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2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版）第5章第3讲 第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式Word版含解析
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这是一份2023高考数学科学复习创新方案（新高考题型版）第5章第3讲 第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式Word版含解析，共18页。试卷主要包含了二倍角的正弦、余弦、正切公式，半角公式，常用拆角、拼角技巧，辅助角公式，下列四个等式中正确的是，下列各式中，值为eq \f的是等内容，欢迎下载使用。
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
3．半角公式
sineq \f(α,2)＝eq \x(\s\up1(12))± eq \r(\f(1－csα,2))，cseq \f(α,2)＝eq \x(\s\up1(13))± eq \r(\f(1＋csα,2))，taneq \f(α,2)＝eq \x(\s\up1(14))± eq \r(\f(1－csα,1＋csα)).
1．公式的常用变式：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；tanαtanβ＝1－eq \f(tanα＋tanβ,tanα＋β)＝eq \f(tanα－tanβ,tanα－β)－1.
2．降幂公式：sin2α＝eq \f(1－cs2α,2)；cs2α＝eq \f(1＋cs2α,2)；sinαcsα＝eq \f(1,2)sin2α.
3．升幂公式：1＋csα＝2cs2eq \f(α,2)；1－csα＝2sin2eq \f(α,2)；1＋sinα＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2)))2；1－sinα＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2)))2.
4．常用拆角、拼角技巧：例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；eq \f(π,4)＋α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))等．
5．辅助角公式：一般地，函数f(α)＝asinα＋bcsα(a，b为常数)可以化为f(α)＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tanφ＝\f(b,a)))或f(α)＝eq \r(a2＋b2)cs(α－φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tanφ＝\f(a,b))).
1．sin20°cs10°－cs160°sin10°＝( )
A．－eq \f(\r(3),2) B．eq \f(\r(3),2)
C．－eq \f(1,2) D．eq \f(1,2)
答案 D
解析 原式＝sin20°cs10°＋cs20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝eq \f(1,2).
2．(2021·全国乙卷)cs2eq \f(π,12)－cs2eq \f(5π,12)＝( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(3),3)
C．eq \f(\r(2),2) D．eq \f(\r(3),2)
答案 D
解析 cs2eq \f(π,12)－cs2eq \f(5π,12)＝cs2eq \f(π,12)－cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(π,12)))＝cs2eq \f(π,12)－sin2eq \f(π,12)＝cseq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2)，故选D.
3．(多选)化简：eq \f(3,5)sinx＋eq \f(3\r(3),5)csx＝( )
A．eq \f(6,5)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3))) B．eq \f(6,5)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))
C．eq \f(6,5)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6))) D．eq \f(6,5)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))
答案 AC
解析 eq \f(3,5)sinx＋eq \f(3\r(3),5)csx＝eq \f(6,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sinx＋\f(\r(3),2)csx))＝eq \f(6,5)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＝eq \f(6,5)cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))))＝eq \f(6,5)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6))).故选AC．
4．(2020·全国Ⅱ卷)若sinx＝－eq \f(2,3)，则cs2x＝________.
答案 eq \f(1,9)
解析 cs2x＝1－2sin2x＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))2＝1－eq \f(8,9)＝eq \f(1,9).
5．设sin2α＝－sinα，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则tan(π－2α)＝________.
答案 －eq \r(3)
解析 因为sin2α＝－sinα，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以csα＝－eq \f(1,2)，α＝eq \f(2π,3)，因此tan(π－2α)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(4π,3)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝－eq \r(3).
6．(2021·海口高考调研考试)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且sinα＝eq \f(4,5)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值为________.
答案 －eq \f(1,7)
解析 因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且sinα＝eq \f(4,5)，所以csα＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2)＝－eq \f(3,5)，tanα＝eq \f(sinα,csα)＝eq \f(\f(4,5),－\f(3,5))＝－eq \f(4,3).所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(tanα＋tan\f(π,4),1－tanαtan\f(π,4))＝eq \f(－\f(4,3)＋1,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))×1)＝－eq \f(1,7).
第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式
考向一 公式的直接应用
例1 (1)若csα＝－eq \f(4,5)，α是第三象限角，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝( )
A．eq \f(7\r(2),10) B．－eq \f(7\r(2),10)
C．－eq \f(\r(2),10) D．eq \f(\r(2),10)
答案 B
解析 ∵α是第三象限角，∴sinα<0，且sinα＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))2)＝－eq \f(3,5)，因此sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝sinαcseq \f(π,4)＋csαsineq \f(π,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))×eq \f(\r(2),2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×eq \f(\r(2),2)＝－eq \f(7\r(2),10)，故选B.
(2)(2021·武汉模拟)已知角α，β的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，若角α，β的终边分别与单位圆交于点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，\f(1,3)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，\f(2,3)))，其中x1<0A．－eq \f(7\r(5)＋8\r(2),27) B．eq \f(8\r(2)－7\r(5),27)
C．eq \f(7\r(5)－8\r(2),27) D．eq \f(7\r(5)＋8\r(2),27)
答案 C
解析 由题意可知sinα＝eq \f(1,3)，sinβ＝eq \f(2,3)，由x1<0(3)(2021·全国甲卷)若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，tan2α＝eq \f(csα,2－sinα)，则tanα＝( )
A．eq \f(\r(15),15) B．eq \f(\r(5),5)
C．eq \f(\r(5),3) D．eq \f(\r(15),3)
答案 A
解析 解法一：因为tan2α＝eq \f(sin2α,cs2α)＝eq \f(2sinαcsα,1－2sin2α)，且tan2α＝eq \f(csα,2－sinα)，所以eq \f(2sinαcsα,1－2sin2α)＝eq \f(csα,2－sinα)，解得sinα＝eq \f(1,4).因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以csα＝eq \f(\r(15),4)，tanα＝eq \f(sinα,csα)＝eq \f(\r(15),15).故选A．
解法二：因为tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α)＝eq \f(\f(2sinα,csα),1－\f(sin2α,cs2α))＝eq \f(2sinαcsα,cs2α－sin2α)＝eq \f(2sinαcsα,1－2sin2α)，且tan2α＝eq \f(csα,2－sinα)，所以eq \f(2sinαcsα,1－2sin2α)＝eq \f(csα,2－sinα)，解得sinα＝eq \f(1,4)，因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以csα＝eq \f(\r(15),4)，tanα＝eq \f(sinα,csα)＝eq \f(\r(15),15).故选A．
三角函数公式的应用策略
(1)熟悉各个公式的结构特征，明确待求目标能与哪个公式联系．
(2)使用公式求值时，应先求出相关角相应的函数值，再代入公式求值．
1.(2021·沈阳模拟)已知点P的坐标为(1,1)，将向量eq \(OP,\s\up6(→))绕原点O逆时针方向旋转eq \f(π,3)到eq \(OP′,\s\up6(→))的位置，则点P′的坐标为( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－\r(3),2)，\f(1＋\r(3),2))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋\r(3),2)，\f(1－\r(3),2)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(5),2))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),2)，\f(1,2)))
答案 A
解析 由题意可得eq \(OP,\s\up6(→))＝(1,1)＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,4)，sin\f(π,4)))，将向量eq \(OP,\s\up6(→))绕原点O逆时针方向旋转eq \f(π,3)得到eq \(OP′,\s\up6(→))，则eq \(OP′,\s\up6(→))＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋\f(π,3)))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋\f(π,3)))))＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2)－\r(6),4)，\f(\r(2)＋\r(6),4)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－\r(3),2)，\f(1＋\r(3),2)))，即点P′的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－\r(3),2)，\f(1＋\r(3),2))).故选A．
2．(2020·全国Ⅲ卷)已知2tanθ－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝7，则tanθ＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
答案 D
解析 ∵2tanθ－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝7，∴2tanθ－eq \f(tanθ＋1,1－tanθ)＝7.令t＝tanθ，t≠1，则2t－eq \f(1＋t,1－t)＝7，整理得t2－4t＋4＝0，解得t＝2，即tanθ＝2.故选D.
