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2020-2021学年湖南省岳阳市高二（上）11月月考数学试卷人教A版
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这是一份2020-2021学年湖南省岳阳市高二（上）11月月考数学试卷人教A版，共13页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若a，b，c∈R且a>b，则下列各式中正确的是( )
A.ac>bcB.ac2>bc2C.a+c2>b+c2D.1a<1b
2. “1A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3. 已知实数1，m，9成等比数列，则椭圆x2m+y2=1的离心率为( )
A.63B.2C.63或2D.22或3
4. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=60∘，a=3，则b+csinB+sinC等于( )
A.12B.3C.32D.2
5. 幻方是中国古代一种填数游戏，n(n∈N,n≥3)阶幻方是指将连续n2个正整数排成的正方形数阵，使之同一行、同一列和同一对角线上的n个数的和都相等.中国古籍《周易本义》中的《洛书》记载了一个3阶幻方（如图1），现代符号表示如图2.若某3阶幻方正中间的数是2019，则该幻方中的最小数为( )
A.2013B.2014C.2015D.2016
6. 已知a>−1，b>0，a+2b=1，则1a+1+2b的最小值为( )
A.72B.92C.7D.9
7. 如图，已知DE是正△ABC的中位线，沿AD将△ABC折成直二面角B−AD−C，则翻折后异面直线AB与DE所成角的余弦值为( )
A.34B.23C.12D.0
8.
已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若(F2F1→+F2A→)⋅F1A→=0，则此双曲线的标准方程可能为( )
A.x24−y23=1B.x23−y24=1C.x216−y29=1D.x29−y216=1
二、多选题
下列命题中正确的是( )
A.单位向量都相等
B.任一向量与它的相反向量不相等
C.若A，B，C，D四点不共线，四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB→=DC→
D.模为0是一个向量方向不确定的充要条件
已知各项均为正项的等比数列{an}，a1>1，0A.数列{lnan}为等差数列
B.若Sn=Aqn+B，则A+B=0
C.Sn⋅S3n=S2n2
D.记Tn=a1⋅a2⋯⋯an，则数列{Tn}有最大值
如图，三棱柱ABC−A1B1C1的底面是边长为1的等边三角形，侧棱AA1⊥底面ABC且AA1=2，D，E分别是BB1，AC的中点，则下列结论成立的是( )
A.直线CD与B1C1是异面直线
B.直线BE与平面A1CD平行
C.直线AC与直线A1D所成角的余弦值为24
D.直线CD与平面AA1C1C所成角的余弦值为104
已知抛物线y2=2pxp>0的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为P，则( )
A.OA→⋅OB→=−34p2
B.若|AF|⋅|BF|=4p2，则直线AB的斜率为3
C.若抛物线上存在一点E2,t到焦点F的距离等于3，则抛物线的方程为y2=4x
D.若点F到抛物线准线的距离为2，则sin∠PMN的最小值为12
三、填空题
命题p:∀x>0,12x<1的否定形式为________.
甲船在A处发现乙船在其北偏东60∘方向上的B处，乙船正以anmile/ℎ的速度向北行驶，已知甲船的速度是3anmile/ℎ，则甲船应沿着北偏东________方向前进，才能最快与乙船相遇.
已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交双曲线右支于P，Q两点，且PQ⊥PF1，若|PQ|=512|PF1|，则双曲线的离心率为________．
已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N∗，Sn=(−1)nan+12n+n−3且(an+1−p)(an−p)<0恒成立，则实数p的取值范围是________．
四、解答题
已知等差数列an的公差为dd≠0，前n项和为Sn，且满足________．（从①S10=5a10+1；②a1，a2，a6成等比数列；③S5=35，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题）
(1)求an；
(2)若bn=12n，求数列an+bn的前n项和Tn.
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且acsC+(c−3b)csA=0．
(1)求tanA的值；
(2)若△ABC的面积为2，且b−c=2，求a的值．
已知抛物线C：y2=2pxp>0上的点M5,m到焦点F的距离为6.
(1)求p，m的值；
(2)过点P2,1作直线l交抛物线C于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求直线l方程.
在直三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90∘，AB=42，M是AB的中点，且A1M⊥B1C.
(1)求A1A的长；
(2)已知点N在棱CC1上，若平面B1AN与平面BCC1B1所成锐二面角的平面角的余弦值为1010，试确定点N的位置．
某商家耗资4500万元购进一批VR（虚拟现实）设备，经调试后计划明年开始投入使用，由于设备损耗和维护，第一年需维修保养费用200万元，从第二年开始，每年的维修保养费用比上一年增40万元．该设备使用后，每年的总收入为2800万元．
(1)求盈利额y（万元）与使用年数x之间的函数关系式；
(2)该设备使用多少年，商家的年平均盈利额最大？最大年平均盈利额是多少？
已知点F是椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点，过点F的直线l交椭圆于M，N两点．当直线l过C的下顶点时，l的斜率为3，当直线l垂直于C的长轴时．△OMN的面积为32.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)当|MF|=2|FN|时，求直线l的方程；
(3)若直线l上存在点P满足|PM|，|PF|，|PN|成等比数列，且点P在椭圆外，证明：点P在定直线上．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖南省岳阳市高二（上）11月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
不等式的基本性质
【解析】
由a>b，根据不等式的基本性质即可得出结论．
【解答】
解：由题意知，a>b，
因为无法判断c的正负，
故ac与bc的大小关系无法确定.
因为无法确定a，b的正负，
故1a与1b的大小关系无法确定.
因为c2≥0，
所以ac2≥bc2，a+c2>b+c2．
故选C.
2.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
椭圆的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题知若“方程x2m−1+y25−m=2表示椭圆”，
则m−1>0，5−m>0，m−1≠5−m，
解得1∴ “1故选B.
3.
【答案】
A
【考点】
等比中项
椭圆的离心率
【解析】
由1，m，9构成一个等比数列，得到m=±3．当m=3时，圆锥曲线是椭圆；当m=−3时，圆锥曲线是双曲线，由此即可求出离心率．
【解答】
解：∵ 1，m，9构成一个等比数列，
∴ m2=1×9，
则m=±3；
∵ 该圆锥曲线是椭圆，
∴ m=3，
∴ 它的离心率是e=23=63.
故选A.
4.
【答案】
D
【考点】
正弦定理
【解析】
利用正弦定理列出关系式，将sinA与a的值代入计算，再利用比例的性质即可求出所求式子的值．
【解答】
解：∵ A=60∘，a=3，
∴ 由正弦定理得：asinA=bsinB=csinC=332=2，
则b+csinB+sinC=bsinB=csinC=2．
故选D.
5.
【答案】
C
【考点】
数列的应用
进行简单的合情推理
【解析】
根据幻方的定义，类比给出的例子求解．
【解答】
解：根据题意，设数列为an，公差为1，
则中间的数是a5=2019，
所以最小的数是a1=a5−4d=2015.
故选C.
6.
【答案】
B
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
考查基本不等式在求最值中的应用．
【解答】
解：∵ a>−1，b>0，a+2b=1，
∴ a+1>0，
∴ a+1+2b=2，
∴ 21a+1+2b=(a+1+2b)1a+1+2b
=1+2ba+1+2(a+1)b+4
≥5+22ba+1⋅2(a+1)b=9，
当且仅当a+1=b，即a=−13，b=23时，等号成立，
∴ 1a+1+2b≥92，
∴ 1a+1+2b的最小值为92．
故选B．
7.
