高中数学苏教版必修13.2.1 对数教案及反思

课题：3.2.1对数

教材：苏教版普通高中课程标准实验教科书 数学必修1

一、教学目标：

1.通过具体实例使学生认识到引进对数的必要性，让学生在实际背景中了解对数的意义，经历对数概念的形成过程；

2.帮助学生理解对数的概念，引导学生认识对数与指数的相互联系，会熟练地进行指数式与对数式的互化，体会转化与化归的思想；

3.引导学生发现关于对数的几个常用结论，了解常用对数和自然对数，了解对数的发明历史，培养学生的探究意识和发现问题、分析问题、解决问题的能力.

二、教学重点、难点：
重点：对数的概念，指数式与对数式的互化；
难点：对数概念的理解.

三、教学方法与手段：

运用引导发现和讲练结合的教学方法，突出教师的“导”和学生的“探”，借助多媒体课件、计算器等工具让学生在教师的引导下，学会思考，大胆探索，建构知识，体会思想，形成技能.

四、教学过程：

（一）问题情境

师：同学们，在指数函数的学习中我们研究过这个问题：

我们知道，若设该物质最初的质量是1，则经过x年，该物质的剩留量为.我们建立这个函数关系式可以实现计算预测的功能，只要知道时间x就可以计算剩留量y.比如，经过3年剩留量是多少？

现实应用中往往通过技术手段测出某种放射性物质的剩留量，然后推算放射性物质的存在时间.比如，根据化石中碳14的剩留量来推测生物的死亡时间. 二十世纪初，在我国辽东半岛发现的古莲子至今大部分还能开花，它们都是上千年前的遗物呢！

师：反过来，如果我们测得了剩留量y，怎么求出所经过的时间x呢？比如剩留量为0.5，经过了多少年？

“已知底数和幂值求指数”是一个新运算，这是我们这节课将要研究的问题.

【设计意图】通过具体实例说明研究对数的必要性.引导学生用数学语言表述问题，回顾指数运算. 由剩留量y求出所经过的时间x的设问让学生发现“已知底数和幂值求指数”的新问题，引发学生的认知冲突，激发学生的兴趣.

师： 中的存在吗？唯一吗？ 能否借助之前所学的指数函数内容加以说明？

[师生活动]引导学生利用指数函数的图像和性质分析得出中的存在且唯一.

【设计意图】关注学生的认知规律，引导学生用旧知识解决新问题，反映知识的联系性，体现数形结合的思想，同时为引入对数打下基础.

师：既然这样的数是存在的,那么它是多少呢？我们如何表示它呢？解决的办法就是给它一个新记号，比如，则.我们用一个简单的数学符号来表示它，记作，读作以0.84为底0.5的对数.那么一般地，已知底数a和幂值N怎么求指数呢？下面我们给出对数的定义.

（二）建构数学

1.定义概念

板书课题：对数

一般地，如果的次幂等于，即，那么就称

是以为底的对数（logarithm），记作,其中叫做对数的底数(base of logarithm)，叫做真数(proper number).

板书：定义    ， 

2.概念解读

师： b叫做以a为底N的对数，叫做对数的底数，N叫做真数.

教师边讲边在黑板上标示

问：在指数式中，a,b,N的名称叫什么？

学生回答指数式中的字母名称，教师完成上述连线图.

【设计意图】明确指数式和对数式中a,b,N的名称与位置变化，让学生了解对数式与指数式的关系，明确对数式与指数式形式的区别.

师：对数的写法和符号表示也有讲究.我们用四线三格来规范书写.        

    正确写法：                        错误写法

是一个整体.离开了底数和真数的孤立符号log是没有意义的.类似于；

【设计意图】对数符号是学生学习的难点，注意对数的书写，避免因书写不规范而产生的错误，进一步强化学生对对数符号的认识和理解.

问：我们引进了对数符号，它的含义是什么呢？

生：对数式的含义就是指.