考向二 公式的逆用和变形用
例2 (1)tan70°＋tan50°－eq \r(3)tan70°tan50°的值为( )
A．eq \r(3) B．eq \f(\r(3),3)
C．－eq \f(\r(3),3) D．－eq \r(3)
答案 D
解析 因为tan120°＝eq \f(tan70°＋tan50°,1－tan70°tan50°)＝－eq \r(3)，所以tan70°＋tan50°－eq \r(3)tan70°tan50°＝－eq \r(3).故选D.
(2)(2020·全国Ⅲ卷)已知sinθ＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))＝1，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(3),3)
C．eq \f(2,3) D．eq \f(\r(2),2)
答案 B
解析 由题意可得sinθ＋eq \f(1,2)sinθ＋eq \f(\r(3),2)csθ＝1，则eq \f(3,2)sinθ＋eq \f(\r(3),2)csθ＝1，eq \f(\r(3),2)sinθ＋eq \f(1,2)csθ＝eq \f(\r(3),3)，从而有sinθcseq \f(π,6)＋csθsineq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),3)，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),3).故选B.
(3)化简eq \f(sin235°－\f(1,2),cs10°cs80°)＝________.
答案 －1
解析 eq \f(sin235°－\f(1,2),cs10°cs80°)＝eq \f(\f(1－cs70°,2)－\f(1,2),cs10°sin10°)
＝eq \f(－\f(1,2)cs70°,\f(1,2)sin20°)＝－1.
两角和与差及倍角公式的逆用和变形用的应用技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．
(2)和差角公式变形
sinαsinβ＋cs(α＋β)＝csαcsβ；
csαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcsβ；
tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．
(3)倍角公式变形：降幂公式．
3.(1＋tan18°)(1＋tan27°)的值是( )
A．eq \r(3) B．1＋eq \r(2)
C．2 D．2(tan18°＋tan27°)
答案 C
解析 (1＋tan18°)(1＋tan27°)＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝1＋tan45°(1－tan18°·tan27°)＋tan18°tan27°＝2.
4．设a＝cs50°cs127°＋cs40°cs37°，b＝eq \f(\r(2),2)(sin56°－cs56°)，c＝eq \f(1－tan239°,1＋tan239°)，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．a>c>b
答案 D
解析 由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a＝cs50°cs127°＋cs40°cs37°＝cs50°·cs127°＋sin50°sin127°＝cs(50°－127°)＝cs(－77°)＝cs77°＝sin13°，b＝eq \f(\r(2),2)(sin56°－cs56°)＝eq \f(\r(2),2)sin56°－eq \f(\r(2),2)cs56°＝sin(56°－45°)＝sin11°，c＝eq \f(1－tan239°,1＋tan239°)＝eq \f(1－\f(sin239°,cs239°),1＋\f(sin239°,cs239°))＝cs239°－sin239°＝cs78°＝sin12°.因为函数y＝sinx，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))为增函数，所以sin13°>sin12°>sin11°，所以a>c>b.
考向三 角的变换
例3 (1)(2021·齐齐哈尔二模)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5π,12)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2021π,6)－2x))＝( )
A．eq \f(2,3) B．eq \f(7,9)
C．eq \f(8,9) D．－eq \f(2,3)
答案 B
解析 因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5π,12)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2021π,6)－2x))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(336π＋\f(5π,6)－2x))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(5π,6)))＝1－2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5π,12)))＝1－2×eq \f(1,9)＝eq \f(7,9).故选B.
(2)(2021·黑龙江大庆实验中学训练)已知α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(24,25)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝________.
答案 －eq \f(4,5)
解析 由题意知α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)，所以cs(α＋β)＝eq \f(4,5).因为β－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(24,25)，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝－eq \f(7,25).则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))))＝cs(α＋β)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＋sin(α＋β)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝－eq \f(4,5).
1．求角的三角函数值的一般思路是把“所求角”用“已知角”表示．
(1)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(2)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
2．常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)，α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)，eq \f(α－β,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(β,2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋β))等．
5.(2022·江苏南通期末)已知eq \f(π,2)<β<αA．eq \f(56,65) B．－eq \f(56,65)
C．eq \f(16,65) D．－eq \f(16,65)
答案 B
解析 因为eq \f(π,2)<β<α6．(2022·重庆摸底)已知α，β为锐角，tanα＝eq \f(4,3)，cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5)，则cs2α＝________，tan(α－β)＝________.
答案 －eq \f(7,25) －eq \f(2,11)
解析 因为tanα＝eq \f(4,3)＝eq \f(sinα,csα)，所以sinα＝eq \f(4,3)csα.因为sin2α＋cs2α＝1，所以cs2α＝eq \f(9,25)，因此cs2α＝2cs2α－1＝－eq \f(7,25).因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5)，所以sin(α＋β)＝eq \r(1－cs2α＋β)＝eq \f(2\r(5),5)，因此tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝eq \f(4,3)，所以tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α)＝－eq \f(24,7)，因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝eq \f(tan2α－tanα＋β,1＋tan2αtanα＋β)＝－eq \f(2,11).
一、单项选择题
1．(2022·河北秦皇岛月考)－sin133°cs197°－cs47°cs73°等于( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(3),3)
C．eq \f(\r(2),2) D．eq \f(\r(3),2)
答案 A
解析 原式＝－sin(180°－47°)cs(180°＋17°)－cs47°cs(90°－17°)＝sin47°cs17°－cs47°·sin17°＝sin(47°－17°)＝sin30°＝eq \f(1,2).
2．(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0，π)，且3cs2α－8csα＝5，则sinα＝( )
A．eq \f(\r(5),3) B．eq \f(2,3)
C．eq \f(1,3) D．eq \f(\r(5),9)
答案 A
解析 由3cs2α－8csα＝5，得6cs2α－8csα－8＝0，解得csα＝－eq \f(2,3)或csα＝2(舍去)．∵α∈(0，π)，∴sinα＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(\r(5),3).故选A．
3．(2021·烟台模拟)已知α∈(0，π)，2sin2α＝cs2α－1，则csα＝( )
A．eq \f(\r(5),5) B．－eq \f(\r(5),5)
C．eq \f(2\r(5),5) D．－eq \f(2\r(5),5)
答案 B
解析 ∵2sin2α＝cs2α－1，∴4sinαcsα＝－2sin2α.∵α∈(0，π)，∴sinα>0,2csα＝－sinα，∴csα<0，结合sin2α＋cs2α＝1，得csα＝－eq \f(\r(5),5).
