2020-2021学年黑吉两省高二（上）期中数学试卷（文科）人教A版（2019）

这是一份2020-2021学年黑吉两省高二（上）期中数学试卷（文科）人教A版（2019），共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 抛物线x2=2y的准线方程为( )
A.x=12B.x=−12C.y=12D.y=−12

2. “x≤3”是“x2−7x+12≥0”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3. “若x>0，则x3≥0”的原命题、否命题、逆命题、逆否命题中正确的个数为（ ）
A.1B.0C.2D.4

4. 下列双曲线中，渐近线方程为y＝±x的是（ ）
A.B.C.D.

5. 已知抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(−1, 1)，则该抛物线焦点坐标为( )
A.(−1, 0)B.(1, 0)C.(0, −1)D.(0, 1)

6. 在极坐标系中，O为极点，曲线ρ2csθ=1与射线θ=π3的交点为A，则|OA|等于（ ）
A.2B.2C.12D.22

7. 已知F1，F2分别是椭圆＝1的左、右两焦点，过点F2的直线交椭圆于点A，B，若|AF1|＝2|AF2|＝3|BF2|，则|BF1|＝（ ）
A.B.C.D.

8. 已知实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，若等轴双曲线的顶点到渐近线的距离是，则该双曲线的焦点到渐近线的距离为（ ）
A.B.3C.D.2

9. 对于实数a，b，m，命题p：若a>b，则am2>bm2；命题q:a>b>0，且|lna|＝|lnb|，则a+2b的最小值为2，则以下命题正确的是（ ）
A.(￢p)∧qB.p∧(￢q)C.p∧qD.￢q

10. 已知抛物线C:y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，且l过点(−3, 2)，M在抛物线C上，若点N(2, 4)，则|MF|+|MN|的最小值为（ ）
A.2B.3C.4D.5

11. 已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)过点(1, 2)，其离心率的取值范围是[12,32]，则椭圆短轴长的最大值是（ ）
A.4B.3C.11D.23

12. 已知双曲线E的中心为原点，P(3, 0)是E的焦点，过P的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(−12, −15)，则E的方程式为（ ）
A.x23−y26=1B.x24−y25=1C.x26−y23=1D.x25−y24=1
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

命题“∀x∈[−1, 3]，x2−3x+2≤0”的否定为________．

在直角坐标系xOy中，若直线l：（t为参数）过椭圆C：，（θ为参数）的左顶点，则a＝________．

若椭圆x24+y2m=1(m<4)的离心率为12，则m=________．

已知F1，F2是双曲线-＝1的左、右焦点，过F1作直线交双曲线左支于点A，B，若|AB|＝m，则△ABF2的周长为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=2+2csαy=1+2sinα （α为参数），直线l的参数方程为x=12ty=−1+32t （t为参数）且直线l与曲线C交于A，B两点，以直角坐标系的原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立坐标系．
（1）求曲线C的极坐标方程；

（2）已知点P的极坐标为(1, 3π2)，求1|PA|+1|PB|的值．

根据下列条件求双曲线的标准方程．
（1）经过点(−5, 1)，实轴长为2，焦点在x轴上；

（2）经过点(2，2），且与双曲线＝1有相同的焦点．

已知p:x2−x−2≤0，q:x2−mx−6m2≤0(m>0)．
（1）若q是p成立的必要不充分条件，求m的取值范围；

（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，求m的取值范围．

已知p：函数f(x)＝|x−|在区间(−∞, 2a+1)上是单调递减函数；q：不等式(a−2)x2+2(a−2)x+4>0对任意实数x恒成立．若p∨q为真，p∧q为假，求实数a的取值范围．

已知抛物线E:y2＝2px(p>0)的焦点为F，直线l:y＝2x−3与E相交于A，B两点，且|AF|+|BF|＝9．直线m // l，与E相交于C，D，与y轴交于点P．
（1）求抛物线E的方程；

（2）若＝，求|CD|的长．

已知椭圆C:x24+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线l:mx−y−3m＝0(m∈R)与椭圆C交于M，N两点（点M在x轴的上方）．
（1）若m＝−1，求△MF1F2的面积；

（2）是否存在实数m使得以线段MN为直径的圆恰好经过坐标原点O？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
2020-2021学年黑吉两省某校高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.
【答案】
D
【考点】
抛物线的标准方程
【解析】
先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p，再直接代入即可求出其准线方程．
【解答】
解：因为抛物线的标准方程为：x2=2y，焦点在y轴上；
所以：2p=2，即p=1，
所以：p2=12，
∴ 准线方程 y=−p2=−12，
故选D．
2.
【答案】
A
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
3.
【答案】
C
【考点】
四种命题的真假关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
4.
【答案】
D
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
5.
【答案】
B
【考点】
抛物线的性质
抛物线的标准方程
【解析】
利用抛物线y2＝2px(p>0)的准线经过点(−1, 1)，求得p2=1，即可求出抛物线焦点坐标．
【解答】
解：∵ 抛物线y2=2px(p>0)的准线经过点(−1, 1)，
∴ 准线x=−p2=−1，解得p=2，
∴ 该抛物线焦点坐标为(1, 0)．
故选B.
6.
【答案】
B
【考点】
圆的极坐标方程
【解析】

