2020-2021学年河南省鹤壁市高二（上）1月月考数学（文）试卷人教A版

这是一份2020-2021学年河南省鹤壁市高二（上）1月月考数学（文）试卷人教A版，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 命题“∀x≥1，2x−1>0”的否定是( )
A.∀x≥1，2x−1≤0B.∃x0≥1，2x0−1≤0
C.∃x0<1，2x0−1>0D.∃x0<1，2x0−1≤0

2. 抛物线y=4x2的焦点坐标是( )
A.(0, 116)B.(0, 18)C.(0, 14)D.(0, 12)

3. 已知函数fx=2x+3f′0⋅ex，则f′1=( )
A.32eB.3−2eC.2−3eD.2+3e

4. 关于x的方程4x+2x+1−m=0有实数解的充要条件是( )
A.m>1B.m≥0C.m≥−1D.m>0

5. 已知函数fx=x3+ax2+bx在x=1处有极值，则f2等于( )
A.1B.2C.3D.4

6. 命题“△ABC中，若AB2+BC2A.0B.1C.2D.3

7. 若P是以F1，F2为焦点的椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上的一点，且PF1→⋅PF2→=0，tan∠PF1F2=512，则此椭圆的离心率为( )
A.11917B.1517C.1315D.1317

8. 已知双曲线C:x2−y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上一点，若|PF1|=52，则|PF2|=( )
A.12B.92C.12或92D.1或92

9. 若函数fx=x2−a+2x+alnx既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是( )
A.−∞,2∪2,+∞B.0,2∪2,+∞C.2,+∞D.{2}

10. 如图，F1，F2是双曲线C：x2a2−y23=1a>0的左，右焦点．过F2的直线与双曲线C的两条渐近线分别交于A，B两点，若点A为F2B的中点，且F1B⊥F2B，则|F1F2|=( )

A.4B.43C.6D.9

11. 以M0,2为圆心，4为半径的圆与抛物线C:x2=8y相交于A，B两点，如图，点P是优弧AB上不同于A，B的一个动点，过P作平行于y轴的直线交抛物线于点N，则△PMN的周长的取值范围是( )

A.[8,12）B.(8,12]C.8,12D.8,12

12. 已知函数fx=a2x2−xlnxa∈R，若对任意x1>x2>0，fx1>fx2恒成立，则a的取值范围为( )
A.[1,+∞)B.(−∞,1]C.[e,+∞)D.1,e
二、填空题

已知长为4的线段AB的两个端点A，B都在抛物线y=2x2上滑动，若M是线段AB的中点，则点M到x轴的最短距离是________.
三、解答题

求下列函数的导数：
(1)fx=x3+6x−2x；

(2)fx=csxex；

(3)fx=x−12lg2x.

已知p:方程x2m−5−y2m=1对应的图形是双曲线；q：函数fx=−x2+2mx+1−mx∈0,1的最大值不超过2．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数m的取值范围．

已知过点−2,2的双曲线C的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，一条渐近线的方程是2x+y=0.
(1)求双曲线C的方程；

(2)若直线x−y+m=0与双曲线C交于不同的两点A，B，线段AB的中点在圆x2+y2=5上，求实数m的值．

已知抛物线C:y2=2pxp>0的准线与圆x−32+y2=25相切．

(1)求抛物线C的方程及其焦点F的坐标；

(2)如图，过点−1,0的直线l交抛物线C于不同的两点P，Q，交直线x=−4于点G（Q在PG之间），直线QF交直线x=−1于点H，GH//PF，求直线l的方程．

已知函数f(x)=ex−ax(a∈R)(e=2.71828…是自然对数的底数）．
(1)求fx的单调区间；

(2)求函数fx的零点的个数．

已知F1，F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左、右焦点，点R的坐标是1,32，|RF1|+|RF2|=2a，椭圆C的离心率为12.
(1)求椭圆C的方程；

