第2章 第1节　函数及其表示-2022届高三数学一轮复习讲义（新高考）教案

这是一份第2章 第1节　函数及其表示-2022届高三数学一轮复习讲义（新高考）教案，共8页。教案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动体验等内容，欢迎下载使用。

第一节 函数及其表示
一、教材概念·结论·性质重现
1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f ，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f ：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f (x)，x∈A．
2．函数的定义域、值域
(1)在函数y＝f (x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f (x)|x∈A}叫做函数的值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、列表法和图象法．
4．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
(1)直线x＝a(a是常数)与函数y＝f (x)的图象有0个或1个交点．
(2)分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．
(3)判断两个函数是否为同一个函数的依据，是两个函数的定义域和对应关系完全一致．
二、基本技能·思想·活动体验
1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”．
(1)函数y＝1与y＝x0是同一个函数．(×)
(2)对于函数f ：A→B，其值域是集合B．(×)
(3)f (x)＝eq \r(x－3)＋eq \r(2－x)是一个函数．(×)
(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是同一个函数．(×)
(5)函数y＝f (x)的图象可以是一条封闭的曲线．(×)
2．函数y＝eq \r(x)ln(2－x)的定义域为( )
A．(0,2)B．[0,2)
C．(0,1]D．[0,2]
B 解析：由题意知，x≥0且2－x>0，解得0≤x＜2，故定义域为[0,2)．
3．若函数y＝f (x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f (x)的图象可能是( )
B 解析：A中函数的定义域不是[－2,2]，C中图象不表示函数，D中函数的值域不是[0,2]．
4．已知函数f (x)＝eq \r(x－1)，若f (a)＝3，则实数a＝________.
10 解析：因为f (a)＝eq \r(a－1)＝3，所以a－1＝9，即a＝10.
5．设f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x∈－∞，a，,x2，x∈[a，＋∞.))若f (2)＝4，则a的取值范围为________．
(－∞，2] 解析：因为f (2)＝4，所以2∈[a，＋∞)，所以a≤2，所以a的取值范围为(－∞，2]．
考点1 函数的定义域——基础性
1．(2020·北京卷)函数f (x)＝eq \f(1,x＋1)＋ln x的定义域是________．
(0，＋∞) 解析：要使函数有意义，需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1≠0，,x>0，))即x>0，所以函数f (x)的定义域为(0，＋∞)．
2．函数f (x)＝eq \r(4－4x)＋ln(x＋4)的定义域为________．
(－4,1] 解析：要使函数f (x)有意义，需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4－4x≥0，,x＋4>0，))解得－4即函数f (x)的定义域为(－4,1]．
3．若函数y＝f (x)的定义域是[0,2]，则函数g(x)＝eq \f(f 2x,x－1)的定义域为________．
[0,1) 解析：因为y＝f (x)的定义域为[0,2]，
所以，要使g(x)有意义应满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤2x≤2，,x－1≠0，))解得0≤x<1.所以g(x)的定义域是[0,1)．
4．已知函数f (x－1)的定义域为[0,2022]，则函数g(x)＝eq \f(f x＋1,x－1)的定义域为________．
[－2,1)∪(1,2 020] 解析：由函数f (x－1)的定义域为[0,2 022]，得函数y＝f (x)的定义域为[－1，2 021]．
令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤x＋1≤2 021，,x≠1，))
得－2≤x≤2 020且x≠1.
所以函数g(x)的定义域为[－2,1)∪(1,2 020]．
1．常见函数定义域的类型
2．求抽象函数定义域的方法
考点2 求函数的解析式——综合性
(1)已知f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,x)＋1))＝lg x，求f (x)的解析式．
(2)已知f (x)是二次函数，且f (0)＝0，f (x＋1)＝f (x)＋x＋1，求f (x)的解析式．
(3)已知函数f (x)满足f (－x)＋2f (x)＝2x，求f (x)的解析式．
解：(1)(换元法)令eq \f(2,x)＋1＝t，得x＝eq \f(2,t－1).
代入得f (t)＝lgeq \f(2,t－1).
又x>0，所以t>1.
故f (x)＝lgeq \f(2,x－1)，x∈(1，＋∞)．
(2)(待定系数法)设f (x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f (0)＝0，知c＝0，所以f (x)＝ax2＋bx.
又由f (x＋1)＝f (x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＋b＝b＋1，,a＋b＝1，))解得a＝b＝eq \f(1,2).
所以f (x)＝eq \f(1,2)x2＋eq \f(1,2)x，x∈R.
(3)(解方程组法)由f (－x)＋2f (x)＝2x，①
得f (x)＋2f (－x)＝2－x.②
①×2－②，得3f (x)＝2x＋1－2－x，即f (x)＝eq \f(2x＋1－2－x,3).
故f (x)＝eq \f(2x＋1－2－x,3)，x∈R.
1．已知f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋x,x)))＝eq \f(x2＋1,x2)＋eq \f(1,x)，则f (x)＝( )
A．(x＋1)2B．(x－1)2
C．x2－x＋1D．x2＋x＋1
C 解析：f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋x,x)))＝eq \f(x2＋1,x2)＋eq \f(1,x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x＋1,x)))eq \s\up8(2)－eq \f(x＋1,x)＋1.令eq \f(x＋1,x)＝t，得f (t)＝t2－t＋1，即f (x)＝x2－x＋1.
