概念可判断结果.
【详解】因为直线与直线平行的充要条件是且，解得或．
所以由充分必要条件的概念判断可知：“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件，
故选：A
5. 已知向量，若，且，则的值为（ ）
A. 0B. 4C. 0或4D. 1或4
【答案】C
【解析】
【分析】由向量的模求出的值，再由向量垂直求出的值，最后求出即可.
【详解】因为且，所以，解得，
又因为，所以，
当时解得，此时，
当时解得，此时，
故选：C
6. 已知椭圆的两个焦点为，，且焦距为4，点在上，若的最大值为25，则的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由椭圆定义利用不等式可知当时，取得最大值，可得，由焦距为4可知，即可得离心率.
【详解】由椭圆定义可得，
所以，当且仅当时，等号成立．
由题可知的半焦距，
所以离心率．
故选：B
7. 若直线与曲线有且仅有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作出曲线，它是半圆，直线过定点，由图可知四条直线产生临界条件，两条过半圆的两个端点，两条是半圆的切线，求出其斜率后可得结论．
【详解】直线过定点，
又曲线可化为：，，
画出直线与曲线图象如图所示：
数形结合可得直线在，，，处产生临界条件，
设直线，，，的斜率分别为
则
设直线的方程为，
圆心到直线的距离为，解得舍去或，
要使两图象有个不同交点，则
故选：D．
8. 已知椭圆的一个焦点和一个顶点在圆上，则该椭圆的离心率不可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出圆与坐标轴的公共点，再分情况讨论结合椭圆的离心率公式即可得解.
【详解】设椭圆的半焦距为，
中，
令，则，令，则或，
故圆与坐标轴的公共点为，，，
又椭圆的焦点在轴上，
①若椭圆的上顶点为，左焦点为或，即，或，
则或，离心率或；
②若椭圆的左顶点为，左焦点为，则，，离心率，
综上所述，该椭圆的离心率为或或.
故选：C
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 过点且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用截距式的求法，讨论截距的绝对值相等的情况，在进行截距式假设时，分截距为0，截距不为0进行假设.
【详解】当直线的截距不为0时，设直线的截距式方程为，
由题可得
所以或
解得或
所以直线方程为或，故A，C正确；
当直线的截距为0时，设直线方程为，
由题可知，故直线方程为，D正确．
故选：ACD
10. 下列结论中正确的是（ ）
A. 若，分别为直线l，m的方向向量，则
B. 若为直线的方向向量，为平面的法向量，则或
C. 若，分别为两个不同平面，的法向量，则
D. 若向量是平面的法向量，向量，，则
【答案】BD
【解析】
【分析】由直线的方向向量垂直得直线垂直，由直线的方向向量与平面的法向量垂直得直线与平行的位置关系，由两平面的法向量平行得平面平行，由平面的法向量与平面内的向量垂直得参数关系，从而判断各选项．
【详解】，，，
直线与不垂直，故A错误；
，或，故B正确；
，与不共线，不成立，故C错误；
由题可知即解得，故D正确．
故选：BD.
11. 已知圆与圆，则下列说法正确的是（ ）
A. 圆的圆心恒在直线上
B. 若圆经过圆的圆心，则圆的半径为
C. 当时，圆与圆有条公切线
D. 当时，圆与圆的公共弦长为
【答案】BC
【解析】
【分析】先将圆的方程化为标准方程，由此即可判断A；将圆的圆心坐标代入圆的方程即可求出参数，从而可得圆的半径，由此即可判断B；判断此时两圆的位置关系即可判断C；先求出公共弦方程，然后由圆的弦长公式计算判断D即可.
【详解】，即，
所以圆的圆心为，恒在直线上，故选项A错误
因为的圆心为在圆上，所以，解得，所以的半径为，故选项B正确；
当时，圆：，圆心为，半径为，
此时圆与圆的圆心距，即大于两圆半径和，
所以圆与圆外离，圆与圆有条公切线，故选项C正确；
当时，圆，圆，两圆相交，
公共弦方程为，圆的圆心到公共弦的距离，
所以圆与圆的公共弦长为，故选项D错误，
故选：BC．
【点睛】关键点点睛：对于ABD选项的判断比较常规，关键是判断C时，只需要判断两圆的位置关系即可.
