湖南省株洲市醴陵市2020-2021学年九年级上学期期末考试数学试卷（word版含答案）

2020-2021学年湖南省株洲市醴陵市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题只有一个正确答案，每小题4分，共40分）

1．将一元二次方程3x2＝﹣2x+5化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）

A．3、﹣2、5 B．3、2、﹣5 C．3、﹣2、﹣5 D．3、5、﹣2

2．2cos60°的值等于（　　）

A． B．1 C． D．

3．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0，配方后得到的方程是（　　）

A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝4 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝5

4．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（　　）

A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0

5．生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为（　　）

A．1.24米 B．1.38米 C．1.42米 D．1.62米

6．如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则▱ABCD的周长为（　　）

A．21 B．28 C．34 D．42

7．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60海里的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（　　）

A．30海里 B．60海里 

C．120海里 D．（30+30）海里

8．关于抛物线y＝（x﹣1）2﹣2，下列说法错误的是（　　）

A．开口方向向上 

B．对称轴是直线x＝1 

C．顶点坐标为（﹣1，﹣2） 

D．当x＞1时，y随x的增大而增大

9．在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（　　）

A．①处 B．②处 C．③处 D．④处

10．如图，已知正方形ABCD，E为AB的中点，F是AD边上的一个动点，连接EF，将△AEF沿EF折叠得△HEF，延长FH交BC于M，现在有如下5个结论：①△BEM≌△HEM；②△EFM一定是直角三角形；③当M与C重合时，有DF＝2AF；④MF平分正方形ABCD的面积；⑤；在以上5个结论中，正确的有（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）

11．点（2，3）　 　双曲线的图象上．（填“在”或“不在”）

12．已知，则代数式的值是　   　．

13．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m的最小整数值是　 　．

14．如图：在Rt△ABC，∠C＝90°，点D是AC边上的一点，DE垂直平分AB，垂足为E，若AC＝4，BC＝3，则线段DE的长度为　               　．

15．某市对九年级学生进行“综合素质”评价，评价结果分为A，B，C，D，E五个等级．现随机抽取了500名学生的评价结果作为样本进行分析，绘制了如图所示的统计图．已知图中从左到右的五个长方形的高之比为2：3：3：1：1，据此估算该市10000名九年级学生中“综合素质”评价结果为“A”的学生约为　     　人．

16．已知二次函数y＝4x2﹣mx+5，当x≤﹣2时，y随x的增大而减小；当x≥﹣2时，y随x的增大而增大，则当x＝1时，y的值为　   　．

17．设a、b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为　      　．

18．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（0，4），点C（3，n）在第一象限内，连接AC、BC．已知∠BCA＝2∠CAO，则n＝　               　．

三、解答题（本大题共8小题，共78分）

19．（8分）（1）计算：（﹣2）2+2sin60°﹣tan60°；

（2）解方程：x2﹣2x＝1．

20．（8分）对垃圾进行分类投放，能有效提高对垃圾的处理和再利用，减少污染，保护环境．为了调查同学们对垃圾分类知识的了解程度，增强同学们的环保意识，普及垃圾分类及投放的相关知识，某校数学兴趣小组的同学设计了“垃圾分类知识及投放情况”问卷，并在本校随机抽取部分同学进行问卷测试，把测试成绩分成“优、良、中、差”四个等级，绘制了不完整的统计图：

根据以上统计信息，解答下列问题：

（1）求成绩是“优”的人数占抽取人数的百分比；

（2）求本次随机抽取问卷测试的人数；

（3）请把条形统计图补充完整；

（4）若该校学生人数为4000人，请估计成绩是“优”和“良”的学生共有多少人？

21．（8分）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为了实现平均每月10000元的销售利润，商场决定采取调控价格的措施，扩大销售量，减少库存，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？

22．（8分）某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门．如图为该测温门截面示意图，已知测温门AD的顶部A处距地面高为2.2m，为了解自己的有效测温区间．身高1.6m的小聪做了如下实验：当他在地面N处时测温门开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30°；在地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°．求小聪在地面的有效测温区间MN的长度．（额头到地面的距离以身高计，计算精确到0.1m，≈1.73，≈1.41）