4．(2022·山东日照期末)已知sinα＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，tan(π－β)＝eq \f(1,2)，则tan(α－β)的值为( )
A．－eq \f(2,11) B．eq \f(2,11)
C．eq \f(11,2) D．－eq \f(11,2)
答案 A
解析 ∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，∴csα＝－eq \f(4,5)，tanα＝－eq \f(3,4)，又tan(π－β)＝eq \f(1,2)，∴tanβ＝－eq \f(1,2)，∴tan(α－β)＝eq \f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq \f(－\f(3,4)＋\f(1,2),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))＝－eq \f(2,11).
5．(2021·威海一模)已知sin(β－α)csβ－cs(α－β)sinβ＝eq \f(3,5)，α为第三象限角，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝( )
A．－eq \f(\r(2),10) B．－eq \f(7\r(2),10)
C．eq \f(\r(2),10) D．eq \f(7\r(2),10)
答案 A
解析 ∵sin(β－α)csβ－cs(α－β)sinβ＝sin[(β－α)－β]＝－sinα＝eq \f(3,5)，∴sinα＝－eq \f(3,5)，又α为第三象限角，则csα＝－eq \f(4,5)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝csαcseq \f(π,4)－sinαsineq \f(π,4)＝－eq \f(4,5)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(3,5)×eq \f(\r(2),2)＝－eq \f(\r(2),10).故选A．
6．(2021·江苏镇江联考)已知sin(α＋15°)＝eq \f(3,5)，则cs(α－30°)＝( )
A．eq \f(7\r(2),10) B．－eq \f(\r(2),10)
C．eq \f(7\r(2),10)或eq \f(\r(2),10) D．eq \f(7\r(2),10)或－eq \f(\r(2),10)
答案 D
解析 ∵sin(α＋15°)＝eq \f(3,5)，∴cs(α＋15°)＝eq \f(4,5)或－eq \f(4,5).当cs(α＋15°)＝eq \f(4,5)时，cs(α－30°)＝cs[(α＋15°)－45°]＝cs(α＋15°)cs45°＋sin(α＋15°)sin45°＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)＋\f(3,5)))＝eq \f(7\r(2),10)；当cs(α＋15°)＝－eq \f(4,5)时，cs(α－30°)＝cs[(α＋15°)－45°]＝cs(α＋15°)cs45°＋sin(α＋15°)·sin45°＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)＋\f(3,5)))＝－eq \f(\r(2),10)，∴cs(α－30°)＝eq \f(7\r(2),10)或－eq \f(\r(2),10)，故选D.
7．(2021·湖南长沙一中调研)设α为锐角，若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))的值为( )
A．eq \f(12,25) B．eq \f(24,25)
C．－eq \f(24,25) D．－eq \f(12,25)
答案 B
解析 ∵α为锐角，即0<α8．(2021·新余四模)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若M(－1，y)是角θ终边上一点，且taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,4)))＝7，则y＝( )
A．－eq \f(1,3) B．3
C．－eq \f(1,3)或3 D．eq \f(1,3)或－3
答案 C
解析 因为M(－1，y)是角θ终边上一点，所以tanθ＝－y，又taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,4)))＝7，即eq \f(tan2θ＋1,1－tan2θ)＝eq \f(\f(2tanθ,1－tan2θ)＋1,1－\f(2tanθ,1－tan2θ))＝7，整理可得3tan2θ＋8tanθ－3＝0.解得tanθ＝－3或eq \f(1,3)，则y＝3或－eq \f(1,3).故选C．
二、多项选择题
9．下列四个等式中正确的是( )
A．tan25°＋tan35°＋eq \r(3)tan25°tan35°＝eq \r(3)
B.eq \f(tan22.5°,1－tan222.5°)＝1
C．cs2eq \f(π,8)－sin2eq \f(π,8)＝eq \f(1,2)
D.eq \f(1,sin10°)－eq \f(\r(3),cs10°)＝4
答案 AD
解析 A项，∵tan(25°＋35°)＝eq \f(tan25°＋tan35°,1－tan25°tan35°)＝eq \r(3)，∴tan25°＋tan35°＝eq \r(3)(1－tan25°tan35°)＝eq \r(3)－eq \r(3)tan25°tan35°，∴tan25°＋tan35°＋eq \r(3)tan25°tan35°＝eq \r(3)，正确；B项，∵tan45°＝eq \f(2tan22.5°,1－tan222.5°)＝1，∴eq \f(tan22.5°,1－tan222.5°)＝eq \f(1,2)，错误；C项，cs2eq \f(π,8)－sin2eq \f(π,8)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,8)))＝cseq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)，错误；D项，eq \f(1,sin10°)－eq \f(\r(3),cs10°)＝eq \f(cs10°－\r(3)sin10°,sin10°cs10°)
＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs10°－\f(\r(3),2)sin10°)),sin10°cs10°)
＝eq \f(2sin30°cs10°－cs30°sin10°,\f(1,2)×2sin10°cs10°)＝eq \f(2sin20°,\f(1,2)sin20°)＝4，正确．故选AD.
10．(2021·聊城质检)下列各式中，值为eq \f(1,4)的是( )
A．sineq \f(π,12)sineq \f(5π,12) B．eq \f(1,3)－eq \f(2,3)cs215°
C．eq \f(1,sin50°)＋eq \f(\r(3),cs50°) D．cs72°cs36°
答案 AD
解析 对于A，sineq \f(π,12)sineq \f(5π,12)＝sineq \f(π,12)cseq \f(π,12)＝eq \f(1,2)sineq \f(π,6)＝eq \f(1,4)；对于B，eq \f(1,3)－eq \f(2,3)cs215°＝eq \f(1,3)(1－2cs215°)＝－eq \f(1,3)cs30°＝－eq \f(\r(3),6)≠eq \f(1,4)；对于C，eq \f(1,sin50°)＋eq \f(\r(3),cs50°)＝eq \f(cs50°＋\r(3)sin50°,sin50°cs50°)
＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs50°＋\f(\r(3),2)sin50°)),\f(1,2)sin100°)＝eq \f(2sin30°＋50°,\f(1,2)sin100°)＝4≠eq \f(1,4)；对于D，cs72°cs36°＝eq \f(2sin36°cs36°cs72°,2sin36°)＝eq \f(sin72°cs72°,2sin36°)＝eq \f(\f(1,2)sin144°,2sin36°)＝eq \f(1,4).故选AD.
