安徽省亳州市蒙城县2020-2021学年九年级上学期期末数学试题（word版含答案）

这是一份安徽省亳州市蒙城县2020-2021学年九年级上学期期末数学试题（word版含答案），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1．关于二次函数y＝﹣x2﹣2下列说法正确的是（ ）
A．有最大值﹣2B．有最小值﹣2
C．对称轴是直线x＝1D．对称轴是直线x＝﹣1
2．对抛物线y＝﹣x2+4x﹣3而言，下列结论正确的是（ ）
A．开口向上
B．与y轴的交点坐标是（0，3）
C．与两坐标轴有两个交点
D．顶点坐标是（2，1）
3．点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＝y2＞y3B．y1＞y2＞y3C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＝y2
4．如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝5.2，∠B＝60°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（ ）
A．0.8B．2C．2.2D．2.8
5．如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（﹣6，4），B（﹣3，0）．以点O为位似中心，在第四象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标为（ ）
A．（2，﹣1）B．（3，﹣2）C．（，﹣）D．（，﹣1）
6．如图，已知点A为反比例函数y＝（x＜0）的图象上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，若△OAB的面积为3，则k的值为（ ）
A．3B．﹣3C．6D．﹣6
7．若ad＝bc（b≠d）且a，b，c，d均为正数，则下列结论不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是边长为3的正方形，点A，D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，且BF＝5，则k值为（ ）
A．15B．C．D．17
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1，0）和（0，﹣1）两点，则抛物线y＝cx2+bx+a的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积最大值为（ ）
A．8B．6C．4D．2
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）抛物线y＝﹣（x+2）2的顶点坐标是 ．
12．（5分）如图，若芭蕾舞者抬起的脚尖点C分线段AB近似于黄金分割（AC＜BC），已知AB＝160cm，BC的长约为 cm．（结果精确到0.1cm）
13．（5分）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C均在格点上，则tanB的值为 ．
14．（5分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点P是AB边上动点，把△ADP沿DP折叠得△A'DP，射线DA'交射线AB于点Q，
（1）当Q点和B点重合时，PQ长为 ；
（2）当△A'DC为等腰三角形时，则DQ长为 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：2sin245°﹣6cs30°+3tan45°+4sin60°．
16．（8分）如图，二次函数y＝﹣+bx+c的图象经过A（2，0）、B（0，﹣4）两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点．
（1）利用图中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出使y1＜y2的自变量x取值范围．
18．（8分）如图，在网格图中（小正方形的边长为1），△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）把△ABC沿着x轴向右平移6个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）请以坐标系的原点O点为位似中心在第一象限内画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使得△ABC与△A2B2C2的位似比为1：2；