23．（10分）如图，在正方形ABCD中，E是边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF＝90°

（1）求证：△ABE∽△DEF；

（2）若AB＝6，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．

24．（10分）已知平行四边形ABCD的两邻边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+2＝0的两个实数根．

（1）若AB＝2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？

（2）当m为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长．

25．（13分）如图，直线y＝ax+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y＝（x＞0）相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC＝2，点A的坐标为（﹣2，0）．

（1）求一次函数的解析式；

（2）求双曲线的解析式；

（3）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于H，当以点Q、C、H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标．

26．（13分）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣2，0），且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点．

（1）求A，C两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．

2020-2021学年湖南省株洲市醴陵市九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题只有一个正确答案，每小题4分，共40分）

1．将一元二次方程3x2＝﹣2x+5化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）

A．3、﹣2、5 B．3、2、﹣5 C．3、﹣2、﹣5 D．3、5、﹣2

【分析】把原方程根据移项法则化为一般形式，根据一元二次方程的定义解答即可．

【解答】解：3x2＝﹣2x+5，

移项得，3x2+2x﹣5＝0，

则二次项系数、一次项系数、常数项分别为3、2、﹣5，

故选：B．

2．2cos60°的值等于（　　）

A． B．1 C． D．

【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．

【解答】解：2cos60°＝2×＝1．

故选：B．

3．用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0，配方后得到的方程是（　　）

A．（x﹣2）2＝1 B．（x﹣2）2＝4 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝5

【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得．

【解答】解：∵x2﹣4x＝1，

∴x2﹣4x+4＝1+4，即（x﹣2）2＝5，

故选：D．

4．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝的图象上的两点，若x1＜0＜x2，则下列结论正确的是（　　）

A．y1＜0＜y2 B．y2＜0＜y1 C．y1＜y2＜0 D．y2＜y1＜0

【分析】把点的坐标代入解析式，根据条件可判断出y1、y2的大小关系．

【解答】解：

∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝的图象时的两点，

∴x1y1＝x2y2＝3，

∵x1＜0＜x2，

∴y1＜0＜y2，

故选：A．

5．生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为（　　）

A．1.24米 B．1.38米 C．1.42米 D．1.62米

【分析】根据雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，因为图中b为2米，即可求出a的值．

【解答】解：∵雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，

∴≈0.618，

∵b为2米，

∴a约为1.24米．

故选：A．

6．如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则▱ABCD的周长为（　　）

A．21 B．28 C．34 D．42

【分析】根据平行四边形的性质得AB∥CD，再由平行线得相似三角形，根据相似三角形求得AB，AE，进而根据平行四边形的周长公式求得结果．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CF，AB＝CD，

∴△ABE∽△DFE，

∴，

∵DE＝3，DF＝4，

∴AE＝6，AB＝8，

∴AD＝AE+DE＝6+3＝9，

∴平行四边形ABCD的周长为：（8+9）×2＝34．

故选：C．

7．如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60海里的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（　　）

A．30海里 B．60海里 

C．120海里 D．（30+30）海里

【分析】过点C作CD⊥AB于D，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长．

【解答】解：过C作CD⊥AB于D，

∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60海里，

在Rt△ACD中，AD＝AC＝30（海里），cos∠ACD＝，

∴CD＝AC•cos∠ACD＝60×＝30（海里），

在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，

∴CD＝BD＝30（海里），

∴AB＝AD+BD＝（30+30）海里，

答：这时轮船B与小岛A的距离是（30+30）海里．

故选：D．

8．关于抛物线y＝（x﹣1）2﹣2，下列说法错误的是（　　）

A．开口方向向上 

B．对称轴是直线x＝1 

C．顶点坐标为（﹣1，﹣2） 

D．当x＞1时，y随x的增大而增大

【分析】根据抛物线的解析式得出顶点坐标是（1，﹣2），对称轴是直线x＝1，根据a＝1＞0，得出开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，根据结论即可判断选项．

【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣1）2﹣2，

∴顶点坐标是（1，﹣2），对称轴是直线x＝1，根据a＝1＞0，得出开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大，

∴A、B、D说法正确；

C说法错误．

故选：C．

9．在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（　　）

A．①处 B．②处 C．③处 D．④处

【分析】确定“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长，然后利用相似三角形的对应边的比相等确定第三个顶点的位置即可．