【答案】
A
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出翻折后异面直线AB与DE所称的余弦值．
【解答】
解：如图所示，以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系.
设正△ABC的边长为2，
则A(0, 0, 3)，B(1, 0, 0)，D(0, 0, 0)，E(0, 12, 32)，
则AB→=(1, 0, −3)，DE→=(0, 12, 32)，
∴ cs=|AB→⋅DE→||AB→|⋅|DE→|=|−32|2⋅1=34，
∴ 翻折后异面直线AB与DE所成角的余弦值为34．
故选A．
8.
【答案】
D
【考点】
双曲线的标准方程
余弦定理的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由(F2F1→+F2A→)⋅F1A→=0，
可知|F1F2|=|F2A|=2c，且cs∠AF2F1=−725，
在△AF1F2中，由余弦定理得，
|AF1|=165c，
由双曲线的定义得，
165c−2c=2a，
所以e=ca=53，
则a:b=3:4，
所以此双曲线的标准方程可能为
x29−y216=1.
故选D.
二、多选题
【答案】
C,D
【考点】
命题的真假判断与应用
必要条件、充分条件与充要条件的判断
单位向量
零向量
向量的模
【解析】
利用空间向量的概念可判断A选项的正误，取零向量可判断B选项的正误；利用相等向量的概念与充要条件的定义可判断C选项的正误，利用零向量的概念可判断D选项的正误．
【解答】
解：A，不正确，单位向量的模均相等且为1，但方向并不一定相同；
B，不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的；
C，正确，充分性：若四边形ABCD是平行四边形，
则AB//CD且AB=CD，
∴ AB→=DC→.
必要性：若AB→=DC→且A，B，C，D四点不共线，
则AB//CD且AB=CD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ 四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB→=DC→；
D，正确，若一个向量的模为0，则该向量为零向量，该向量的方向不确定 .
故选CD．
【答案】
A,B,D
【考点】
等比数列的前n项和
等差数列
等比数列的性质
【解析】
直接利用数列的通项公式判定A正确，进一步利用数列的前n项和公式的转换的应用和函数的单调性的应用求出结果．
【解答】
解：由题可知，an=a1⋅qn−1，Sn=a1(1−qn)1−q，
A，因为lnan=lna1⋅qn−1=lna1+(n−1)lnq，
lnan+1=lna1⋅qn=lna1+nlnq，
所以lnan+1−lnan=lnq，故选项正确；
B，因为Sn=a1(1−qn)1−q=a11−q−a11−q⋅qn，
又Sn=Aqn+B，所以A+B=0，故选项正确；
C，因为Sn=a1(1−qn)1−q，
则S3n=a1(1−q3n)1−q，S2n=a1(1−q2n)1−q，
所以Sn⋅S3n=a12(1−q3n)(1−qn)(1−q)2
≠a12(1−q2n)2(1−q)2=S2n2，故选项错误；
D，因为Tn=a1⋅a2⋯⋯an，a1>1且0所以数列为单调递减数列，
因此总存在从某一项开始使得ak=a1⋅qk−1(0故Tk=a1⋅a2⋯⋯ak−1有最大值，故选项正确．
故选ABD.
【答案】
B,C,D
【考点】
直线与平面平行的判定
直线与平面所成的角
异面直线及其所成的角
【解析】
此题考查空间线面位置关系，涉及异面直线判定，求异面直线所成角，判断线面平行，求直线与平面所成角的大小．
【解答】
解：直线CD与B1C1在同一平面B1C1CB内，不是异面直线，A选项错误；
如图所示，取A1C，AC1交点O，连接OE，OD，
则OE//CC1，OE//BD，OE=12CC1=BD，
所以四边形BDOE是平行四边形，
则BE//OD.
又BE⊄平面A1CD，OD⊂平面A1CD，
所以直线BE与平面A1CD平行，B选项正确；
因为AC//A1C1，
则直线AC与直线A1D所成角就是A1C1与直线A1D所成角.
由题意知，正三棱柱ABC−A1B1C1的底面是边长为1的等边三角形，
则正三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱长为2，
连接C1D.
在△A1C1D中，A1C1=1，C1D=A1D=2，
由余弦定理可得cs∠DA1C1=2+1−22×1×2=24，
所以直线AC与直线A1D所成角的余弦值为24，C选项正确；
由题可得，平面AA1C1C与平面ABC交线为AC， BE⊥AC，BE⊂平面ABC，
根据面面垂直的性质可得BE⊥平面AA1C1C，BE//OD，
所以OD⊥平面AA1C1C，
则线CD与平面AA1C1C所成角就是∠DCO.
在直角三角形DCO中，CD=2，CO=52，
所以直线CD与平面AA1C1C所成角的余弦值为104，D选项正确．
故选BCD．
【答案】
A,C,D
【考点】
抛物线的性质
圆与圆锥曲线的综合问题
抛物线的标准方程
【解析】
通过设直线l:x=my+p2，与抛物线方程联立，得到根与系数的关系y1+y2=2pm，y1y2=−p2，选项ABD均可转化为坐标的运算，代入根与系数的关系，得到结果，C选项可直接根据焦半径公式，计算并判断．
【解答】
解：设Ax1,y1，Bx2,y2，直线l:x=my+p2，
直线l与抛物线方程联立得，x=my+p2，y2=2px，
整理得，y2−2pmy−p2=0，
因为Δ>0，
所以y1+y2=2pm，y1y2=−p2.
A，OA→⋅OB→=x1x2+y1y2
=y12y22(2p)2+y1y2=p24−p2=−34p2，故A正确；
B，根据焦半径公式可知|AF|=x1+p2，|BF|=x2+p2，
则|AF||BF|=x1+p2x2+p2=my1+pmy2+p
=m2y1y2+pmy1+y2+p2
=−m2p2+2p2m2+p2=p2m2+1.
由条件可知，m2+1=4，
解得：m=±3，
即直线l的斜率k=1m=±33，故B错误；
C，由题意可知2+p2=3，
解得：p=2，
则抛物线方程是y2=4x，故C正确；
D，由题意可知p=2，
所以y1+y2=4m.
由圆的几何性质可知sin∠PMN=dr，
则点P到y轴的距离d=x1+x22，r=|AB|2=x1+x2+p2，
所以d=2m2+1，r=2m2+2，
则sin∠PMN=dr=2m2+12m2+2=1−12m2+1，
当m2=0时，sin∠PMN取得最小值12，故D正确 .
故选ACD．
三、填空题
【答案】
∃x0>0，12x0≥1
【考点】
命题的否定
【解析】
本题主要考查全称命题的否定．
【解答】
解：因为全称命题的否定是特称命题，否定全称命题时，一是要将全称量词改写为存在量词，二是否定结论，
所以命题p：∀x>0，12x<1的否定¬p为∃x0>0，12x0≥1．
故答案为： ∃x0>0，12x0≥1．
【答案】
30∘
【考点】
正弦定理
【解析】
由题意及方位角的定义画出简图，设到C点甲船上乙船，乙到C地用的时间为t，由于乙船速度追为an，则BC=tan，AC=3ant，B=120∘，在三角形中利用正弦定理求得∠CAB的值，即可得到答案．
【解答】
解：设经过t时两船在C点相遇.
