人教B版 (2019)必修 第四册第十一章 立体几何初步11.1 空间几何体11.1.1 空间几何体与斜二测画法学案

空间几何体与斜二测画法

【学习目标】

1．了解空间几何体的概念．(重点)

2．了解“斜二测画法”的概念并掌握斜二测画法的步骤．(重点)

3．会用斜二测画法画出一些简单平面图形和常见几何体的直观图．(重点)

4．逆用斜二测画法，找出直观图的原图．(难点)

【学习过程】

一、初试身手

1．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的(    )

C  [正方形的直观图是平行四边形，且平行于x轴的边长为3 cm，平行于y轴的边长为1．5 cm.]

2．如图，△A′B′C′是△ABC的直观图，其中A′B′＝A′C′，那么△ABC是(    )

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．钝角三角形

B  [由斜二测画法的规则可知△ABC为直角三角形，且直角边的长度关系为AC＝2AB．]

3．一图形的投影是一条线段，这个图形不可能是________．

①线段；②直线；③圆；④梯形；⑤长方体．

②⑤  [线段、圆、梯形都是平面图形，且在有限范围内，投影都可能为线段；长方体是三维空间图形，其投影不可能是线段；直线的投影，只能是直线或点．]

二、合作探究

1．画平面图形的直观图

【例1】按图的建系方法，画水平放置的正五边形ABCDE的直观图．

[思路探究]  按照斜二测画法画水平放置的平面图形的步骤画直观图．

[解]  画法：

（1）在图①中作AG⊥x轴于点G，作DH⊥x轴于点H.

（2）在图②中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.

（3）在图②中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝GA，H′D′＝HD．

（4）连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图③)．

2．画空间几何体的直观图

【例2】画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图．

[思路探究]  →→→

[解]  画法：（1）画轴：

①            ②

画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图①.

（2）画底面：

以O为中心，在xOy平面内，画出正方形水平放置的直观图ABCD．

（3）画顶点：在Oz轴上截取OP，使OP的长度是原四棱锥的高．

（4）成图：顺次连接PA．PB．PC．PD，并擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图②.

3．直观图的还原和计算问题

[探究问题]

（1）如图，△A′B′C′是水平放置的△ABC斜二测画法的直观图，能否判断△ABC的形状？

[提示]  根据斜二测画法规则知：∠ACB＝90°，故△ABC为直角三角形．

（2）若探究1中△A′B′C′的A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是多少？

[提示]  由已知得△ABC中，AC＝6，BC＝8，故AB＝＝10．

（3）若已知一个三角形的面积为S，它的直观图面积是多少？

[提示]  原三角形面积为S＝a·h(a为三角形的底，h为三角形的高)，画直观图后，a′＝a，h′＝h·sin 45°＝h，S′＝a′·h′＝a·h＝×a·h＝S.

【例3】如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形．

[思路探究]  由直观图还原平面图形的关键

（1）平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段扩大为原来的2倍．

（2）对于相邻两边不与x′、y′轴平行的顶点可通过作x′轴，y′轴平行线变换确定其在xOy中的位置．

[解]  ①画出直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；②过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′；

③连接AB，BC，得△ABC．

则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图所示．

【学习小结】

1．直观图的概念

（1）定义：把空间图形(平面图形和立体图形的统称)画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出主要部分的位置关系和度量关系的图形叫做直观图．

（2）说明：在立体几何中，空间几何体的直观图是在平行投影下画出的空间图形．

2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤

（1）画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴和y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．

（2）画线：已知图形中平行于或在x轴、y轴的线段，在直观图中分别画成平行于或在x′轴、y′轴的线段．

（3）取长度：已知图形中在x轴上或平行于x轴的线段，在直观图中长度不变，在y轴上或平行于y轴的线段，长度为原来的一半．

3．立体图形直观图的画法

画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面x′O′y′

垂直的轴O′z′，且平行于O′z′的线段长度不变．其他同平面图形的画法．

【精炼反馈】

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

（1）两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行． (    )

（2）平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴． (    )

（3）平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变． (    )

（4）斜二测坐标系取的角可能是135°. (    )

[答案]  （1）√  （2）√  （3）×  （4）√

[提示]  平行于y轴的线段在直观图中变为原来的一半，故（3）错误；由斜二测画法的基本要求可知（1）（2）（4）正确．

2．关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是(    )

A．直角三角形的直观图仍是直角三角形

B．梯形的直观图是平行四边形

C．正方形的直观图是菱形

D．平行四边形的直观图仍是平行四边形

D  [由斜二测画法规则可知，平行于y轴的线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行性没有改变，故只有选项D正确．]

3．如图所示为水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法画出的它的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．

  [画出直观图，BC对应B′C′，且B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，故顶点B′到x′轴的距离为.]

4．画边长为1 cm的正三角形的水平放置的直观图．

[解]  （1）如图所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线AO所在直线为y轴，再画对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.

（2）在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝0.5 cm，

在y′轴上截取O′A′＝AO＝ cm，连接A′B′，A′C′，则△A′B′C′即为正三角形ABC的直观图．