【解答】解：帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为2、2、4；

“车”、“炮”之间的距离为1，

“炮”②之间的距离为，“车”②之间的距离为2，

∵＝＝，

∴马应该落在②的位置，

故选：B．

10．如图，已知正方形ABCD，E为AB的中点，F是AD边上的一个动点，连接EF，将△AEF沿EF折叠得△HEF，延长FH交BC于M，现在有如下5个结论：①△BEM≌△HEM；②△EFM一定是直角三角形；③当M与C重合时，有DF＝2AF；④MF平分正方形ABCD的面积；⑤；在以上5个结论中，正确的有（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5

【分析】由折叠的性质可得FA＝FH，EA＝EH，∠A＝∠FHE＝90°，根据全等三角形的性质可得∠MEH＝∠MEB，由平角的性质可求∠FEM＝90°，故①和②正确；通过证明△FHE∽△EHM，根据相似三角形的性质可得AB2＝4HF•HM，故⑤正确；如图1，设AE＝EB＝2a．则AB＝BC＝AD＝CD＝4a，通过证明△AEF∽△BCE，可得＝＝，可求AF＝a，可得故③错误；当点F与点D重合时，直线MF不平分正方形的面积，故④错误，即可求解．

【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A＝∠B＝90°，

∵E为AB的中点，

∴EA＝EB，

由翻折可知：FA＝FH，EA＝EH，∠A＝∠FHE＝90°，

∴∠EHM＝∠B＝90°，

∵EM＝EM，EH＝EB，

∴Rt△EMH≅Rt△EMB（HL），

∴∠MEH＝∠MEB，

∵∠FEH＝∠FEA，

∴∠FEM＝∠FEH+∠MEH＝（∠AEH+∠BEH）＝90°，

∴△EFM是直角三角形，

故①②正确，

∵∠FEM＝90°＝∠FHE，

∴∠FEH+∠MEH＝90°＝∠FEH+∠EFH，

∴∠EFH＝∠HEM，

又∵∠FHE＝∠EHM＝90°，

∴△FHE∽△EHM，

∴＝，

又∵EH＝EB＝AB，

∴，故⑤正确，

如图1中，当M与C重合时，

设AE＝EB＝2a．则AB＝BC＝AD＝CD＝4a，

∵∠FEM＝90°，

∴∠AEF+∠CEB＝90°＝∠AEF+∠AFE，

∴∠AFE＝∠ECB，

又∵∠A＝∠B＝90°，

∴△AEF∽△BCE，

∴＝＝，

∴AF＝a，

∴DF＝3a，

∴DF＝3AF，

∴DF＝AF，

∴DF＝3AF，故③错误，

如图2中，

当点F与点D重合时，显然直线MF不平分正方形的面积，故④错误，

综上所述，正确的有：①②⑤，

故选：B．

二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分）

11．点（2，3）　在　双曲线的图象上．（填“在”或“不在”）

【分析】把点（2，3）代入反比例函数y＝中进行检验即可．

【解答】解：把x＝2代入反比例函数的解析式y＝中，y＝3，

∴点（2，3）在该函数图象上，

故答案为：在．

12．已知，则代数式的值是　11　．

【分析】根据已知条件设a＝3k，b＝5k，再代入求出答案即可．

【解答】解：设a＝3k，b＝5k，

则

＝

＝

＝11，

故答案为：11．

13．关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则m的最小整数值是　0　．

【分析】根据一元二次方程根的存在性，利用判别式Δ＞0求解即可；

【解答】解：一元二次方程x2﹣2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，

∴Δ＝4+4m＞0，

∴m＞﹣1；

故答案为0；

14．如图：在Rt△ABC，∠C＝90°，点D是AC边上的一点，DE垂直平分AB，垂足为E，若AC＝4，BC＝3，则线段DE的长度为　　．

【分析】根据勾股定理求出AB，求出BE，根据线段垂直平分线的性质求出AD＝BD，根据勾股定理求出BD，再求出答案即可．