（3）请直接写出△A2B2C2三个顶点的坐标．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）2020年6月23日，我国第55颗北斗卫星，即北斗全球卫星导航系统最后一颗组网卫星发射成功．北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行．某中学从A地出发，组织学生利用导航到C地区进行研学活动，已知C地位于A地的正北方向，且距离A地24千米．由于A、C两地间是一块湿地，所以导航显示的路线是沿北偏东60°方向走到B地，再沿北偏西37°方向走一段距离才能到达C地，求A、B两地的距离（精确到1千米）．
（参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.7，≈1.4，≈1.7）
20．（10分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中点，过D，E作直线交AB的延长线于F．
（1）若AB＝6，AC＝8，求BD长；
（2）求证：AB•AF＝AC•DF．
六、（本题满分12分）
21．（12分）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝，BD＝3．
（1）求sin∠ADB的值；
（2）若DC＝3，求BC的长．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，已知抛物线y1＝a（x﹣1）（x﹣5）和直线y2＝﹣ax﹣a（其中a＞0）相交于A，B两点，抛物线y1与x轴交于C，D两点，与y轴交于点G，直线y2与坐标轴交于E，F两点．
（1）若G的坐标为（0，5），求抛物线y1解析式和直线y2解析式；
（2）求证：直线y2＝﹣ax﹣a始终经过该抛物线y1的顶点；
（3）求的值．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为△ABC的中线BD上的一点，将线段AE以E点为中心逆时针旋转90°得到线段EF，恰EF经过点C．
（1）若∠CAF＝α，则∠CBE＝ （用α的代数式表示）．
（2）如图2，过点C作CH∥AE，交AF于点H，连接BH交EF于点G，
①求证：AF＝BH；
②若CF＝2，求EG的长．
2020-2021学年安徽省亳州市蒙城县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．关于二次函数y＝﹣x2﹣2下列说法正确的是（ ）
A．有最大值﹣2B．有最小值﹣2
C．对称轴是直线x＝1D．对称轴是直线x＝﹣1
【分析】利用二次函数的性质即可判断各个选项中的结论是否正确．
【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2﹣2，
∴a＝﹣1，开口向下，有最大值y＝﹣2，
∴选项A正确，选项B错误；
∵二次函数y＝﹣x2﹣2的对称轴为直线x＝0，
∴选项C、D错误，
故选：A．
2．对抛物线y＝﹣x2+4x﹣3而言，下列结论正确的是（ ）
A．开口向上
B．与y轴的交点坐标是（0，3）
C．与两坐标轴有两个交点
D．顶点坐标是（2，1）
【分析】根据Δ的符号，可判断图象与x轴的交点情况，根据二次项系数可判断开口方向，令函数式中x＝0，可求图象与y轴的交点坐标，利用配方法可求图象的顶点坐标．
【解答】解：A、二次项系数a＝﹣1＜0，抛物线开口向下，结论错误，不符合题意；
B、当x＝0时，y＝﹣3，抛物线与y轴交点坐标为（0，﹣3），结论错误，不符合题意；
C、Δ＝42﹣4×（﹣1）×（﹣3）＝4＞0，抛物线与x轴有两个交点，与y轴有1个交点，即与两坐标轴有3个交点，结论错误，不符合题意；
D、由y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1知，抛物线顶点坐标为（2，1），结论正确，符合题意；
故选：D．
3．点P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＝y2＞y3B．y1＞y2＞y3C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＝y2
【分析】先求出抛物线的对称轴方程，然后根据二次函数的性质，通过比较三个点到对称轴的距离大小可得到y1，y2，y3的大小关系．
【解答】解：二次函数y＝﹣x2+2x+c的图象的对称轴为直线x＝﹣＝1，
而P1（﹣1，y1）和P2（3，y2）到直线x＝1的距离都为2，P3（5，y3）到直线x＝1的距离为4，
