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2020-2021学年江苏省扬州市高一（上）1月月考数学试卷苏教版
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这是一份2020-2021学年江苏省扬州市高一（上）1月月考数学试卷苏教版，共15页。试卷主要包含了选择题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 若csα−π2=12，则sin(π+α)=( )
A.−32B.−12C.32D.12
2. 已知实数a，b，c，满足a=lg35，3b=4，3c=3，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A.b
3. 已知函数f(x)=sinπx6,x≤0,lg13x,x>0,则f(f(9))=( )
A.12B.−12C.−32D.32
4. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b的图象如图，则S=f(0)+f(1)+⋯+f(2016)=( )
A.0B.503C.2017D.2012
5. 已知函数y=f(x)的定义域为R，f(x+1)为偶函数，且对∀x1A.(12,8)B.(1,8)C.(0,12)∪(8,+∞)D.(−∞,1)∪(8,+∞)
6. 已知θ是第二象限角，P(x, 2)为其终边上一点且csθ=55x，则2sinθ−csθsinθ+csθ的值为( )
A.5B.52C.32D.34
7. 已知函数y=fx的图象关于直线x=1对称，当x<1时，fx=|12x−1|，那么当x>1时，函数fx的单调递增区间是（ ）
A.−∞,0B.1,2C.2,+∞D.2,5
8. 函数f(x)=(x−1x)csx(−π≤x≤π且x≠0)的图象可能为( )
A.B.
C.D.
二、多选题
若将函数fx=cs2x+π12的图象向左平移π8个单位长度，得到函数gx的图象，则下列说法正确的是( )
A.gx的最小正周期为π
B.gx在区间0,π2上单调递减
C.x=π12不是函数gx图象的对称轴
D.gx在−π6,π6上的最小值为−12
在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点为整点，若函数fx的图象恰好通过nn∈N∗个整点，则称函数fx为n阶整点函数，则下列函数是一阶整点函数的是( )
A.fx=sinxB.gx=x2C.ℎx=12xD.φx=lnx
下列结论正确的是（ ）
A.若函数f2x的定义域为1,2，则函数fx的定义域是2,4
B.函数fx=ax−1+lga2x−1−1（其中a>0，且a≠1）的图象过定点1,0
C.当α=0时，幂函数y=xα的图象是一条直线
D.若lga12>1，则a的取值范围是12,1
关于函数f(x)=cs|x|+|csx|，下列结论正确的是( )
A.f(x)为偶函数B.f(x)在区间(−π2,0)上单调递增
C.f(x)的最大值为2D.f(x)在[−π,π]上有4个零点
三、填空题
《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4．在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是________．
函数y=lg2(−x2+4x)的增区间是________，值域是________．
对任意的θ∈(0, π2)，不等式1sin2θ+4cs2θ≥|2x−1|恒成立，则实数x的取值范围是________．
设函数fx的定义域为D，若满足：①fx在D内是单调函数；②存在m2,n2⊆D，使得fx在m2,n2上的值域为m,n，那么就称函数fx为“梦想函数”，若函数fx=lgaax+ta>0,a≠1是“梦想函数”，则t的取值范围是________.
四、解答题
已知α∈(0, π)，且sin(7π2−α)+cs(5π2+α)=55．
(1)求csα1+sinα1−sinα+sinα1+csα1−csα的值；
(2)求sin3α−5csα4sinα+2cs3α的值．
已知函数y=ax(a>0且a≠1)在区间[1, 2]上的最大值与最小值之和为20，记f(x)=axax+2．
(1)求a的值；
(2)证明：f(x)+f(1−x)=1；
(3)求f(12017)+f(22017)+f(32017)+⋯+f(20162017)的值．
在①函数f(x−π3)为奇函数；②当x=π3时，f(x)=3；③2π3是函数f(x)的一个零点这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答：
已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)，f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为π，________.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在[0, 2π]上的单调递增区间．
已知函数fx=Asinωx+φ+BA>0,ω>0,|φ|<π2的一系列对应值如下表：
(1)根据表格提供的数据求函数fx的一个解析式；
(2)根据(1)的结果，若函数y=f(kx)(k>0)的最小正周期为2π3，当x∈0,π3时，方程fkx=m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．
已知指数函数fx=3x．
(1)若函数g(x) = f(x) − 1f(x) + 1，求函数g(x)值域，证明函数g(x)在定义域上单调递增；
(2)若函数ℎx=af(x)+bf(−x)(a, b∈R)，研究ℎ(x)的奇偶性；
(3)若不等式f(2x)−(t+2)f(x)≥3−t在x∈[1, 2]上恒成立，求实数t的取值范围．
已知偶函数fx=lg22x+1−kx.
(1)若方程fx+12x+1fx+12x−1=aa∈R有两不等实根，求a的取值范围；
(2)若gx=2x+2−x−2b⋅2f(x)+b2b∈R在0≤x≤2上的最小值为2，求6的值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江苏省扬州市高一（上）1月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
诱导公式
【解析】
本题考查三角函数的化简求值.根据诱导公式可知csα−π2=csπ2−α=sinα=12 ,再利用诱导公式即可求解sinπ+α=−sinα=−12 .
【解答】
解：因为csα−π2=csπ2−α=sinα=12 ,
所以sinπ+α=−sinα=−12 .
故选B.
2.
【答案】
B
【考点】
对数值大小的比较
指数式与对数式的互化
【解析】
由题意可得出b=lg34，c=lg33，然后根据对数函数y=lg3x的单调性即可得出a，b，c的大小关系．
【解答】
解：由题意可得出a=lg35，b=lg34，c=lg33，
又∵ lg33∴ c故选B．
3.
【答案】
C
【考点】
函数的求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 函数f(x)=sinπx6,x≤0,lg13x,x>0,
∴ f(9)=lg139=−2，
∴ f(f(9))=f(−2)=sin−2π6=−sinπ3=−32.
故选C.
4.
【答案】
C
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
函数的求值
【解析】
由题意可得A和b值，再由周期性可得ω，代点可得φ值，可得解析式，计算可得f(0)，f(1)，f(2)，f(3)，由周期性可得．
【解答】
解：由图象知A=12，b=1，函数的周期T=4，
由周期公式可得ω=2πT=π2，
∴ f(x)=12sin(π2x+φ)+1，
当x=0时，f(0)=12sinφ+1=1，
∴ φ=2kπ(k∈Z)，故f(x)=12sinπ2x+1，
∵ f(0)=1,f(1)=32，f(2)=1，f(3)=12，
∴ f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=4，
∴ f(0)+f(1)+f(2)+...+f(2016)=504×4+f(0)=2017.
故选C.
5.
【答案】
A
【考点】
函数的对称性
函数单调性的性质
函数单调性的判断与证明
【解析】
f（x+1）为R上的偶函数，可得f（−r+1）=f（r+1），即函数f(r)关于直线x=1对称．对∀x1【解答】
解：∵ fx+1为R上的偶函数，
∴ f−x+1=fx+1，
∴ 函数fx关于直线x=1对称．
对∀x1即x≤1时，函数fx单调递减．
若f3=1，则不等式flg2x<1⇒flg2x∴ 3>lg2x>−1，
解得：12∴ 不等式flg2x<1的解集为12,8.
故选A．
6.
【答案】
A
【考点】
任意角的三角函数
同角三角函数间的基本关系
三角函数线
【解析】
(Ⅰ)由题意利用任意角的三角函数的定义求得x的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
(Ⅱ)由题意利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得α，β的值．
【解答】
解：已知θ是第二象限角，P(x, 2)为其终边上一点，
且csθ=55x=xx2+4，
∵ x<0，
∴ x=−1，
∴ tanθ=2x=−2，
∴ 2sinθ−csθsinθ+csθ=2tanθ−1tanθ+1=5．
故选A.
7.