【解答】解：在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB＝＝＝5，

连接BD，

∵DE垂直平分AB，

∴BE＝AE＝AB＝，∠DEB＝90°，AD＝BD，

设AD＝BD＝x，则CD＝4﹣x，

在Rt△DCB中，由勾股定理得：CD2+BC2＝BD2，

即（4﹣x）2+32＝x2，

解得：x＝，

即BD＝，

在Rt△DEB中，由勾股定理得：DE＝＝＝，

故答案为：．

15．某市对九年级学生进行“综合素质”评价，评价结果分为A，B，C，D，E五个等级．现随机抽取了500名学生的评价结果作为样本进行分析，绘制了如图所示的统计图．已知图中从左到右的五个长方形的高之比为2：3：3：1：1，据此估算该市10000名九年级学生中“综合素质”评价结果为“A”的学生约为　2000　人．

【分析】用总人数乘以样本中A等级长方形的高所占比例即可．

【解答】解：估算该市10000名九年级学生中“综合素质”评价结果为“A”的学生约为10000×＝2000（人），

故答案为：2000．

16．已知二次函数y＝4x2﹣mx+5，当x≤﹣2时，y随x的增大而减小；当x≥﹣2时，y随x的增大而增大，则当x＝1时，y的值为　25　．

【分析】因为当x≤﹣2时，y随x的增大而减小；当x≥﹣2时，y随x的增大而增大，那么可知对称轴就是x＝﹣2，结合顶点公式法可求出m的值，从而得出函数的解析式，再把x＝1，可求出y的值．

【解答】解：∵当x≤﹣2时，y随x的增大而减小；当x≥﹣2时，y随x的增大而增大，

∴对称轴x＝﹣＝﹣＝﹣2，解得m＝﹣16，

∴y＝4x2+16x+5，那么当x＝1时，函数y的值为25．

故答案为25．

17．设a、b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，则（a﹣1）（b﹣1）的值为　﹣2018　．

【分析】根据根与系数的关系得出a+b＝﹣1，ab＝﹣2020，再代入计算即可．

【解答】解：∵a、b是方程x2+x﹣2020＝0的两个实数根，

∴a+b＝﹣1，ab＝﹣2020，

∴（a﹣1）（b﹣1）＝ab﹣（a+b）+1＝﹣2020+1+1＝﹣2018，

故答案为﹣2018．

18．如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（0，4），点C（3，n）在第一象限内，连接AC、BC．已知∠BCA＝2∠CAO，则n＝　　．

【分析】作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，则BE＝4﹣n，CE＝3，CD＝n，AD＝7，根据平行线的性质得出∠ECA＝∠CAO，根据题意得出∠BCE＝∠CAO，通过解直角三角形得到tan∠CAO＝＝tan∠BCE＝，即可得到，解得即可．

【解答】解：作CD⊥x轴于D，CE⊥y轴于E，

∵点A、B的坐标分别为（﹣4，0）、（0，4），点C（3，n）在第一象限内，则E（0，n），D（3，0），

∴BE＝4﹣n，CE＝3，CD＝n，AD＝7，

∵CE∥OA，

∴∠ECA＝∠CAO，

∵∠BCA＝2∠CAO，

∴∠BCE＝∠CAO，

在Rt△CAD中，tan∠CAO＝，在Rt△CBE中，tan∠BCE＝，

∴＝，即，

解得n＝，

故答案为．

三、解答题（本大题共8小题，共78分）

19．（8分）（1）计算：（﹣2）2+2sin60°﹣tan60°；

（2）解方程：x2﹣2x＝1．

【分析】（1）记住三角函数的特殊值，将它们代入计算即可．

（2）用配方法解一元二次方程．

【解答】解：（1）原式＝

＝4；

（2）x2﹣2x＝1，

x2﹣2x+1＝1+1，即（x﹣1）2＝2，

∴x﹣1＝，

∴．

20．（8分）对垃圾进行分类投放，能有效提高对垃圾的处理和再利用，减少污染，保护环境．为了调查同学们对垃圾分类知识的了解程度，增强同学们的环保意识，普及垃圾分类及投放的相关知识，某校数学兴趣小组的同学设计了“垃圾分类知识及投放情况”问卷，并在本校随机抽取部分同学进行问卷测试，把测试成绩分成“优、良、中、差”四个等级，绘制了不完整的统计图：