∵ 乙船速度为a，
∴ BC=at，AC=3at，B=120∘．
由正弦定理可得，BCsin∠CAB=ACsinB，
即atsin∠CAB=3atsin120∘，
解得sin∠CAB=12，
∴ ∠CAB=30∘，
则∠DAC=30∘，
故甲船应沿着北偏东30∘方向前进，才能最快与乙船相遇．
故答案为：30∘.
【答案】
375
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的定义
【解析】
由PQ⊥PF1，|PQ|与|PF1|的关系，可得|QF1|于|PF1|的关系，由双曲线的定义可得2a＝|PF1|−|PF2|＝|QF1|−|QF2|，解得|PF1|，然后利用直角三角形，推出a，c的关系，可得双曲线的离心率．
【解答】
解：在直角三角形PF1Q中，
|QF1|=|PF1|2+|PQ|2=1312|PF1|.
由双曲线的定义可得，
2a=|PF1|−|PF2|=|QF1|−|QF2|.
由|PQ|=512|PF1|，
得|PF2|+|QF2|=512|PF1|，
∴ |PF1|−2a+1312|PF1|−2a=512|PF1|，
∴ (1−512+1312)|PF1|=4a，
解得|PF1|=12a5．
∴ |PF2|=|PF1|−2a=12a5−2a=2a5.
由勾股定理可得，
2c=|F1F2|=(12a5)2+(2a5)2=2375a，
则e=375．
故答案为：375．
【答案】
(−34,114)
【考点】
数列与函数最值问题
数列与函数单调性问题
数列递推式
【解析】
由数列递推式求出首项，写出n≥2时的递推式，作差后对n分偶数和奇数讨论，求出数列通项公式，可得函数an=12n+1−1（n为正奇数）为减函数，最大值为a1=−34，函数an=3−12n（n为正偶数）为增函数，最小值为a2=114．再由(an+1−p)(an−p)<0恒成立求得实数p的取值范围．
【解答】
解：由Sn=(−1)nan+12n+n−3，得a1=−34.
当n≥2时，
an=Sn−Sn−1=(−1)nan+12n+n−3
−(−1)n−1an−1−12n−1−(n−1)+3
=(−1)nan+(−1)nan−1−12n+1．
若n为偶数，则an−1=12n−1，
∴ an=12n+1−1（n为正奇数）.
若n为奇数，则an−1=−2an−12n+1
=−2(12n+1−1)−12n+1=3−12n−1，
∴ an=3−12n（n为正偶数）．
又函数an=12n+1−1（n为正奇数）为减函数，
则其最大值为a1=−34.
同理可得，函数an=3−12n（n为正偶数）的最小值为a2=114．
若(an+1−p)(an−p)<0恒成立，
则a1故答案为：(−34,114)．
四、解答题
【答案】
解：(1)①由S10=5a10+1，
得10a1+10×92d=5a1+9d+1，
即a1=1.
②由a1，a2，a6成等比数列，
得a22=a1a6，
即a12+2a1d+d2=a12+5a1d，
即d=3a1.
③由S5=35，
得5a1+a52=5a3=35，
即a3=a1+2d=7.
选择①②，①③，②③条件组合，均得a1=1，d=3，
则an=3n−2.
(2)由(1)得an+bn=3n−2+12n，
则Tn=1+4+7+⋯+3n−2+
12+122+123+⋯+12n
=n1+3n−22+121−12n1−12
=3n2−n+22−12n，
即Tn=3n2−n+22−12n．
【考点】
等差数列的通项公式
等比中项
等差数列的前n项和
数列的求和
【解析】
本题考查等差数列、等比数列的综合计算问题，涉及到基本量的计算，分组求和法求数列的和．
【解答】
解：(1)①由S10=5a10+1，
得10a1+10×92d=5a1+9d+1，
即a1=1.
②由a1，a2，a6成等比数列，
得a22=a1a6，
即a12+2a1d+d2=a12+5a1d，
即d=3a1.
③由S5=35，
得5a1+a52=5a3=35，
即a3=a1+2d=7.
选择①②，①③，②③条件组合，均得a1=1，d=3，
则an=3n−2.
(2)由(1)得an+bn=3n−2+12n，
则Tn=1+4+7+⋯+3n−2+
12+122+123+⋯+12n
=n1+3n−22+121−12n1−12
=3n2−n+22−12n，
即Tn=3n2−n+22−12n．
【答案】
解：(1)由题意得，acsC+(c−3b)csA=0，
由正弦定理得，sinAcsC+(sinC−3sinB)csA=0，
即sinAcsC+sinCcsA=3sinBcsA.
因为sinB≠0，
所以csA=13，
则sinA=1−cs2A=223，
则tanA=sinAcsA=22.
(2)因为△ABC的面积为2，
则S△ABC=12bcsinA=12⋅bc⋅223=2，
解得bc=3.
由余弦定理得，a2=b2+c2−2bccsA
=(b−c)2+2bc−23bc=8，
则a=22．
【考点】
正弦定理
两角和与差的正弦公式
同角三角函数间的基本关系
诱导公式
余弦定理
【解析】
（1）根据题意，对于acsC+(c−3b)csA=0由正弦定理分析可得sinAcsC+(sinC−3sinB)csA=0，变形可得csA=13，利用同角三角函数的基本关系式分析可得答案；
（2）由三角形面积公式可得S=12bcsinA=12×bc×223=2，变形可得bc=3，又由余弦定理，a2=b2+c2−2bccsA，代入数据计算即可得答案．
【解答】
解：(1)由题意得，acsC+(c−3b)csA=0，
由正弦定理得，sinAcsC+(sinC−3sinB)csA=0，
即sinAcsC+sinCcsA=3sinBcsA.
因为sinB≠0，
所以csA=13，
则sinA=1−cs2A=223，
则tanA=sinAcsA=22.
(2)因为△ABC的面积为2，
则S△ABC=12bcsinA=12⋅bc⋅223=2，
解得bc=3.
由余弦定理得，a2=b2+c2−2bccsA
=(b−c)2+2bc−23bc=8，
则a=22．
【答案】
解：(1)∵ |MF|=6，由题意得5+p2=6，
∴ p=2，抛物线方程为y2=4x.
∵ M在抛物线上，
∴ m2=20，解得m=±25.
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则y12=4x1，y22=4x2，
∴ y12−y22=4(x1−x2).
当x1≠x2时，(y1+y2)⋅y1−y2x1−x2=4.
直线l的斜率为k=y1−y2x1−x2.
∵ AB的中点为(2,1)，
∴ y1+y2=2，解得k=2，
∴ 直线l的方程为y−1=2(x−2)，即2x−y−3=0；
当x1=x2时，点P不可能为中点，
∴ 直线l的方程为2x−y−3=0.
【考点】
抛物线的标准方程
与抛物线有关的中点弦及弦长问题
【解析】
【解答】
解：(1)∵ |MF|=6，由题意得5+p2=6，
∴ p=2，抛物线方程为y2=4x.
∵ M在抛物线上，
∴ m2=20，解得m=±25.
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则y12=4x1，y22=4x2，
∴ y12−y22=4(x1−x2).
当x1≠x2时，(y1+y2)⋅y1−y2x1−x2=4.
直线l的斜率为k=y1−y2x1−x2.
∵ AB的中点为(2,1)，
∴ y1+y2=2，解得k=2，
∴ 直线l的方程为y−1=2(x−2)，即2x−y−3=0；
当x1=x2时，点P不可能为中点，
∴ 直线l的方程为2x−y−3=0.
【答案】
解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系.
设A1A=a.