【答案】
C
【考点】
函数的单调性及单调区间
函数的对称性
【解析】
由题意可得可将x换为2−x，可得x>1的fx的解析式，画出图象，即可得到所求递增区间．
【解答】
解：∵ 函数y=fx的图象关于直线x=1对称，
当x<1时，fx=|12x−1|，
∴ x>1时，fx=|122−x−1|，
即为fx=|2x−2−1|，
画出y=fx的图象，
由图象可知：当x>1时，函数的递增区间为2,+∞.
故选C．
8.
【答案】
D
【考点】
函数的图象
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：f(−x)=(−x+1x)cs(−x)
=−(x−1x)csx
=−f(x)，
∴ 所以函数f(x)为奇函数，排除A，B，
∵ f(π)=−(π−1π)<0，故排除C.
故选D.
二、多选题
【答案】
A,C,D
【考点】
余弦函数的周期性
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
余弦函数的对称性
余弦函数的单调性
余弦函数的定义域和值域
【解析】
由函数图象的变换可得gx=cs2x+π3，结合余弦函数的周期性、单调性、对称轴等即可判断选项，得出答案．
【解答】
解：∵ gx=cs2x+π8+π12=cs2x+π3，
∴ gx的最小正周期为π，选项A正确；
当x∈0,π2时，2x+π3∈π3,4π3，
故gx在0,π2上有增有减，选项B错误；
gπ12=0，故x=π12不是gx图象的一条对称轴，选项C正确；
当x∈−π6,π6时，2x+π3∈0,2π3，
且当2x+π3=2π3，即x=π6时，gx取最小值−12，选项D正确.
故选ACD.
【答案】
A,D
【考点】
函数新定义问题
函数的图象
【解析】
本题考查新定义的一阶整点函数，考查三角函数，指数函数，对数函数即幂函数的图象和性质，
对给出的四个函数图象逐个分析，可得出答案.
【解答】
解：A，fx=sinx，其图象只经过一个整点，即0,0，故A正确；
B，gx=x2经过整点0,0，1,1，⋯，故不是一阶整点函数，故B错误；
C，ℎx=12x的图象经过整点−1,2，0,1，⋯，故不是一阶整点函数，故C错误；
D，φx=lnx的图象只经过一个整点1,0，故D正确.
故选AD.
【答案】
A,B,D
【考点】
对数函数的图象与性质
幂函数的图像
函数的定义域及其求法
对数函数图象与性质的综合应用
【解析】
A.考查复合函数的定义域问题；
B.考查指数函数和对数函数过定点问题；
C.考查幂函数的图象和性质；
D.考查对数函数的单调性问题.
【解答】
解：A，函数f2x的定义域为1,2，则1≤x≤2，所以2≤2x≤22=4,
故函数fx的定义域为2,4，故A正确；
B，因为a0=1，lga1=0，a>0且a≠1,
故x=1时，f1=a0+lga1−1=1−1=0，故B正确；
C，α=0时，y=x0，其定义域为xx≠0，故其图象为一条直线去掉点0,0，故C错误；
D，lga12>1=lgaa，当a>1时，lga12<0，不等式不成立，舍，
当0故选ABD.
【答案】
A,B,C
【考点】
复合三角函数的单调性
函数奇偶性的判断
函数的零点
三角函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A，f(−x)=cs|−x|+|cs(−x)|=cs|x|+|csx|=f(x)，
∴ f(x)是偶函数，故A正确；
B，当x∈(−π2,0)时，f(x)=csx+csx=2csx，
此时f(x)在(−π2,0)上单调递增，故B正确；
C，当x>0时，f(x)=csx+|csx|≤|csx|+|csx|≤2，
当x=2kπ(k≥0,k∈Z)时等号成立.
又∵ f(x)是偶函数，∴ f(x)的最大值为2，故C正确；
D，当x∈[π2,π]时，f(x)=csx−csx=0，此时函数有无数个零点，故D错误.
故选ABC.
三、填空题
【答案】
154
【考点】
弧度制
弧长公式
【解析】
根据题意知扇形的弧长和直径，再计算扇形的面积和圆心角弧度数．
【解答】
解：扇形中，弧长为l=30，直径为d=16，则半径r=8，
扇形的圆心角弧度数是α=lr=308=154．
故答案为：154.
【答案】
(0, 2],(−∞, 2]
【考点】
复合函数的单调性
函数的单调性及单调区间
函数的值域及其求法
【解析】
由题意利用复合函数的单调性，可得本题即求函数t＝−x2+4x在满足t>0的条件下，函数t的增区间，再利用二次函数的性质可得结论；求出t的范围，可得y的范围．
【解答】
解：函数y=lg2(−x2+4x)的增区间，即函数t=−x2+4x在满足t>0的条件下，函数t的增区间，
再利用二次函数的性质可得在满足t>0的条件下，函数t的增区间为(0, 2]．
由于0故答案为：(0, 2]；(−∞, 2].
【答案】
[−4, 5]
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
同角三角函数间的基本关系
【解析】
θ∈(0, π2)，可得1sin2θ+4cs2θ=(sin2θ+cs2θ)(1sin2θ+4cs2θ)＝5+(4tan2θ+1tan2θ)，利用基本不等式的性质可得出最小值．根据对任意的θ∈(0, π2)，不等式1sin2θ+4cs2θ≥|2x−1|恒成立，可得|2x−1|≤(1sin2θ+4cs2θ)min，即可得出．
【解答】
解：∵ θ∈(0, π2)
∴ 1sin2θ+4cs2θ
=(sin2θ+cs2θ)(1sin2θ+4cs2θ)
=5+(4tan2θ+1tan2θ)
≥5+24tan2θ×1tan2θ=9，
当且仅当tanθ=22时取等号．
∵ 对任意的θ∈(0, π2)，不等式1sin2θ+4cs2θ≥|2x−1|恒成立，
∴ |2x−1|=9．
∴ −9≤2x−1≤9，
解得−4≤x≤5．
∴ 实数x的取值范围是[−4, 5]．
故答案为：[−4, 5].
【答案】
(−14,0)
【考点】
复合函数的单调性
函数的值域及其求法
【解析】
由题意可得，函数fx=lgaax+ta>0,a≠1在定义域上为增函数，则lgaam2+t=m，lgaan2+t=n，即am=am2+t，an=an2+t，即ax22−ax2−t=0有两个不同的正数解，进而求得t的取值范围．
【解答】
解：由复合函数的单调性可知，
函数fx=lgaax+t a>0,a≠1在定义域上为增函数，
结合“希望函数”的定义可知，
lgaam2+t=m，lgaan2+t=n，
即am=am2+t，an=an2+t，
所以ax=ax2+t有两个不同的正数解，
即ax22−ax2−t=0有两个不同的正数解，
所以Δ=1+4t>0，且−t>0，
解得：−14故答案为：(−14,0)．
四、解答题
【答案】
解：1∵ α∈(0, π)，且sin(7π2α)+cs(5π2+α)=55，
∴ 可得：−csα−sinα=55，即csα+sinα=55，
两边平方可得：1+2csαsinα=15，可得2csαsinα=−45，
∴ α为钝角，csα<0，
∴ csα1+sinα1−sinα+sinα1+csα1−csα
=csα(1+sinα)2cs2α+sinα(1+csα)2sin2α
=−(1+sinα)+1+csα
=csα−sinα
=(csα−sinα)2
=1(45)=355．
(2)∵ 由(1)可得：α∈(0, π)，csα+sinα=−55<0①，
∴ α∈(π2, π)，
又∵ cs2α+sin2α=1②，
∴ 由①②解得csα=−255，sinα=55，
∴ sin3α−5csα4sinα+2cs3α=525+25455−16525=514．
【考点】
运用诱导公式化简求值
三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】
（1）由已知利用诱导公式可求csα+sinα = − 55，两边平方可得2csαsinα = − 45，进而利用同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．
（2）由（1）可得csα+sinα = − 55，结合角的范围利用同角三角函数基本关系式可求csα，sinα的值，即可计算得解．
【解答】
解：1∵ α∈(0, π)，且sin(7π2α)+cs(5π2+α)=55，
∴ 可得：−csα−sinα=55，即csα+sinα=55，
两边平方可得：1+2csαsinα=15，可得2csαsinα=−45，
∴ α为钝角，csα<0，
∴ csα1+sinα1−sinα+sinα1+csα1−csα
=csα(1+sinα)2cs2α+sinα(1+csα)2sin2α
=−(1+sinα)+1+csα
=csα−sinα
=(csα−sinα)2
=1(45)=355．
(2)∵ 由(1)可得：α∈(0, π)，csα+sinα=−55<0①，
∴ α∈(π2, π)，
又∵ cs2α+sin2α=1②，
∴ 由①②解得csα=−255，sinα=55，
∴ sin3α−5csα4sinα+2cs3α=525+25455−16525=514．
【答案】
(1)解：由题得a1+a2=20，解得a=4，a=−5（舍），所以a=4.