(2)在圆O:x2+y2=3上取一点P，过点P作圆O的切线l与椭圆C相交于M，N两点，问以MN为直径的圆能否过坐标原点O？若能，求出△OMN的面积；若不能，请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年河南省鹤壁市高二（上）1月月考数学（文）试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
命题的否定
【解析】
全称命题的否定是特称命题，∀x≥1改成习∃x0≥1,2x−1>0改成2x0−1≤0．故选B．
【解答】
解：全称命题的否定是特称命题，命题“∀x≥1，2x−1>0”的否定是“∃x0≥1，2x0−1≤0”.
故选B．
2.
【答案】
A
【考点】
抛物线的定义
【解析】
根据题意，将抛物线的方程变形为标准方程，分析可得其焦点位置以及p的值，有抛物线焦点坐标公式计算可得答案．
【解答】
解：∵ 抛物线的方程为y=4x2，
∴ 其标准方程为x2=14y，
∴ 2p=14，解得：p=18，
∴ 焦点坐标为(0, 116).
故选A.
3.
【答案】
C
【考点】
导数的运算
【解析】

【解答】
解：f′(x)=2+3f′(0)⋅ex，
所以f′0=2+3f′0，
所以f′0=−1，
所以f′(x)=2−3ex，
所以f′1=2−3e．
故选C．
4.
【答案】
D
【考点】
必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】

【解答】
解：因为m=4x+2x+1=2x+12−1>0，
所以关于x的方程4x+2x+1−m=0有实数解的充要条件是m>0．
故选D．
5.
【答案】
B
【考点】
函数的求值
利用导数研究函数的极值
【解析】
f′x=3x2+2ax+b，由题意知f′1=0，即3+2a+b=0，所以2a+b=−3，所以f2=8+4a+2b=8+22a+b=8+2×−3=2 . 故选B．
【解答】
解：由题知f′x=3x2+2ax+b，则f′1=0，即3+2a+b=0，
所以2a+b=−3，
所以f2=8+4a+2b=8+22a+b
=8+2×−3=2 .
故选B．
6.
【答案】
C
【考点】
四种命题的真假关系
【解析】

【解答】
解：因为原命题是真命题，所以逆否命题是真命题.
其逆命题为“若△ABC是钝角三角形，则AB2+BC2因此真命题的个数是2．
故选C .
7.
【答案】
D
【考点】
椭圆的定义
椭圆的离心率
【解析】

【解答】
解：因为|PF1→|⋅|PF2→|=0，
所以PF1⊥PF2，
在Rt△PF1F2中，设|PF2|=5，则|PF1|=12， |F1F2|=52+122=13，
所以2c=13，2a=|PF1|+|PF2|=17，
所以e=2c2a=1317．
故选D．
8.
【答案】
B
【考点】
双曲线的定义
【解析】

【解答】
解：由题意知c=1+3=2，a+c=3≥|PF1|，
所以点P在C的左支上，
所以|PF2|−|PF1|=2，即|PF2|−52=2，
所以|PF2|=92．
故选B .
9.
【答案】
B
【考点】
利用导数研究函数的极值
【解析】

【解答】
解：因为f(x)=x2−(a+2)x+alnx既有极大值又有极小值，
且f′x=2x−a−2+ax=2x2−(a+2)x+ax
=2x−ax−1xx>0，
所以f′(x)=0有两个不等的正实数解，
所以a2>0，且a2≠1，
解得a>0，且a≠2 .
故选B .
10.
【答案】
A
【考点】
双曲线的渐近线
双曲线的标准方程
【解析】

【解答】
解：因为点A为F2B的中点，
所以OA//F1B.
又F1B⊥F2B，
所以OA⊥F2B，|OF1|=|OF2|=|OB|，
所以∠AOF2=∠AOB=∠BOF1=60∘，
所以3a=tan60∘=3，
所以a=1，
所以|F1F2|=21+3=4．
故选A．
11.
【答案】
C
【考点】
抛物线的性质
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】

【解答】
解：易知圆心M0,2也是抛物线C的焦点，如图，
设PN与抛物线的准线y=−2交于点H，
根据抛物线的定义，可得|MN|=|NH|，
故△PMN的周长l=|NH|+|NP|+|MP|=|PH|+4．
设点B的坐标为x0,y0，
则x02=8y0,x02+y0−22=16,
解得x0=4,y0=2即B4,2．
由于点P不与A，B两点重合，也不在y轴上，
所以|PH|的取值范围为4,8，
所以△PMN的周长的取值范围为8,12．
故选C．
12.
【答案】
A
【考点】
利用导数研究不等式恒成立问题
【解析】