师：因此根据对数的定义可知，与两个等式所表示的是a,b,N这3个量之间的同一个关系.两种写法可以相互转化.

【设计意图】明确指数式和对数式中a,b,N是同一个量，理解指数式与对数式的相互关系，互化也体现了等价转化这个重要的数学思想，为探究对数的基本性质和对数式指数式的互化做好铺垫.

3.性质探究

问：根据定义，，那么对数式中b和N的范围是什么？

[师生活动] 教师引导学生两个式子中字母的位置名称都发生了变化，但它们始终表示同一个量.学生回忆指数函数的图像和性质，回答a, N，b的范围.

生：底数， ， N>0（因为，所以无论b是什么实数，都有N＞0，或者从指数函数的图像恒在x轴上方来说明）

教师在连线图上标示a,b,N的范围，并强调负数和零没有对数.

板书  性质：负数和零没有对数.

【设计意图】引导学生利用指数式与对数式的互化关系和已学过的指数幂的相关知识来认识a,b,N的范围，促进学生加深对定义的理解.

例如：     ,    

问：根据对数的定义，写出下列各对数的值（）：

  ？ ；        ；      ；

      ；      ；      .

[学生活动]学生口答，并提炼结论，；

板书  两个常用结论：（1的对数为0），（底数的对数为1）

师：你能举出和-1相等的对数吗？

[学生活动]学生举例，比如，并发现.

【设计意图】尝试使用对数的定义探究出对数的一些基本性质，体会数学定义的价值和指数式与对数式相互转化过程中蕴含的等价转化的思想方法.

师：我们发现根据对数的定义，可以实现对数式与指数式的转化，也能求一些对数值.

（三）数学运用

例1  将下列指数式改写成对数式：

[学生活动]先请学生口答，再请学生到黑板上展示解答结果.

解：将指数式改写成对数式：

（1）；（2）；（3）；（4）

例2将下列对数式改写成指数式：

[学生活动]以口答的形式回答上述问题.

解：将对数式改写成指数式：

（1）；（2）；（3）

【设计意图】熟悉指数式对数式的相互转化，加深理解对数概念. 从说、写两个角度来规范学生的数学表达.

师：正确吗？（正确，回到指数式）

例3 求下列各式的值：

（1）；         （2）.

[师生活动]学生解答，教师巡视答题情况，将学生的解答直接投影出来，并交流学生的解法.

解：（1）法一：由，得 .

法二：设，则，所以

师：设的目的是什么？

生：将对数式转化为指数式，从而解决问题.

[教学预设]由于很容易看出，故此处学生可能不需要设，不强求，第（2）问中学生不会很容易地得出相对应的指数式，通过设将对数式转化为指数式的可能性更大.

（2）设，根据对数的定义知，即，得，所以，即=.

师：在对数式还不熟练的时候可以先假设要算的对数值为，再转化为指数式，根据指数式确定的值，也就是用对数的定义去解决问题.不管用什么方法解题，都离不开定义，都从对数式回到指数式.

【设计意图】帮助学生在应用的过程中进一步理解对数的概念，掌握对数式与指数式的互化方法，培养学生的运算能力和分析问题、解决问题的能力.

练习：求下列各式的值：

（1）；（2）；（3）；（4）；（5）.

【设计意图】了解学生对数概念的掌握情况，巩固所学知识，为引入两个重要结论做好准备.

思考：？？？你能提炼出一般规律吗？

生：，   b  

[师生活动] 师生探讨如何证明这个结论.

法一：设，则，所以.

法二：.

师：我们知道定义中两个式子①和②中a,b,N是同一个量，那么能否通过代换得到？将对数式中的N消去，会得到什么？

生：将①代入②，得到.

师：将②代入①呢？又能有什么发现呢？

生：还可以得到结论.

板书：两个结论：，，

                ,

【设计意图】通过思考题的设置，借助练习与讨论的方式,让学生自己提炼出结论并进行证明，培养学生分析问题、观察归纳的能力. 重要结论的发现和证明又进一步深化学生对对数概念的理解.

