安徽省六安市2020-2021学年高二（卓越、宏志班）上学期期中数学（理）试题人教A版

这是一份安徽省六安市2020-2021学年高二（卓越、宏志班）上学期期中数学（理）试题人教A版，共8页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 在空间中，下列命题不正确的是( )
A.若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点
B.若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线
C.若既在平面内，又在平面内，且，则在上
D.任意三点能确定一个平面

2. 下列命题中，正确的是( )
A.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
B.侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥
C.侧面都是矩形的直四棱柱是长方体
D.棱台各侧棱的延长线交于一点

3. 下列命题，能得出直线m与平面α平行的是（）
A.直线m与平面α内所有直线平行
B.直线m与平面α内无数条直线平行
C.直线m与平面α没有公共点
D.直线m与平面α内的一条直线平行

4. 已知正方体的内切球(球与正方体的六个面都相切)的体积是，则该正方体的表面积为( )
A.B.C.D.

5. 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )

A.B.
C.D.

6. 直线，圆，则与在同一坐标系中的图形可能是( )
A.B.C.D.

7. 圆:与圆：的位置关系是( )
A.外离B.外切C.相交D.内切

8. 在空间直角坐标系中，点P(3, 4, 5)关于平面的对称点的坐标为( )
A.(−3, 4, 5)B.(−3, −4, 5)C.(3, −4, −5)D.(−3, 4, −5)

9. 若圆与圆关于直线l对称，则直线l的方程为( )．
A.B.C.D.

10. 如图是水平放置的的直观图，则的面积是( )

A.B.C.D.

11. 已知是两个不同平面，是两不同直线，下列命题中的假命题是( )
A.若，则
B.若，则
C.若，则
D.若，则

12. 过原点作圆的两条切线，设切点分别为、，则线段的长为( )
A.B.C.D.
二、填空题

如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，
①BM // 平面DE；②CN // 平面AF；③平面BDM // 平面AFN；④平面BDE // 平面NC

如图，在空间直角坐标系中，正方体的棱长为，，则点的坐标为________.


一块正方形薄铁片的边长为8cm，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形(如图)，用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的容积等于________cm3.


点在圆上，点在圆上，则的最小值是________.
三、解答题

已知圆台的上、下底面半径分别是和，高是.
（1）求圆台的表面积，

（2）求圆台的体积.

已知点和以为圆心的圆.
（1）求证：圆心在过点的定直线上，

（2）当为何值时，以为直径的圆过原点．

如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，S是B1D1的中点，E，F，G分别是BC，DC，SC的中点，求证：

（1）直线EG平面BDD1B1；

（2）平面EFG平面BDD1B1.

一个圆锥的底面半径为2，高为6，在其中有一个高为x的内接圆柱．
（1）用x表示圆柱的轴截面面积S；

（2）当x为何值时，S最大？

如图所示，四面体ABCD被一平面所截，截面EFGH是一个矩形.

（1）求证：CD // 平面EFGH.

（2）求异面直线AB，CD所成的角.