根据以上统计信息，解答下列问题：

（1）求成绩是“优”的人数占抽取人数的百分比；

（2）求本次随机抽取问卷测试的人数；

（3）请把条形统计图补充完整；

（4）若该校学生人数为4000人，请估计成绩是“优”和“良”的学生共有多少人？

【分析】（1）用成绩是“优”所在扇形圆心角的度数除以360°即可；

（2）用成绩是“优”的人数除以所占的百分比即可；

（3）利用总人数减去其它组的人数即可求得成绩是“中”的人数，从而补全条形图；

（4）利用总人数4000乘以成绩是“优”和“良”的学生所占的百分比即可．

【解答】解：（1）成绩是“优”的人数占抽取人数的百分比是：＝20%；

（2）本次随机抽取问卷测试的人数是：40÷20%＝200（人）；

（3）成绩是“中”的人数是200﹣（40+70+30）＝60（人），

条形统计图补充如下：

（4）4000×＝2200（人），

答：成绩是“优”和“良”的学生共有2200人．

21．（8分）某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个．为了实现平均每月10000元的销售利润，商场决定采取调控价格的措施，扩大销售量，减少库存，这种台灯的售价应定为多少元？这时应进台灯多少个？

【分析】销售利润＝一个灯泡的利润×销售灯泡的个数，一个灯泡的利润＝一个灯泡的售价﹣一个灯泡的进价．此题可以设售价为x元，然后根据前面两个等式列出方程即可求出价格．

【解答】解：设售价为x元，

依题意列方程（x﹣30）[600﹣（x﹣40）×10]＝10000，

解得x1＝50，x2＝80，

因需扩大销售量，减少库存，所以x2＝80应舍去，

当x＝50时，[600﹣（x﹣40）×10]＝500，

答：售价为50元时进500个．

22．（8分）某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门．如图为该测温门截面示意图，已知测温门AD的顶部A处距地面高为2.2m，为了解自己的有效测温区间．身高1.6m的小聪做了如下实验：当他在地面N处时测温门开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为30°；在地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°．求小聪在地面的有效测温区间MN的长度．（额头到地面的距离以身高计，计算精确到0.1m，≈1.73，≈1.41）

【分析】根据题意画出图形，延长BC交AD于点E，可得则AE＝AD﹣DE＝0.6m，进而可得结果．

【解答】解：如图，延长BC交AD于点E，则AE＝AD﹣DE＝0.6（m），

MN＝BC＝2CE＝2×≈0.7（m），

答：小聪在地面的有效测温区间MN的长度约为0.7m．

23．（10分）如图，在正方形ABCD中，E是边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF＝90°

（1）求证：△ABE∽△DEF；

（2）若AB＝6，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．

【分析】（1）利用“一线三直角”即可证明△ABE∽△DEF；

（2）由AB＝CD＝6，CF＝3FD求出DF和CF的长，利用△ABE∽△DEF求出DE的长度，再由△CGF∽△DEF求出CG的长度，即可求出BG的长．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，

∴∠A＝∠D＝90o，

∵∠BEF＝90°，

∴∠ABE+∠AEB＝∠AEB+∠DEF＝90°，

∴∠ABE＝∠DEF，

∴△ABE∽△DEF；

（2）∵四边形ABCD为正方形，

∴AB＝AD＝CD＝6，AD∥BG，

∵CF＝3FD，

∴DF＝1.5，

设DE＝x，

∵△ABE∽△DEF，

∴，

即，

解得：x＝3，

∴DE＝3，

∵AD∥BG，

∴∠DEF＝∠G，

∵∠DFE＝∠CFG

∴△CGF∽△DEF，

∴，

∵CF＝3FD，

∴，

∴CG＝9，

∴BG＝BC+CG＝15．

24．（10分）已知平行四边形ABCD的两邻边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+2＝0的两个实数根．

（1）若AB＝2，那么平行四边形ABCD的周长是多少？

（2）当m为何值时，平行四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长．

【分析】（1）将x＝2代入一元二次方程可求出m的值，再根据根与系数的关系即可得出AB+AD的值，利用平行四边形的性质即可求出平行四边形ABCD的周长．

（2）根据菱形的性质可得出AB＝AD，由根的判别式即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，把m的值代入，然后解方程即可．