由AB=42，
得AC=BC=4，
则A4,0,0，C0,0,0，A14,0,a，B10,4,a，M2,2,0，
所以A1M→=−2,2,−a，B1C→=0,−4,−a．
因为A1M⊥B1C，
所以−2×0+2×−4+−a×−a=0，
解得a=22，即A1A的长为22．
(2)由(1)知C10,0,22，
设N0,0,λ，
所以B1A→=4,−4,−22，B1N→=0,−4,λ−22.
设平面B1AN的一个法向量为n1→=x1,y1,z1，
由n1→⊥B1A→，n1→⊥B1N→，
得4x1−4y1−22z1=0，−4y1+λ−22z1=0，
取n1→=1,1−22λ,4λ，
易知平面BCC1B1的一个法向量为n2→=1,0,0.
设平面B1AN与平面BCC1B1所成锐二面角的平面角为θ，
csθ=cs⟨n1→，n2→⟩=|n1→⋅n2→||n1→||n2→|=1010，
解得λ=2或λ=−322（舍去），
所以N在棱CC1的中点处．
【考点】
向量的数量积判断向量的共线与垂直
与二面角有关的立体几何综合题
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
本题考查空间中线段的长度、向量法求二面角的大小．
【解答】
解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系.
设A1A=a.
由AB=42，
得AC=BC=4，
则A4,0,0，C0,0,0，A14,0,a，B10,4,a，M2,2,0，
所以A1M→=−2,2,−a，B1C→=0,−4,−a．
因为A1M⊥B1C，
所以−2×0+2×−4+−a×−a=0，
解得a=22，即A1A的长为22．
(2)由(1)知C10,0,22，
设N0,0,λ，
所以B1A→=4,−4,−22，B1N→=0,−4,λ−22.
设平面B1AN的一个法向量为n1→=x1,y1,z1，
由n1→⊥B1A→，n1→⊥B1N→，
得4x1−4y1−22z1=0，−4y1+λ−22z1=0，
取n1→=1,1−22λ,4λ，
易知平面BCC1B1的一个法向量为n2→=1,0,0.
设平面B1AN与平面BCC1B1所成锐二面角的平面角为θ，
csθ=cs⟨n1→，n2→⟩=|n1→⋅n2→||n1→||n2→|=1010，
解得λ=2或λ=−322（舍去），
所以N在棱CC1的中点处．
【答案】
解：(1)由题意得，每年的维修保养费用构成首项为200，公差为40的等差数列，
所以x年的总维修保养费用为：
200x+40×x(x−1)2，
则y=2800x−4500−[200x+40×x(x−1)2]
=−20x2+2620x−4500.
(2)由(1)可知，平均盈利额为yx=−20x+2620−4500x
=2620−(20x+4500x)
≤2620−220x⋅4500x
=2620−2×300
=2020，
当且仅当20x=4500x，即x=15时，等号成立，
所以当该设备使用15年时，商家的年平均盈利额最大，最大为2020万元．
【考点】
根据实际问题选择函数类型
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意得，每年的维修保养费用构成首项为200，公差为40的等差数列，
所以x年的总维修保养费用为：
200x+40×x(x−1)2，
则y=2800x−4500−[200x+40×x(x−1)2]
=−20x2+2620x−4500.
(2)由(1)可知，平均盈利额为yx=−20x+2620−4500x
=2620−(20x+4500x)
≤2620−220x⋅4500x
=2620−2×300
=2020，
当且仅当20x=4500x，即x=15时，等号成立，
所以当该设备使用15年时，商家的年平均盈利额最大，最大为2020万元．
【答案】
解：(1)由题设知，bc=3，b2ca=32，
解得a=2，b=3，
所以椭圆C的方程为x24+y23=1．
(2)当直线l与x轴重合时，
|MF|=3|FN|，不合题意．
当直线l与x轴不重合时，
设直线l的方程为x=ty+1，
设Mx1，y1， Nx2，y2，
联立x=ty+1，3x2+4y2=12，
消去x整理得3t2+4y2+6ty−9=0.
因为Δ>0，
所以y1+y2=−6t3t2+4，①
y1y2=−93t2+4.②
由|MF|=2|FN|，得y1=−2y2，③
联立①②③得−72t23t2+42=−93t2+4，
解得t=±255，
所以直线l的方程为5x±2y−5=0．
(3)设Px0，y0，
当直线l与x轴重合时，
因为点p在椭圆外，
所以x0+2，x0−2同号.
由|PM|⋅|PN|=|PF|2，
得x0+2x0−2=x0−12，
解得x0=52.
当直线l与x轴不重合时，
由(2)知y1+y2=−6t3t2+4，y1y2=−93t2+4.
因为点p在椭圆外，
所以y1−y0，y2−y0同号.
因为|PM|=1+t2|y1−y0|，|PN|=1+t2|y2−y0|，|PF|=1+t2|y0|，
由|PM|⋅|PN|=|PF|2，得 y1−y0y2−y0=y02，
整理得y1y2−y0y1+y2=0，
即−93t2+4−y0−6t3t2+4=0，
解得y0=32t，
代入直线l方程x=ty+1，
得x0=52，
所以点p在定直线x=52上．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆结合的最值问题
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
（1）根据题意得：bc=3，b2ca=32，及a2=b2+c2，解得a，b，进而可得椭圆得方程．
（2）分两种情况：当直线l与x轴重合时，|MF|=3|FN|，不合题意．当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x=ty+1，Mx1,y1， Nx2,y2，联立直线与椭圆得方程，结合根与系数关系得y1+y2，y1y2，由|MF|=2|FN|得y1=−2y2，组成方程组解得t，进而可得直线l得方程．
（3）设Px0,y0，分两种情况讨论，当直线l与x轴重合时，当直线l与x轴不重合时，由|PM|⋅|PM|=|PF|2，解得x0=52，所以点3p在定直线x=52上．
【解答】
解：(1)由题设知，bc=3，b2ca=32，
解得a=2，b=3，
所以椭圆C的方程为x24+y23=1．
(2)当直线l与x轴重合时，
|MF|=3|FN|，不合题意．
当直线l与x轴不重合时，
设直线l的方程为x=ty+1，
设Mx1，y1， Nx2，y2，
联立x=ty+1，3x2+4y2=12，
消去x整理得3t2+4y2+6ty−9=0.
因为Δ>0，
所以y1+y2=−6t3t2+4，①
y1y2=−93t2+4.②
由|MF|=2|FN|，得y1=−2y2，③
联立①②③得−72t23t2+42=−93t2+4，
解得t=±255，
所以直线l的方程为5x±2y−5=0．
(3)设Px0，y0，
当直线l与x轴重合时，
因为点p在椭圆外，
所以x0+2，x0−2同号.
由|PM|⋅|PN|=|PF|2，
得x0+2x0−2=x0−12，
解得x0=52.
当直线l与x轴不重合时，
由(2)知y1+y2=−6t3t2+4，y1y2=−93t2+4.
因为点p在椭圆外，
所以y1−y0，y2−y0同号.