12. 法国数学家蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以坐标原点为圆心，为半径的圆，这个圆称为蒙日圆．若矩形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是（ ）
A. 的蒙日圆的方程为
B. 若为正方形，则的边长为
C. 若圆与的蒙日圆有且仅有一个公共点，则
D. 过直线上一点作的两条切线，切点分别为，，当为直角时，直线（为坐标原点）的斜率为
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据已知定义可判断A项，由正方形的对角线为的蒙日圆的直径列方程即可判断B项，由两圆外切列方程即可判断C项，由点在直线与椭圆C的蒙日圆的交点处，列方程组求交点即可判断D项.
【详解】对于A项，由题可知的蒙日圆的半径为，则蒙日圆的方程为，故A项正确；
对于B项，若为正方形，则为的蒙日圆的内接正方形，
设正方形的边长为，由题可知，解得，故B项正确；
对于C项，易知点在圆外部，所以若圆与的蒙日圆有且仅有一个公共点，则两圆外切，
所以，解得，故C项正确；
对于D项，如图所示，

因为为直角，且、是椭圆C的两条切线，
所以在椭圆C的蒙日圆上，
又因为在直线：上，
所以点在直线与椭圆C的蒙日圆的交点处.
设直线与圆交于A，B两点，
联立，可得或，
不妨设，，
所以当点与点A或B重合时，为直角，且，，
所以直线的斜率为或0，故D项错误．
故选：ABC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知平面的一个法向量为，点，在平面内，则__________．
【答案】6
【解析】
【分析】根据法向量定义列式求参即可.
【详解】因为，且，所以，解得．
故答案为：6.
14. 椭圆的右焦点到直线的距离是__________．
【答案】##
【解析】
【分析】由椭圆方程可得右焦点为，代入点到直线距离公式即可得出结果.
【详解】由题可知椭圆的右焦点坐标为，
所以右焦点到直线的距离是．
故答案为：
15. 已知是圆上的动点，，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】由的几何意义可知其表示圆上的点与点所在直线的斜率，求出过点A的切线的斜率，结合图象即可求得结果.
【详解】设，由题知圆的圆心为，半径，表示直线的斜率，
不妨设过点A的圆的切线方程为，
则圆心到切线的距离，解得或，
结合图可知，实数的取值范围为.
故答案为：.
16. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上异于顶点的一点，为坐标原点，为线段的中点，的平分线与直线交于点，当四边形的面积为时，__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据定义结合中位线及面积公式计算正弦值即可.
【详解】
由题可知，．
因为平分，所以到，的距离相等，
设为，则．
易知是的中位线，延长，交于点，则为的中点，
过作于，
易得，则，从而．
故答案为：
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知圆经过，两点．
（1）求圆的半径；
（2）判断圆（且）与圆的位置关系．
【答案】（1）2 （2）圆与圆外离
【解析】
【分析】（1）根据已知条件可求得a、b的值，再将圆的一般方程标准化后即可求得结果.
（2）比较两圆心距与即可判断.
【小问1详解】
由题可得，解得，
所以圆的一般方程为，则标准方程为，
故圆的半径为2．
【小问2详解】
由（1）可知圆的圆心．半径，
又圆N的圆心，半径，
所以，，
又因为，所以，
所以圆与圆外离．
18 已知直线和圆．
（1）求与直线垂直且经过圆心的直线的方程；
（2）求与直线平行且与圆相切的直线的方程．
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）先根据垂直关系设直线,再结合直线过圆心求参即可;
（2）先根据平行设直线方程，再根据圆心到直线距离为半径求参得出直线方程.