(2)证明：由(1)知f(x) = 4x4x + 2，
所以f(x)+f(1−x) = 4x4x + 2 + 41 − x41 − x + 2
= 4x4x + 2 + 44x44x + 2 = 4x4x + 2 + 42 × 4x + 4
= 4x4x + 2 + 24x + 2 = 1.
(3)解：由(2)知f(12017)+f(20162017)=1，f(22017)+f(20152017)=1，⋯，f(10082017)+f(10092017)=1，
所以f(12017)+f(22017)+f(32017)+⋯+f(20152017)+f(20162017)
=[f(12017)+f(20162017)]+[f(22017)+f(20152017)]
+⋯+[f(10082017)+f(10092017)]
=1+1+1+⋯+1=1008．
【考点】
函数最值的应用
函数的求值
【解析】
（1）根据指数函数是单调函数可得最大值与最小值和为a1+a2=20，解得a=4；
（2）根据条件求出f(x) = 4x4x + 2，可得f(x)+f(1−x)=1；
（3）由（2）可知f(12017)+f(20162017)=1，f(22017)+f(20152017)=1，…，f(10082017)+f(10092017)=1，则原式=1008．
【解答】
(1)解：由题得a1+a2=20，解得a=4，a=−5（舍），所以a=4.
(2)证明：由(1)知f(x) = 4x4x + 2，
所以f(x)+f(1−x) = 4x4x + 2 + 41 − x41 − x + 2
= 4x4x + 2 + 44x44x + 2 = 4x4x + 2 + 42 × 4x + 4
= 4x4x + 2 + 24x + 2 = 1.
(3)解：由(2)知f(12017)+f(20162017)=1，f(22017)+f(20152017)=1，⋯，f(10082017)+f(10092017)=1，
所以f(12017)+f(22017)+f(32017)+⋯+f(20152017)+f(20162017)
=[f(12017)+f(20162017)]+[f(22017)+f(20152017)]
+⋯+[f(10082017)+f(10092017)]
=1+1+1+⋯+1=1008．
【答案】
解：1∵ f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为π，
∴ T=2πω=2π，∴ ω=1，
∴ f(x)=2sin(x+φ).
选择①：∵ 函数f(x−π3)=2sin(x+φ−π3)为奇函数，
∴ f(−π3)=2sin(φ−π3)=0，解得φ=π3+kπ，k∈Z.
∵ 0< φ< π2，
∴ φ = π3，
∴ f(x) = 2sin(x + π3)．
选择②：∵ f(π3)=2sin(π3+φ)=3，
∴ sin(π3+φ)=32，
∴ φ=2kπ，k∈Z或φ=π3+2kπ，k∈Z.
∵ 0< φ< π2，
∴ φ = π3，
∴ f(x) = 2sin(x + π3)．
选择③：∵ 2π3是函数f(x)的一个零点，
∴ f(2π3)=2sin(2π3+φ)=0，
∴ φ=kπ−2π3，k∈Z.
∵ 0< φ< π2，
∴ φ = π3，
∴ f(x) = 2sin(x + π3)．
2由−π2+2kπ≤x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，
得−56π+2kπ≤x≤π6+2kπ，k∈Z，
∴ 令k=0，得 − 5π6 ≤ x ≤ π6，
令k=1，得7π6 ≤ x ≤ 13π6，
∴ 函数f(x)在[0, 2π]上的单调递增区间为[ 0,π6] ，[ 76π,2π] .
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
正弦函数的单调性
【解析】
1 根据φ的范围确定φ的取值，然后函数解析式即可确定.
2方案一：由题意可求函数周期，利用周期公式可求ω，选条件①由题意可得φ = π3 + kπ，k∈Z，结合范围0< φ< π2，可求φ = π3，可得函数解析式，利用正弦函数的单调性可求函数f(x)在[0, 2π]上的单调递增区间；
方案二：选条件②，由题意可得sin(π3 + φ) = 32，可求φ，求解函数解析式，利用正弦函数的单调性可求函数f(x)在[0, 2π]上的单调递增区间；
方案三：选条件③，由题意可得f(23π) = 2sin(23π + φ) = 0，求得φ = kπ − 2π3，k∈Z，可求φ，求解函数解析式，利用正弦函数的单调性可求函数f(x)在[0, 2π]上的单调递增区间．
【解答】
解：1∵ f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为π，
∴ T=2πω=2π，∴ ω=1，
∴ f(x)=2sin(x+φ).
选择①：∵ 函数f(x−π3)=2sin(x+φ−π3)为奇函数，
∴ f(−π3)=2sin(φ−π3)=0，解得φ=π3+kπ，k∈Z.
∵ 0< φ< π2，
∴ φ = π3，
∴ f(x) = 2sin(x + π3)．
选择②：∵ f(π3)=2sin(π3+φ)=3，
∴ sin(π3+φ)=32，
∴ φ=2kπ，k∈Z或φ=π3+2kπ，k∈Z.
∵ 0< φ< π2，
∴ φ = π3，
∴ f(x) = 2sin(x + π3)．
选择③：∵ 2π3是函数f(x)的一个零点，
∴ f(2π3)=2sin(2π3+φ)=0，
∴ φ=kπ−2π3，k∈Z.
∵ 0< φ< π2，
∴ φ = π3，
∴ f(x) = 2sin(x + π3)．
2由−π2+2kπ≤x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，
得−56π+2kπ≤x≤π6+2kπ，k∈Z，
∴ 令k=0，得 − 5π6 ≤ x ≤ π6，
令k=1，得7π6 ≤ x ≤ 13π6，
∴ 函数f(x)在[0, 2π]上的单调递增区间为[ 0,π6] ，[ 76π,2π] .
【答案】
解：(1)设f(x)的最小正周期为T，得T=11π6−(−π6)=2π，
由T=2πω，得ω=1，
又B+A=3,B−A=−1, 解得A=2,B=1,
根据|φ|<π2，
令ω⋅5π6+φ=π2，
即5π6+φ=π2，解得φ=−π3，
∴ f(x)=2sin(x−π3)+1．
(2)∵ 函数y=f(kx)=2sin(kx−π3)+1的最小正周期为2π3，
又k>0，∴ k=3，
令t=3x−π3，∵ x∈[0,π3]，∴ t∈[−π3,2π3]，
如图，sint=s在[−π3,2π3]上有两个不同的解，
则s∈[32,1)，
∴ 方程f(kx)=m在x∈[0,π3]时恰好有两个不同的解，则m∈[3+1,3)，
即实数m的取值范围是[3+1,3)．
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
根的存在性及根的个数判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设f(x)的最小正周期为T，得T=11π6−(−π6)=2π，
由T=2πω，得ω=1，
又B+A=3,B−A=−1, 解得A=2,B=1,
根据|φ|<π2，
令ω⋅5π6+φ=π2，
即5π6+φ=π2，解得φ=−π3，
∴ f(x)=2sin(x−π3)+1．
(2)∵ 函数y=f(kx)=2sin(kx−π3)+1的最小正周期为2π3，
又k>0，∴ k=3，
令t=3x−π3，∵ x∈[0,π3]，∴ t∈[−π3,2π3]，
如图，sint=s在[−π3,2π3]上有两个不同的解，
则s∈[32,1)，
∴ 方程f(kx)=m在x∈[0,π3]时恰好有两个不同的解，则m∈[3+1,3)，
即实数m的取值范围是[3+1,3)．
【答案】
解：(1)由fx=3x，可得g(x) = 3x − 13x + 1 = 1 − 23x + 1，
由3x>0，可得3x+1>1，则−2< − 23x + 1< 0，
则−1<1 − 23x + 1< 1，
即g(x)的值域为(−1, 1).
