山东省济宁市2020-2021学年八年级下学期期末数学试题（word版 含答案）

山东省济宁市2020-2021学年八年级下学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列二次根式中不是最简二次根式的是（　　）

A． B． C． D．

2．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（　　）

A．若AB＝AD，则▱ABCD是矩形

B．若AB＝AD，则▱ABCD是正方形

C．若AB⊥BC，则▱ABCD是矩形

D．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形

3．下列化简正确的是（　　）

A．＝4 B．＝﹣2021

C．﹣＝ D．

4．方程x2﹣9x+18＝0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形是周长是（　　）

A．12 B．15 C．12或15 D．9或18

5．如图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，且，则＝（　　）

A． B． C． D．

6．身高为1.8m的墨墨站在离路灯底部6m处时发现自己的影长恰好为2m，如图所示，则该路灯的高度是（　　）.

A．5.4m B．6m C．7.2m D．8m

7．如图，P是△ABC的边AC上一点，AB2＝AP•AC，∠A＝45°，∠ABC＝110°，则∠ABP的度数为（　　）

A．25° B．35° C．45° D．110°

8．已知α，β方程x2+3x﹣8＝0的两个实数根，则为x1、x2，则α2+β2的值为（　　）

A．﹣7 B．25 C．17 D．1

9．如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF＝90°，若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，则BG的长为（　　）

A．8.5 B．9 C．9.5 D．10

10．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M(2，0)，在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（　　）

A．(3，1)或(3，3) B．(3，)或(3，3)

C．(3，)或(3，1) D．(3，)或(3，1)或(3，3)

二、填空题

11．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．

12．已知，那么的值为_____．

13．若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是_________．

14．水果店销售某种水果，每千克可以获利20元，平均每天可售出100千克，若每千克的售价每降低2元，平均每天的销售量可增加20千克，水果店要确保平均每天获利2240元，且尽快减少水果的库存量，每千克的售价应降低________元．

15．如图，E是△ABC的中线AD上一点，CE的延长线交AB于点F，若AF＝2，ED＝3AE，则AB的长为________．

三、解答题

16．计算：．

17．解方程：x2+2x﹣3＝0．

18．已知平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的一元二次方程4x2﹣4ax+2a﹣1＝0的两个实数根．

（1）当a为何值时，四边形ABCD是菱形？求此时菱形的边长；

（2）当AD＝2时，求平行四边形ABCD的周长．

19．如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝260cm，AB＝130cm，球目前在E点位置，AE＝60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．求CF的长．

20．如图，在平行四边形ABCD中，连接对角线AC，延长AB至点E，使，连接DE，分别交BC，AC交于点F，G．

(1)求证：；

(2)若，，求FG的长．

21．如图，城市建设部门计划在城市广场的一块长方形空地上修建一个面积为1500的停车场，将停车场四周余下的空地修建成同样宽的通道，已知长方形空地的长为60，宽为40．

（1）求通道的宽度；

（2）某公司希望用60万元的承包金额承揽修建广场的工程，城建部门认为金额太高需要降价，通过两次协商，最终以48.6万元达成一致，若两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．

22．如图，在正方形ABCD中，点M是边BC上的一点（不与B、C重合），点N在CD的延长线上，且满足∠MAN＝90°，连接MN、AC，MN与边AD交于点E．

（1）求证：AM＝AN；

（2）如果∠CAD＝2∠NAD，求证：AN2＝AE•AC．

23．如图，已知矩形ABCD的边长AB＝3cm，BC＝6cm，某一时刻，动点M从点A出发沿AB方向以1cm/s的速度向点B匀速运动；同时，动点N从点D沿DA方向以2cm/s的速度向点A匀速运动．

（1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？

（2）是否存在时刻t，使A、M、N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．B

【分析】

根据最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式，由此判断各选项可得出答案．

【详解】

A、符合最简二次根式的条件，故本选项正确，不符合题意；

B、，不是最简二次根式，符合题意；

C、符合最简二次根式的条件，故本选项正确，不符合题意；

D、符合最简二次根式的条件，故本选项正确，不符合题意．

故选：B．

【点睛】

本题考查最简二次根式的知识，属于基础题，注意掌握二次根式的满足的两个条件．

2．C

【分析】

根据矩形和正方形的判定定理逐项判断，即可解答．

【详解】

解：A、因为邻边相等的平行四边形是菱形，故A错误，不符合题意；

B、因为邻边相等的平行四边形是菱形，故B错误，不符合题意；

C、若AB⊥BC，则▱ABCD是矩形，故C正确，符合题意；

D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故D错误，不符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了矩形和正方形的判定，熟练掌握矩形和正方形的判定定理是解题的关键．

3．D

【分析】

根据二次根式的性质逐项化简，即可求解．

【详解】

解：A、＝2，故A错误，不符合题意；

B、＝2021，故B错误，不符合题意；

C、﹣＝ ﹣=，故C错误，不符合题意；

D、，故D正确，符合题意；

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．

4．B

【分析】

利用因式分解法求出方程的解得到x的值，分类讨论腰与底，利用三角形边角关系判断即可确定出周长．

【详解】

解：方程变形得：（x−3）（x−6）＝0，

解得：当x＝3或x＝6，

当3为腰，6为底时，三角形三边为3，3，6，不能构成三角形，舍去；

当3为底，6为腰时，三角形三边为6，6，3，周长为6＋6＋3＝15，

故选：B．

【点睛】

此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握分解因式的方法是解本题的关键．

5．A

【分析】

根据位似图像的性质得到对应成比例即可求解.