[回扣结论] ，，都可以统一于结论.

[回扣例题]  例3  求下列各式的值：（1）；（2）.

[学生活动]学生利用结论（来解决问题.

解答：（1）；

（2），故.

【设计意图】利用发现的结论再次来解答前面的例题，将例题和练习融合，从概念到应用，从练习再回到例题，交替螺旋上升,始终围绕着对数概念这个中心.

师：这是一个以10为底的对数. 通常将以10为底的对数称为常用对数（common logarithm），对数简记为.比如简记为，简记为.

师：，的值是多少？

[师生活动] 请同学们用计算器计算一下和（保留四位小数）.教师指导学生使用计算器.

【设计意图】鼓励学生使用计算器等进行探索发现，感受现代信息技术在数学中的作用，促进学生的学习.

师：同学们使用计算器的时候有没有注意到在lg这个按键的右边的这个符号？

（2）在科学技术中，常常使用以e为底的对数，这种对数称为自然对数（natural logarithm）。是一个无理数.正数的自然对数一般简记为，如分别记为等.

师：同学们，“常用对数”“自然对数”这两个特殊对数的名称很特别.为什么称之为常用对数？自然对数又自然在哪里？对这个内容感兴趣的同学，老师向大家推荐两本课外阅读书《不可思议的e》和《漫话e》,从中你一定能找到答案.

【设计意图】指导学生查阅有关资料、书籍，多了解一些数学文化方面的知识，激发学生学习数学的兴趣.

师：同学们，回到我们开头的问题，计算3.9755，即经过大约4年剩留量是原来的一半.

有些同学的计算器上不能设置底数和真数，是计算器的设计缺陷吗？那么碰到底数不是10和e的对数怎么办？还能利用计算器计算吗？这个问题留待后续解决.         

【设计意图】呼应本节课开头的问题.借用计算器能否设定底数和真数的问题激发学生对后续相关内容的求知欲.

（四）课堂总结

师：同学们，今天这节课的主角是“对数”,我们一起来回顾一下整个知识的探究和发生的过程.

  任何数学模型都是以大量的具体例子为现实原型的.我们由具体问题引进对数的概念.从对数概念的建立过程可以看出指数与对数的互化关系，这也体现了一个重要数学思想：转化与化归，给予我们一个知识间相互联系的观点.

基于这一互化的关系，我们畅游于指数式和对数式之间，我们得到基本性质：，N>0，我们得到了四个常用结论： ；；，，我们还认识了对数中的两个宠儿“常用对数”和“自然对数”，这所有的一切都围绕着定义.

课本79页.请看《阅读》：

第一段：对数是由苏格兰数学家……

第二段：18世纪的欧拉……

师：同学们，历史上对数的研究早于指数，这也是数学史上的珍闻.我们今天的学习体系是从指数到对数，这中间也凝聚了数学家的大量心血.

师：同学们，对数诞生了，但对数的真正价值在哪里？

《阅读》的最后两段.

第五段：恩格斯在他的著作……

第六段：由此可见……

师：对数在简化运算上有着巨大的作用. 我们已经研究了指数的运算性质，对数源于指数，那么对数会有什么运算性质呢？

自然世界和社会生活中许多变化现象需要不同的函数模型来刻画，我们还将研究新的函数模型.

这些内容我们后续研究.

【设计意图】通过小结对本节课的教学内容进行梳理和概括. 将课本第79页的《阅读》内容有机地融合到课堂总结中，通过数学史的学习既让学生了解了对数的发明历史，又向学生介绍了对数在简化运算中的价值，感受数学对推动社会发展的作用，激发学生学习数学的热情，将本节课与后续的运算性质和对数函数模型等内容连贯起来.

（师生共同总结回顾）

【课后巩固】

布置作业：课本79页：习题3.2（1）感受理解 1,2，3,4