证明：设x1，x2∈R，且x1gx1−gx2=1 − 23x1 + 1 − 1 + 23x2 + 1
= 2⋅3x1 − 3x2(3x1 + 1)(3x2 + 1)，
由x1又(3x1+1)(3x2+1)>0，
则g(x1)−g(x2)<0，即g(x1)故g(x)在R上单调递增.
2 函数ℎx=af(x)+bf(−x)=a⋅3x+b⋅3−x，
ℎ−x=a⋅3−x+b⋅3x，
则ℎ(−x)+ℎ(x)=(a+b)(3x+3−x)，ℎ(−x)−ℎ(x)=b−a3x−3−x，
当a=b=0时，ℎ(x)=0，ℎ(x)既是奇函数也是偶函数；
当a=−b≠0，ℎ(−x)=−ℎx，ℎ(x)是奇函数；
当a=b≠0，ℎ(−x)=ℎx，ℎ(x)是偶函数；
当a≠b且a≠−b，ℎ(x)是非奇非偶函数.
3不等式f(2x)−(t+2)f(x)≥3−t在x∈[1, 2]上恒成立，
即为32x−(t+2)⋅3x≥3−t在x∈[1, 2]上恒成立，
即t(3x−1)≤32x−2⋅3x−3在x∈[1, 2]上恒成立.
设m=3x−1(2≤m≤8)，则t≤m2−4m=m−4m，
由y=m和y = − 4m在2≤m≤8递增，可得y=m − 4m在2≤m≤8递增，
可得m=2时，y=m − 4m取得最小值0，
则t≤0，可得t的取值范围是(−∞, 0]．
【考点】
函数的值域及其求法
函数单调性的判断与证明
函数奇偶性的判断
函数恒成立问题
【解析】
（1）运用指数函数的值域和不等式的性质，可得g(x)的值域；再由单调性的定义，结合指数函数的单调性可证明g(x)的单调性；
（2）计算ℎ(x)，ℎ(−x)，结合奇偶性的定义，分别讨论a，b，即可得到ℎ(x)的奇偶性；
（3）由题意可得32x−(t+2)⋅3x≥3−t在x∈[1, 2]上恒成立，由参数分离和换元法、以及指数函数的单调性，不等式恒成立思想，可得所求范围．
【解答】
解：(1)由fx=3x，可得g(x) = 3x − 13x + 1 = 1 − 23x + 1，
由3x>0，可得3x+1>1，则−2< − 23x + 1< 0，
则−1<1 − 23x + 1< 1，
即g(x)的值域为(−1, 1).
证明：设x1，x2∈R，且x1gx1−gx2=1 − 23x1 + 1 − 1 + 23x2 + 1
= 2⋅3x1 − 3x2(3x1 + 1)(3x2 + 1)，
由x1又(3x1+1)(3x2+1)>0，
则g(x1)−g(x2)<0，即g(x1)故g(x)在R上单调递增.
2 函数ℎx=af(x)+bf(−x)=a⋅3x+b⋅3−x，
ℎ−x=a⋅3−x+b⋅3x，
则ℎ(−x)+ℎ(x)=(a+b)(3x+3−x)，ℎ(−x)−ℎ(x)=b−a3x−3−x，
当a=b=0时，ℎ(x)=0，ℎ(x)既是奇函数也是偶函数；
当a=−b≠0，ℎ(−x)=−ℎx，ℎ(x)是奇函数；
当a=b≠0，ℎ(−x)=ℎx，ℎ(x)是偶函数；
当a≠b且a≠−b，ℎ(x)是非奇非偶函数.
3不等式f(2x)−(t+2)f(x)≥3−t在x∈[1, 2]上恒成立，
即为32x−(t+2)⋅3x≥3−t在x∈[1, 2]上恒成立，
即t(3x−1)≤32x−2⋅3x−3在x∈[1, 2]上恒成立.
设m=3x−1(2≤m≤8)，则t≤m2−4m=m−4m，
由y=m和y = − 4m在2≤m≤8递增，可得y=m − 4m在2≤m≤8递增，
可得m=2时，y=m − 4m取得最小值0，
则t≤0，可得t的取值范围是(−∞, 0]．
【答案】
解：(1)因为2x+1>0，所以fx的定义域为R．
因为fx是偶函数，即lg2(2−x+1)+kx=lg2(2x+1)−kx，
所以lg22x+12−x+1=2kx，故lg22x=2kx，
所以x=2kx，即方程2k−1x=0的解为一切实数，
所以k=12，
因为f(x)+12x+1f(x)+12x−1=a(a∈R)，且fx=lg22x+1−12x，
所以原方程转化为
[lg2(2x+1)+1]|lg2(2x+1)−1|=a，
令t=lg22x+1t>0，则
Ft=t+1|t−1|t>0，
所以Ft=−t2+1,0所以Ft在0,1上是减函数，在1,+∞上是增函数．
当0又由t=lg22x+1t>0知，t与x一一对应，
故当0(2)因为fx=lg22x2+2−x2，
所以2f(x)=2x2+2−x2，
所以g(x)=2x+2−x−2b2x2+2−x2+b2．
令m=2x2，则1≤m≤2，
令ℎm=m+1m，设1≤m1则ℎm2−ℎm1=m2+1m2−m1+1m1
=1m2m1(m2−m1)(m2m1−1)，
因为1≤m10，
即ℎm在1,2上是增函数，所以2≤ℎm≤52，
设t=ℎm，则gt=t−b2−2．
①当b≤2时，gt的最小值为g2=2−b2−2，
所以2−b2−2=2，解得b=0，或b=4（舍去）；
②当2③当b≥52时，gt的最小值为g52=52−b2−2
所以52−b2−2=2，解得b=92，或b=12（舍去）．
综上知，b=0或b=92 ．
【考点】
函数奇偶性的性质
函数单调性的性质
函数的零点与方程根的关系
函数的最值及其几何意义
二次函数在闭区间上的最值
【解析】
暂无
暂无
【解答】
解：(1)因为2x+1>0，所以fx的定义域为R．
因为fx是偶函数，即lg2(2−x+1)+kx=lg2(2x+1)−kx，
所以lg22x+12−x+1=2kx，故lg22x=2kx，
所以x=2kx，即方程2k−1x=0的解为一切实数，
所以k=12，
因为f(x)+12x+1f(x)+12x−1=a(a∈R)，且fx=lg22x+1−12x，
所以原方程转化为
[lg2(2x+1)+1]|lg2(2x+1)−1|=a，
令t=lg22x+1t>0，则
Ft=t+1|t−1|t>0，
所以Ft=−t2+1,0所以Ft在0,1上是减函数，在1,+∞上是增函数．
当0又由t=lg22x+1t>0知，t与x一一对应，
故当0(2)因为fx=lg22x2+2−x2，
所以2f(x)=2x2+2−x2，
所以g(x)=2x+2−x−2b2x2+2−x2+b2．
令m=2x2，则1≤m≤2，
令ℎm=m+1m，设1≤m1则ℎm2−ℎm1=m2+1m2−m1+1m1
=1m2m1(m2−m1)(m2m1−1)，
因为1≤m10，
即ℎm在1,2上是增函数，所以2≤ℎm≤52，
设t=ℎm，则gt=t−b2−2．
①当b≤2时，gt的最小值为g2=2−b2−2，
所以2−b2−2=2，解得b=0，或b=4（舍去）；
②当2③当b≥52时，gt的最小值为g52=52−b2−2
所以52−b2−2=2，解得b=92，或b=12（舍去）．
综上知，b=0或b=92 ．
1. 若csα−π2=12，则sin(π+α)=( )
A.−32B.−12C.32D.12
2. 已知实数a，b，c，满足a=lg35，3b=4，3c=3，则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A.b
3. 已知函数f(x)=sinπx6,x≤0,lg13x,x>0,则f(f(9))=( )
A.12B.−12C.−32D.32
4. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b的图象如图，则S=f(0)+f(1)+⋯+f(2016)=( )
A.0B.503C.2017D.2012
5. 已知函数y=f(x)的定义域为R，f(x+1)为偶函数，且对∀x1
6. 已知θ是第二象限角，P(x, 2)为其终边上一点且csθ=55x，则2sinθ−csθsinθ+csθ的值为( )
A.5B.52C.32D.34
7. 已知函数y=fx的图象关于直线x=1对称，当x<1时，fx=|12x−1|，那么当x>1时，函数fx的单调递增区间是（ ）
A.−∞,0B.1,2C.2,+∞D.2,5
8. 函数f(x)=(x−1x)csx(−π≤x≤π且x≠0)的图象可能为( )
A.B.