已知圆与圆相交于A，B两点.
（1）求公共线AB所在的直线的方程；

（2）求圆心在直线上，且经过A, B两点的圆的方程。
参考答案与试题解析
安徽省六安市2020-2021学年高二(卓越、宏志班)上学期期中数学(理)试题
一、单选题
1.
【答案】
D
【考点】
命题的真假判断与应用
平面的法向量
平面的基本性质及推论
【解析】
根据平面的基本性质，确定空间中点、线、面之间的位置关系，结合反证法、特例，推出或得到矛盾结论，判断各项命题的真
假．
【解答】
A：若两平面有一个公共点，则它们相交或重合，即有无数个公共点，正确；
B：假设四个点不共面，若任意三点共线，则该线与另一个点必共面，与题设矛盾，正确；
C:A既在平面α内，又在平面β内，且α∩β=b，则A∈b，正确；
D：若三点共线，则有无数个平面，错误；
故选：D．
2.
【答案】
D
【考点】
直线与平面平行的判定
棱锥的结构特征
棱柱的结构特征
【解析】
利用根据直棱柱、正棱锥、长方体和棱台的几何特征判断．
【解答】
A．若侧棱与底面两条平行的两边垂直，此时有两个侧面是矩形，但棱柱不一定是直棱柱，故错误；
B．一个菱形为底面的各侧面是等腰三角形的棱锥，但不是正棱锥，故错误；
C．侧面都是矩形，底面不是长方体的直四棱柱不是长方体，故错误；
D．棱台是由平行于相应棱锥的底面的平面截取而来，射影侧棱的延长线交于一点，故正确；
故选：D
3.
【答案】
C
【考点】
空间中直线与平面之间的位置关系
平面的基本性质及推论
平面与平面平行的判定
【解析】
本题考查空间线面关系的判定和性质．
解答：选项A不正确，直线m与平面α内所有直线不可能都平行，有可能异面．选项B不正确，缺条件mαα
选项C正确．
选项D不正确，缺条件mαα．故选C．
【解答】
此题暂无解答
4.
【答案】
C
【考点】
棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
球的表面积和体积
【解析】
根据正方体内切球直径与棱长相等，结合已知条件及球体体积公式求正方体的棱长，进而求正方体的表面积．
【解答】
正方体性质知：内切球的直径等于棱加
…由题意，43π⋅123=323π，得l=4
…正方体表面积S=62=96
故选：C．
5.
【答案】
D
【考点】
由三视图求体积
二次函数的应用
函数的最值及其几何意义
【解析】
对四个选项中几何体的正视图、侧视图、俯视图是否符合要求进行判断，可得出合适的选项．
【解答】
选项A的正视图、俯视图不符合要求，选项B的正视图、侧视图不符合要求，选项C俯视图不符合要求，
故选：D．
6.
【答案】
A
【考点】
一次函数的性质与图象
函数的概念及其构成要素
【解析】
先求出圆M的圆心和半径，可排除B，C选项，再由圆心的位置可得其横纵坐标的正负，从而可判断直线的位置．
【解答】
解：由|x2+y2−2ax+2by=0，得x−a2+x+b2=a2+b2
所以圆心Ma,−b，半径为a2+b2
由此可知圆M过坐标原点，所以排除B，C，
由选项A，D可知a>0,b<0
所以直线/：ax−y+b=0过一、三、四象限，
故选：A．
7.
【答案】
C
【考点】
圆与圆的位置关系及其判定
空间中直线与直线之间的位置关系
空间中的点的坐标
【解析】
求出圆心和半径，求出两圆的圆心距，与两圆的半径的和差比较大小可得结论．
【解答】
圆O1标准方程是x−12+y2=1，圆心为C11,0,r=1
圆O2标准方程是x2+y−22=4，圆心为C20,2,R=2
|O1O2|=12+22=5，而2−1<5≤2+1
…两圆相交．
故选：C．
8.
【答案】
A
【考点】
空间中的点的坐标
平面的法向量
空间直角坐标系
【解析】
由关于Oy平面对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等，即可得解．
【解答】
关于O2z平面对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等，所以点P3,4,5关于Oy平面的对称点的坐标为
−3,4,5．故选A．
9.
【答案】
A
【考点】
二次函数的应用
函数的最值及其几何意义
勾股定理
【解析】
首先根据已知的两圆的方程，求出其圆心坐标，
由于两圆关于直线！对称，则可得直线！为由两圆的圆心所构成的线段的垂直平分线，
求得两圆圆心的中点，并确定出两圆心所在的直线的斜率，即可得到直线！的斜率，再利用点斜式写出直线】的方程．
【解答】
两圆的圆心坐标为O0,0和C−2,2
所以C、O的中点为−2+02,0+22=−1,1，CO的斜率为2−0−2−0=−1