【解答】
解：将θ=π3代入ρ2csθ=1得ρ2=2，
则|OA|=ρ=2．
故选B．
7.
【答案】
A
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
8.
【答案】
D
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
9.
【答案】
A
【考点】
复合命题及其真假判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
10.
【答案】
D
【考点】
抛物线的性质
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
11.
【答案】
C
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
根据题意，由椭圆的离心率的范围，结合a，b关系，然后求解椭圆的短轴长的取值范围，然后求解最大值即可．
【解答】
由题意，可得1a2+2b2=1，因为a2＝b2+c2，所以c2a2=a2−b2a2=b2b2−2−b2b2b2−2=3−b2，离心率的取值范围是[12,32]，所以14≤3−b2≤34，解得b∈[32, 112]，所以椭圆短轴长的最大值是：11．
12.
【答案】
B
【考点】
与双曲线有关的中点弦及弦长问题
双曲线的标准方程
【解析】
已知条件易得直线l的斜率为1，设双曲线方程，及A，B点坐标代入方程联立相减得x1+x2=−24，根据y1−y2x1−x2=4b25a2，可求得a和b的关系，再根据c=3，求得a和b，进而可得答案．
【解答】
解：由已知条件易得直线l的斜率为k=kPN=1，
设双曲线方程为x2a2−y2b2=1，
A(x1, y1)，B(x2, y2)，
则有x12a2−y12b2=1x22a2−y22b2=1，
两式相减并结合x1+x2=−24，y1+y2=−30得
y1−y2x1−x2=4b25a2，
所以4b25a2=1,
即4b2=5a2，
又a2+b2=9，
解得a2=4，b2=5，
故选B．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【答案】
∃x0∈[−1, 3]，x02−3x0+2>0
【考点】
命题的否定
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
−4
【考点】
参数方程与普通方程的互化
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
3
【考点】
椭圆的离心率
【解析】
方程中4和m哪个大，哪个就是a2，利用离心率的定义，分04两种情况求出m的值．
【解答】
解：∵ 椭圆x24+y2m=1(m<4)的离心率为12，
则a2=4，b2=m，
∴ c=4−m，
∴ e=4−m2=12，得m=3.
故答案为：3.
【答案】
4a+2m
【考点】
双曲线的离心率
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
【答案】
曲线C的参数方程x=2+2csαy=1+2sinα 化为普通方程是(x−2)2+(y−1)2＝4，
整理得x2+y2−4x−2y+1＝0，
化为极坐标方程是ρ2−4ρcsθ−2sinθ+1＝0；
点P的极坐标为(1, 3π2)，则直角坐标系的坐标为(0, −1)，
设A、B两点对应的参数为t1、t2，
将直线l的参数方程x=12ty=−1+32t 代入曲线C的普通方程中，
得(12t−2)2+(−1+32t−1)2=4，
整理得t2−(2+23)t+4＝0，
∴ t1+t2=2+23t1t2=4 ，且t1>0，t2>0；
由参数t的几何意义知，|PA|＝|t1|，|PB|＝|t2|，
∴ 1|PA|+1|PB|=1|t1|+1|t2|=1t1+1t2=t1+t2t1t2=1+32．
【考点】
参数方程与普通方程的互化
【解析】
（1）消去参数α，把曲线C的参数方程化为普通方程，再化为极坐标方程；
（2）把点P的极坐标化为直角坐标系的坐标，将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程，
利用根与系数的关系和参数t的几何意义，即可求得1|PA|+1|PB|的值．
【解答】
曲线C的参数方程x=2+2csαy=1+2sinα 化为普通方程是(x−2)2+(y−1)2＝4，
整理得x2+y2−4x−2y+1＝0，
化为极坐标方程是ρ2−4ρcsθ−2sinθ+1＝0；
点P的极坐标为(1, 3π2)，则直角坐标系的坐标为(0, −1)，
设A、B两点对应的参数为t1、t2，
将直线l的参数方程x=12ty=−1+32t 代入曲线C的普通方程中，
得(12t−2)2+(−1+32t−1)2=4，
整理得t2−(2+23)t+4＝0，
∴ t1+t2=2+23t1t2=4 ，且t1>0，t2>0；
由参数t的几何意义知，|PA|＝|t1|，|PB|＝|t2|，
∴ 1|PA|+1|PB|=1|t1|+1|t2|=1t1+1t2=t1+t2t1t2=1+32．
【答案】