【解答】解：（1）当x＝2时，4﹣2m+2＝0，

解得：m＝3，

∴x2﹣3x+2＝0，

解得：x1＝2，x2＝1，

∴平行四边形的周长为2×（1+2）＝6；

（2）∵当AB＝AD时，平行四边形ABCD是菱形，即：Δ＝0，

∴m2﹣4×2＝0，解得：，

又∵AB+AD＝m＞0，

∴，

∴方程为x2﹣2x+2＝0，

解得，x1＝x2＝，

∴菱形的边长为．

25．（13分）如图，直线y＝ax+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与双曲线y＝（x＞0）相交于点P，PC⊥x轴于点C，且PC＝2，点A的坐标为（﹣2，0）．

（1）求一次函数的解析式；

（2）求双曲线的解析式；

（3）若点Q为双曲线上点P右侧的一点，且QH⊥x轴于H，当以点Q、C、H为顶点的三角形与△AOB相似时，求点Q的坐标．

【分析】（1）把A坐标代入直线解析式求出a的值，确定出直线解析式；

（2）把y＝2代入直线解析式求出x的值，确定出P坐标，代入反比例解析式求出k的值，即可确定出双曲线解析式；

（3）设Q（a，b），代入反比例解析式得到b＝，分两种情况考虑：当△QCH∽△BAO时；当△QCH∽△ABO时，由相似得比例求出a的值，进而确定出b的值，即可得出Q坐标．

【解答】解：（1）把A（﹣2，0）代入y＝ax+1中，求得a＝，

故一次函数的解析式为：y＝x+1；

（2）由PC＝2，把y＝2代入y＝x+1中，得x＝2，即P（2，2），

把P代入y＝得：k＝4，

则双曲线解析式为y＝；

（3）设Q（a，b），

∵Q（a，b）在y＝上，

∴b＝，

当△QCH∽△BAO时，可得＝，即＝，

∴a﹣2＝2b，即a﹣2＝，

解得：a＝4或a＝﹣2（舍去），

∴Q（4，1）；

当△QCH∽△ABO时，可得＝，即＝，

整理得：2a﹣4＝，

解得：a＝1+或a＝1﹣（舍），

∴Q（1+，2﹣2）．

综上，Q（4，1）或Q（1+，2﹣2）．

26．（13分）如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣2，0），且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点．

（1）求A，C两点的坐标；

（2）求抛物线的解析式；

（3）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．

【分析】（1）根据B点坐标及OA＝OC＝4OB结合图象即可确定A点，C点的坐标；

（2）由（1）可将抛物线的表达式写成两点式，然后代入C点坐标即可求出解析式；

（3）求出直线CA的解析式，过点P作y轴的平行线交AC于点H，求出∠PHD＝∠OCA＝45°，设点P（a，a2﹣3a﹣8），则点H（a，a﹣8），写出PD的表达式根据二次函数的性质求最值即可．

【解答】解：（1）∵B的坐标为（﹣2，0），

∴OB＝2，

∴OA＝OC＝4OB＝8，

故点A、C的坐标分别为（8，0）、（0，﹣8）；

（2）由（1）知，抛物线的表达式可写为：y＝a（x+2）（x﹣8）＝a（x2﹣6x﹣16），

把C（0，﹣8）代入得：﹣16a＝﹣8，

解得：a＝，

故抛物线的表达式为：y＝x2﹣3x﹣8；

（3）∵直线CA过点C，

∴设其函数表达式为：y＝kx﹣8，

将点A坐标代入上式并解得：k＝1，

故直线CA的表达式为：y＝x﹣8，

过点P作y轴的平行线交AC于点H，

∵OA＝OC＝8，

∴∠OAC＝∠OCA＝45°，

∵PH∥y轴，

∴∠PHD＝∠OCA＝45°，

设点P（a，a2﹣3a﹣8），则点H（a，a﹣8），

∴PD＝HPsin∠PHD＝（a﹣8﹣a2+3a+8）＝＝﹣（a﹣4）2+4，

∴当a＝4时，其最大值为4，此时点P（4，﹣12）．