11．(2022·福建厦门质检)已知α，β，γ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，sinα＋sinγ＝sinβ，csβ＋csγ＝csα，则下列说法正确的是( )
A．cs(β－α)＝eq \f(1,2) B．cs(β－α)＝－eq \f(1,2)
C．β－α＝eq \f(π,3) D．β－α＝－eq \f(π,3)
答案 AC
解析 由已知得sinγ＝sinβ－sinα，csγ＝csα－csβ.两式分别平方相加，得(sinβ－sinα)2＋(csα－csβ)2＝1.∴－2cs(β－α)＝－1，∴cs(β－α)＝eq \f(1,2)，∴A正确，B错误；∵sinγ＝sinβ－sinα>0，α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴β>α，∴β－α＝eq \f(π,3)，∴C正确，D错误．故选AC．
12．(2021·河北张家口模拟)已知tan(α＋β)＝tanα＋tanβ，其中α≠eq \f(kπ,2)(k∈Z)且β≠eq \f(mπ,2)(m∈Z)，则下列结论一定正确的是( )
A．sin(α＋β)＝0
B．cs(α＋β)＝1
C．sin2eq \f(α,2)＋sin2eq \f(β,2)＝1
D．sin2α＋cs2β＝1
答案 AD
解析 ∵tan(α＋β)＝eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝tanα＋tanβ，∴tanα＋tanβ＝0或1－tanαtanβ＝1，∴α＋β＝nπ(n∈Z)或者α＝kπ(k∈Z)或β＝mπ(m∈Z)，又α≠eq \f(kπ,2)(k∈Z)，β≠eq \f(mπ,2)(m∈Z)，∴α＋β＝nπ(n∈Z)，且α≠eq \f(kπ,2)(k∈Z)，β≠eq \f(mπ,2)(m∈Z)．对于A，sin(α＋β)＝sin(nπ)＝0(n∈Z)，故A正确；对于B，由于cs(α＋β)＝cs(nπ)＝±1(n∈Z)，故B错误；对于C，sin2eq \f(α,2)＋sin2eq \f(β,2)＝sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(nπ,2)－\f(β,2)))＋sin2eq \f(β,2)(n∈Z)，当n为偶数时，sin2eq \f(α,2)＋sin2eq \f(β,2)＝sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(nπ,2)－\f(β,2)))＋sin2eq \f(β,2)＝sin2eq \f(β,2)＋sin2eq \f(β,2)＝2sin2eq \f(β,2)≠1，故C错误；对于D，sin2α＋cs2β＝sin2(nπ－β)＋cs2β＝sin2β＋cs2β＝1(n∈Z)，故D正确．
三、填空题
13．(2021·泰安三模)已知2sin2α＝csα＝sinβ，且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则cs(2α＋β)＝________.
答案 －eq \f(1,4)
解析 由2sin2α＝csα，得4sinαcsα＝csα，因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以sinα＝eq \f(1,4)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以csα＝sinβ＝eq \f(\r(15),4)，所以α＋β＝eq \f(π,2)，所以cs(2α＋β)＝－sinα＝－eq \f(1,4).
14．(2022·山东德州模拟)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－sinα＝eq \f(4\r(3),5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(11π,6)))＝________.
答案 －eq \f(4,5)
解析 由cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－sinα＝eq \f(\r(3),2)csα－eq \f(1,2)sinα－sinα＝eq \f(\r(3),2)csα－eq \f(3,2)sinα＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)csα－\f(\r(3),2)sinα))＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(4\r(3),5)，得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(4,5).sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(11π,6)))＝－sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(11π,6)))))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝－eq \f(4,5).
15．(2021·甘肃、青海、宁夏联考)若tan(α＋2β)＝2，tanβ＝－3，则tan(α＋β)＝________，tanα＝________.
答案 －1 eq \f(1,2)
解析 ∵tan(α＋2β)＝2，tanβ＝－3，∴tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝eq \f(tanα＋2β－tanβ,1＋tanα＋2βtanβ)＝eq \f(2－－3,1＋2×－3)＝－1.tanα＝tan(α＋β－β)＝eq \f(－1－－3,1＋－1×－3)＝eq \f(1,2).
16．(2021·南京模拟)若λsin160°＋tan20°＝eq \r(3)，则实数λ的值为________.
答案 4
解析 由λsin160°＋tan20°＝eq \r(3)，得λsin20°＋eq \f(sin20°,cs20°)＝eq \f(λsin20°cs20°＋sin20°,cs20°)＝eq \f(λsin40°＋2sin20°,2cs20°)＝eq \r(3)，所以λsin40°＋2sin20°＝2eq \r(3)cs20°，即λsin40°＝2eq \r(3)cs20°－2sin20°＝4sin(60°－20°)＝4sin40°，所以λ＝4.
四、解答题
17．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq \f(\r(5),5).
(1)求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))的值；
(2)求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－2α))的值．
解 (1)因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq \f(\r(5),5)，
所以csα＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(2\r(5),5).
故sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝sineq \f(π,4)csα＋cseq \f(π,4)sinα＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)))＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(5),5)＝－eq \f(\r(10),10).
(2)由(1)知sin2α＝2sinαcsα＝2×eq \f(\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)))＝－eq \f(4,5)，
cs2α＝1－2sin2α＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)))2＝eq \f(3,5)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－2α))＝cseq \f(5π,6)cs2α＋sineq \f(5π,6)sin2α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))×eq \f(3,5)＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))＝－eq \f(4＋3\r(3),10).
18．(2022·辽宁朝阳月考)已知tanα＝2.
(1)求taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))的值；
(2)求eq \f(sin2α,sin2α＋sinαcsα－cs2α－1)的值．
解 (1)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(tanα－tan\f(π,4),1＋tanαtan\f(π,4))＝eq \f(2－1,1＋2)＝eq \f(1,3).
(2)eq \f(sin2α,sin2α＋sinαcsα－cs2α－1)
＝eq \f(2sinαcsα,sin2α＋sinαcsα－2cs2α－1－1)
＝eq \f(2sinαcsα,sin2α＋sinαcsα－2cs2α)
＝eq \f(2tanα,tan2α＋tanα－2)＝eq \f(2×2,22＋2－2)＝1.
19．已知0<α(1)求sin2β的值；
(2)求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值．
解 (1)解法一：因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝cseq \f(π,4)csβ＋sineq \f(π,4)sinβ＝eq \f(\r(2),2)csβ＋eq \f(\r(2),2)sinβ＝eq \f(1,3)，
所以csβ＋sinβ＝eq \f(\r(2),3)，
所以1＋sin2β＝eq \f(2,9)，所以sin2β＝－eq \f(7,9).
解法二：sin2β＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2β))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))－1＝－eq \f(7,9).
(2)因为0<α所以eq \f(π,4)<β－eq \f(π,4)所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))>0，cs(α＋β)<0，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(2\r(2),3)，cs(α＋β)＝－eq \f(3,5).
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))))
＝cs(α＋β)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＋sin(α＋β)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝－eq \f(3,5)×eq \f(1,3)＋eq \f(4,5)×eq \f(2\r(2),3)＝eq \f(8\r(2)－3,15).
公式名
公式
二倍角的正弦
sin2α＝eq \x(\s\up1(07))2sinαcsα
二倍角的余弦
cs2α＝eq \x(\s\up1(08))cs2α－sin2α＝eq \x(\s\up1(09))1－2sin2α＝eq \x(\s\up1(10))2cs2α－1
二倍角的正切
tan2α＝eq \x(\s\up1(11))eq \f(2tanα,1－tan2α)
1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
3．半角公式
sineq \f(α,2)＝eq \x(\s\up1(12))± eq \r(\f(1－csα,2))，cseq \f(α,2)＝eq \x(\s\up1(13))± eq \r(\f(1＋csα,2))，taneq \f(α,2)＝eq \x(\s\up1(14))± eq \r(\f(1－csα,1＋csα)).