根据题意，要求双曲线的焦点在x轴上且实轴长为2，
设要求双曲线的方程-＝1，
又由双曲线经过点(−5, 4)-＝1，
解可得：b2＝，
故要求双曲线的标准方程为-＝1；
根据题意，要求双曲线与双曲线，
设其方程为-＝5，
又由双曲线经过点(2，8），则有-，
解可得：λ＝4或−56（舍），
故要求双曲线的标准方程为-＝1．
【考点】
双曲线的离心率
双曲线的标准方程
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
若q是p成立的必要不充分条件，则有，
所以m的取值范围是[，+∞)；
若￢p是￢q的充分不必要条件，则q是p的充分不必要条件，
则有，解得0，
所以m的取值范围是(0，]．
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
若p为真，函数f(x)＝|x−，−1)，2)．
又函数f(x)＝|x−|在区间(−∞，
∴ 2a+5≤−1，解得a≤−1．
若q为真，即不等式(a−4)x2+2(a−5)x+4>0对任意实数x恒成立．
可得a＝7或，解得：2≤a<7，
∵ p∨q是真命题，p∧q是假命题．
若p真q假，则，∴ a≤−1；
若p假q真，则，∴ 2≤a<6．
综上，实数a的取值范围是(−∞, 6)．
【考点】
复合命题及其真假判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
联立方程组，整理可得4x5−(12+2p)x+9＝7，
设A(x1, y1)，B(x5, y2)，可得x1+x5＝3+，
由抛物线的定义可得|BF|+|AF|＝x7+x2+p＝3+＝9，
所以抛物线的方程为y3＝8x；
设直线m:y＝2x+t，与抛物线的方程y6＝8x联立，可得4x3+(4t−8)x+t3＝0，
由△＝(4t−6)2−16t2>4，解得t<1，
设C(x3, y3)，D(x4, y4)，
则x3+x4＝2−t，x3x4＝，
又因为＝3​4−x8＝3(0−x4)，即x3＝4x5，即＝8，
所以+＝＝−2＝，
解得t＝或t＝−8，
所以|CD|＝•＝•＝5•，
当t＝时，|CD|＝2×＝；
当t＝−8时，|CD|＝2×．
【考点】
抛物线的标准方程
直线与抛物线的位置关系
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
【答案】
设椭圆的半焦距为c，因为a2＝4，b2＝1，c2＝a2−b2，
所以c2＝3，c=3，F1F2＝23，
联立x24+y2=1x+y−3=0 化简得5y2−23y−1＝0，
解得y=3−225或y=3+225，
又点M在x轴的上方，所以yM=3+225，
所以△MF1F2 的面积为12|F1F2|×yM=12×23×3+225=3+265．
假设存在实数m使得以线段MN为直径的圆恰好经过坐标原点O，则有OM⊥ON，
设M(x1, y1)，N(x2, y2)，
联立x24+y2=1mx−y−3m=0 得(4m2+1)x2−83m2x+12m2−4＝0，(*)
则x1+x2=83m24m2+1，x1x2=12m2−44m2+1，
由OM⊥ON得，OM→⋅ON→=0，
所以x1x2+y1y2＝0，
即m2(x1−3)(x2−3)+x1x2＝0，
整理得，(m2+1)x1x2−3m2(x1+x2)+3m2＝0，
所以(m2+1)12m2−44m2+1−3m283m24m2+1+3m2＝0，
解得m=±21111，
经检验m=±21111，(*) 中△>0，
所以存在m=±21111，使得以线段MN为直径的圆恰好经过坐标原点O．
【考点】
椭圆的应用
直线与椭圆的位置关系
【解析】
（1）联立直线与椭圆求得yM=3+225，进而求出△MF1F2 的面积．
（2）联立直线与椭圆得x1+x2=83m24m2+1，x1x2=12m2−44m2+1，由OM⊥ON得，OM→⋅ON→=0，所以x1x2+y1y2＝0，进而得出结论．
【解答】
设椭圆的半焦距为c，因为a2＝4，b2＝1，c2＝a2−b2，
所以c2＝3，c=3，F1F2＝23，
联立x24+y2=1x+y−3=0 化简得5y2−23y−1＝0，
解得y=3−225或y=3+225，
又点M在x轴的上方，所以yM=3+225，
所以△MF1F2 的面积为12|F1F2|×yM=12×23×3+225=3+265．
假设存在实数m使得以线段MN为直径的圆恰好经过坐标原点O，则有OM⊥ON，
设M(x1, y1)，N(x2, y2)，
联立x24+y2=1mx−y−3m=0 得(4m2+1)x2−83m2x+12m2−4＝0，(*)
则x1+x2=83m24m2+1，x1x2=12m2−44m2+1，
由OM⊥ON得，OM→⋅ON→=0，
所以x1x2+y1y2＝0，
即m2(x1−3)(x2−3)+x1x2＝0，
整理得，(m2+1)x1x2−3m2(x1+x2)+3m2＝0，
所以(m2+1)12m2−44m2+1−3m283m24m2+1+3m2＝0，
解得m=±21111，
经检验m=±21111，(*) 中△>0，
所以存在m=±21111，使得以线段MN为直径的圆恰好经过坐标原点O．