【详解】

∵四边形ABCD与四边形EFGH位似，其位似中心为点O，

∴，

∵，

∴=

故选A．

【点睛】

此题主要考查位似图形的性质，解题的关键是熟知相似三角形对应成比例.

6．C

【分析】

如图，设AB为小亮，CD为路灯，DB＝10米，利用相似三角形求得CD的长即可．

【详解】

如图，AB＝1.8m，DB＝6米，BE＝2米．

∵△EAB∽△ECD，∴，即：，解得：CD＝7.2米．

故选C．

【点睛】

本题考查了相似三角形在实际生活中的运用，根据题意画出图形，构造出相似三角形是解答此题的关键．

7．A

【分析】

先根据三角形内角和定理求得，由已知条件可证明，根据相似三角形的性质，即可求得．

【详解】

在中，，∠ABC＝110°，

AB2＝AP•AC，

故选A

【点睛】

本题考查了相似三角形的性质与判定，三角形内角和定理，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．

8．B

【分析】

根据韦达定理可得α＋β＝-3，αβ＝-8，再根据完全平方公式变形即可求解．

【详解】

解：∵α，β方程x2+3x﹣8＝0的两个实数根，

∴α＋β＝-3，αβ＝-8，

∴α2+β2=（α＋β）2-2αβ＝9+16=25，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查根与系数的关系，若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，则x1＋x2＝− ，x1x2＝．

9．D

【分析】

由正方形的性质以及已知条件证明，进而求得，再根据，求得，最后根据即可求得．

【详解】

四边形是正方形，

,，

，

，

，

，

，

解得：

，

解得，

．

故选D．

【点睛】

本题考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．

10．D

【分析】

由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°，设P（3，a），则AP＝a，BP＝4−a；分两种情况：①若∠CPM＝90°，②若∠CMP＝90°，根据勾股定理分别求出CP2、MP2、CM2，并根据图形列出关于a的方程，解得a的值，则可得答案．

【详解】

解：由题意可知，“智慧三角形”是直角三角形，∠CPM＝90°或∠CMP＝90°，

∴设P（3，a），则AP＝a，BP＝4−a；

①若∠CPM＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：

CP2＝BP2＋BC2＝（4−a）2＋9，

在Rt△MPA中，由勾股定理得：

MP2＝MA2＋AP2＝1＋a2，

在Rt△MPC中，由勾股定理得：

CM2＝MP2＋CP2＝1＋a2＋（4−a）2＋9＝2a2−8a＋26，

又∵CM2＝OM2＋OC2＝4＋16＝20，

∴2a2−8a＋26＝20，

∴（a−3）（a−1）＝0，

解得：a＝3或a＝1，

∴P（3，3）或（3，1）；

②若∠CMP＝90°，在Rt△BCP中，由勾股定理得：

CP2＝BP2＋BC2＝（4−a）2＋9，

在Rt△MPA中，由勾股定理得：

MP2＝MA2＋AP2＝1＋a2，

∵CM2＝OM2＋OC2＝20，

在Rt△MCP中，由勾股定理得：

CM2＋MP2＝CP2，

∴20＋1＋a2＝（4−a）2＋9，

解得：a＝．

∴P（3，）．

综上，P（3，）或（3，1）或（3，3）．

故选：D．

【点睛】

本题考查了矩形的性质及勾股定理在几何图形坐标计算中的应用，数形结合、分类讨论并根据题意正确地列式是解题的关键．

11．

【分析】

根据二次根式有意义的条件进行求解即可．

【详解】

在实数范围内有意义，

解得

故答案为：

【点睛】

本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件掌握是解题的关键．

12．

【分析】

设，代入求值即可．

【详解】

解：∵，

∴设，

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了分式的性质，解题关键是设参数，代入求值．

13．

【分析】

方程无实数根，则，建立关于k的不等式，即可求出k的取值范围．

【详解】

∵，，，

由题意知，，

解得：，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了一元二次方程（，为常数）的根的判别式．当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．