直线】为线段OC的垂直平分线，则直线】的斜率为1，且过点−1,1
所以直线】的方程是y−1=1×x−−1，即x−y+2=0
故选D．
10.
【答案】
A
【考点】
简单空间图形的三视图
象限角、轴线角
伪代码
【解析】
由直观图得到原图△OAB的形状和边长即得解．
【解答】
由直观图得到原图△OAB是一个直角三角形，且∠AOB=90∘,OA=6,OB=4
所以△OAB的面积是12×6×4=12
故选：A
11.
【答案】
D
【考点】
命题的真假判断与应用
空间中直线与平面之间的位置关系
空间中直线与直线之间的位置关系
【解析】
根据空间中的线线、线面、面面之间的位置关系逐一对选项进行判断即可．
【解答】
解：对于4，因为m//n,m⊥α，根据线面垂直性质知n⊥α，故A对；
对于B，因为m⊥α,n∈β，根据面面垂直判定知α⊥β，故B对；
对于C，因为m⊥α,m⊥β，根据面面平行定理知α//β，故C对；
对于D，因为m//α,α∩β=n，有m//n或”与”异面，故D错．
故选：D．
12.
【答案】
B
【考点】
直线的斜率
与圆有关的比例线段
圆的切线方程
【解析】
由圆的方程确定圆心C、半径r，根据切线段长与半径r、OC的几何关系，求切线段长，利用相似等比例求切点弦PQ的长即可．
【解答】
由题意，x2+y2−6x−8y+20=0可化为x−32+y−42=5
…圆心C3,4，半径r=5，则有OC=5，故切线段长l=OC2−r2=25
若线段PQ的长为=，则x2⋅0C=l.，得x=4
故选：B．
二、填空题
【答案】
①③③④
【考点】
直线与平面平行的判定
棱柱的结构特征
空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】
还原得正方体ABCD−EMN，可得BM在右侧面与左侧面ED平行，即可判断①；
CN与BE平行，可判断②；运用面面平行的判定定理可判断③④．
【解答】
展开图可以折成如图(1)所示的正方体．
（1）(2)(3)
在正方体中，连接AN，如图(2)所示，因为ABIIMN，且AB=MN，所以四边形ABMN是平行四边形．所以BMIAN．因为AN⊂
平面DE，BM⧸平面DE，所以BMII平面DE．同理可证CNII平面Δt，所以a)正确；如图（3）所示，可以证明BMII平面
AFN，BDI平面AFN，进而得到平面BDMII平面AFN，同理可证平面BDEII平面NCF，所以③④正确．
故答案为①②③④
【答案】
I加加2,2,1
【考点】
空间中的点的坐标
空间直角坐标系
中点坐标公式
【解析】
由题意，过P作PE⊥BD于E，过E作EF⊥CD,EG⊥AD于F、G，根据正方体的性质知：PE=13DD′
GE=23AB,EF=23BC，即可确定P的坐标
【解答】
过P作PE⊥BD于E，过E作EF⊥CD,EG⊥AD于F、G
正方体ABCD−A′B′C′的棱长为3，BP=13BD′
PE=13DD′=1GE=23AB=2,EF=23BC=2
P2,2,1
故答案为：2,2,1
【答案】
【答案8153π
【考点】
几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）
球的表面积和体积
由三视图求体积
【解析】
由题意知扇形弧长为圆锥底面半径，正方形边长为其母线，即可求圆锥体的底面半径和高，进而求其体积即可．
【解答】
用这块扇形铁片围成一个圆锥筒，则其母线长为8cm，若其底面半径为r，
2πr=14×2×8π=4π，即r=2cm，则圆锥的高ℎ=82−r2=215cm
…圆锥筒的容积V=13π2ℎ=8153πcm3.
故答案为：8153π
【答案】
35−3−6
【考点】
基本不等式
点到直线的距离公式
两点间的距离公式
【解析】
由圆的方程确定圆心坐标及其半径，得圆心距/O1O2，进而判断两圆位置关系，由P、○在圆上运动过程中，当P、♀与
O1,O2共线且处在O1,O2之间时|PQ|的最小，即可求最小值．
【解答】
两圆方程可化为x−42+y−22=9和x+22+y+12=6
…它们的圆心分别是O14,2和O2−2,−1，半径分别为r1=3,r2=6
则，圆心距/O2O2=14−−2]2+[2−−1]2=35，易知两圆相离，
|PQ|的最小值为两圆圆心距减去两圆的半径，即d=OO1O2|−r1−r7=35−3−6
故答案为：35−3−6
三、解答题
【答案】
（1）S=5+32π；
（2）V=73π
【考点】
圆台表面积的有关计算
【解析】
（1）圆台的表面积等于大圆锥侧面积减去小圆锥侧面积的差、上底面、下底面之和，结合圆的面积、圆锥侧面积公式，求值即