2．已知f (x)是一次函数，且f (f (x))＝4x＋3，则f (x)的解析式为________．
f (x)＝－2x－3或f (x)＝2x＋1 解析：设f (x)＝ax＋b(a≠0)，则f (f (x))＝f (ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝4x＋3.
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2＝4，,ab＋b＝3，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－2，,b＝－3))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝2，,b＝1.))
故f (x)＝－2x－3或f (x)＝2x＋1.
3．已知f (x)满足2f (x)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝3x，则f (x)＝________.
2x－eq \f(1,x)(x≠0) 解析：2f (x)＋f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝3x，①
把①中的x换成eq \f(1,x)，得2f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋f (x)＝eq \f(3,x).②
联立①②可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2f x＋f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＝3x，,2f \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,x)))＋f x＝\f(3,x)，))
解此方程组可得f (x)＝2x－eq \f(1,x)(x≠0)．
考点3 分段函数——应用性
考向1 分段函数求值
(1)设f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x2－1，x>1，,2x＋1－1，x≤1，))则f (f (1))的值为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
B 解析：因为f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(lg2x2－1，x>1，,2x＋1－1，x≤1，)) 所以f (1)＝22－1＝3，所以f (f (1))＝f (3)＝lg28＝3. 故选B．
(2)设函数f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋2x＋2，x≤0，,－x2，x>0.))若f (f (a))＝2，则a＝________.
eq \r(2) 解析：当a>0时，f (a)＝－a2<0，f (f (a))＝a4－2a2＋2＝2，得a＝eq \r(2)(a＝0与a＝－eq \r(2)舍去)；当a≤0时，f (a)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1>0，f (f (a))＝－(a2＋2a＋2)2＝2，此方程无解．综上可知，a＝eq \r(2).
求分段函数的函数值的步骤
(1)确定要求值的自变量所在区间．
(2)代入相应的函数解析式求值，直到求出具体值为止．
提醒：①自变量的值不确定时，必须分类讨论；
②求值时注意函数奇偶性、周期性的应用；
③出现f (f (a))求值形式时，应由内到外或由外向内逐层求值．
考向2 分段函数与方程、不等式
设函数f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x，x≤0，,1，x>0，))则满足f (x＋1)＜f (2x)的x的取值范围是( )
A．(－∞，－1]B．(0，＋∞)
C．(－1,0)D．(－∞，0)
D 解析：函数f (x)的图象如图所示．结合图象知，要使f (x＋1)＜f (2x)，则需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1＜0，,2x＜0，,2x＜x＋1))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1≥0，,2x＜0，))所以x＜0.故选D．
求参数或自变量的值(范围)的解题思路
(1)解决此类问题时，先在分段函数的各段上分别求解，然后将求出的值或范围与该段函数的自变量的取值范围求交集，最后将各段的结果合起来(取并集)即可．
(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．
1．(2021·天津南开中学高三月考)函数f (x)满足f (x＋4)＝f (x)(x∈R)，且在区间(－2,2]上，f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs\f(πx,2)，0eq \f(\r(2),2) 解析：由f (x＋4)＝f (x)得函数f (x)的周期为4，所以f (15)＝f (16－1)＝f (－1)＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－1＋\f(1,2)))＝eq \f(1,2)，
因此f (f (15))＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝cseq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2).
2．已知函数f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋x，x≥0，,－3x，x<0.))若f (a)－f (－a)>0，则实数a的取值范围为________．
(－2,0)∪(2，＋∞) 解析：当a＝0时，显然不成立．当a>0时，不等式f (a)－f (－a)>0可化为a2＋a－3a>0，解得a>2. 当a<0时，不等式f (a)－f (－a)>0可化为－a2－2a>0，解得－23．若函数y＝f (x)的图象上存在不同的两点M，N关于原点对称，则称点对(M，N)是函数y＝f (x)的一对“和谐点对”．已知函数f (x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ex，x<0，,x2－4x，x>0，))则此函数的“和谐点对”有________对．
2 解析：由题意可知，f (x)的“和谐点对”数可转化为y＝ex(x<0)和y＝－x2－4x(x<0)的图象的交点个数．由图象知，函数f (x)有2对“和谐点对”．
课程标准
命题解读
1.建立完整的函数概念，不仅把函数理解为刻画变量之间依赖关系的数学语言和工具，也把函数理解为实数集合之间的对应关系．
2.能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质．
3.在现实问题中，能利用函数构建模型，解决问题．
4.能用函数图象和代数运算的方法研究基本初函数的性质．
5.理解基本初等函数中所蕴含的运算规律．
6.运用基本初等函数建立模型，解决简单的实际问题，体会这些函数在解决实际问题中的作用.
考查形式：高考对本章的考查一般为1～3道小题．
考查内容：主要涉及函数的图象，多为给出具体函数解析式判断函数的图象；函数的性质及函数性质的综合问题；指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质；分段函数，既有求函数值，也有解不等式，常与指数函数、对数函数、零点相结合．
备考策略：(1)熟练掌握函数的基本知识和解决函数问题的基本方法．
(2)关注点——函数的定义域，抽象函数问题及函数的实际应用．
(3)重视函数的创新问题——新定义问题，函数零点的交汇问题，函数图象的灵活运用问题．
核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算.
求函数解析式的3种方法
待定系数法
当函数的类型已经确定时，一般用待定系数法来确定函数解析式
换元法
如果给定复合函数的解析式，求外函数的解析式，通常用换元法将内函数换元，然后求出外函数的解析式
解方程组法
如果给定两个关于f (x)的关系式，可以通过变量代换建立方程组，再通过解方程组求出函数解析式