因为|PM|=1+t2|y1−y0|，|PN|=1+t2|y2−y0|，|PF|=1+t2|y0|，
由|PM|⋅|PN|=|PF|2，得 y1−y0y2−y0=y02，
整理得y1y2−y0y1+y2=0，
即−93t2+4−y0−6t3t2+4=0，
解得y0=32t，
代入直线l方程x=ty+1，
得x0=52，
所以点p在定直线x=52上．
1. 若a，b，c∈R且a>b，则下列各式中正确的是( )
A.ac>bcB.ac2>bc2C.a+c2>b+c2D.1a<1b
2. “1
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3. 已知实数1，m，9成等比数列，则椭圆x2m+y2=1的离心率为( )
A.63B.2C.63或2D.22或3
4. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A=60∘，a=3，则b+csinB+sinC等于( )
A.12B.3C.32D.2
5. 幻方是中国古代一种填数游戏，n(n∈N,n≥3)阶幻方是指将连续n2个正整数排成的正方形数阵，使之同一行、同一列和同一对角线上的n个数的和都相等.中国古籍《周易本义》中的《洛书》记载了一个3阶幻方（如图1），现代符号表示如图2.若某3阶幻方正中间的数是2019，则该幻方中的最小数为( )
A.2013B.2014C.2015D.2016
6. 已知a>−1，b>0，a+2b=1，则1a+1+2b的最小值为( )
A.72B.92C.7D.9
7. 如图，已知DE是正△ABC的中位线，沿AD将△ABC折成直二面角B−AD−C，则翻折后异面直线AB与DE所成角的余弦值为( )
A.34B.23C.12D.0
8.
已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若(F2F1→+F2A→)⋅F1A→=0，则此双曲线的标准方程可能为( )
A.x24−y23=1B.x23−y24=1C.x216−y29=1D.x29−y216=1
二、多选题
下列命题中正确的是( )
A.单位向量都相等
B.任一向量与它的相反向量不相等
C.若A，B，C，D四点不共线，四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB→=DC→
D.模为0是一个向量方向不确定的充要条件
已知各项均为正项的等比数列{an}，a1>1，0
B.若Sn=Aqn+B，则A+B=0
C.Sn⋅S3n=S2n2
D.记Tn=a1⋅a2⋯⋯an，则数列{Tn}有最大值
如图，三棱柱ABC−A1B1C1的底面是边长为1的等边三角形，侧棱AA1⊥底面ABC且AA1=2，D，E分别是BB1，AC的中点，则下列结论成立的是( )
A.直线CD与B1C1是异面直线
B.直线BE与平面A1CD平行
C.直线AC与直线A1D所成角的余弦值为24
D.直线CD与平面AA1C1C所成角的余弦值为104
已知抛物线y2=2pxp>0的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为P，则( )
A.OA→⋅OB→=−34p2
B.若|AF|⋅|BF|=4p2，则直线AB的斜率为3
C.若抛物线上存在一点E2,t到焦点F的距离等于3，则抛物线的方程为y2=4x
D.若点F到抛物线准线的距离为2，则sin∠PMN的最小值为12
三、填空题
命题p:∀x>0,12x<1的否定形式为________.
甲船在A处发现乙船在其北偏东60∘方向上的B处，乙船正以anmile/ℎ的速度向北行驶，已知甲船的速度是3anmile/ℎ，则甲船应沿着北偏东________方向前进，才能最快与乙船相遇.
已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交双曲线右支于P，Q两点，且PQ⊥PF1，若|PQ|=512|PF1|，则双曲线的离心率为________．
已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N∗，Sn=(−1)nan+12n+n−3且(an+1−p)(an−p)<0恒成立，则实数p的取值范围是________．
四、解答题
已知等差数列an的公差为dd≠0，前n项和为Sn，且满足________．（从①S10=5a10+1；②a1，a2，a6成等比数列；③S5=35，这三个条件中任选两个补充到题干中的横线位置，并根据你的选择解决问题）
(1)求an；
(2)若bn=12n，求数列an+bn的前n项和Tn.
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且acsC+(c−3b)csA=0．
(1)求tanA的值；
(2)若△ABC的面积为2，且b−c=2，求a的值．
已知抛物线C：y2=2pxp>0上的点M5,m到焦点F的距离为6.
(1)求p，m的值；
(2)过点P2,1作直线l交抛物线C于A，B两点，且点P是线段AB的中点，求直线l方程.
在直三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90∘，AB=42，M是AB的中点，且A1M⊥B1C.
(1)求A1A的长；
(2)已知点N在棱CC1上，若平面B1AN与平面BCC1B1所成锐二面角的平面角的余弦值为1010，试确定点N的位置．
某商家耗资4500万元购进一批VR（虚拟现实）设备，经调试后计划明年开始投入使用，由于设备损耗和维护，第一年需维修保养费用200万元，从第二年开始，每年的维修保养费用比上一年增40万元．该设备使用后，每年的总收入为2800万元．
(1)求盈利额y（万元）与使用年数x之间的函数关系式；
(2)该设备使用多少年，商家的年平均盈利额最大？最大年平均盈利额是多少？
已知点F是椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的右焦点，过点F的直线l交椭圆于M，N两点．当直线l过C的下顶点时，l的斜率为3，当直线l垂直于C的长轴时．△OMN的面积为32.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)当|MF|=2|FN|时，求直线l的方程；
(3)若直线l上存在点P满足|PM|，|PF|，|PN|成等比数列，且点P在椭圆外，证明：点P在定直线上．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖南省岳阳市高二（上）11月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
不等式的基本性质
【解析】
由a>b，根据不等式的基本性质即可得出结论．
【解答】
解：由题意知，a>b，
因为无法判断c的正负，
故ac与bc的大小关系无法确定.
因为无法确定a，b的正负，
故1a与1b的大小关系无法确定.
因为c2≥0，
所以ac2≥bc2，a+c2>b+c2．
故选C.
2.
【答案】
B
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
椭圆的定义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题知若“方程x2m−1+y25−m=2表示椭圆”，
则m−1>0，5−m>0，m−1≠5−m，
解得1
3.
【答案】
A
【考点】
等比中项
椭圆的离心率
【解析】
由1，m，9构成一个等比数列，得到m=±3．当m=3时，圆锥曲线是椭圆；当m=−3时，圆锥曲线是双曲线，由此即可求出离心率．
【解答】
解：∵ 1，m，9构成一个等比数列，
∴ m2=1×9，
则m=±3；
∵ 该圆锥曲线是椭圆，
∴ m=3，
∴ 它的离心率是e=23=63.
故选A.
4.
【答案】
D
【考点】
正弦定理
【解析】
利用正弦定理列出关系式，将sinA与a的值代入计算，再利用比例的性质即可求出所求式子的值．
【解答】
解：∵ A=60∘，a=3，
∴ 由正弦定理得：asinA=bsinB=csinC=332=2，
则b+csinB+sinC=bsinB=csinC=2．
故选D.
5.
【答案】
C
【考点】
数列的应用
进行简单的合情推理
【解析】
根据幻方的定义，类比给出的例子求解．
【解答】
解：根据题意，设数列为an，公差为1，
则中间的数是a5=2019，
所以最小的数是a1=a5−4d=2015.
故选C.
6.
【答案】
B
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
考查基本不等式在求最值中的应用．
【解答】
解：∵ a>−1，b>0，a+2b=1，
∴ a+1>0，
∴ a+1+2b=2，
∴ 21a+1+2b=(a+1+2b)1a+1+2b
=1+2ba+1+2(a+1)b+4
≥5+22ba+1⋅2(a+1)b=9，
当且仅当a+1=b，即a=−13，b=23时，等号成立，
∴ 1a+1+2b≥92，
∴ 1a+1+2b的最小值为92．
故选B．
7.
