2020-2021学年湖南省郴州市高二（上）10月月考数学试卷人教A版

这是一份2020-2021学年湖南省郴州市高二（上）10月月考数学试卷人教A版，共7页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 设等比数列an的公比q=3，前n项和为Sn，则 S4a3=( )
A.3B.9C.40 D. 409

2. 已知集合A=x|x2−9≤0,B=x|x<1，则A∩B=（ ）
A.−3,1B.[−3,1）C.[−3,+∞）D.(1,3]

3. 已知正项等比数列an的前n项和为Sn，且S6−2S3=2，则a7+a8+a9的最小值为( )
A.9B.8C.6D.4

4. 在等差数列{an}中，a1+3a3+a15=10，则a5的值为( )
A.2B.3C.4D.5

5. 若不等式x2−px+q<0（其中p>0，q>0）的解集为(a, b)，且a，b，−2这三个数可适当排序后构成等差数列，也可适当排序后构成等比数列，则p+q的值等于( )
A.7B.8C.9D.10

6. 实数m，n满足m>n>0，则（ ）
A.−1m<−1nB.m−n(12)nD.m2
7. 如图是谢宾斯基三角形，在所给的四个三角形图案中，黑色的小三角形个数构成数列{an}的前4项，则{an}的通项公式可以是( )

A.an=3n−1B.an=2n−1C.an=3nD.an=2n−1

8. 设变量x，y满足约束条件 x−2≤0，x−2y≤0，x+2y−8≤0，则目标函数z=3x+y的最大值为( )
A.7B.8C.9D.14

9. 在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=45，则S9=( )
A.45B.162C.1352D.81

10. 若x，y满足y−1≥0,2x−y−1≥0,x+y≤m,若目标函数z=x−y的最小值为−2，则实数m的值为( )
A.0B.−4C.4D.8
二、填空题

13+1与13−1的等比中项是________.

已知等差数列an中， a2=−6，a8=6，Sn是数列an的前n项和，当Sn取得最小值时， n=________.

设x，y满足约束条件 y≤x+1，y≥2x−1，x≥0，y≥0, 则目标函数z=y+1x+1的最大值为________.

已知等差数列an的前n项和为Sn，且a2=4，S5=30，则数列1Sn的前n项和为________.
三、解答题

在等差数列an中，若a2+a3+a4+a5=34，且a2⋅a5=52．求数列an的通项公式an.

解关于x的不等式： x2+a−1x−a>0a∈R.

动物园需要用篱笆围成两个面积均为50m2的长方形熊猫居室，如图所示，以墙为一边（墙不需要篱笆），并共用垂直于墙的一条边，为了保证活动空间，垂直于墙的边长不小于2m，每个长方形平行于墙的边长也不小于2m．

(1)设所用篱笆的总长度为l，垂直于墙的边长为x．试用解析式将l表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；