C.D.
二、多选题
若将函数fx=cs2x+π12的图象向左平移π8个单位长度，得到函数gx的图象，则下列说法正确的是( )
A.gx的最小正周期为π
B.gx在区间0,π2上单调递减
C.x=π12不是函数gx图象的对称轴
D.gx在−π6,π6上的最小值为−12
在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点为整点，若函数fx的图象恰好通过nn∈N∗个整点，则称函数fx为n阶整点函数，则下列函数是一阶整点函数的是( )
A.fx=sinxB.gx=x2C.ℎx=12xD.φx=lnx
下列结论正确的是（ ）
A.若函数f2x的定义域为1,2，则函数fx的定义域是2,4
B.函数fx=ax−1+lga2x−1−1（其中a>0，且a≠1）的图象过定点1,0
C.当α=0时，幂函数y=xα的图象是一条直线
D.若lga12>1，则a的取值范围是12,1
关于函数f(x)=cs|x|+|csx|，下列结论正确的是( )
A.f(x)为偶函数B.f(x)在区间(−π2,0)上单调递增
C.f(x)的最大值为2D.f(x)在[−π,π]上有4个零点
三、填空题
《九章算术》是我国古代数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”意思说：现有扇形田，弧长三十步，直径十六步，问面积多少？书中给出计算方法：以径乘周，四而一，即扇形的面积等于直径乘以弧长再除以4．在此问题中，扇形的圆心角的弧度数是________．
函数y=lg2(−x2+4x)的增区间是________，值域是________．
对任意的θ∈(0, π2)，不等式1sin2θ+4cs2θ≥|2x−1|恒成立，则实数x的取值范围是________．
设函数fx的定义域为D，若满足：①fx在D内是单调函数；②存在m2,n2⊆D，使得fx在m2,n2上的值域为m,n，那么就称函数fx为“梦想函数”，若函数fx=lgaax+ta>0,a≠1是“梦想函数”，则t的取值范围是________.
四、解答题
已知α∈(0, π)，且sin(7π2−α)+cs(5π2+α)=55．
(1)求csα1+sinα1−sinα+sinα1+csα1−csα的值；
(2)求sin3α−5csα4sinα+2cs3α的值．
已知函数y=ax(a>0且a≠1)在区间[1, 2]上的最大值与最小值之和为20，记f(x)=axax+2．
(1)求a的值；
(2)证明：f(x)+f(1−x)=1；
(3)求f(12017)+f(22017)+f(32017)+⋯+f(20162017)的值．
在①函数f(x−π3)为奇函数；②当x=π3时，f(x)=3；③2π3是函数f(x)的一个零点这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答：
已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π2)，f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为π，________.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在[0, 2π]上的单调递增区间．
已知函数fx=Asinωx+φ+BA>0,ω>0,|φ|<π2的一系列对应值如下表：
(1)根据表格提供的数据求函数fx的一个解析式；
(2)根据(1)的结果，若函数y=f(kx)(k>0)的最小正周期为2π3，当x∈0,π3时，方程fkx=m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．
已知指数函数fx=3x．
(1)若函数g(x) = f(x) − 1f(x) + 1，求函数g(x)值域，证明函数g(x)在定义域上单调递增；
(2)若函数ℎx=af(x)+bf(−x)(a, b∈R)，研究ℎ(x)的奇偶性；
(3)若不等式f(2x)−(t+2)f(x)≥3−t在x∈[1, 2]上恒成立，求实数t的取值范围．
已知偶函数fx=lg22x+1−kx.
(1)若方程fx+12x+1fx+12x−1=aa∈R有两不等实根，求a的取值范围；
(2)若gx=2x+2−x−2b⋅2f(x)+b2b∈R在0≤x≤2上的最小值为2，求6的值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年江苏省扬州市高一（上）1月月考数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
B
【考点】
诱导公式
【解析】
本题考查三角函数的化简求值.根据诱导公式可知csα−π2=csπ2−α=sinα=12 ,再利用诱导公式即可求解sinπ+α=−sinα=−12 .
【解答】
解：因为csα−π2=csπ2−α=sinα=12 ,
所以sinπ+α=−sinα=−12 .
故选B.
2.
【答案】
B
【考点】
对数值大小的比较
指数式与对数式的互化
【解析】
由题意可得出b=lg34，c=lg33，然后根据对数函数y=lg3x的单调性即可得出a，b，c的大小关系．
【解答】
解：由题意可得出a=lg35，b=lg34，c=lg33，
又∵ lg33
3.
【答案】
C
【考点】
函数的求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ 函数f(x)=sinπx6,x≤0,lg13x,x>0,
∴ f(9)=lg139=−2，
∴ f(f(9))=f(−2)=sin−2π6=−sinπ3=−32.
故选C.
4.
【答案】
C
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
函数的求值
【解析】
由题意可得A和b值，再由周期性可得ω，代点可得φ值，可得解析式，计算可得f(0)，f(1)，f(2)，f(3)，由周期性可得．
【解答】
解：由图象知A=12，b=1，函数的周期T=4，
由周期公式可得ω=2πT=π2，
∴ f(x)=12sin(π2x+φ)+1，
当x=0时，f(0)=12sinφ+1=1，
∴ φ=2kπ(k∈Z)，故f(x)=12sinπ2x+1，
∵ f(0)=1,f(1)=32，f(2)=1，f(3)=12，
∴ f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=4，
∴ f(0)+f(1)+f(2)+...+f(2016)=504×4+f(0)=2017.
故选C.
5.
【答案】
A
【考点】
函数的对称性
函数单调性的性质
函数单调性的判断与证明
【解析】
f（x+1）为R上的偶函数，可得f（−r+1）=f（r+1），即函数f(r)关于直线x=1对称．对∀x1
解：∵ fx+1为R上的偶函数，
∴ f−x+1=fx+1，
∴ 函数fx关于直线x=1对称．
对∀x1
若f3=1，则不等式flg2x<1⇒flg2x
解得：12
故选A．
6.
【答案】
A
【考点】
任意角的三角函数
同角三角函数间的基本关系
三角函数线
【解析】
(Ⅰ)由题意利用任意角的三角函数的定义求得x的值，再利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．
(Ⅱ)由题意利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，求得α，β的值．
【解答】
解：已知θ是第二象限角，P(x, 2)为其终边上一点，
且csθ=55x=xx2+4，
∵ x<0，
∴ x=−1，
∴ tanθ=2x=−2，
∴ 2sinθ−csθsinθ+csθ=2tanθ−1tanθ+1=5．
故选A.