【答案】
A
【考点】
异面直线及其所成的角
【解析】
以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出翻折后异面直线AB与DE所称的余弦值．
【解答】
解：如图所示，以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DA为z轴，建立空间直角坐标系.
设正△ABC的边长为2，
则A(0, 0, 3)，B(1, 0, 0)，D(0, 0, 0)，E(0, 12, 32)，
则AB→=(1, 0, −3)，DE→=(0, 12, 32)，
∴ cs
∴ 翻折后异面直线AB与DE所成角的余弦值为34．
故选A．
8.
【答案】
D
【考点】
双曲线的标准方程
余弦定理的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由(F2F1→+F2A→)⋅F1A→=0，
可知|F1F2|=|F2A|=2c，且cs∠AF2F1=−725，
在△AF1F2中，由余弦定理得，
|AF1|=165c，
由双曲线的定义得，
165c−2c=2a，
所以e=ca=53，
则a:b=3:4，
所以此双曲线的标准方程可能为
x29−y216=1.
故选D.
二、多选题
【答案】
C,D
【考点】
命题的真假判断与应用
必要条件、充分条件与充要条件的判断
单位向量
零向量
向量的模
【解析】
利用空间向量的概念可判断A选项的正误，取零向量可判断B选项的正误；利用相等向量的概念与充要条件的定义可判断C选项的正误，利用零向量的概念可判断D选项的正误．
【解答】
解：A，不正确，单位向量的模均相等且为1，但方向并不一定相同；
B，不正确，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的；
C，正确，充分性：若四边形ABCD是平行四边形，
则AB//CD且AB=CD，
∴ AB→=DC→.
必要性：若AB→=DC→且A，B，C，D四点不共线，
则AB//CD且AB=CD，
∴ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ 四边形ABCD是平行四边形的充要条件是AB→=DC→；
D，正确，若一个向量的模为0，则该向量为零向量，该向量的方向不确定 .
故选CD．
【答案】
A,B,D
【考点】
等比数列的前n项和
等差数列
等比数列的性质
【解析】
直接利用数列的通项公式判定A正确，进一步利用数列的前n项和公式的转换的应用和函数的单调性的应用求出结果．
【解答】
解：由题可知，an=a1⋅qn−1，Sn=a1(1−qn)1−q，
A，因为lnan=lna1⋅qn−1=lna1+(n−1)lnq，
lnan+1=lna1⋅qn=lna1+nlnq，
所以lnan+1−lnan=lnq，故选项正确；
B，因为Sn=a1(1−qn)1−q=a11−q−a11−q⋅qn，
又Sn=Aqn+B，所以A+B=0，故选项正确；
C，因为Sn=a1(1−qn)1−q，
则S3n=a1(1−q3n)1−q，S2n=a1(1−q2n)1−q，
所以Sn⋅S3n=a12(1−q3n)(1−qn)(1−q)2
≠a12(1−q2n)2(1−q)2=S2n2，故选项错误；
D，因为Tn=a1⋅a2⋯⋯an，a1>1且0
因此总存在从某一项开始使得ak=a1⋅qk−1(0
故选ABD.
【答案】
B,C,D
【考点】
直线与平面平行的判定
直线与平面所成的角
异面直线及其所成的角
【解析】
此题考查空间线面位置关系，涉及异面直线判定，求异面直线所成角，判断线面平行，求直线与平面所成角的大小．
【解答】
解：直线CD与B1C1在同一平面B1C1CB内，不是异面直线，A选项错误；
如图所示，取A1C，AC1交点O，连接OE，OD，
则OE//CC1，OE//BD，OE=12CC1=BD，
所以四边形BDOE是平行四边形，
则BE//OD.
又BE⊄平面A1CD，OD⊂平面A1CD，
所以直线BE与平面A1CD平行，B选项正确；
因为AC//A1C1，
则直线AC与直线A1D所成角就是A1C1与直线A1D所成角.
由题意知，正三棱柱ABC−A1B1C1的底面是边长为1的等边三角形，
则正三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱长为2，
连接C1D.
在△A1C1D中，A1C1=1，C1D=A1D=2，
由余弦定理可得cs∠DA1C1=2+1−22×1×2=24，
所以直线AC与直线A1D所成角的余弦值为24，C选项正确；
由题可得，平面AA1C1C与平面ABC交线为AC， BE⊥AC，BE⊂平面ABC，
根据面面垂直的性质可得BE⊥平面AA1C1C，BE//OD，
所以OD⊥平面AA1C1C，
则线CD与平面AA1C1C所成角就是∠DCO.
在直角三角形DCO中，CD=2，CO=52，
所以直线CD与平面AA1C1C所成角的余弦值为104，D选项正确．
故选BCD．
【答案】
A,C,D
【考点】
抛物线的性质
圆与圆锥曲线的综合问题
抛物线的标准方程
【解析】
通过设直线l:x=my+p2，与抛物线方程联立，得到根与系数的关系y1+y2=2pm，y1y2=−p2，选项ABD均可转化为坐标的运算，代入根与系数的关系，得到结果，C选项可直接根据焦半径公式，计算并判断．
【解答】
解：设Ax1,y1，Bx2,y2，直线l:x=my+p2，
直线l与抛物线方程联立得，x=my+p2，y2=2px，
整理得，y2−2pmy−p2=0，
因为Δ>0，
所以y1+y2=2pm，y1y2=−p2.
A，OA→⋅OB→=x1x2+y1y2
=y12y22(2p)2+y1y2=p24−p2=−34p2，故A正确；
B，根据焦半径公式可知|AF|=x1+p2，|BF|=x2+p2，
则|AF||BF|=x1+p2x2+p2=my1+pmy2+p
=m2y1y2+pmy1+y2+p2
=−m2p2+2p2m2+p2=p2m2+1.
由条件可知，m2+1=4，
解得：m=±3，
即直线l的斜率k=1m=±33，故B错误；
C，由题意可知2+p2=3，
解得：p=2，
则抛物线方程是y2=4x，故C正确；
D，由题意可知p=2，
所以y1+y2=4m.
由圆的几何性质可知sin∠PMN=dr，
则点P到y轴的距离d=x1+x22，r=|AB|2=x1+x2+p2，
所以d=2m2+1，r=2m2+2，
则sin∠PMN=dr=2m2+12m2+2=1−12m2+1，
当m2=0时，sin∠PMN取得最小值12，故D正确 .
故选ACD．
三、填空题
【答案】
∃x0>0，12x0≥1
【考点】
命题的否定
【解析】
本题主要考查全称命题的否定．
【解答】
解：因为全称命题的否定是特称命题，否定全称命题时，一是要将全称量词改写为存在量词，二是否定结论，
所以命题p：∀x>0，12x<1的否定¬p为∃x0>0，12x0≥1．
故答案为： ∃x0>0，12x0≥1．
【答案】
30∘
【考点】
正弦定理
【解析】
由题意及方位角的定义画出简图，设到C点甲船上乙船，乙到C地用的时间为t，由于乙船速度追为an，则BC=tan，AC=3ant，B=120∘，在三角形中利用正弦定理求得∠CAB的值，即可得到答案．
【解答】
解：设经过t时两船在C点相遇.
∵ 乙船速度为a，
∴ BC=at，AC=3at，B=120∘．
由正弦定理可得，BCsin∠CAB=ACsinB，
即atsin∠CAB=3atsin120∘，
解得sin∠CAB=12，
∴ ∠CAB=30∘，
则∠DAC=30∘，
故甲船应沿着北偏东30∘方向前进，才能最快与乙船相遇．
故答案为：30∘.
