苏教版必修1第3章 指数函数、对数函数和幂函数3.2 对数函数3.2.1 对数教学设计及反思

  “对数的概念”教学设计

1        教学目标

（1）理解对数的概念，熟练掌握指数式与对数式的相互转化关系，会将对数问题转化为指数问题进行研究；

（2）经历对数的形成过程，在解决具体问题中体会引入对数的必要性，学会用联系的观点辩证地看问题；体会数形结合，特殊到一般，转化与化归的数学思想，培养学生分析、解决问题的能力，归纳总结的能力和探究意识；

（3）了解对数的作用和对数的发现史，体会数学的魅力，提高数学人文素养和学习兴趣；

2    教学重点、难点

重点：对数的概念，对数式与指数式的互化；

难点：对数概念的理解

3    教学方法与教学手段

本节课采用启发式教学的方法，创设一个有利于概念生成的现实背景，提供学生参与主动探究的问题情境．在教师引领下，以学生已有知识区为起点，使学生能积极参与，充分体会概念的生成，建构新的知识结构并使之纳入已有的知识网络，形成技能．

4    教学过程

4.1  创设情境，引入课题

    升入高一，同学们都已经长大了．有一天，爸爸告诉小明：在你出生时给你存入了一笔学习资金（设学习资金的总额为单位1），这笔钱在不断增加，并且总额每年增加10%．

在指数函数的学习中我们知道，经过x年这笔钱的总额．结合背景材料，提一个你最想提的问题？

生：经过15年，这笔钱是原来的多少倍？（）．

    师：学习资金经过多久变成原来的两倍？（，求x的值）．

4.2  突破困境，引出对数

    师：你的学习资金有没有可能变成原来的两倍，方程是否有解？（学生可从指数函数图像的角度探索指数x的存在性和唯一性）

    生：可以由指数函数的图象，它与y=2的图象有且只有一个交点，交点所对应的横坐标x的值就是方程的根．

    师：看来的确是有可能实现资金翻番的，那么如何表示x的值呢？追溯数字运算的学习历程，以前我们也遇到过类似的困境．

腰长为1的等腰直角三角形斜边长a满足，为了表示这个数，引进新的符号——根号，得到一个新形式的数——根式．

无理数的发现在当时引起了很大的轰动，引发了第一次数学危机．

    师：我们同样可以用一个新的数学符号来表示x，记作，读作以1.1为底2的对数，其中1.1为底数写在下方，2叫做真数（引进新的符号——log，得到一个新形式的数——对数 ）

    师：新符号表示什么？它的含义是什么？

生：新符号表示的是一个数，使成立的数．

师：有了这个符号，就可以解决我们刚才的问题了，．

再比如：．你能再列举一些这样的对数吗？

生： ．．．

    思考：一般的，对于指数式，已知底数a和幂值N如何表示指数呢？

4.3  师生互动，建构概念

    定义：如果a（a>0，a≠ 1）的b次幂等于N，即，那么就称b是以a为底N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

（板书）a>0，a≠ 1，．b叫做以a为底N的对数，a叫做对数的底数，N叫做真数．

    师：对于这个新的符号，书写起来也有讲究，注意底数的位置．

    师：对数其实来源于指数，你能说出a，b，N在两式中的名称吗？（完成下图）

师：对数式中，那么b和N的范围各是多少呢？（引导学生回忆指数函数的图象与性质）

生：．

师：（在图中标明字母的范围）可见真数一定是正数，负数和0没有对数．（板书结论）

师：由对数的定义可知，两个等式表示的是a，b，N这3个量之间的同一个关系，两种写法可以相互转化．比如：．

4.4  概念内化，灵活应用

例1、将下列指数式改写成对数式：

例2、将下列对数式改写成指数式：

口答：根据对数的定义，写出下列各对数的值（a>0，a≠1）：

    师：你能归纳得到出什么结论吗？

生：（板书结论）

练习：

例3、求下列各式的值：

此题由学生交流解法，（1）可由指数式，直接得到，也可以设，将对数式改写成指数式；（2）直接得到对数式对应的指数式并不容易，因此可设，利用对数的定义求解．

师：不管我们用什么方法求解，都是利用了对数的定义，将对数式化归到指数式．

练习：求下列各式的值

将式子作如下改写，你能归纳得到什么结论吗？

由此我们可以总结出一个什么结论？引导学生发现

（板书结论）

师：如何说明这个结论？

（板书结论）

师：其实就是的特殊情况．

利用结论你能马上计算出下列对数值吗？

师：是以10为底的对数，通常将以10为底的对数称为常用对数，对数简记为，比如lg2，lg12等.在科学技术中，常常用以e为底的对数，这种对数称为自然对数，e=2.71828…是一个无理数．正数N的自然对数一般简记为ln N，如分别记为ln2，ln15等．

思考题：

4.5  回顾反思，方法总结

师：什么是对数？我们是如何处理对数问题的？

生：对数是一个数，研究对数问题可以把它化成指数问题进行研究．这两个式子是等价的，表示a，b，N这三个量之间的同一种关系．

师：我们通过生活中的实例，经历了从特殊到一般的过程，得到对数的概念，在处理对数问题时，我们转化为熟悉的指数问题进行研究，体会了转化与化归的思想方法，并且通过类比归纳得到了对数的相关性质，深化了对数的概念．

师：对数是由苏格兰数学家纳皮尔发明的，纳皮尔20年如一日，在没有指数概念的情况下发明了对数．对数的发明直接引发了计算上的革命，法国著名科学家、天文学家拉普拉斯评价道：对数可以缩短计算时间，“在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．清代康熙皇帝主编的《数理精蕴》中记载：“以借数与真数对列成表，故名对数表.其法以加代乘，以减带除，…，盖为乘除之数甚繁，而以假数代之甚易也．”对数运算如何以加代乘，以减代除？同学们可以结合今天我们研究对数的方法先做思考，我们下节课再一起研究．