【解答】
解：由题意知函数fx在0,+∞上单调递增.
因为f′x=ax−lnx−1，
所以转化为f′x≥0在0,+∞上恒成立.
因为x∈0,+∞，
所以a≥lnx+1x在0,+∞上恒成立，即转化为a≥lnx+1xmax .
令gx=lnx+1x，则g′x=−lnxx2，
所以当x∈0,1时，g′x>0；当x∈1,+∞时，g′x<0，
所以gx在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，
所以gxmax=g1=1，
所以a≥1．
故选A．
二、填空题
【答案】
158
【考点】
抛物线的定义
抛物线的性质
【解析】

【解答】
解：设抛物线y=2x2的焦点为F，过点A，B，M作抛物线y=2x2的准线y=−18的垂线，垂足分别是A1，B1，M1，如图，
|MM1|=|AA1|+|BB1|2
=|AF|+|BF|2≥12|AB|=2，
当且仅当A，B，F三点共线时等号成立，
所以当弦AB过抛物线的焦点F时，|MM1|取最小值2，
此时，点M到x轴的距离取最小值为2−18=158 .
故答案为：158.
三、解答题
【答案】
解：(1)f′x=x3′+6x′−2x′=3x2+6+2x2．
(2)f′x=csx′ex−ex′csx(ex)2
=−sinx⋅ex−ex⋅csxe2x
=−sinx+csxex.
(3)∵ fx=x2−2x+1lg2x，
∴ f′x=[x2−2x+1lg2x]′
=(x2−2x+1)′⋅lg2x+(x2−2x+1)⋅(lg2x)′
=2(x−1)lg2x+x2−2x+1xln2.
【考点】
导数的运算
简单复合函数的导数
【解析】



【解答】
解：(1)f′x=x3′+6x′−2x′=3x2+6+2x2．
(2)f′x=csx′ex−ex′csx(ex)2
=−sinx⋅ex−ex⋅csxe2x
=−sinx+csxex.
(3)∵ fx=x2−2x+1lg2x，
∴ f′x=[x2−2x+1lg2x]′
=(x2−2x+1)′⋅lg2x+(x2−2x+1)⋅(lg2x)′
=2(x−1)lg2x+x2−2x+1xln2.
【答案】
解：对于p，因为方程x2m−5−y2m=1 对应的图形是双曲线，
所以m(m−5)>0，解得m<0或m>5，
所以若p为真命题，则m<0或m>5.
对于q：当m≤0时，f(x)max=f(0)=1−m≤2，
解得 m≥−1，
所以−1≤m≤0；
当0解得1−52≤m≤1+52，
所以0当m≥1时，f(x)max=f(1)=m≤2，
所以1≤m≤2．
所以若q为真命题，则−1≤m≤2．
若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假．
若p真q假，则实数m满足m<0或m>5，m<−1或m>2，
解得m<−1或m>5；
若p假q真，则实数m满足0≤m≤5，−1≤m≤2，
解得0≤m≤2．
综上所述，所求实数m的取值范围为(−∞,−1)∪[0,2]∪(5,+∞)．
【考点】
双曲线的定义
二次函数在闭区间上的最值
逻辑联结词“或”“且”“非”
【解析】

【解答】
解：对于p，因为方程x2m−5−y2m=1 对应的图形是双曲线，
所以m(m−5)>0，解得m<0或m>5，
所以若p为真命题，则m<0或m>5.
对于q：当m≤0时，f(x)max=f(0)=1−m≤2，
解得 m≥−1，
所以−1≤m≤0；
当0解得1−52≤m≤1+52，
所以0当m≥1时，f(x)max=f(1)=m≤2，
所以1≤m≤2．
所以若q为真命题，则−1≤m≤2．
若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则p，q一真一假．
若p真q假，则实数m满足m<0或m>5，m<−1或m>2，
解得m<−1或m>5；
若p假q真，则实数m满足0≤m≤5，−1≤m≤2，
解得0≤m≤2．
综上所述，所求实数m的取值范围为(−∞,−1)∪[0,2]∪(5,+∞)．
【答案】
解：(1)设双曲线C的方程是(2x)2−y2=λλ≠0，
则−2×22−(2)2=λ，
解得λ=2，
所以双曲线C的方程是2x2−y2=2，即x2−y22=1.
(2)将y=x+m，代入x2−y22=1消去y，并整理得x2−2mx−m2−2=0.
设Ax1,y1，Bx2,y2，线段AB的中点为Mx0,y0，
则Δ=4m2+4m2+2>0，x1+x2=2m，
所以x0=x1+x22=m，y0=x0+m=2m.
因为点Mx0,y0在圆x2+y2=5上，
所以m2+(2m)2=5.
解得m=±1.
【考点】
双曲线的标准方程
与双曲线有关的中点弦及弦长问题
【解析】