(2)怎样围才能使得所用篱笆的总长度最小？篱笆的总长度最小是多少？
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖南省郴州市高二（上）10月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
D
【考点】
等比数列的通项公式
【解析】
本题考查等比数列通项公式的应用，属于基础题．
【解答】
解：在等比数列中，q=3，
则S4a3=a1+a2+a3+a4a3
=a1+a1q+a1q2+a1q3a1q2
=1+q+q2+q3q2
=1+3+9+279
=409．
故选D．
2.
【答案】
B
【考点】
一元二次不等式的解法
交集及其运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为A={x|−3≤x≤3}，
所以A∩B={x|−3≤x<1}.
故选B.
3.
【答案】
B
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
等比数列的前n项和
等比数列的性质
【解析】
由题意可得：S6−2S3=2，可得：S6−S3=S3+2，由等比数列的性质可得：S3，S6−S3，S9−S6成等比数列，可得：a7+a8+a9=S9−S6=S3+22S3，展开利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】
解：由题意可得：S6−2S3=2，可得：S6−S3=S3+2，
由等比数列的性质可得：S3，S6−S3，S9−S6成等比数列，
则S3S9−S6=S6−S32 .
因为a7+a8+a9=S9−S6
=S6−S32S3=S3+4S3+4≥8，
当且仅当S3=4S3时等号成立，即S3=2，
综上可得，则a7+a8+a9的最小值为8．
故选B.
4.
【答案】
A
【考点】
等差数列的通项公式
【解析】
把条件化为5(a1+4d)=5a5=10，从而求得a5的值．
【解答】
解：在等差数列{an}中，
∵ a1+3a3+a15=5a1+20d
=5(a1+4d)=5a5=10，
∴ a5=2.
故选A.
5.
【答案】
C
【考点】
等差数列与等比数列的综合
一元二次不等式的解法
【解析】
由一元二次方程根与系数的关系得到a+b＝p，ab＝q，再由a，b，−2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列列关于a，b的方程组，求得a，b后得答案．
【解答】
解：不等式x2−px+q<0（其中p>0，q>0）的解集为(a, b)，
可得a，b为方程x2−px+q=0的两根，
则a+b=p，ab=q.
∵ p>0，q>0，
可得a>0，b>0.
又a，b，−2这三个数可适当排序后构成等差数列，也可适当排序后构成等比数列，
可得2b=a−2，ab=4 ①或2a=b−2，ab=4 ②．
解①得a=4，b=1；解②得a=1，b=4，
∴ p=a+b=5，q=1×4=4，
则p+q=9．
故选C.
6.
【答案】
B
【考点】
不等式的基本性质
【解析】
根据不等式的性质分别判断即可．
【解答】
解：对于A，−1m>−1n，故A错误；
对于B，两边平方得：m+n−2mn故n对于C，由于函数y=(12)x是减函数，m>n>0，
所以(12)m<(12)n，故C错误，
对于D，m2−mn=m(m−n)>0，故m2>mn，故D错误.
故选B.
7.
【答案】
A
【考点】
数列的应用
数列递推式
【解析】
根据图形的特点，每增加一个三角形应在原来的基础上再增加3倍个三角形，三角形的个数为：1，3，3×3，3×9…，归纳出第n图形中三角形的个数．
【解答】
解：由图形得：
第2个图形中有3个三角形，
第3个图形中有3×3个三角形，
第4个图形中有3×9个三角形，
以此类推：第n个图形中有3n−1个三角形．
故选A．
8.
【答案】
C
【考点】
求线性目标函数的最值
简单线性规划
【解析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．
【解答】
解：作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分)，
由z=3x+y得y=−3x+z，
平移直线y=−3x+z，
由图象可知当直线y=−3x+z经过点A时，直线y=−3x+z的截距最大，
此时z最大，
由 x−2=0，x+2y−8=0，
解得 x=2，y=3，
即A(2, 3)，
代入目标函数z=3x+y得z=3×2+3=9,
即目标函数z=3x+y的最大值为9．
故选C.
9.
【答案】
D
【考点】
等差中项
等差数列的性质
【解析】
由等差数列的性质得，a3+a4+a5+a6+a7=5a5=45⇒a5=9，而S9=9a5，从而可得答案．
【解答】
解：∵ 等差数列{an}中，
a3+a4+a5+a6+a7=5a5=45，
∴ a5=9，
∴ S9=9(a1+a9)2=9×2a52=9a5=81．
故选D．
10.
【答案】
D
【考点】
求线性目标函数的最值
简单线性规划
【解析】
作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数z=x−y的最小值是−2，确定m的取值．
【解答】
解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由目标函数z=x−y的最小值是−2，
得y=x−z，即当z=−2时，函数为y=x+2，此时对应的平面区域在直线y=x+2的下方，