1．公式的常用变式：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)；tanαtanβ＝1－eq \f(tanα＋tanβ,tanα＋β)＝eq \f(tanα－tanβ,tanα－β)－1.
2．降幂公式：sin2α＝eq \f(1－cs2α,2)；cs2α＝eq \f(1＋cs2α,2)；sinαcsα＝eq \f(1,2)sin2α.
3．升幂公式：1＋csα＝2cs2eq \f(α,2)；1－csα＝2sin2eq \f(α,2)；1＋sinα＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)＋cs\f(α,2)))2；1－sinα＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(α,2)－cs\f(α,2)))2.
4．常用拆角、拼角技巧：例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；eq \f(π,4)＋α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))等．
5．辅助角公式：一般地，函数f(α)＝asinα＋bcsα(a，b为常数)可以化为f(α)＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tanφ＝\f(b,a)))或f(α)＝eq \r(a2＋b2)cs(α－φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(其中tanφ＝\f(a,b))).
1．sin20°cs10°－cs160°sin10°＝( )
A．－eq \f(\r(3),2) B．eq \f(\r(3),2)
C．－eq \f(1,2) D．eq \f(1,2)
答案 D
解析 原式＝sin20°cs10°＋cs20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝eq \f(1,2).
2．(2021·全国乙卷)cs2eq \f(π,12)－cs2eq \f(5π,12)＝( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(3),3)
C．eq \f(\r(2),2) D．eq \f(\r(3),2)
答案 D
解析 cs2eq \f(π,12)－cs2eq \f(5π,12)＝cs2eq \f(π,12)－cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(π,12)))＝cs2eq \f(π,12)－sin2eq \f(π,12)＝cseq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),2)，故选D.
3．(多选)化简：eq \f(3,5)sinx＋eq \f(3\r(3),5)csx＝( )
A．eq \f(6,5)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3))) B．eq \f(6,5)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))
C．eq \f(6,5)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6))) D．eq \f(6,5)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))
答案 AC
解析 eq \f(3,5)sinx＋eq \f(3\r(3),5)csx＝eq \f(6,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sinx＋\f(\r(3),2)csx))＝eq \f(6,5)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))＝eq \f(6,5)cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))))＝eq \f(6,5)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6))).故选AC．
4．(2020·全国Ⅱ卷)若sinx＝－eq \f(2,3)，则cs2x＝________.
答案 eq \f(1,9)
解析 cs2x＝1－2sin2x＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))2＝1－eq \f(8,9)＝eq \f(1,9).
5．设sin2α＝－sinα，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，则tan(π－2α)＝________.
答案 －eq \r(3)
解析 因为sin2α＝－sinα，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以csα＝－eq \f(1,2)，α＝eq \f(2π,3)，因此tan(π－2α)＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(4π,3)))＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝－eq \r(3).
6．(2021·海口高考调研考试)已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且sinα＝eq \f(4,5)，则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值为________.
答案 －eq \f(1,7)
解析 因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且sinα＝eq \f(4,5)，所以csα＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)))2)＝－eq \f(3,5)，tanα＝eq \f(sinα,csα)＝eq \f(\f(4,5),－\f(3,5))＝－eq \f(4,3).所以taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝eq \f(tanα＋tan\f(π,4),1－tanαtan\f(π,4))＝eq \f(－\f(4,3)＋1,1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,3)))×1)＝－eq \f(1,7).
第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式
考向一 公式的直接应用
例1 (1)若csα＝－eq \f(4,5)，α是第三象限角，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝( )
A．eq \f(7\r(2),10) B．－eq \f(7\r(2),10)
C．－eq \f(\r(2),10) D．eq \f(\r(2),10)
答案 B
解析 ∵α是第三象限角，∴sinα<0，且sinα＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))2)＝－eq \f(3,5)，因此sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝sinαcseq \f(π,4)＋csαsineq \f(π,4)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))×eq \f(\r(2),2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×eq \f(\r(2),2)＝－eq \f(7\r(2),10)，故选B.
(2)(2021·武汉模拟)已知角α，β的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，若角α，β的终边分别与单位圆交于点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，\f(1,3)))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2，\f(2,3)))，其中x1<0
C．eq \f(7\r(5)－8\r(2),27) D．eq \f(7\r(5)＋8\r(2),27)
答案 C
解析 由题意可知sinα＝eq \f(1,3)，sinβ＝eq \f(2,3)，由x1<0
A．eq \f(\r(15),15) B．eq \f(\r(5),5)
C．eq \f(\r(5),3) D．eq \f(\r(15),3)
答案 A
解析 解法一：因为tan2α＝eq \f(sin2α,cs2α)＝eq \f(2sinαcsα,1－2sin2α)，且tan2α＝eq \f(csα,2－sinα)，所以eq \f(2sinαcsα,1－2sin2α)＝eq \f(csα,2－sinα)，解得sinα＝eq \f(1,4).因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以csα＝eq \f(\r(15),4)，tanα＝eq \f(sinα,csα)＝eq \f(\r(15),15).故选A．
解法二：因为tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α)＝eq \f(\f(2sinα,csα),1－\f(sin2α,cs2α))＝eq \f(2sinαcsα,cs2α－sin2α)＝eq \f(2sinαcsα,1－2sin2α)，且tan2α＝eq \f(csα,2－sinα)，所以eq \f(2sinαcsα,1－2sin2α)＝eq \f(csα,2－sinα)，解得sinα＝eq \f(1,4)，因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以csα＝eq \f(\r(15),4)，tanα＝eq \f(sinα,csα)＝eq \f(\r(15),15).故选A．
三角函数公式的应用策略
(1)熟悉各个公式的结构特征，明确待求目标能与哪个公式联系．
(2)使用公式求值时，应先求出相关角相应的函数值，再代入公式求值．
1.(2021·沈阳模拟)已知点P的坐标为(1,1)，将向量eq \(OP,\s\up6(→))绕原点O逆时针方向旋转eq \f(π,3)到eq \(OP′,\s\up6(→))的位置，则点P′的坐标为( )
A．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－\r(3),2)，\f(1＋\r(3),2))) B．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋\r(3),2)，\f(1－\r(3),2)))
C．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(5),2))) D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(5),2)，\f(1,2)))
答案 A
解析 由题意可得eq \(OP,\s\up6(→))＝(1,1)＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\f(π,4)，sin\f(π,4)))，将向量eq \(OP,\s\up6(→))绕原点O逆时针方向旋转eq \f(π,3)得到eq \(OP′,\s\up6(→))，则eq \(OP′,\s\up6(→))＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋\f(π,3)))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋\f(π,3)))))＝eq \r(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2)－\r(6),4)，\f(\r(2)＋\r(6),4)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－\r(3),2)，\f(1＋\r(3),2)))，即点P′的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1－\r(3),2)，\f(1＋\r(3),2))).故选A．
2．(2020·全国Ⅲ卷)已知2tanθ－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝7，则tanθ＝( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
答案 D
解析 ∵2tanθ－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))＝7，∴2tanθ－eq \f(tanθ＋1,1－tanθ)＝7.令t＝tanθ，t≠1，则2t－eq \f(1＋t,1－t)＝7，整理得t2－4t＋4＝0，解得t＝2，即tanθ＝2.故选D.