【小问1详解】
设与直线垂直的直线的方程为．
圆可化为，圆心为，
因为直线经过圆心，所以，即，
故所求直线的方程为．
【小问2详解】
设与直线平行的直线的方程为．
因为直线与圆相切，
所以圆心到直线的距离等于半径，即，
所以或10，
故所求直线的方程为或．
19. 已知空间中三点，，.设，.
（1）求；
（2）若与互相垂直，求实数的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出向量的坐标，然后利用向量模的计算公式求解即可；
（2）先求出两向量的坐标，再利用垂直的坐标形式列式求解即可.
【小问1详解】
，，，，，
，，
于是，
.
【小问2详解】
，
，
又与互相垂直，，
即，
，解得.
20. 已知圆的圆心在坐标原点，面积为．
（1）求圆的方程；
（2）若直线，都经过点，且，直线交圆于，两点，直线交圆于，两点，求四边形面积的最大值．
【答案】（1）
（2）14
【解析】
【分析】（1）根据面积解出半径，再应用圆的标准方程即可；
（2）根据几何法求出弦长，再应用面积公式计算，最后应用基本不等式求最值即可.
【小问1详解】
由题可知圆的圆心为，半径．
所以圆的方程为．
【小问2详解】
当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，圆心到直线的距离为，
则，，
同理可得，
则，
当且仅当，即时等号成立．
当直线的斜率不存在时，，，
此时．
当直线的斜率为0时，根据对称性可得．
综上所述，四边形面积的最大值为14．
21. 如图，在直三棱柱中，，为棱的中点，，二面角的大小为．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
【解析】
【分析】（1）连接交于点，连接，则，再由线面平行的判定定理证明即可得；
（2）由题意以为原点，分别以直线，，为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．设，分别求出平面和平面的法向量，由二面角的向量公式求出，再求出直线的方向向量由线面角的向量公式求解即可.
【小问1详解】
如图，连接交于点，连接，显然是的中点，
因为为的中点，所以为的中位线，，
而平面，平面，所以平面．
【小问2详解】
设的中点为，连接并延长交于点．
因为，所以，于是有．
因为三棱柱是直三棱柱，所以平面平面，
而平面平面，所以平面．
因为侧面是矩形，所以．
以为原点，分别以直线，，为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设，则，，，
于是，．
设平面的法向量为，
则有即令，可得．
易知平面的一个法向量为．
因为二面角的大小为，所以，
即，解得（负值舍去）．
故，，．
设直线与平面所成的角为，
则，即直线与平面所成角的正弦值为．
22. 已知圆的圆心为（且），，圆与轴、轴分别交于，两点（与坐标原点不重合），且线段为圆的一条直径．
（1）求证：的面积为定值；
（2）若直线经过圆的圆心，求圆的方程；
（3）在（2）的条件下，设是直线上的一个动点，过点作圆的切线，，切点为，，求线段长度的最小值．
【答案】（1）证明见解析；
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求出圆的方程，分别令，求出，，即可求出的面积，即可证明；
（2）因为直线经过圆的圆心，所以，结合，即可解出，可求出求圆的方程；
（3）由题意可得然P，G，C，H四点共圆，且为该圆的一条直径，设这四点所在的圆为圆，可得圆的方程，由点到直线的距离、圆的弦长公式表示出，再由二次函数的性质即可求出求线段长度的最小值.
【小问1详解】
设圆的方程为，由题可知点在圆上，
则圆的方程为，
整理得，
因为圆与轴、轴分别交于，两点（与坐标原点不重合），
令，解得：；令，解得：；
则，．
所以，为定值．
【小问2详解】
因为直线经过圆的圆心，所以．
又，且，解得．
所以圆的方程为．
【小问3详解】
过点作圆的切线，，切点为，，
显然P，G，C，H四点共圆，且为该圆的一条直径，设这四点所在的圆为圆，，
则圆的方程为，
即，①
又圆的半径，方程可化为，②
①－②，得圆与圆的相交弦所在直线的方程为．
点到直线的距离，
所以，
所以当时，取得最小值，
故线段长度的最小值为．