所以y1＝y2＞y3．
故选：A．
4．如图，在△ABC中，AB＝3，BC＝5.2，∠B＝60°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，若点B的对应点D恰好落在BC边上时，则CD的长为（ ）
A．0.8B．2C．2.2D．2.8
【分析】由旋转的性质可得AB＝AD＝3，可证△ABD是等边三角形，可得BD＝AB＝3，即可求解．
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，
∴AB＝AD＝3，
∵∠B＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝3，
∴CD＝BC﹣BD＝5.2﹣3＝2.2，
故选：C．
5．如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（﹣6，4），B（﹣3，0）．以点O为位似中心，在第四象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标为（ ）
A．（2，﹣1）B．（3，﹣2）C．（，﹣）D．（，﹣1）
【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点坐标与位似比的关系．
【解答】解：∵△OAB的顶点为O（0，0），A（﹣6，4），B（﹣3，0），以点O为位似中心，在第四象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，
∴点C坐标为：[﹣6×（﹣），4×（﹣）]，即（3，﹣2）．
故选：B．
6．如图，已知点A为反比例函数y＝（x＜0）的图象上一点，过点A作AB⊥y轴，垂足为B，若△OAB的面积为3，则k的值为（ ）
A．3B．﹣3C．6D．﹣6
【分析】再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝2，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
【解答】解：
∵AB⊥y轴，
∴S△OAB＝|k|，
∴|k|＝3，
∵k＜0，
∴k＝﹣6．
故选：D．
7．若ad＝bc（b≠d）且a，b，c，d均为正数，则下列结论不成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由四条线段a、b、c、d成比例，根据成比例线段的定义解答．
【解答】解：由ad＝bc（b≠d）且a，b，c，d均为正数，
可得：，故A正确；
∴，故B正确；
∴，故D正确；
不能得出，故C错误；
故选：C．
8．如图，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是边长为3的正方形，点A，D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，且BF＝5，则k值为（ ）
A．15B．C．D．17
【分析】设AO＝a，即可得出B（a，8），E（a+3，3），依据点B、E在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，即可得到a的值，进而得出k的值．
【解答】解：设AO＝a，
∵四边形ADEF是边长为3的正方形，BF＝5，
∴AB＝8，OD＝a+3，
∴B（a，8），E（a+3，3），
又∵点B、E在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，
∴8a＝3（a+3），
解得a＝，
∴B（，8），
∴k＝×8＝，
故选：C．
9．如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1，0）和（0，﹣1）两点，则抛物线y＝cx2+bx+a的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据题意得到a﹣b+c＝0，a＞0，b＜0，c＝﹣1，即可得到抛物线y＝cx2+bx+a的开口向下，对称轴直线x＝﹣＜0，交y轴正半轴，经过点（﹣1，0），据此即可判断．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1，0）和（0，﹣1）两点，
∴开口向上，对称轴在y轴的右侧，
∴a﹣b+c＝0，a＞0，b＜0，c＝﹣1，
∴抛物线y＝cx2+bx+a的开口向下，对称轴直线x＝﹣＜0，交y轴正半轴，
当x＝﹣1时，y＝c﹣b+a＝0，
∴抛物线y＝cx2+bx+a经过点（﹣1，0），
故选：B．