【解答】
解：(1)设双曲线C的方程是(2x)2−y2=λλ≠0，
则−2×22−(2)2=λ，
解得λ=2，
所以双曲线C的方程是2x2−y2=2，即x2−y22=1.
(2)将y=x+m，代入x2−y22=1消去y，并整理得x2−2mx−m2−2=0.
设Ax1,y1，Bx2,y2，线段AB的中点为Mx0,y0，
则Δ=4m2+4m2+2>0，x1+x2=2m，
所以x0=x1+x22=m，y0=x0+m=2m.
因为点Mx0,y0在圆x2+y2=5上，
所以m2+(2m)2=5.
解得m=±1.
【答案】
解：(1)因为抛物线y2=2px的准线x=−p2与圆(x−3)2+y2=25相切，
所以3+p2=5，
解得p=4，
所以抛物线C的方程是y2=8x，焦点F的坐标(2,0)．
(2)显然直线l与坐标轴不垂直，
设直线l的方程为y=k(x+1)(k≠0)，
P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
联立y2=8x,y=k(x+1),
消去y得k2x2+(2k2−8)x+k2=0，
由Δ=(2k2−8)2−4k4>0，
解得−2所以−2由韦达定理得x1+x2=8−2k2k2，x1x2=1.
因为GH//PF，
所以|PQ||GQ|=|QF||QH|，
所以x1−x2x2+4=2−x2x2+1，
整理得x1x2+(x1+x2)=8，
所以8−2k2k2=7，
整理得k2=89，
解得k=±223，
经检验，k=±223满足Δ>0，
所以所求直线l的方程为y=223(x+1)或y=−223(x+1)，
即y=223x+223或y=−223x−223．
【考点】
直线与圆的位置关系
抛物线的标准方程
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】


【解答】
解：(1)因为抛物线y2=2px的准线x=−p2与圆(x−3)2+y2=25相切，
所以3+p2=5，
解得p=4，
所以抛物线C的方程是y2=8x，焦点F的坐标(2,0)．
(2)显然直线l与坐标轴不垂直，
设直线l的方程为y=k(x+1)(k≠0)，
P(x1,y1)，Q(x2,y2)，
联立y2=8x,y=k(x+1),
消去y得k2x2+(2k2−8)x+k2=0，
由Δ=(2k2−8)2−4k4>0，
解得−2所以−2由韦达定理得x1+x2=8−2k2k2，x1x2=1.
因为GH//PF，
所以|PQ||GQ|=|QF||QH|，
所以x1−x2x2+4=2−x2x2+1，
整理得x1x2+(x1+x2)=8，
所以8−2k2k2=7，
整理得k2=89，
解得k=±223，
经检验，k=±223满足Δ>0，
所以所求直线l的方程为y=223(x+1)或y=−223(x+1)，
即y=223x+223或y=−223x−223．
【答案】
解：(1)因为f(x)=ex−ax，
所以f′(x)=ex−a.
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，
所以f(x)的单调递增区间为−∞,+∞，无单调递减区间；
当a>0时，令f′(x)<0，得x令f′(x)>0，得x>lna，
所以f(x)的单调递减区间为−∞,lna，单调递增区间为lna,+∞.
(2)显然0不是函数f(x)的零点.
由ex−ax=0，得a=exxx≠0.
令g(x)=exx，则g′(x)=exx−1x2，
当x<0或01时，g′(x)>0，
所以g(x)在−∞,0和0,1上都是减函数，在1,+∞上是增函数，
当x=1时，g(x)取极小值e.
又当x<0时，g(x)<0，
所以0≤aa=e或a<0时关于x的方程a=exx只有一个解，
a>e时关于x的方程a=exx有两个不同解，
因此，0≤ae时函数f(x)有两个零点.
【考点】
利用导数研究函数的单调性
利用导数研究与函数零点有关的问题
【解析】