由y=x+2,y=2x−1,解得x=3,y=5,即A(3, 5)，
同时A也在直线x+y=m上，即m=3+5=8.
故选D.
二、填空题
【答案】
±22
【考点】
等比中项
【解析】
利用等比中项性质求解即可.
【解答】
解：设13+1与13−1的等比中项为a，
则a2=13+1×13−1=12，
∴ a=±22.
故答案为：±22.
【答案】
4或5
【考点】
等差数列的通项公式
【解析】
先求出其公差，代入求出其通项公式；根据其单调性即可分析出何时有最小值并求出其最小值．
【解答】
解：设等差数列an的公差为d，
因为a2=a1+d=−6，
a8=a1+7d=6，
则6d=12，故d=2．
所以 an=−6+(n−2)×2=2n−10，
所以此数列为递增数列，
所以等差数列{an}的前4项为负数，a5=0，
从第6项开始为正数，
因此前4项或前5项的和最小．
故答案为： 4或5.
【答案】
2
【考点】
求线性目标函数的最值
简单线性规划
【解析】
作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义进行求解即可．
【解答】
解：由约束条件作出可行域如图，
则z的几何意义为可行域内的动点与定点P(−1,−1)连线的斜率，
由图象可知当直线过C点时对应的斜率最小，当直线经过点B时的斜率最大，
则zmax=kPB=1+10+1=2.
故答案为：2．
【答案】
nn+1
【考点】
数列的求和
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
【解析】
先根据等差数列的通项公式与前n项和公式求出数列an的首项和公差，从而得Sn=nn+1，于是1sn=1n−1n+1，再利用裂项相消法求前n项和即可得解．
【解答】
解：设等差数列an的首项为a1，公差为d,
∵ a2=4,S5=30,
∴ a1+d=4，5a1+5×42d=30，
解得a1=2，d=2，
∴ Sn=2n+nn−12×2=nn+1,
∴ 1Sn=1nn+1=1n−1n+1，
数列1Sn的前n项和为：
1−12+12−13+⋯+1n−1n+1
=1−1n+1=nn+1.
故答案为：nn+1.
三、解答题
【答案】
解：由等差数列的性质可得：
a2+a3+a4+a5=2a2+a5=34,
故可得a2+a5=17,
因为a2⋅a5=52，
结合韦达定理可得a2，a5是方程x2−17x+52=0的根,
解之可得x=4或13，
故a2=4,a5=13或a2=13,a5=4,
故公差d=a5−a25−2=±3.
因为an=a1+n−1d，
所以an=3n−2或an=−3n+19.
【考点】
等差数列的性质
等差数列的通项公式
【解析】
由等差数列的性质可得a2+a5=17，可得a2 a5是方程x2−17x+52=0的根，解之结合公差的定义可得．
【解答】
解：由等差数列的性质可得：
a2+a3+a4+a5=2a2+a5=34,
故可得a2+a5=17,
因为a2⋅a5=52，
结合韦达定理可得a2，a5是方程x2−17x+52=0的根,
解之可得x=4或13，
故a2=4,a5=13或a2=13,a5=4,
故公差d=a5−a25−2=±3.
因为an=a1+n−1d，
所以an=3n−2或an=−3n+19.
【答案】
解：不等式x2+a−1x−a>0可化为：x+ax−1>0，
①当−a>1，即a<−1时，解得： x>−a或x<1；
②当−a=1，即a=−1时，解得： x≠1；
③当−a<1，即a>−1时，解得： x>1或x<−a.
综上可知，当a<−1时，不等式解集为{x|x>−a或x<1}；
当a=−1时，不等式解集为x|x≠1；
当a>−1时，不等式解集为{x|x>1或x<−a}.
【考点】
一元二次不等式的解法
【解析】
分三种情况讨论a的取值，进行解不等式即可.
【解答】
解：不等式x2+a−1x−a>0可化为：x+ax−1>0，
①当−a>1，即a<−1时，解得： x>−a或x<1；
②当−a=1，即a=−1时，解得： x≠1；
③当−a<1，即a>−1时，解得： x>1或x<−a.
综上可知，当a<−1时，不等式解集为{x|x>−a或x<1}；
当a=−1时，不等式解集为x|x≠1；
当a>−1时，不等式解集为{x|x>1或x<−a}.
【答案】
解：(1)设垂直于墙的边长为x，
则每个长方形平行于墙的边长为50x，
则l=3x+100x，
∵ x≥2且50x≥2，
∴ 2≤x≤25，
∴ 这个函数的定义域为[2, 25].
(2)l=3x+100x≥23x⋅100x=203，
当且仅当3x=100x，即x=1033时取等号，
故当垂直于墙的边长为1033m时，
所用篱笆的总长度最小，篱笆的总长度最小是203m．
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
根据实际问题选择函数类型
【解析】
（1）由题意设设垂直于墙的边长为x，则每个长方形平行于墙的边长50x，表示出l；由x≥2且50x≥2，可得函数的定义域；
（2）对其运用基本不等式求出函数的最值即场地的篱笆的总长度最小，从而求解．
【解答】
解：(1)设垂直于墙的边长为x，
则每个长方形平行于墙的边长为50x，
则l=3x+100x，
∵ x≥2且50x≥2，
∴ 2≤x≤25，
∴ 这个函数的定义域为[2, 25].
(2)l=3x+100x≥23x⋅100x=203，
当且仅当3x=100x，即x=1033时取等号，
故当垂直于墙的边长为1033m时，
所用篱笆的总长度最小，篱笆的总长度最小是203m．