10．正方形ABCD中，AB＝4，P为对角线BD上一动点，F为射线AD上一点，若AP＝PF，则△APF的面积最大值为（ ）
A．8B．6C．4D．2
【分析】作PM⊥AD与M，根据正方形的性质易得PM＝DM，设PM＝DM＝x，则AM＝4﹣x，根据等腰三角形的性质即可得出AF＝2（4﹣x），由三角形面积公式得出S△APF＝×2（4﹣x）•x＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，根据二次函数的性质即可求得结果．
【解答】解：作PM⊥AD与M，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ADB＝45°，
∴△BDM是等腰直角三角形，
∴PM＝DM，
设PM＝DM＝x，则AM＝4﹣x，
∵AP＝PF，
∴AM＝FM＝4﹣x，
∴AF＝2（4﹣x），
∵S△APF＝AF•PM，
∴S△APF＝×2（4﹣x）•x＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，
∴当x＝2时，S△APF有最大值4，
故选：C．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）抛物线y＝﹣（x+2）2的顶点坐标是 （﹣2，0） ．
【分析】根据题目中抛物线的解析式，可以直接写出该抛物线的顶点坐标．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x+2）2，
∴该抛物线的顶点坐标为（﹣2，0），
故答案为：（﹣2，0）．
12．（5分）如图，若芭蕾舞者抬起的脚尖点C分线段AB近似于黄金分割（AC＜BC），已知AB＝160cm，BC的长约为 98.9 cm．（结果精确到0.1cm）
【分析】利用黄金分割的定义得到BC＝AB，再把AB＝160cm代入后进行计算即可．
【解答】解：∵点C为线段AB的黄金分割点（AC＜BC），AB＝160cm，
∴BC＝AB＝×160≈98.9，
故答案为：98.9．
13．（5分）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C均在格点上，则tanB的值为 ．
【分析】如图，取格点E，连接AE，EC，则B，A，E共线，∠E＝90°．利用勾股定理求出EC，EB，可得结论．
【解答】解：如图，取格点E，连接AE，EC，则B，A，E共线，∠E＝90°．
∵EC＝＝，BE＝＝2，
∴tanB＝＝．
故答案为：．
14．（5分）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点P是AB边上动点，把△ADP沿DP折叠得△A'DP，射线DA'交射线AB于点Q，
（1）当Q点和B点重合时，PQ长为 ；
（2）当△A'DC为等腰三角形时，则DQ长为 或 ．
【分析】（1）根据勾股定理求出BD，即DQ，进而求出A′B，即A′Q，在直角三角形PQA′中，设未知数，列方程求解即可；
（2）分三种情况进行解答，即A′D＝A′C，A′C＝CD，A′D＝CD，分别画出相应的图形，利用等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质以及勾股定理求解即可．
【解答】解：（1）如图1：当Q点与B点重合时，
QD＝DB＝＝＝10，
由翻折变换可得，AD＝A′D＝8，AP＝A′P，
∴BA′＝10﹣8＝2，
设PQ＝x，则AP＝A′P＝6﹣x，
在Rt△PBA′中，由勾股定理得，
A′P2+A′B2＝PB2，
即（6﹣x）2+22＝x2，
解得x＝，
即，
故答案为：；
（2）①当A'D＝A'C＝8时，如图2，
过点A′作A′M⊥CD于M，则DM＝MC＝CD＝3，
在Rt△A′DM中，
A′M＝＝＝，
∵∠DAQ＝∠A′MD＝90°，∠AQD＝∠MDA′，
∴△AQD∽△MDA'，
∴＝，
即＝，
解得DQ＝；
②当A'C＝DC＝6时，如图3，
过点C作CN⊥DQ于N，则DN＝A′N＝A′D＝4，
在Rt△CDN中，由勾股定理得，
CN＝＝＝2，
∵∠DAQ＝∠CND＝90°，∠AQD＝∠NDC，
∴△AQD∽△NDC，
∴＝，
即＝，
解得DQ＝，
③A'D＝AD＝8，CD＝6，所以A'D≠CD，
综上所述，DQ的长为或．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：2sin245°﹣6cs30°+3tan45°+4sin60°．
【分析】根据特殊锐角的三角函数值代入计算即可．
【解答】解：原式＝2×（）2﹣6×+3×1+4×
＝2×﹣3+3+2
＝1﹣3+3+2
＝4﹣．