【解答】
解：(1)因为f(x)=ex−ax，
所以f′(x)=ex−a.
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，
所以f(x)的单调递增区间为−∞,+∞，无单调递减区间；
当a>0时，令f′(x)<0，得x令f′(x)>0，得x>lna，
所以f(x)的单调递减区间为−∞,lna，单调递增区间为lna,+∞.
(2)显然0不是函数f(x)的零点.
由ex−ax=0，得a=exxx≠0.
令g(x)=exx，则g′(x)=exx−1x2，
当x<0或01时，g′(x)>0，
所以g(x)在−∞,0和0,1上都是减函数，在1,+∞上是增函数，
当x=1时，g(x)取极小值e.
又当x<0时，g(x)<0，
所以0≤aa=e或a<0时关于x的方程a=exx只有一个解，
a>e时关于x的方程a=exx有两个不同解，
因此，0≤ae时函数f(x)有两个零点.
【答案】
解：(1)∵|RF1|+|RF2|=2a，
∴点R(1,32)在椭圆C上，
∴1a2+94b2=1①．
又∵离心率e=1−b2a2=12，
∴3a2=4b2②．
联立①②解得a=2，b=3．
椭圆C的方程为x24+y23=1．
(2)若以MN为直径的圆过坐标原点O，则OM⊥ON．
当切线l的斜率不存在时，切线l的方程是：x=3或x=−3，
l与椭圆C：x24+y23=1相交于M，N两点，
此时M(3,32)，N(3,−32)或M(−3,32)，N(−3,−32)，
∴OM→⋅ON→=3−34=94≠0，
∴当切线l的斜率不存在时，OM⊥ON不成立．
当切线l的斜率存在时，设切线l的方程是y=kx+m，
则|m|1+k2=3，即m2=3(1+k2)．③
联立y=kx+m,x24+y23=1,
得(3+4k2)x2+8kmx+4m2−12=0．
∵直线l与椭圆C相交于M，N两点，
∴Δ>0，化简得4k2>m2−3．
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x1+x2=−8km3+4k2，x1x2=4m2−123+4k2，
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=3m2−12k23+4k2．
若OM→⋅ON→=0，则x1x2+y1y2=0，
∴4m2−123+4k2+3m2−12k23+4k2=0，化简得，7m2−12k2−12=0．④
联立③④，并消去m得，21+21k2−12k2−12=0，即k2=−1，显然无解，
∴ 当直线l的斜率存在时，OM⊥ON也不可能成立．
综上所述，以MN为直径的圆不可能过坐标原点O．
【考点】
椭圆的标准方程
椭圆的离心率
圆锥曲线中的定点与定值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)∵|RF1|+|RF2|=2a，
∴点R(1,32)在椭圆C上，
∴1a2+94b2=1①．
又∵离心率e=1−b2a2=12，
∴3a2=4b2②．
联立①②解得a=2，b=3．
椭圆C的方程为x24+y23=1．
(2)若以MN为直径的圆过坐标原点O，则OM⊥ON．
当切线l的斜率不存在时，切线l的方程是：x=3或x=−3，
l与椭圆C：x24+y23=1相交于M，N两点，
此时M(3,32)，N(3,−32)或M(−3,32)，N(−3,−32)，
∴OM→⋅ON→=3−34=94≠0，
∴当切线l的斜率不存在时，OM⊥ON不成立．
当切线l的斜率存在时，设切线l的方程是y=kx+m，
则|m|1+k2=3，即m2=3(1+k2)．③
联立y=kx+m,x24+y23=1,
得(3+4k2)x2+8kmx+4m2−12=0．
∵直线l与椭圆C相交于M，N两点，
∴Δ>0，化简得4k2>m2−3．
设M(x1,y1)，N(x2,y2)，则x1+x2=−8km3+4k2，x1x2=4m2−123+4k2，
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=3m2−12k23+4k2．
若OM→⋅ON→=0，则x1x2+y1y2=0，
∴4m2−123+4k2+3m2−12k23+4k2=0，化简得，7m2−12k2−12=0．④
联立③④，并消去m得，21+21k2−12k2−12=0，即k2=−1，显然无解，
∴ 当直线l的斜率存在时，OM⊥ON也不可能成立．
综上所述，以MN为直径的圆不可能过坐标原点O．