14．6

【分析】

设每千克的售价应降低元，依题意根据销售量×每件利润=2240，列出一元二次方程，解方程，根据题意即可求得答案．

【详解】

设每千克的售价应降低元，依题意得：

整理得：

解得．

由题意尽快减少水果的库存量，所以每千克水果应降价元．

故答案为：6．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．

15．14

【分析】

取BF的中点H，连接DH，取AD的中点Q，取AH的中点P，连接PQ，可得到DH为 的中位线， PQ是 的中位线，然后利用三角形的中位线定理，即可求解．

【详解】

解：如图，取BF的中点H，连接DH，取AD的中点Q，取AH的中点P，连接PQ，

∵AD是△ABC的中线，BF的中点H，

∴DH为 的中位线，

∴BH=FH，

∵ED＝3AE，

∴AD=4AE，

∵AD的中点Q，

∴AQ=2AE，即E为AQ的中点，

∵AH的中点P，

∴PQ是 的中位线，

∴PH=AP，

∴PQ∥DH，

∴PQ∥EF，

∴AP=2AF，

∵AH的中点P，

∵AF＝2，

∴PH=AP=4，PF=2，

∴BH=FH=PH+PF=6

∴AB=BH+FH+AF=14

故答案为：14．

【点睛】

本题主要考查了三角形的中位线定理，作适当的辅助线，构造三角形的中位线是解题的关键．

16．

【分析】

先利用完全平方公式，再结合二次根式的混合运算法则计算得出答案．

【详解】

解：原式

【点睛】

本题考查完全平方公式和二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式和二次根式的混合运算法则．

17．

【分析】

根据配方法解一元二次方程即可

【详解】

解得

【点睛】

本题考查了解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程是解题的关键．

18．（1）1，（2）5

【分析】

（1）根据菱形的性质，令一元二次方程的判别式等于0即可求得的值，再解方程即可；

（2）根据已知的解代入一元二次方程，求得的值，由根与系数的关系，即可求得平行四边形的周长．

【详解】

（1）由题意的两根是菱形的边长，

，

即，

解得，

则原方程为：，

解得，

时，四边形ABCD是菱形，此时菱形的边长为；

（2）平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的一元二次方程4x2﹣4ax+2a﹣1＝0的两个实数根，AD＝2，

，

解得，

当时，原方程为：，

即，

由题意平行四边形ABCD的周长为，

平行四边形ABCD的周长为

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，菱形的性质，解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握解一元二次方程是解题的关键．

19．91 cm

【分析】

利用“两角法”证得△BEF∽△CDF，利用相似三角形的对应边成比例来求线段CF的长度．

【详解】

解：如图，在矩形ABCD中：∠DFC＝∠EFB，∠EBF＝∠FCD＝90°，

∴△BEF∽△CDF；

∴，即，

解得：BF＝91．

即：BF的长度是91cm．

【点睛】

本题考查了相似三角形的应用．此题利用了“相似三角形的对应边成比例”推知所求线段BF与已知线段间的数量关系的．

20．(1)证明见解析；(2)FG=2.

【分析】

(1)由平行四边形的性质可得，，进而得，根据相似三角形的性质即可求得答案；

(2)由平行四边形的性质可得，进而可得，根据相似三角形的性质即可求得答案.

【详解】

(1)四边形ABCD是平行四边形，

，，

，

∴，

∵BE=AB，AE=AB+BE，

，

，

；

(2)四边形ABCD是平行四边形，

，

，

，即，

解得，．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质定理是解题的关键.

21．（1）5m  （2）10%

【分析】

（1）设通道宽度为xm，可求出停车场的长和宽，利用面积列方程求解即可；

（2）设每次降价的百分率为x，根据题意，列一元二次方程求解即可．

【详解】

解：（1）设通道宽度为xm，

依题意得(60-2x)(40-2x)=1500，即x2-50x+225=0

解得，(舍去)

答：通道的宽度为5m．   

（2）设每次降价的百分率为x，

依题意得60(1-x)2=48.6

解得，(舍去)

答：每次降价的百分率为10%．

【点睛】

本题考查的知识点是一元二次方程的实际应用，解此题的关键是找出题目中的等量关系式．

22．（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）根据已知条件，证明，可得

（2）由（1）的结论，求得，结合已知条件证明 即可得证．

【详解】

（1）四边形ABCD是正方形，

，

∠MAN＝90°，

，

，

，

，

．

（2），，

，

四边形ABCD是正方形，

，

，

∠CAD＝2∠NAD，

，

，

，

，

，

，，

，

，

．

【点睛】

本题考查了三角形全等的性质与判定，正方形的性质，相似三角形的性判定，掌握以上性质与判定是解题的关键．

23．（1）1秒或2秒，（2）存在，秒或秒

【分析】

（1）设经过秒后，根据的面积等于矩形面积的，得出方程解方程即可；（2）假设经过秒时，以为顶点的三角形与相似，分两种情况讨论，然后利用相似三角形的对应边成比例得出方程，解方程即可.

【详解】

解：（1）设经过秒后，的面积等于矩形面积的，

则有：，即，

解方程，得．

经检验，可知符合题意，所以经过1秒或2秒后，的面积等于矩形面积的．

（2）假设经过秒时，以为顶点的三角形与相似，

由矩形，可得，

因此有或，

即 ①，或 ②，

解①，得；解②，得，

经检验，或都符合题意，所以动点同时出发后，经过秒或秒时，以为顶点的三角形与相似．

【点睛】

本题考查了矩形的性质，一元二次方程的应用，相似三角形的性质，以及分类讨论的数学思想，分类讨论是解答本题的关键．