考向二 公式的逆用和变形用
例2 (1)tan70°＋tan50°－eq \r(3)tan70°tan50°的值为( )
A．eq \r(3) B．eq \f(\r(3),3)
C．－eq \f(\r(3),3) D．－eq \r(3)
答案 D
解析 因为tan120°＝eq \f(tan70°＋tan50°,1－tan70°tan50°)＝－eq \r(3)，所以tan70°＋tan50°－eq \r(3)tan70°tan50°＝－eq \r(3).故选D.
(2)(2020·全国Ⅲ卷)已知sinθ＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))＝1，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(3),3)
C．eq \f(2,3) D．eq \f(\r(2),2)
答案 B
解析 由题意可得sinθ＋eq \f(1,2)sinθ＋eq \f(\r(3),2)csθ＝1，则eq \f(3,2)sinθ＋eq \f(\r(3),2)csθ＝1，eq \f(\r(3),2)sinθ＋eq \f(1,2)csθ＝eq \f(\r(3),3)，从而有sinθcseq \f(π,6)＋csθsineq \f(π,6)＝eq \f(\r(3),3)，即sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),3).故选B.
(3)化简eq \f(sin235°－\f(1,2),cs10°cs80°)＝________.
答案 －1
解析 eq \f(sin235°－\f(1,2),cs10°cs80°)＝eq \f(\f(1－cs70°,2)－\f(1,2),cs10°sin10°)
＝eq \f(－\f(1,2)cs70°,\f(1,2)sin20°)＝－1.
两角和与差及倍角公式的逆用和变形用的应用技巧
(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．
(2)和差角公式变形
sinαsinβ＋cs(α＋β)＝csαcsβ；
csαsinβ＋sin(α－β)＝sinαcsβ；
tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)．
(3)倍角公式变形：降幂公式．
3.(1＋tan18°)(1＋tan27°)的值是( )
A．eq \r(3) B．1＋eq \r(2)
C．2 D．2(tan18°＋tan27°)
答案 C
解析 (1＋tan18°)(1＋tan27°)＝1＋tan18°＋tan27°＋tan18°tan27°＝1＋tan45°(1－tan18°·tan27°)＋tan18°tan27°＝2.
4．设a＝cs50°cs127°＋cs40°cs37°，b＝eq \f(\r(2),2)(sin56°－cs56°)，c＝eq \f(1－tan239°,1＋tan239°)，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．a>c>b
答案 D
解析 由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得a＝cs50°cs127°＋cs40°cs37°＝cs50°·cs127°＋sin50°sin127°＝cs(50°－127°)＝cs(－77°)＝cs77°＝sin13°，b＝eq \f(\r(2),2)(sin56°－cs56°)＝eq \f(\r(2),2)sin56°－eq \f(\r(2),2)cs56°＝sin(56°－45°)＝sin11°，c＝eq \f(1－tan239°,1＋tan239°)＝eq \f(1－\f(sin239°,cs239°),1＋\f(sin239°,cs239°))＝cs239°－sin239°＝cs78°＝sin12°.因为函数y＝sinx，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))为增函数，所以sin13°>sin12°>sin11°，所以a>c>b.
考向三 角的变换
例3 (1)(2021·齐齐哈尔二模)已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5π,12)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2021π,6)－2x))＝( )
A．eq \f(2,3) B．eq \f(7,9)
C．eq \f(8,9) D．－eq \f(2,3)
答案 B
解析 因为sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5π,12)))＝eq \f(1,3)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2021π,6)－2x))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(336π＋\f(5π,6)－2x))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(5π,6)))＝1－2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5π,12)))＝1－2×eq \f(1,9)＝eq \f(7,9).故选B.
(2)(2021·黑龙江大庆实验中学训练)已知α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(24,25)，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝________.
答案 －eq \f(4,5)
解析 由题意知α＋β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)，2π))，sin(α＋β)＝－eq \f(3,5)，所以cs(α＋β)＝eq \f(4,5).因为β－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(24,25)，所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝－eq \f(7,25).则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))))＝cs(α＋β)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＋sin(α＋β)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝－eq \f(4,5).
1．求角的三角函数值的一般思路是把“所求角”用“已知角”表示．
(1)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(2)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
2．常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)，α＝eq \f(α＋β,2)＋eq \f(α－β,2)，eq \f(α－β,2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(β,2)))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋β))等．
5.(2022·江苏南通期末)已知eq \f(π,2)<β<α
C．eq \f(16,65) D．－eq \f(16,65)
答案 B
解析 因为eq \f(π,2)<β<α
答案 －eq \f(7,25) －eq \f(2,11)
解析 因为tanα＝eq \f(4,3)＝eq \f(sinα,csα)，所以sinα＝eq \f(4,3)csα.因为sin2α＋cs2α＝1，所以cs2α＝eq \f(9,25)，因此cs2α＝2cs2α－1＝－eq \f(7,25).因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5)，所以sin(α＋β)＝eq \r(1－cs2α＋β)＝eq \f(2\r(5),5)，因此tan(α＋β)＝－2.因为tanα＝eq \f(4,3)，所以tan2α＝eq \f(2tanα,1－tan2α)＝－eq \f(24,7)，因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝eq \f(tan2α－tanα＋β,1＋tan2αtanα＋β)＝－eq \f(2,11).
一、单项选择题
1．(2022·河北秦皇岛月考)－sin133°cs197°－cs47°cs73°等于( )
A．eq \f(1,2) B．eq \f(\r(3),3)
C．eq \f(\r(2),2) D．eq \f(\r(3),2)
答案 A
解析 原式＝－sin(180°－47°)cs(180°＋17°)－cs47°cs(90°－17°)＝sin47°cs17°－cs47°·sin17°＝sin(47°－17°)＝sin30°＝eq \f(1,2).
2．(2020·全国Ⅰ卷)已知α∈(0，π)，且3cs2α－8csα＝5，则sinα＝( )
A．eq \f(\r(5),3) B．eq \f(2,3)
C．eq \f(1,3) D．eq \f(\r(5),9)
答案 A
解析 由3cs2α－8csα＝5，得6cs2α－8csα－8＝0，解得csα＝－eq \f(2,3)或csα＝2(舍去)．∵α∈(0，π)，∴sinα＝eq \r(1－cs2α)＝eq \f(\r(5),3).故选A．
3．(2021·烟台模拟)已知α∈(0，π)，2sin2α＝cs2α－1，则csα＝( )
A．eq \f(\r(5),5) B．－eq \f(\r(5),5)
C．eq \f(2\r(5),5) D．－eq \f(2\r(5),5)
答案 B
解析 ∵2sin2α＝cs2α－1，∴4sinαcsα＝－2sin2α.∵α∈(0，π)，∴sinα>0,2csα＝－sinα，∴csα<0，结合sin2α＋cs2α＝1，得csα＝－eq \f(\r(5),5).