16．（8分）如图，二次函数y＝﹣+bx+c的图象经过A（2，0）、B（0，﹣4）两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积．
【分析】（1）二次函数图象经过A（2，0）、B（0，﹣4）两点，两点代入y＝﹣+bx+c，算出b和c，即可得解析式．
（2）先求出对称轴方程，写出C点的坐标，计算出AC，然后由面积公式计算值．
【解答】解：（1）把A（2，0）、B（0，﹣4）代入y＝﹣+bx+c，得：，
解得，
∴这个二次函数的解析式为y＝﹣+3x﹣4．
（2）∵该抛物线对称轴为直线x＝﹣＝3，
∴点C的坐标为（3，0），
∴AC＝OC﹣OA＝3﹣2＝1，
∴S△ABC＝×AC×OB＝×1×4＝2．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）如图，一次函数y1＝kx+b的图象与反比例函数y2＝的图象交于A、B两点．
（1）利用图中的条件，求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）根据图象直接写出使y1＜y2的自变量x取值范围．
【分析】（1）通过读图，可得A、B点的坐标，进而可用待定系数法确定两个函数的解析式．
（2）结合两个函数的图象和A、B点的坐标，找出当一次函数图象在反比例函数图象下方时，自变量x的取值范围即可．
【解答】解：（1）由图象知反比例函数y2＝的图象经过点A（2，1），
∴1＝，
∴m＝2，
∴反比例函数解析式为；y2＝；
∵反比例函数y2＝的图象经过点B（﹣1，n），
∴n＝﹣2，
∴B（﹣1，﹣2），
由图象知一次函数y1＝kx+b的图象经过点A（2，1），B（﹣1，﹣2），
∴，解得，
∴一次函数解析式为y1＝x﹣1．
（2）由图象可得使y1＜y2的自变量x取值范围是x＜﹣1或0＜x＜2．
18．（8分）如图，在网格图中（小正方形的边长为1），△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）把△ABC沿着x轴向右平移6个单位得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）请以坐标系的原点O点为位似中心在第一象限内画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使得△ABC与△A2B2C2的位似比为1：2；
（3）请直接写出△A2B2C2三个顶点的坐标．
【分析】（1）利用点平移的坐标变换规律写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）（3）根据关于原点为位似中心的点的坐标特征，把A、B、C的横纵坐标都乘以﹣2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）△A2B2C2三个顶点的坐标分别为A2（6，0），B2（6，4），C2（2，6）．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）2020年6月23日，我国第55颗北斗卫星，即北斗全球卫星导航系统最后一颗组网卫星发射成功．北斗导航装备的不断更新，极大方便人们的出行．某中学从A地出发，组织学生利用导航到C地区进行研学活动，已知C地位于A地的正北方向，且距离A地24千米．由于A、C两地间是一块湿地，所以导航显示的路线是沿北偏东60°方向走到B地，再沿北偏西37°方向走一段距离才能到达C地，求A、B两地的距离（精确到1千米）．
（参考数据：sin37°≈0.6，cs37°≈0.8，tan37°≈0.7，≈1.4，≈1.7）
【分析】如图，过点B作BD⊥AC于点D，设AD＝x，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：如图，过点B作BD⊥AC于点D，设AD＝x，
则，
∴tan∠BCD＝tan37°＝≈0.7，
解得x＝7，
∴AB＝2x＝14（千米），
答：A、B两地的距离为14千米．
20．（10分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中点，过D，E作直线交AB的延长线于F．
（1）若AB＝6，AC＝8，求BD长；
（2）求证：AB•AF＝AC•DF．
【分析】（1）由勾股定理得BC＝10，再证明△ABD∽△CBA，由此可得BD＝3.6；
（2）因为DE是AC边上的中线，所以DE＝CE＝AE，所以△FDB∽△FAD，所以有，又因为，所以即AB•AF＝AC•DF．
【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴∠CAB＝∠ADB，
