2022版新高考数学一轮总复习课后集训：18+导数的概念及运算+Word版含解析

课后限时集训(十八)　导数的概念及运算

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一、选择题

1．(多选)若函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为(　　)

A．f(x)＝3cos x B．f(x)＝x3＋x

C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝ex＋x

BC　[根据题意，依次分析选项：

对于A，f′(x)＝－3sin x，为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意．

对于B，f′(x)＝3x2＋1，为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意．

对于C，f′(x)＝1－，为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意．

对于D，f′(x)＝ex＋1，不是偶函数，图象不关于y轴对称，不符合题意．]

2．已知f′(x)是函数f(x)的导数，f(x)＝f′(1)·2x＋x2，则f′(2)＝(　　)

A. B．

C. D．－2

C　[因为f′(x)＝f′(1)·2xln 2＋2x，所以f′(1)＝f′(1)·2ln 2＋2，解得f′(1)＝，所以f′(x)＝·2xln 2＋2x，所以f′(2)＝×22ln 2＋2×2＝.]

3．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的位移为s＝t3－3t2＋8t，那么速度为零的时刻是(　　)

A．1秒末 B．1秒末和2秒末

C．4秒末 D．2秒末和4秒末

D　[∵s′(t)＝t2－6t＋8，由导数的定义可知v＝s′(t)，令s′(t)＝0，得t＝2或4，

即2秒末和4秒末的速度为零，故选D.]

4．若曲线f(x)＝acos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在x＝0处有公切线，则a＋b＝(　　)

A．－1 B．0

 C．1 D．2

C　[由题意得f′(x)＝－asin x，g′(x)＝2x＋b，于是有f′(0)＝g′(0)，即－asin 0＝2×0＋b，∴b＝0.又f(0)＝g(0)，即a＝1，∴a＋b＝1.]

5．(2020·重庆八中月考)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯­137衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝600·2，则铯­137含量M在t＝30时的瞬间变化率为(　　)

A．－10ln 2(太贝克/年) B．300ln 2(太贝克/年)

C．－300ln 2(太贝克/年) D．300(太贝克/年)

A　[依题意，M(t)＝600·2，∴M′(t)＝－×600×2ln 2＝－20×2ln 2，∴铯­137含量M在t＝30时的瞬间变化率为M′(30)＝－20×2－1ln 2＝－10ln 2(太贝克/年)，故选A.]

6．(2020·合肥模拟)已知函数f(x)＝xln x，若直线l过点(0，－e)，且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的斜率为(　　)

A．－2 B．2 

C．－e D．e

B　[函数f(x)＝xln x的导数为f′(x)＝ln x＋1，

设切点为(m，n)，可得切线的斜率k＝1＋ln m，

则1＋ln m＝＝，

解得m＝e，故k＝1＋ln e＝2.]

二、填空题

7．已知f(x)＝ax4＋bcos x＋7x－2.若f′(2 020)＝6，则f′(－2 020)＝______.

8　[因为f′(x)＝4ax3－bsin x＋7，

所以f′(－x)＝4a(－x)3－bsin(－x)＋7

＝－4ax3＋bsin x＋7.

所以f′(x)＋f′(－x)＝14.

又f′(2 020)＝6，

所以f′(－2 020)＝14－6＝8.]

8．(2020·全国卷Ⅰ)曲线y＝ln x＋x＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．

y＝2x　[设切点坐标为(x0，ln x0＋x0＋1)．由题意得y′＝＋1，则该切线的斜率k＝＋1＝2，解得x0＝1，所以切点坐标为(1,2)，所以该切线的方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.]

9．设函数f(x)＝x3＋ax2，若曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为x＋y＝0，则点P的坐标为________．

(1，－1)或(－1,1)　[由题意知，f′(x)＝3x2＋2ax，所以曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率为f′(x0)＝3x＋2ax0，又切线方程为x＋y＝0，所以x0≠0，且解得或

所以当时，点P的坐标为(1，－1)；

当时，点P的坐标为(－1,1)．]

三、解答题

10．已知点M是曲线y＝x3－2x2＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：

(1)斜率最小的切线方程；

(2)切线l的倾斜角α的取值范围．

[解]　(1)∵y′＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，

∴当x＝2时，y′min＝－1，此时y＝，

∴斜率最小时的切点为，斜率k＝－1，

∴切线方程为3x＋3y－11＝0.

(2)由(1)得k≥－1，∴tan α≥－1，

又∵α∈[0，π)，∴α∈∪.

故α的取值范围为∪.

11．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．

(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；

(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．

[解]　f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．

(1)由题意，得

解得b＝0，a＝－3或a＝1.

(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，

所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，

所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，

即4a2＋4a＋1＞0，所以a≠－.

所以a的取值范围为∪.

1．(多选)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是(　　)

A．f(x)＝sin x＋cos x B．f(x)＝ln x－2x

C．f(x)＝x3＋2x－1 D．f(x)＝xex

AB　[对于A：f′(x)＝cos x－sin x，f″(x)＝－sin x－cos x，∵x∈，∴f″(x)＜0，f(x)在上是凸函数，故A正确．

对于B：f′(x)＝－2，f″(x)＝－＜0，故f(x)在上是凸函数，故B正确；

对于C：f′(x)＝3x2＋2，f″(x)＝6x＞0，故f(x)在上不是凸函数，故C错误；

对于D：f′(x)＝(x＋1)ex，f″(x)＝(x＋2)ex＞0，故f(x)在上不是凸函数，故D错误．故选AB.]

2．若曲线f(x)＝ax3＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是______．

(－∞，0)　[由题意知，f(x)的定义域(0，＋∞)，f′(x)＝3ax2＋，又存在垂直于y轴的切线，所以3ax2＋＝0，即a＝－(x＞0)，故a∈(－∞，0)．]