4．(2022·山东日照期末)已知sinα＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，tan(π－β)＝eq \f(1,2)，则tan(α－β)的值为( )
A．－eq \f(2,11) B．eq \f(2,11)
C．eq \f(11,2) D．－eq \f(11,2)
答案 A
解析 ∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，∴csα＝－eq \f(4,5)，tanα＝－eq \f(3,4)，又tan(π－β)＝eq \f(1,2)，∴tanβ＝－eq \f(1,2)，∴tan(α－β)＝eq \f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq \f(－\f(3,4)＋\f(1,2),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))＝－eq \f(2,11).
5．(2021·威海一模)已知sin(β－α)csβ－cs(α－β)sinβ＝eq \f(3,5)，α为第三象限角，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝( )
A．－eq \f(\r(2),10) B．－eq \f(7\r(2),10)
C．eq \f(\r(2),10) D．eq \f(7\r(2),10)
答案 A
解析 ∵sin(β－α)csβ－cs(α－β)sinβ＝sin[(β－α)－β]＝－sinα＝eq \f(3,5)，∴sinα＝－eq \f(3,5)，又α为第三象限角，则csα＝－eq \f(4,5)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝csαcseq \f(π,4)－sinαsineq \f(π,4)＝－eq \f(4,5)×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(3,5)×eq \f(\r(2),2)＝－eq \f(\r(2),10).故选A．
6．(2021·江苏镇江联考)已知sin(α＋15°)＝eq \f(3,5)，则cs(α－30°)＝( )
A．eq \f(7\r(2),10) B．－eq \f(\r(2),10)
C．eq \f(7\r(2),10)或eq \f(\r(2),10) D．eq \f(7\r(2),10)或－eq \f(\r(2),10)
答案 D
解析 ∵sin(α＋15°)＝eq \f(3,5)，∴cs(α＋15°)＝eq \f(4,5)或－eq \f(4,5).当cs(α＋15°)＝eq \f(4,5)时，cs(α－30°)＝cs[(α＋15°)－45°]＝cs(α＋15°)cs45°＋sin(α＋15°)sin45°＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,5)＋\f(3,5)))＝eq \f(7\r(2),10)；当cs(α＋15°)＝－eq \f(4,5)时，cs(α－30°)＝cs[(α＋15°)－45°]＝cs(α＋15°)cs45°＋sin(α＋15°)·sin45°＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)＋\f(3,5)))＝－eq \f(\r(2),10)，∴cs(α－30°)＝eq \f(7\r(2),10)或－eq \f(\r(2),10)，故选D.
7．(2021·湖南长沙一中调研)设α为锐角，若cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,3)))的值为( )
A．eq \f(12,25) B．eq \f(24,25)
C．－eq \f(24,25) D．－eq \f(12,25)
答案 B
解析 ∵α为锐角，即0<α
A．－eq \f(1,3) B．3
C．－eq \f(1,3)或3 D．eq \f(1,3)或－3
答案 C
解析 因为M(－1，y)是角θ终边上一点，所以tanθ＝－y，又taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2θ＋\f(π,4)))＝7，即eq \f(tan2θ＋1,1－tan2θ)＝eq \f(\f(2tanθ,1－tan2θ)＋1,1－\f(2tanθ,1－tan2θ))＝7，整理可得3tan2θ＋8tanθ－3＝0.解得tanθ＝－3或eq \f(1,3)，则y＝3或－eq \f(1,3).故选C．
二、多项选择题
9．下列四个等式中正确的是( )
A．tan25°＋tan35°＋eq \r(3)tan25°tan35°＝eq \r(3)
B.eq \f(tan22.5°,1－tan222.5°)＝1
C．cs2eq \f(π,8)－sin2eq \f(π,8)＝eq \f(1,2)
D.eq \f(1,sin10°)－eq \f(\r(3),cs10°)＝4
答案 AD
解析 A项，∵tan(25°＋35°)＝eq \f(tan25°＋tan35°,1－tan25°tan35°)＝eq \r(3)，∴tan25°＋tan35°＝eq \r(3)(1－tan25°tan35°)＝eq \r(3)－eq \r(3)tan25°tan35°，∴tan25°＋tan35°＋eq \r(3)tan25°tan35°＝eq \r(3)，正确；B项，∵tan45°＝eq \f(2tan22.5°,1－tan222.5°)＝1，∴eq \f(tan22.5°,1－tan222.5°)＝eq \f(1,2)，错误；C项，cs2eq \f(π,8)－sin2eq \f(π,8)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,8)))＝cseq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)，错误；D项，eq \f(1,sin10°)－eq \f(\r(3),cs10°)＝eq \f(cs10°－\r(3)sin10°,sin10°cs10°)
＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs10°－\f(\r(3),2)sin10°)),sin10°cs10°)
＝eq \f(2sin30°cs10°－cs30°sin10°,\f(1,2)×2sin10°cs10°)＝eq \f(2sin20°,\f(1,2)sin20°)＝4，正确．故选AD.
10．(2021·聊城质检)下列各式中，值为eq \f(1,4)的是( )
A．sineq \f(π,12)sineq \f(5π,12) B．eq \f(1,3)－eq \f(2,3)cs215°
C．eq \f(1,sin50°)＋eq \f(\r(3),cs50°) D．cs72°cs36°
答案 AD
解析 对于A，sineq \f(π,12)sineq \f(5π,12)＝sineq \f(π,12)cseq \f(π,12)＝eq \f(1,2)sineq \f(π,6)＝eq \f(1,4)；对于B，eq \f(1,3)－eq \f(2,3)cs215°＝eq \f(1,3)(1－2cs215°)＝－eq \f(1,3)cs30°＝－eq \f(\r(3),6)≠eq \f(1,4)；对于C，eq \f(1,sin50°)＋eq \f(\r(3),cs50°)＝eq \f(cs50°＋\r(3)sin50°,sin50°cs50°)
＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)cs50°＋\f(\r(3),2)sin50°)),\f(1,2)sin100°)＝eq \f(2sin30°＋50°,\f(1,2)sin100°)＝4≠eq \f(1,4)；对于D，cs72°cs36°＝eq \f(2sin36°cs36°cs72°,2sin36°)＝eq \f(sin72°cs72°,2sin36°)＝eq \f(\f(1,2)sin144°,2sin36°)＝eq \f(1,4).故选AD.