7.
【答案】
C
【考点】
函数的单调性及单调区间
函数的对称性
【解析】
由题意可得可将x换为2−x，可得x>1的fx的解析式，画出图象，即可得到所求递增区间．
【解答】
解：∵ 函数y=fx的图象关于直线x=1对称，
当x<1时，fx=|12x−1|，
∴ x>1时，fx=|122−x−1|，
即为fx=|2x−2−1|，
画出y=fx的图象，
由图象可知：当x>1时，函数的递增区间为2,+∞.
故选C．
8.
【答案】
D
【考点】
函数的图象
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：f(−x)=(−x+1x)cs(−x)
=−(x−1x)csx
=−f(x)，
∴ 所以函数f(x)为奇函数，排除A，B，
∵ f(π)=−(π−1π)<0，故排除C.
故选D.
二、多选题
【答案】
A,C,D
【考点】
余弦函数的周期性
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
余弦函数的对称性
余弦函数的单调性
余弦函数的定义域和值域
【解析】
由函数图象的变换可得gx=cs2x+π3，结合余弦函数的周期性、单调性、对称轴等即可判断选项，得出答案．
【解答】
解：∵ gx=cs2x+π8+π12=cs2x+π3，
∴ gx的最小正周期为π，选项A正确；
当x∈0,π2时，2x+π3∈π3,4π3，
故gx在0,π2上有增有减，选项B错误；
gπ12=0，故x=π12不是gx图象的一条对称轴，选项C正确；
当x∈−π6,π6时，2x+π3∈0,2π3，
且当2x+π3=2π3，即x=π6时，gx取最小值−12，选项D正确.
故选ACD.
【答案】
A,D
【考点】
函数新定义问题
函数的图象
【解析】
本题考查新定义的一阶整点函数，考查三角函数，指数函数，对数函数即幂函数的图象和性质，
对给出的四个函数图象逐个分析，可得出答案.
【解答】
解：A，fx=sinx，其图象只经过一个整点，即0,0，故A正确；
B，gx=x2经过整点0,0，1,1，⋯，故不是一阶整点函数，故B错误；
C，ℎx=12x的图象经过整点−1,2，0,1，⋯，故不是一阶整点函数，故C错误；
D，φx=lnx的图象只经过一个整点1,0，故D正确.
故选AD.
【答案】
A,B,D
【考点】
对数函数的图象与性质
幂函数的图像
函数的定义域及其求法
对数函数图象与性质的综合应用
【解析】
A.考查复合函数的定义域问题；
B.考查指数函数和对数函数过定点问题；
C.考查幂函数的图象和性质；
D.考查对数函数的单调性问题.
【解答】
解：A，函数f2x的定义域为1,2，则1≤x≤2，所以2≤2x≤22=4,
故函数fx的定义域为2,4，故A正确；
B，因为a0=1，lga1=0，a>0且a≠1,
故x=1时，f1=a0+lga1−1=1−1=0，故B正确；
C，α=0时，y=x0，其定义域为xx≠0，故其图象为一条直线去掉点0,0，故C错误；
D，lga12>1=lgaa，当a>1时，lga12<0，不等式不成立，舍，
当0
【答案】
A,B,C
【考点】
复合三角函数的单调性
函数奇偶性的判断
函数的零点
三角函数的最值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：A，f(−x)=cs|−x|+|cs(−x)|=cs|x|+|csx|=f(x)，
∴ f(x)是偶函数，故A正确；
B，当x∈(−π2,0)时，f(x)=csx+csx=2csx，
此时f(x)在(−π2,0)上单调递增，故B正确；
C，当x>0时，f(x)=csx+|csx|≤|csx|+|csx|≤2，
当x=2kπ(k≥0,k∈Z)时等号成立.
又∵ f(x)是偶函数，∴ f(x)的最大值为2，故C正确；
D，当x∈[π2,π]时，f(x)=csx−csx=0，此时函数有无数个零点，故D错误.
故选ABC.
三、填空题
【答案】
154
【考点】
弧度制
弧长公式
【解析】
根据题意知扇形的弧长和直径，再计算扇形的面积和圆心角弧度数．
【解答】
解：扇形中，弧长为l=30，直径为d=16，则半径r=8，
扇形的圆心角弧度数是α=lr=308=154．
故答案为：154.
【答案】
(0, 2],(−∞, 2]
【考点】
复合函数的单调性
函数的单调性及单调区间
函数的值域及其求法
【解析】
由题意利用复合函数的单调性，可得本题即求函数t＝−x2+4x在满足t>0的条件下，函数t的增区间，再利用二次函数的性质可得结论；求出t的范围，可得y的范围．
【解答】
解：函数y=lg2(−x2+4x)的增区间，即函数t=−x2+4x在满足t>0的条件下，函数t的增区间，
再利用二次函数的性质可得在满足t>0的条件下，函数t的增区间为(0, 2]．
由于0
【答案】
[−4, 5]
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
同角三角函数间的基本关系
【解析】
θ∈(0, π2)，可得1sin2θ+4cs2θ=(sin2θ+cs2θ)(1sin2θ+4cs2θ)＝5+(4tan2θ+1tan2θ)，利用基本不等式的性质可得出最小值．根据对任意的θ∈(0, π2)，不等式1sin2θ+4cs2θ≥|2x−1|恒成立，可得|2x−1|≤(1sin2θ+4cs2θ)min，即可得出．
【解答】
解：∵ θ∈(0, π2)
∴ 1sin2θ+4cs2θ
=(sin2θ+cs2θ)(1sin2θ+4cs2θ)
=5+(4tan2θ+1tan2θ)
≥5+24tan2θ×1tan2θ=9，
当且仅当tanθ=22时取等号．
∵ 对任意的θ∈(0, π2)，不等式1sin2θ+4cs2θ≥|2x−1|恒成立，
∴ |2x−1|=9．
∴ −9≤2x−1≤9，
解得−4≤x≤5．
∴ 实数x的取值范围是[−4, 5]．
故答案为：[−4, 5].
【答案】
(−14,0)
【考点】
复合函数的单调性
函数的值域及其求法
【解析】
由题意可得，函数fx=lgaax+ta>0,a≠1在定义域上为增函数，则lgaam2+t=m，lgaan2+t=n，即am=am2+t，an=an2+t，即ax22−ax2−t=0有两个不同的正数解，进而求得t的取值范围．
【解答】
解：由复合函数的单调性可知，
函数fx=lgaax+t a>0,a≠1在定义域上为增函数，
结合“希望函数”的定义可知，
lgaam2+t=m，lgaan2+t=n，
即am=am2+t，an=an2+t，
所以ax=ax2+t有两个不同的正数解，
即ax22−ax2−t=0有两个不同的正数解，
所以Δ=1+4t>0，且−t>0，
解得：−14
四、解答题
【答案】
解：1∵ α∈(0, π)，且sin(7π2α)+cs(5π2+α)=55，
∴ 可得：−csα−sinα=55，即csα+sinα=55，
两边平方可得：1+2csαsinα=15，可得2csαsinα=−45，
∴ α为钝角，csα<0，
∴ csα1+sinα1−sinα+sinα1+csα1−csα
=csα(1+sinα)2cs2α+sinα(1+csα)2sin2α
=−(1+sinα)+1+csα
=csα−sinα
=(csα−sinα)2
=1(45)=355．
(2)∵ 由(1)可得：α∈(0, π)，csα+sinα=−55<0①，
∴ α∈(π2, π)，
又∵ cs2α+sin2α=1②，
∴ 由①②解得csα=−255，sinα=55，
∴ sin3α−5csα4sinα+2cs3α=525+25455−16525=514．
【考点】
运用诱导公式化简求值
三角函数的恒等变换及化简求值
【解析】
（1）由已知利用诱导公式可求csα+sinα = − 55，两边平方可得2csαsinα = − 45，进而利用同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．
（2）由（1）可得csα+sinα = − 55，结合角的范围利用同角三角函数基本关系式可求csα，sinα的值，即可计算得解．
【解答】
解：1∵ α∈(0, π)，且sin(7π2α)+cs(5π2+α)=55，
∴ 可得：−csα−sinα=55，即csα+sinα=55，
两边平方可得：1+2csαsinα=15，可得2csαsinα=−45，
∴ α为钝角，csα<0，
∴ csα1+sinα1−sinα+sinα1+csα1−csα
=csα(1+sinα)2cs2α+sinα(1+csα)2sin2α
=−(1+sinα)+1+csα
=csα−sinα
=(csα−sinα)2
=1(45)=355．
(2)∵ 由(1)可得：α∈(0, π)，csα+sinα=−55<0①，
∴ α∈(π2, π)，
又∵ cs2α+sin2α=1②，
∴ 由①②解得csα=−255，sinα=55，
∴ sin3α−5csα4sinα+2cs3α=525+25455−16525=514．
【答案】
(1)解：由题得a1+a2=20，解得a=4，a=−5（舍），所以a=4.