∵∠B＝∠B，
∴△CBA∽△ABD，
∴，
∴，
∴BD＝3.6；
（2）证明：由（1）知：BD：AD＝AB：AC①，
又∵E为AC的中点，AD⊥BC，
∴ED＝AE＝EC，
∴∠C＝∠EDC＝∠FAD＝∠BDF，
又∵∠F为公共角，
∴△DBF∽△ADF，
∴BD：AD＝DF：AF②，
由①②得，AB：AC＝DF：AF，
∴AB•AF＝AC•DF．
六、（本题满分12分）
21．（12分）如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝90°，∠A＝45°，AB＝，BD＝3．
（1）求sin∠ADB的值；
（2）若DC＝3，求BC的长．
【分析】（1）作BE⊥AD，Rt△ABE中由∠A＝45°，AB＝知AE＝BE＝1，在Rt△BDE中，根据sin∠ADB＝可得答案；
（2）作BF⊥DC，证四边形BEDF是矩形得DF＝BE＝1，BF＝DE＝＝2，结合DC＝3知FC＝2，根据BC＝可得答案．
【解答】解：（1）如图，过点B作BE⊥AD于点E，
在Rt△ABE中，∵∠A＝45°，AB＝，
∴AE＝BE＝1，
在Rt△BDE中，sin∠ADB＝＝；
（2）过点B作BF⊥DC于点F，
则∠BFD＝∠BED＝∠ADC＝90°，
∴四边形BEDF是矩形，
∴DF＝BE＝1，BF＝DE＝＝＝2，
∵DC＝3，
∴FC＝2，
则BC＝＝＝2．
七、（本题满分12分）
22．（12分）如图，已知抛物线y1＝a（x﹣1）（x﹣5）和直线y2＝﹣ax﹣a（其中a＞0）相交于A，B两点，抛物线y1与x轴交于C，D两点，与y轴交于点G，直线y2与坐标轴交于E，F两点．
（1）若G的坐标为（0，5），求抛物线y1解析式和直线y2解析式；
（2）求证：直线y2＝﹣ax﹣a始终经过该抛物线y1的顶点；
（3）求的值．
【分析】（1）把G（0，5）代入抛物线解得a＝1，即可得抛物线y1解析式和直线y2解析式；
（2）求出抛物线顶点，代入直线验证即可；
（3）先求出E（﹣1，0），M（2，0），N（3，0），再由OF∥AM∥BN得EF：FA：AB＝EO：OM：MN＝1：2：1，即可求出的值．
【解答】（1）解：把G（0，5）代入抛物线解得a＝1，
∴抛物线解析式为y1＝（x﹣1）（x﹣5）＝x2﹣6x+5，直线解析式为y2＝﹣x﹣1；
（2）证明：∵y1＝a（x﹣1）（x﹣5）与x轴交点为（1，0）和（5，0），
∴其对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，﹣4a），
∵x＝3时，y2＝﹣3a﹣a＝﹣4a，
∴直线y2＝﹣ax﹣a始终经过该抛物线的顶点；
（3）解：过A，B两点作x轴的垂线，垂足分别为M，N两点，
令y2＝﹣ax﹣a中y＝0，解得x＝﹣1，即E（﹣1，0），
再联立两个解析式a（x﹣1）（x﹣5）＝﹣ax﹣a解得x1＝2，x2＝3，
∴M（2，0），N（3，0），
∵OF∥AM∥BN，
∴EF：FA：AB＝EO：OM：MN＝1：2：1，
∴．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为△ABC的中线BD上的一点，将线段AE以E点为中心逆时针旋转90°得到线段EF，恰EF经过点C．
（1）若∠CAF＝α，则∠CBE＝ 2α （用α的代数式表示）．
（2）如图2，过点C作CH∥AE，交AF于点H，连接BH交EF于点G，
①求证：AF＝BH；
②若CF＝2，求EG的长．
【分析】（1）由直角三角形的性质得出AD＝DE＝DC，由等腰三角形的性质得出∠EAF＝45°，由直角三角形的性质可得出答案；
（2）①证明△ACF≌△BCH（SAS），由全等三角形的性质得出AF＝BH；
②证明△BEG∽△ACF，由相似三角形的性质得出答案．
【解答】解：（1）∵D为AC的中点，∠AEC＝90°，
∴AD＝DE＝DC，
∴∠DAE＝∠AED，
∵AE＝EF，
∴∠EAF＝45°，
∴∠EAD＝45°﹣α，
∴∠DEA＝∠EAD＝45°﹣α，
∴∠BCA＝90°，
∵∠EDC＝90°﹣2α，
∴∠CBE＝2α；
故答案为：2α；
（2）①∵CH∥AE，
∴∠FCH＝∠FEA＝∠BCA＝90°，
∴∠CHF＝∠EAF＝45°，
∴CH＝CF，
在△ACF和△BCH中，∠ACF＝∠BCH，BC＝AC，CH＝CF，
∴△ACF≌△BCH（SAS），
∴AF＝BH；
②由△ACF≌△BCH得∠CAF＝∠CBH，
又由（1）可知∠CBE＝2∠CAF，
∴∠CAF＝∠EBG，
∵DE＝DC，
∴∠DEC＝∠DCE，
即∠BEG＝∠ACF，
∴△BEG∽△ACF，
由BC＝2DC＝2DE，可设BC＝2x，
则CD＝DE＝x，，
∴，
∴，
∵CF＝2，
∴．