可；
（2）圆台的体积等于大圆锥体积减去小圆锥体积，结合圆锥的体积公式，求值即可；
【解答】
（1）圆台的表面积
S=π⋅OD2+π⋅OC2+12⋅PC⋅2⋅π⋅OC−12⋅PD⋅x⋅O′D=π+4π+42π=5+32π
（2）圆台的体积V=13⋅PO⋅π⋅OC2−13⋅PO′⋅π⋅O′D′=8π3−π3=7π3
【答案】
（1）证明见解析；
（2）m=211
【考点】
圆的标准方程
直线与圆的位置关系
直线的斜率
【解析】
（1）圆心♀的坐标为m−1,3m，则圆心？在过点P的定直线y=3x+3上；
（2）以P、Q为直径的圆过原点，则OP⊥OQ利用斜率计算即可．
【解答】
（1）由题可知圆心Ω的坐标为m−1,3m
令x=m−1y=3m消去”，得y=3x+3
直线y=3x+3过点P−2,−3
…圆心？在过点P的定直线y=3x+3上
（2）以P、Q为直径的圆过原点，
OP⊥OQ
32⋅3mm−1=−1
m=211
即当m=211时，以P、Q为直径的圆过原点．
【答案】
（1）证明见解析；
（2）证明见解析．
【考点】
直线与平面平行的判定
棱柱的结构特征
直线与平面所成的角
【解析】
（1）连接SB，因为E，G分别是BC，SC的中点，贝加6//5，从而可证．
（2）连接SD，因为F，G分别是DC，SC的中点，所以FG//SD,FG/平面BDD1B1，由（1）有直线:G/平面BDD1|1；从而可
证．
【解答】
（1）如图，连接SB，因为E，G分别是BC，SC的中点，
所以EF/SB
又因为SB=平面BDD1BEG/平面BDD1B
所以直线t6//平面BDD1B1
（2）连接SD，因为F,G分别是DC，SC的中点，
所以FG//SD.
又因为SD⊂平面BD⊥1B1,FG​¯平面BDD1B1
所以{FG//平面BDD1B
由（1）有直线EG平面BDD1B1
又EG=平面EFGFG⊂平面EFG,EGFG=6
所以平面EFG/平面BD⊥1B
【答案】
（1）S=−23x2+40（2）当|x=3时，S最大，最大值为6.
【考点】
基本不等式
基本不等式在最值问题中的应用
柱体、锥体、台体的面积求解
【解析】
（1）画出圆锥的轴截面，将空间问题转化为平面问题，然后根据相似三角形的性质和比例的性质，得出内接圆柱底面半
径r与x关系式即可
（2）根据二次函数的性质易得到其最大值，及对应的x的值．
详解：
画出圆柱和圆锥的轴截面，
如图所示，
gr
设圆柱的底面半径为r，则由三角形相似可得
x6=2−r2，解得r=2−x3
(①)圆柱的轴截面面积
S=2r=2⋅2−π3=−23x2+440(2)∵S=−23x2+4x=−23x2−6x
=−23x−32+6
…当x=3时，S最大，最大值为6.
【解答】
此题暂无解答
【答案】
（1）见解析；
（2）90∘
【考点】
异面直线及其所成的角
直线与平面所成的角
柱体、锥体、台体的体积计算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
（1）根据线线平行EFIGH，可得线面平行EFII平面BCD，再得线线平行EFICD，可证线面平行CDI平面
EFGH；
（2）由（1）知CDIIEF，同理ABIFG，由异面直线所成角的定义知，2EFG即为所求，所以是直角．
试题解析：
（1）因为截面EFGH是矩形，所以EFIGH，又GHc平面BCD，EFa平面BCD，所以EFI平面BCD．
而EFc平面ACD，平面iACD平面BCD=CD，所以EFIICD，又EFc平面EFGH，CDa平面EFGH，
所以CDI平面EGH
（2）由(①)知CDIIEF，同理ABIFG，由异面直线所成角的定义知，∠EFG即为所求
故AB，CD所成的角为90∘.
【答案】
（1）x−2y+4=0,
（2）∪M:x+32+y−32=10
【考点】
圆与圆的位置关系及其判定
【解析】
（1）由两圆方程相减即得公共弦AB所在的直线方程；
（2）求出过C1,C2的直线与直线y=−x的交点，可得圆心坐标，求出圆心到AB的距离，可得半径，从而可得圆的方程
【解答】
（1）x2+y2+2x+2y−8=0x2+y2−2x+10y−24=0=x−2y+4=0
（2）由（1）得x=2y−4，代）x2+y2+2x+2y−8=0中得：y2−2y=0
x=−4y=0或x=0y=2，即A−4,0,B0,2
又圆心在直线y=−x上，设圆心为Mx,−x
则MAA|=|MB|，解得M−3,3
∴ ．Mx+32+y−32=10A．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．