(2)证明：由(1)知f(x) = 4x4x + 2，
所以f(x)+f(1−x) = 4x4x + 2 + 41 − x41 − x + 2
= 4x4x + 2 + 44x44x + 2 = 4x4x + 2 + 42 × 4x + 4
= 4x4x + 2 + 24x + 2 = 1.
(3)解：由(2)知f(12017)+f(20162017)=1，f(22017)+f(20152017)=1，⋯，f(10082017)+f(10092017)=1，
所以f(12017)+f(22017)+f(32017)+⋯+f(20152017)+f(20162017)
=[f(12017)+f(20162017)]+[f(22017)+f(20152017)]
+⋯+[f(10082017)+f(10092017)]
=1+1+1+⋯+1=1008．
【考点】
函数最值的应用
函数的求值
【解析】
（1）根据指数函数是单调函数可得最大值与最小值和为a1+a2=20，解得a=4；
（2）根据条件求出f(x) = 4x4x + 2，可得f(x)+f(1−x)=1；
（3）由（2）可知f(12017)+f(20162017)=1，f(22017)+f(20152017)=1，…，f(10082017)+f(10092017)=1，则原式=1008．
【解答】
(1)解：由题得a1+a2=20，解得a=4，a=−5（舍），所以a=4.
(2)证明：由(1)知f(x) = 4x4x + 2，
所以f(x)+f(1−x) = 4x4x + 2 + 41 − x41 − x + 2
= 4x4x + 2 + 44x44x + 2 = 4x4x + 2 + 42 × 4x + 4
= 4x4x + 2 + 24x + 2 = 1.
(3)解：由(2)知f(12017)+f(20162017)=1，f(22017)+f(20152017)=1，⋯，f(10082017)+f(10092017)=1，
所以f(12017)+f(22017)+f(32017)+⋯+f(20152017)+f(20162017)
=[f(12017)+f(20162017)]+[f(22017)+f(20152017)]
+⋯+[f(10082017)+f(10092017)]
=1+1+1+⋯+1=1008．
【答案】
解：1∵ f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为π，
∴ T=2πω=2π，∴ ω=1，
∴ f(x)=2sin(x+φ).
选择①：∵ 函数f(x−π3)=2sin(x+φ−π3)为奇函数，
∴ f(−π3)=2sin(φ−π3)=0，解得φ=π3+kπ，k∈Z.
∵ 0< φ< π2，
∴ φ = π3，
∴ f(x) = 2sin(x + π3)．
选择②：∵ f(π3)=2sin(π3+φ)=3，
∴ sin(π3+φ)=32，
∴ φ=2kπ，k∈Z或φ=π3+2kπ，k∈Z.
∵ 0< φ< π2，
∴ φ = π3，
∴ f(x) = 2sin(x + π3)．
选择③：∵ 2π3是函数f(x)的一个零点，
∴ f(2π3)=2sin(2π3+φ)=0，
∴ φ=kπ−2π3，k∈Z.
∵ 0< φ< π2，
∴ φ = π3，
∴ f(x) = 2sin(x + π3)．
2由−π2+2kπ≤x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，
得−56π+2kπ≤x≤π6+2kπ，k∈Z，
∴ 令k=0，得 − 5π6 ≤ x ≤ π6，
令k=1，得7π6 ≤ x ≤ 13π6，
∴ 函数f(x)在[0, 2π]上的单调递增区间为[ 0,π6] ，[ 76π,2π] .
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
正弦函数的单调性
【解析】
1 根据φ的范围确定φ的取值，然后函数解析式即可确定.
2方案一：由题意可求函数周期，利用周期公式可求ω，选条件①由题意可得φ = π3 + kπ，k∈Z，结合范围0< φ< π2，可求φ = π3，可得函数解析式，利用正弦函数的单调性可求函数f(x)在[0, 2π]上的单调递增区间；
方案二：选条件②，由题意可得sin(π3 + φ) = 32，可求φ，求解函数解析式，利用正弦函数的单调性可求函数f(x)在[0, 2π]上的单调递增区间；
方案三：选条件③，由题意可得f(23π) = 2sin(23π + φ) = 0，求得φ = kπ − 2π3，k∈Z，可求φ，求解函数解析式，利用正弦函数的单调性可求函数f(x)在[0, 2π]上的单调递增区间．
【解答】
解：1∵ f(x)的图象相邻两条对称轴之间的距离为π，
∴ T=2πω=2π，∴ ω=1，
∴ f(x)=2sin(x+φ).
选择①：∵ 函数f(x−π3)=2sin(x+φ−π3)为奇函数，
∴ f(−π3)=2sin(φ−π3)=0，解得φ=π3+kπ，k∈Z.
∵ 0< φ< π2，
∴ φ = π3，
∴ f(x) = 2sin(x + π3)．
选择②：∵ f(π3)=2sin(π3+φ)=3，
∴ sin(π3+φ)=32，
∴ φ=2kπ，k∈Z或φ=π3+2kπ，k∈Z.
∵ 0< φ< π2，
∴ φ = π3，
∴ f(x) = 2sin(x + π3)．
选择③：∵ 2π3是函数f(x)的一个零点，
∴ f(2π3)=2sin(2π3+φ)=0，
∴ φ=kπ−2π3，k∈Z.
∵ 0< φ< π2，
∴ φ = π3，
∴ f(x) = 2sin(x + π3)．
2由−π2+2kπ≤x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，
得−56π+2kπ≤x≤π6+2kπ，k∈Z，
∴ 令k=0，得 − 5π6 ≤ x ≤ π6，
令k=1，得7π6 ≤ x ≤ 13π6，
∴ 函数f(x)在[0, 2π]上的单调递增区间为[ 0,π6] ，[ 76π,2π] .