【答案】
375
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的定义
【解析】
由PQ⊥PF1，|PQ|与|PF1|的关系，可得|QF1|于|PF1|的关系，由双曲线的定义可得2a＝|PF1|−|PF2|＝|QF1|−|QF2|，解得|PF1|，然后利用直角三角形，推出a，c的关系，可得双曲线的离心率．
【解答】
解：在直角三角形PF1Q中，
|QF1|=|PF1|2+|PQ|2=1312|PF1|.
由双曲线的定义可得，
2a=|PF1|−|PF2|=|QF1|−|QF2|.
由|PQ|=512|PF1|，
得|PF2|+|QF2|=512|PF1|，
∴ |PF1|−2a+1312|PF1|−2a=512|PF1|，
∴ (1−512+1312)|PF1|=4a，
解得|PF1|=12a5．
∴ |PF2|=|PF1|−2a=12a5−2a=2a5.
由勾股定理可得，
2c=|F1F2|=(12a5)2+(2a5)2=2375a，
则e=375．
故答案为：375．
【答案】
(−34,114)
【考点】
数列与函数最值问题
数列与函数单调性问题
数列递推式
【解析】
由数列递推式求出首项，写出n≥2时的递推式，作差后对n分偶数和奇数讨论，求出数列通项公式，可得函数an=12n+1−1（n为正奇数）为减函数，最大值为a1=−34，函数an=3−12n（n为正偶数）为增函数，最小值为a2=114．再由(an+1−p)(an−p)<0恒成立求得实数p的取值范围．
【解答】
解：由Sn=(−1)nan+12n+n−3，得a1=−34.
当n≥2时，
an=Sn−Sn−1=(−1)nan+12n+n−3
−(−1)n−1an−1−12n−1−(n−1)+3
=(−1)nan+(−1)nan−1−12n+1．
若n为偶数，则an−1=12n−1，
∴ an=12n+1−1（n为正奇数）.
若n为奇数，则an−1=−2an−12n+1
=−2(12n+1−1)−12n+1=3−12n−1，
∴ an=3−12n（n为正偶数）．
又函数an=12n+1−1（n为正奇数）为减函数，
则其最大值为a1=−34.
同理可得，函数an=3−12n（n为正偶数）的最小值为a2=114．
若(an+1−p)(an−p)<0恒成立，
则a1
四、解答题
【答案】
解：(1)①由S10=5a10+1，
得10a1+10×92d=5a1+9d+1，
即a1=1.
②由a1，a2，a6成等比数列，
得a22=a1a6，
即a12+2a1d+d2=a12+5a1d，
即d=3a1.
③由S5=35，
得5a1+a52=5a3=35，
即a3=a1+2d=7.
选择①②，①③，②③条件组合，均得a1=1，d=3，
则an=3n−2.
(2)由(1)得an+bn=3n−2+12n，
则Tn=1+4+7+⋯+3n−2+
12+122+123+⋯+12n
=n1+3n−22+121−12n1−12
=3n2−n+22−12n，
即Tn=3n2−n+22−12n．
【考点】
等差数列的通项公式
等比中项
等差数列的前n项和
数列的求和
【解析】
本题考查等差数列、等比数列的综合计算问题，涉及到基本量的计算，分组求和法求数列的和．
【解答】
解：(1)①由S10=5a10+1，
得10a1+10×92d=5a1+9d+1，
即a1=1.
②由a1，a2，a6成等比数列，
得a22=a1a6，
即a12+2a1d+d2=a12+5a1d，
即d=3a1.
③由S5=35，
得5a1+a52=5a3=35，
即a3=a1+2d=7.
选择①②，①③，②③条件组合，均得a1=1，d=3，
则an=3n−2.
(2)由(1)得an+bn=3n−2+12n，
则Tn=1+4+7+⋯+3n−2+
12+122+123+⋯+12n
=n1+3n−22+121−12n1−12
=3n2−n+22−12n，
即Tn=3n2−n+22−12n．
【答案】
解：(1)由题意得，acsC+(c−3b)csA=0，
由正弦定理得，sinAcsC+(sinC−3sinB)csA=0，
即sinAcsC+sinCcsA=3sinBcsA.
因为sinB≠0，
所以csA=13，
则sinA=1−cs2A=223，
则tanA=sinAcsA=22.
(2)因为△ABC的面积为2，
则S△ABC=12bcsinA=12⋅bc⋅223=2，
解得bc=3.
由余弦定理得，a2=b2+c2−2bccsA
=(b−c)2+2bc−23bc=8，
则a=22．
【考点】
正弦定理
两角和与差的正弦公式
同角三角函数间的基本关系
诱导公式
余弦定理
【解析】
（1）根据题意，对于acsC+(c−3b)csA=0由正弦定理分析可得sinAcsC+(sinC−3sinB)csA=0，变形可得csA=13，利用同角三角函数的基本关系式分析可得答案；
（2）由三角形面积公式可得S=12bcsinA=12×bc×223=2，变形可得bc=3，又由余弦定理，a2=b2+c2−2bccsA，代入数据计算即可得答案．
【解答】
解：(1)由题意得，acsC+(c−3b)csA=0，
由正弦定理得，sinAcsC+(sinC−3sinB)csA=0，
即sinAcsC+sinCcsA=3sinBcsA.
因为sinB≠0，
所以csA=13，
则sinA=1−cs2A=223，
则tanA=sinAcsA=22.
(2)因为△ABC的面积为2，
则S△ABC=12bcsinA=12⋅bc⋅223=2，
解得bc=3.
由余弦定理得，a2=b2+c2−2bccsA
=(b−c)2+2bc−23bc=8，
则a=22．
【答案】
解：(1)∵ |MF|=6，由题意得5+p2=6，
∴ p=2，抛物线方程为y2=4x.
∵ M在抛物线上，
∴ m2=20，解得m=±25.
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则y12=4x1，y22=4x2，
∴ y12−y22=4(x1−x2).
当x1≠x2时，(y1+y2)⋅y1−y2x1−x2=4.
直线l的斜率为k=y1−y2x1−x2.
∵ AB的中点为(2,1)，
∴ y1+y2=2，解得k=2，
∴ 直线l的方程为y−1=2(x−2)，即2x−y−3=0；
当x1=x2时，点P不可能为中点，
∴ 直线l的方程为2x−y−3=0.
【考点】
抛物线的标准方程
与抛物线有关的中点弦及弦长问题
【解析】
【解答】
解：(1)∵ |MF|=6，由题意得5+p2=6，
∴ p=2，抛物线方程为y2=4x.
∵ M在抛物线上，
∴ m2=20，解得m=±25.
(2)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则y12=4x1，y22=4x2，
∴ y12−y22=4(x1−x2).
当x1≠x2时，(y1+y2)⋅y1−y2x1−x2=4.
直线l的斜率为k=y1−y2x1−x2.
∵ AB的中点为(2,1)，
∴ y1+y2=2，解得k=2，
∴ 直线l的方程为y−1=2(x−2)，即2x−y−3=0；
当x1=x2时，点P不可能为中点，
∴ 直线l的方程为2x−y−3=0.
【答案】
解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系.
设A1A=a.
