2022届高考数学一轮复习考点创新题拔高练 考点6 立体几何中与球有关的切、接问题

考点6 立体几何中与球有关的切、接问题

一、选择题

1.在三棱锥中，的内切圆圆O的半径为2，平面，且三棱锥的三个侧面与底面所成角都为60°，则该三棱锥的内切球的体积为(   )

A. B. C. D.

2.张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家等,他曾经得出圆周率的平方除以十六等于八分之五.已知三棱锥的每个顶点都在球的表面上,底面,且,利用张衡的结论可得球的表面积为(   )

A.30 B. C.33 D.

3.已知在三棱锥中，是以A为直角的三角形，是正三角形，且与底面所成角的正弦值为，则三棱锥外接球的半径为(   )

A. B. C. D.

4.在平面四边形中，,现将沿折起，使二面角的大小为.若四点在同一个球的球面上，则球的表面积为(   )

A. B. C. D.

5.取两个相互平行且全等的正n边形，将其中一个旋转一定角度，连接这两个多边形的顶点，使得侧面均为等边三角形，我们把这种多面体称作“n角反棱柱”.当时，得到如图所示棱长均为2的“六角反棱柱”，则该“六角反棱柱”外接球的表面积等于(   )
 

A. B. C. D.

6.已知三棱锥中，是边长为的正三角形，D,E分别是PA,AB上靠近点A的三等分点，，则三棱锥的内切球的表面积为(   )
 

A. B. C. D.

7.已知正方形ABCD中，E,F分别是AB,BC的中点，沿DE,DF,EF折起得到如图所示的空间几何体，若，则此几何体的内切球的体积为(   )

A. B. C. D.

8.已知在菱形ABCD中，，将菱形ABCD沿对角线BD折起，得到三棱锥，且使得棱，则三棱锥的外接球的表面积为(   )

A. B. C. D.

二、填空题

9.已知底面为正方形的四棱锥的五个顶点在同一个球面上，，则四棱锥外接球的体积为________.

10.设正四面体的内切球半径为r，外接球半径为R，则___________.

11.已知有两个半径为2的球记为，两个半径为3的球记为，这四个球彼此相外切，现有一个球O与这四个球都相内切，则球O的半径为____________.

12.在三棱锥中，平面.三棱锥的所有顶点都在球O的表面上，则球O的半径为__________；若点M是的重心，则过点M的平面截球O所得截面的面积的最小值为__________.

13.已知正三棱柱，底面边长为，高为2，P为上底面三角形中线上一动点，则三棱锥的外接球表面积的取值范围是_____________.

参考答案

1.答案：A

解析：设三棱锥的内切球的半径为R，过O作于点于点于点F，则.连接，易证，因为三棱锥的三个侧面与底面所成角都为60°，所以，则.由题意可知三棱锥的内切球的球心在线段上，在中，，即，解得.所以该三棱锥的内切球的体积为，故选A.

2.答案：B

解析：因为，所以.又底面BCD，所以，球O的球心为侧棱AD的中点，从而球O的直径为.利用张衡的结论，可得，所以球O的表面积为.故选B.

3.答案：C

解析：如图，不妨令二面角为钝二面角，取的中点D，连接，因为，，所以，且D为外接圆的圆心.作平面于H，易知H在直线上，连接，则为与底面所成角，则，又，所以，又，则.设为的外心，O为三棱锥外接球的球心，连接，则平面平面，则，设外接球的半径为R，则，故选C.

4.答案：C

解析：本题考查三棱锥的外接球、球的表面积.如图所示，设M为的中点，连接，依题意，折起后是二面角的平面角，则.易知，四面体的外接球的球心O在平面上，于是点O在底面上的射影是正的中心，设为点Q，而点O在侧面上的射影是M，易得，又，因此，进而，所以球O的表面积为，故选C.

5.答案：B

解析：本题以新定义立体图形为背景考查多面体外接球表面积的计算.如图，设上、下正六边形的中心分别为，，连接，则其中点O即为所求外接球的球心.连接，取棱AB的中点M，作于点N，连接，，则.而，则，，

则.连接，，设所求外接球的半径为R，则有，该“六角反棱柱”外接球的表面积.故选B.

6.答案：C

解析：本题考查三棱锥的内切球的表面积.因为，是边长为的正三角形，所以三棱锥为正三棱锥，由正棱锥对棱垂直可知.又D,E分别是PA,AB上靠近点A的三等分点，所以，所以.又，所以平面PAC，所以平面PAC，所以，所以，所以两两互相垂直.
设三棱锥的内切球的半径为r，则由等体积法可得，，即，解得，故三棱锥的内切球的表面积为.故选C.

7.答案：C

解析：在等腰中，，设点D到EF的距离为h，则.令该几何体的内切球的球心为O，且球心O到三个面的距离均为半径r.又因为，且,所以平面PEF.由等体积法知,即,解得,则,故选C.

8.答案：C

解析：本题考查三棱雉的外接球的表面积.由题意可知为等边三角形.如图所示，设外接球的球心为O，等边三角形BCD的中心为取BD的中点F，连接由，得又，所以平面AFC，且可求得而所以在平面AFC中过点A作CF的垂线，与CF的延长线交于点E，由平面AFC得又所以平面BCD.过点O作于点G，则四边形是矩形.又，所以.设外接球的半径为则由，得解得故三棱锥外接球的表面积故选C.
 

9.答案：.

解析：由题意知，所以平面，而平面，则平面平面.由条件知，所以.如图，取的中点G连

接，交于点O，则O为正方形的中心，过点G作平面的垂线，则点O在该垂线上，所以O为四棱锥外接球的球心，由于，所以四棱锥外接球的体积为.

10.答案：

解析：本题考查正四面体的外接球、内切球性质.

如图，在正四面体PABC中，D,E分别为BC,AC的中点，连接AD,BE交于点F，则点F为正三角形ABC的外心，连接PF，则底面ABC，且正四面体PABC的外接球球心与内切球球心为同一点，应在线段PF上，记作点O，如图所示.

不妨设正四面体PABC的棱长为a，则在中，.

底面底面，

.

正四面体PABC的外接球、内切球球心均为O，

.

，且在中有，

，

，

.

11.答案：6

解析：本题考查球的相切问题.由题意可得.
如图，取的中点的中点N，连接则
又平面同理可证平面
平面平面球心O在线段MN上.
设球O的半径为R，则.
即解得.
故球O的半径为6.
 

12.答案：

解析：（1）平面平面ABC，又，且平面平面，所以PC是两个直角三角形PAC和PBC的斜边，取PC的中点O，点O到四点P，A，B，C的距离相等，即点O是三棱锥的外接球的球心，

（2）当点M是截面圆的圆心时，此时圆心到截面的距离最大，那么截面圆的半径最小，即此时的面积最小，点N是AC的中点，M是的重心，，所以，截面圆的半径，所以
 

13.答案：

解析：如图，设正三棱柱上、下底面中心分别为，点P是中线上一点，G是三棱锥的外接球的球心.因为A，B，C在球面上，所以球心在线段上，点P也在球面上，设三棱锥外接球的半径为R，外接圆的半径为r，由正弦定理有，所以，设，则，在中，，在中，，于是，解得因为点P是中线上一点，所以，于是，所以，所以外接球的表面积.