【答案】
解：(1)设f(x)的最小正周期为T，得T=11π6−(−π6)=2π，
由T=2πω，得ω=1，
又B+A=3,B−A=−1, 解得A=2,B=1,
根据|φ|<π2，
令ω⋅5π6+φ=π2，
即5π6+φ=π2，解得φ=−π3，
∴ f(x)=2sin(x−π3)+1．
(2)∵ 函数y=f(kx)=2sin(kx−π3)+1的最小正周期为2π3，
又k>0，∴ k=3，
令t=3x−π3，∵ x∈[0,π3]，∴ t∈[−π3,2π3]，
如图，sint=s在[−π3,2π3]上有两个不同的解，
则s∈[32,1)，
∴ 方程f(kx)=m在x∈[0,π3]时恰好有两个不同的解，则m∈[3+1,3)，
即实数m的取值范围是[3+1,3)．
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
根的存在性及根的个数判断
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)设f(x)的最小正周期为T，得T=11π6−(−π6)=2π，
由T=2πω，得ω=1，
又B+A=3,B−A=−1, 解得A=2,B=1,
根据|φ|<π2，
令ω⋅5π6+φ=π2，
即5π6+φ=π2，解得φ=−π3，
∴ f(x)=2sin(x−π3)+1．
(2)∵ 函数y=f(kx)=2sin(kx−π3)+1的最小正周期为2π3，
又k>0，∴ k=3，
令t=3x−π3，∵ x∈[0,π3]，∴ t∈[−π3,2π3]，
如图，sint=s在[−π3,2π3]上有两个不同的解，
则s∈[32,1)，
∴ 方程f(kx)=m在x∈[0,π3]时恰好有两个不同的解，则m∈[3+1,3)，
即实数m的取值范围是[3+1,3)．
【答案】
解：(1)由fx=3x，可得g(x) = 3x − 13x + 1 = 1 − 23x + 1，
由3x>0，可得3x+1>1，则−2< − 23x + 1< 0，
则−1<1 − 23x + 1< 1，
即g(x)的值域为(−1, 1).
证明：设x1，x2∈R，且x1
= 2⋅3x1 − 3x2(3x1 + 1)(3x2 + 1)，
由x1
则g(x1)−g(x2)<0，即g(x1)
2 函数ℎx=af(x)+bf(−x)=a⋅3x+b⋅3−x，
ℎ−x=a⋅3−x+b⋅3x，
则ℎ(−x)+ℎ(x)=(a+b)(3x+3−x)，ℎ(−x)−ℎ(x)=b−a3x−3−x，
当a=b=0时，ℎ(x)=0，ℎ(x)既是奇函数也是偶函数；
当a=−b≠0，ℎ(−x)=−ℎx，ℎ(x)是奇函数；
当a=b≠0，ℎ(−x)=ℎx，ℎ(x)是偶函数；
当a≠b且a≠−b，ℎ(x)是非奇非偶函数.
3不等式f(2x)−(t+2)f(x)≥3−t在x∈[1, 2]上恒成立，
即为32x−(t+2)⋅3x≥3−t在x∈[1, 2]上恒成立，
即t(3x−1)≤32x−2⋅3x−3在x∈[1, 2]上恒成立.
设m=3x−1(2≤m≤8)，则t≤m2−4m=m−4m，
由y=m和y = − 4m在2≤m≤8递增，可得y=m − 4m在2≤m≤8递增，
可得m=2时，y=m − 4m取得最小值0，
则t≤0，可得t的取值范围是(−∞, 0]．
【考点】
函数的值域及其求法
函数单调性的判断与证明
函数奇偶性的判断
函数恒成立问题
【解析】
（1）运用指数函数的值域和不等式的性质，可得g(x)的值域；再由单调性的定义，结合指数函数的单调性可证明g(x)的单调性；
（2）计算ℎ(x)，ℎ(−x)，结合奇偶性的定义，分别讨论a，b，即可得到ℎ(x)的奇偶性；
（3）由题意可得32x−(t+2)⋅3x≥3−t在x∈[1, 2]上恒成立，由参数分离和换元法、以及指数函数的单调性，不等式恒成立思想，可得所求范围．
【解答】
解：(1)由fx=3x，可得g(x) = 3x − 13x + 1 = 1 − 23x + 1，
由3x>0，可得3x+1>1，则−2< − 23x + 1< 0，
则−1<1 − 23x + 1< 1，
即g(x)的值域为(−1, 1).
证明：设x1，x2∈R，且x1
= 2⋅3x1 − 3x2(3x1 + 1)(3x2 + 1)，
由x1
则g(x1)−g(x2)<0，即g(x1)
2 函数ℎx=af(x)+bf(−x)=a⋅3x+b⋅3−x，
ℎ−x=a⋅3−x+b⋅3x，
则ℎ(−x)+ℎ(x)=(a+b)(3x+3−x)，ℎ(−x)−ℎ(x)=b−a3x−3−x，
当a=b=0时，ℎ(x)=0，ℎ(x)既是奇函数也是偶函数；
当a=−b≠0，ℎ(−x)=−ℎx，ℎ(x)是奇函数；
当a=b≠0，ℎ(−x)=ℎx，ℎ(x)是偶函数；
当a≠b且a≠−b，ℎ(x)是非奇非偶函数.
3不等式f(2x)−(t+2)f(x)≥3−t在x∈[1, 2]上恒成立，
即为32x−(t+2)⋅3x≥3−t在x∈[1, 2]上恒成立，
即t(3x−1)≤32x−2⋅3x−3在x∈[1, 2]上恒成立.
设m=3x−1(2≤m≤8)，则t≤m2−4m=m−4m，
由y=m和y = − 4m在2≤m≤8递增，可得y=m − 4m在2≤m≤8递增，
可得m=2时，y=m − 4m取得最小值0，
则t≤0，可得t的取值范围是(−∞, 0]．
【答案】
解：(1)因为2x+1>0，所以fx的定义域为R．
因为fx是偶函数，即lg2(2−x+1)+kx=lg2(2x+1)−kx，
所以lg22x+12−x+1=2kx，故lg22x=2kx，
所以x=2kx，即方程2k−1x=0的解为一切实数，
所以k=12，
因为f(x)+12x+1f(x)+12x−1=a(a∈R)，且fx=lg22x+1−12x，
所以原方程转化为
[lg2(2x+1)+1]|lg2(2x+1)−1|=a，
令t=lg22x+1t>0，则
Ft=t+1|t−1|t>0，
所以Ft=−t2+1,0
当0
故当0
所以2f(x)=2x2+2−x2，
所以g(x)=2x+2−x−2b2x2+2−x2+b2．
令m=2x2，则1≤m≤2，
令ℎm=m+1m，设1≤m1
=1m2m1(m2−m1)(m2m1−1)，
因为1≤m1
即ℎm在1,2上是增函数，所以2≤ℎm≤52，
设t=ℎm，则gt=t−b2−2．
①当b≤2时，gt的最小值为g2=2−b2−2，
所以2−b2−2=2，解得b=0，或b=4（舍去）；
②当2
所以52−b2−2=2，解得b=92，或b=12（舍去）．
综上知，b=0或b=92 ．
【考点】
函数奇偶性的性质
函数单调性的性质
函数的零点与方程根的关系
函数的最值及其几何意义
二次函数在闭区间上的最值
【解析】
暂无
暂无
【解答】
解：(1)因为2x+1>0，所以fx的定义域为R．
因为fx是偶函数，即lg2(2−x+1)+kx=lg2(2x+1)−kx，
所以lg22x+12−x+1=2kx，故lg22x=2kx，
所以x=2kx，即方程2k−1x=0的解为一切实数，
所以k=12，
因为f(x)+12x+1f(x)+12x−1=a(a∈R)，且fx=lg22x+1−12x，
所以原方程转化为
[lg2(2x+1)+1]|lg2(2x+1)−1|=a，
令t=lg22x+1t>0，则
Ft=t+1|t−1|t>0，
所以Ft=−t2+1,0
当0
故当0
所以2f(x)=2x2+2−x2，
所以g(x)=2x+2−x−2b2x2+2−x2+b2．
令m=2x2，则1≤m≤2，
令ℎm=m+1m，设1≤m1
=1m2m1(m2−m1)(m2m1−1)，
因为1≤m1
即ℎm在1,2上是增函数，所以2≤ℎm≤52，
设t=ℎm，则gt=t−b2−2．
①当b≤2时，gt的最小值为g2=2−b2−2，
所以2−b2−2=2，解得b=0，或b=4（舍去）；
②当2
所以52−b2−2=2，解得b=92，或b=12（舍去）．
综上知，b=0或b=92 ．
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