由AB=42，
得AC=BC=4，
则A4,0,0，C0,0,0，A14,0,a，B10,4,a，M2,2,0，
所以A1M→=−2,2,−a，B1C→=0,−4,−a．
因为A1M⊥B1C，
所以−2×0+2×−4+−a×−a=0，
解得a=22，即A1A的长为22．
(2)由(1)知C10,0,22，
设N0,0,λ，
所以B1A→=4,−4,−22，B1N→=0,−4,λ−22.
设平面B1AN的一个法向量为n1→=x1,y1,z1，
由n1→⊥B1A→，n1→⊥B1N→，
得4x1−4y1−22z1=0，−4y1+λ−22z1=0，
取n1→=1,1−22λ,4λ，
易知平面BCC1B1的一个法向量为n2→=1,0,0.
设平面B1AN与平面BCC1B1所成锐二面角的平面角为θ，
csθ=cs⟨n1→，n2→⟩=|n1→⋅n2→||n1→||n2→|=1010，
解得λ=2或λ=−322（舍去），
所以N在棱CC1的中点处．
【考点】
向量的数量积判断向量的共线与垂直
与二面角有关的立体几何综合题
用空间向量求平面间的夹角
【解析】
本题考查空间中线段的长度、向量法求二面角的大小．
【解答】
解：(1)建立如图所示的空间直角坐标系.
设A1A=a.
由AB=42，
得AC=BC=4，
则A4,0,0，C0,0,0，A14,0,a，B10,4,a，M2,2,0，
所以A1M→=−2,2,−a，B1C→=0,−4,−a．
因为A1M⊥B1C，
所以−2×0+2×−4+−a×−a=0，
解得a=22，即A1A的长为22．
(2)由(1)知C10,0,22，
设N0,0,λ，
所以B1A→=4,−4,−22，B1N→=0,−4,λ−22.
设平面B1AN的一个法向量为n1→=x1,y1,z1，
由n1→⊥B1A→，n1→⊥B1N→，
得4x1−4y1−22z1=0，−4y1+λ−22z1=0，
取n1→=1,1−22λ,4λ，
易知平面BCC1B1的一个法向量为n2→=1,0,0.
设平面B1AN与平面BCC1B1所成锐二面角的平面角为θ，
csθ=cs⟨n1→，n2→⟩=|n1→⋅n2→||n1→||n2→|=1010，
解得λ=2或λ=−322（舍去），
所以N在棱CC1的中点处．
【答案】
解：(1)由题意得，每年的维修保养费用构成首项为200，公差为40的等差数列，
所以x年的总维修保养费用为：
200x+40×x(x−1)2，
则y=2800x−4500−[200x+40×x(x−1)2]
=−20x2+2620x−4500.
(2)由(1)可知，平均盈利额为yx=−20x+2620−4500x
=2620−(20x+4500x)
≤2620−220x⋅4500x
=2620−2×300
=2020，
当且仅当20x=4500x，即x=15时，等号成立，
所以当该设备使用15年时，商家的年平均盈利额最大，最大为2020万元．
【考点】
根据实际问题选择函数类型
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由题意得，每年的维修保养费用构成首项为200，公差为40的等差数列，
所以x年的总维修保养费用为：
200x+40×x(x−1)2，
则y=2800x−4500−[200x+40×x(x−1)2]
=−20x2+2620x−4500.
(2)由(1)可知，平均盈利额为yx=−20x+2620−4500x
=2620−(20x+4500x)
≤2620−220x⋅4500x
=2620−2×300
=2020，
当且仅当20x=4500x，即x=15时，等号成立，
所以当该设备使用15年时，商家的年平均盈利额最大，最大为2020万元．
【答案】
解：(1)由题设知，bc=3，b2ca=32，
解得a=2，b=3，
所以椭圆C的方程为x24+y23=1．
(2)当直线l与x轴重合时，
|MF|=3|FN|，不合题意．
当直线l与x轴不重合时，
设直线l的方程为x=ty+1，
设Mx1，y1， Nx2，y2，
联立x=ty+1，3x2+4y2=12，
消去x整理得3t2+4y2+6ty−9=0.
因为Δ>0，
所以y1+y2=−6t3t2+4，①
y1y2=−93t2+4.②
由|MF|=2|FN|，得y1=−2y2，③
联立①②③得−72t23t2+42=−93t2+4，
解得t=±255，
所以直线l的方程为5x±2y−5=0．
(3)设Px0，y0，
当直线l与x轴重合时，
因为点p在椭圆外，
所以x0+2，x0−2同号.
由|PM|⋅|PN|=|PF|2，
得x0+2x0−2=x0−12，
解得x0=52.
当直线l与x轴不重合时，
由(2)知y1+y2=−6t3t2+4，y1y2=−93t2+4.
因为点p在椭圆外，
所以y1−y0，y2−y0同号.
因为|PM|=1+t2|y1−y0|，|PN|=1+t2|y2−y0|，|PF|=1+t2|y0|，
由|PM|⋅|PN|=|PF|2，得 y1−y0y2−y0=y02，
整理得y1y2−y0y1+y2=0，
即−93t2+4−y0−6t3t2+4=0，
解得y0=32t，
代入直线l方程x=ty+1，
得x0=52，
所以点p在定直线x=52上．
【考点】
椭圆的标准方程
直线与椭圆结合的最值问题
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
（1）根据题意得：bc=3，b2ca=32，及a2=b2+c2，解得a，b，进而可得椭圆得方程．
（2）分两种情况：当直线l与x轴重合时，|MF|=3|FN|，不合题意．当直线l与x轴不重合时，设直线l的方程为x=ty+1，Mx1,y1， Nx2,y2，联立直线与椭圆得方程，结合根与系数关系得y1+y2，y1y2，由|MF|=2|FN|得y1=−2y2，组成方程组解得t，进而可得直线l得方程．
（3）设Px0,y0，分两种情况讨论，当直线l与x轴重合时，当直线l与x轴不重合时，由|PM|⋅|PM|=|PF|2，解得x0=52，所以点3p在定直线x=52上．
【解答】
解：(1)由题设知，bc=3，b2ca=32，
解得a=2，b=3，
所以椭圆C的方程为x24+y23=1．
(2)当直线l与x轴重合时，
|MF|=3|FN|，不合题意．
当直线l与x轴不重合时，
设直线l的方程为x=ty+1，
设Mx1，y1， Nx2，y2，
联立x=ty+1，3x2+4y2=12，
消去x整理得3t2+4y2+6ty−9=0.
因为Δ>0，
所以y1+y2=−6t3t2+4，①
y1y2=−93t2+4.②
由|MF|=2|FN|，得y1=−2y2，③
联立①②③得−72t23t2+42=−93t2+4，
解得t=±255，
所以直线l的方程为5x±2y−5=0．
(3)设Px0，y0，
当直线l与x轴重合时，
因为点p在椭圆外，
所以x0+2，x0−2同号.
由|PM|⋅|PN|=|PF|2，
得x0+2x0−2=x0−12，
解得x0=52.
当直线l与x轴不重合时，
由(2)知y1+y2=−6t3t2+4，y1y2=−93t2+4.
因为点p在椭圆外，
所以y1−y0，y2−y0同号.
因为|PM|=1+t2|y1−y0|，|PN|=1+t2|y2−y0|，|PF|=1+t2|y0|，
由|PM|⋅|PN|=|PF|2，得 y1−y0y2−y0=y02，
整理得y1y2−y0y1+y2=0，
即−93t2+4−y0−6t3t2+4=0，
解得y0=32t，
代入直线l方程x=ty+1，
得x0=52，
所以点p在定直线x=52上．
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