11．(2022·福建厦门质检)已知α，β，γ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，sinα＋sinγ＝sinβ，csβ＋csγ＝csα，则下列说法正确的是( )
A．cs(β－α)＝eq \f(1,2) B．cs(β－α)＝－eq \f(1,2)
C．β－α＝eq \f(π,3) D．β－α＝－eq \f(π,3)
答案 AC
解析 由已知得sinγ＝sinβ－sinα，csγ＝csα－csβ.两式分别平方相加，得(sinβ－sinα)2＋(csα－csβ)2＝1.∴－2cs(β－α)＝－1，∴cs(β－α)＝eq \f(1,2)，∴A正确，B错误；∵sinγ＝sinβ－sinα>0，α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴β>α，∴β－α＝eq \f(π,3)，∴C正确，D错误．故选AC．
12．(2021·河北张家口模拟)已知tan(α＋β)＝tanα＋tanβ，其中α≠eq \f(kπ,2)(k∈Z)且β≠eq \f(mπ,2)(m∈Z)，则下列结论一定正确的是( )
A．sin(α＋β)＝0
B．cs(α＋β)＝1
C．sin2eq \f(α,2)＋sin2eq \f(β,2)＝1
D．sin2α＋cs2β＝1
答案 AD
解析 ∵tan(α＋β)＝eq \f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)＝tanα＋tanβ，∴tanα＋tanβ＝0或1－tanαtanβ＝1，∴α＋β＝nπ(n∈Z)或者α＝kπ(k∈Z)或β＝mπ(m∈Z)，又α≠eq \f(kπ,2)(k∈Z)，β≠eq \f(mπ,2)(m∈Z)，∴α＋β＝nπ(n∈Z)，且α≠eq \f(kπ,2)(k∈Z)，β≠eq \f(mπ,2)(m∈Z)．对于A，sin(α＋β)＝sin(nπ)＝0(n∈Z)，故A正确；对于B，由于cs(α＋β)＝cs(nπ)＝±1(n∈Z)，故B错误；对于C，sin2eq \f(α,2)＋sin2eq \f(β,2)＝sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(nπ,2)－\f(β,2)))＋sin2eq \f(β,2)(n∈Z)，当n为偶数时，sin2eq \f(α,2)＋sin2eq \f(β,2)＝sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(nπ,2)－\f(β,2)))＋sin2eq \f(β,2)＝sin2eq \f(β,2)＋sin2eq \f(β,2)＝2sin2eq \f(β,2)≠1，故C错误；对于D，sin2α＋cs2β＝sin2(nπ－β)＋cs2β＝sin2β＋cs2β＝1(n∈Z)，故D正确．
三、填空题
13．(2021·泰安三模)已知2sin2α＝csα＝sinβ，且α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，则cs(2α＋β)＝________.
答案 －eq \f(1,4)
解析 由2sin2α＝csα，得4sinαcsα＝csα，因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))，所以sinα＝eq \f(1,4)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以csα＝sinβ＝eq \f(\r(15),4)，所以α＋β＝eq \f(π,2)，所以cs(2α＋β)＝－sinα＝－eq \f(1,4).
14．(2022·山东德州模拟)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－sinα＝eq \f(4\r(3),5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(11π,6)))＝________.
答案 －eq \f(4,5)
解析 由cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－sinα＝eq \f(\r(3),2)csα－eq \f(1,2)sinα－sinα＝eq \f(\r(3),2)csα－eq \f(3,2)sinα＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)csα－\f(\r(3),2)sinα))＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(4\r(3),5)，得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(4,5).sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(11π,6)))＝－sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(11π,6)))))＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝－eq \f(4,5).
15．(2021·甘肃、青海、宁夏联考)若tan(α＋2β)＝2，tanβ＝－3，则tan(α＋β)＝________，tanα＝________.
答案 －1 eq \f(1,2)
解析 ∵tan(α＋2β)＝2，tanβ＝－3，∴tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)＝eq \f(tanα＋2β－tanβ,1＋tanα＋2βtanβ)＝eq \f(2－－3,1＋2×－3)＝－1.tanα＝tan(α＋β－β)＝eq \f(－1－－3,1＋－1×－3)＝eq \f(1,2).
16．(2021·南京模拟)若λsin160°＋tan20°＝eq \r(3)，则实数λ的值为________.
答案 4
解析 由λsin160°＋tan20°＝eq \r(3)，得λsin20°＋eq \f(sin20°,cs20°)＝eq \f(λsin20°cs20°＋sin20°,cs20°)＝eq \f(λsin40°＋2sin20°,2cs20°)＝eq \r(3)，所以λsin40°＋2sin20°＝2eq \r(3)cs20°，即λsin40°＝2eq \r(3)cs20°－2sin20°＝4sin(60°－20°)＝4sin40°，所以λ＝4.
四、解答题
17．已知α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq \f(\r(5),5).
(1)求sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))的值；
(2)求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－2α))的值．
解 (1)因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，sinα＝eq \f(\r(5),5)，
所以csα＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(2\r(5),5).
故sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝sineq \f(π,4)csα＋cseq \f(π,4)sinα＝eq \f(\r(2),2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)))＋eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(5),5)＝－eq \f(\r(10),10).
(2)由(1)知sin2α＝2sinαcsα＝2×eq \f(\r(5),5)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(5),5)))＝－eq \f(4,5)，
cs2α＝1－2sin2α＝1－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(5),5)))2＝eq \f(3,5)，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)－2α))＝cseq \f(5π,6)cs2α＋sineq \f(5π,6)sin2α＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)))×eq \f(3,5)＋eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))＝－eq \f(4＋3\r(3),10).
18．(2022·辽宁朝阳月考)已知tanα＝2.
(1)求taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))的值；
(2)求eq \f(sin2α,sin2α＋sinαcsα－cs2α－1)的值．
解 (1)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,4)))＝eq \f(tanα－tan\f(π,4),1＋tanαtan\f(π,4))＝eq \f(2－1,1＋2)＝eq \f(1,3).
(2)eq \f(sin2α,sin2α＋sinαcsα－cs2α－1)
＝eq \f(2sinαcsα,sin2α＋sinαcsα－2cs2α－1－1)
＝eq \f(2sinαcsα,sin2α＋sinαcsα－2cs2α)
＝eq \f(2tanα,tan2α＋tanα－2)＝eq \f(2×2,22＋2－2)＝1.
19．已知0<α
(2)求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))的值．
解 (1)解法一：因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝cseq \f(π,4)csβ＋sineq \f(π,4)sinβ＝eq \f(\r(2),2)csβ＋eq \f(\r(2),2)sinβ＝eq \f(1,3)，
所以csβ＋sinβ＝eq \f(\r(2),3)，
所以1＋sin2β＝eq \f(2,9)，所以sin2β＝－eq \f(7,9).
解法二：sin2β＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－2β))＝2cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))－1＝－eq \f(7,9).
(2)因为0<α
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝eq \f(2\r(2),3)，cs(α＋β)＝－eq \f(3,5).
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(α＋β－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))))
＝cs(α＋β)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＋sin(α＋β)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(π,4)))＝－eq \f(3,5)×eq \f(1,3)＋eq \f(4,5)×eq \f(2\r(2),3)＝eq \f(8\r(2)－3,15).
公式名
公式
二倍角的正弦
sin2α＝eq \x(\s\up1(07))2sinαcsα
二倍角的余弦
cs2α＝eq \x(\s\up1(08))cs2α－sin2α＝eq \x(\s\up1(09))1－2sin2α＝eq \x(\s\up1(10))2cs2α－1
二倍角的正切
tan2α＝eq \x(\s\up1(11))eq \f(2tanα,1－tan2α)
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