高中数学第十一章 立体几何初步本章综合与测试课堂检测

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第十一章 立体几何初步 --综合复习习题课一、选择题1．已知两个平面相互垂直，下列命题①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面其中正确命题个数是（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由题意，对于①，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故①错误； 对于②，设平面α∩平面β=m，n⊂α，l⊂β， ∵平面α⊥平面β， ∴当l⊥m时，必有l⊥α，而n⊂α， ∴l⊥n， 而在平面β内与l平行的直线有无数条，这些直线均与n垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即②正确； 对于③，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不垂直于另一个平面，故③错误； 对于④，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面，这是面面垂直的性质定理，故④正确； 故选：B．2.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积,求其直径的一个近似公式,人们还用过一些类似的近似公式,根据判断,下列近似公式中最精确的一个是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】由球体的体积公式得，，，，，，与最为接近，故选C.3.设α,β为两个平面,则α∥β的充要条件是(　　)A.α内有无数条直线与β平行                B.α内有两条相交直线与β平行C.α,β平行于同一条直线                     D.α,β垂直于同一平面【答案】B【解析】α内有无数直线与β平行是α∥β的必要不充分条件,A不符合;α内有两条相交直线与β平行是α∥β的充要条件,B符合;α,β平行同一条直线是α∥β的必要不充分条件,C不符合;α,β垂直同一平面是α∥β的必要不充分条件,D不符合.4．如图，在直角梯形中，，过点作交于点，以为折痕把折起，当几何体的的体积最大时，则下列命题中正确的个数是（    ）①②∥平面③与平面所成的角等于与平面所成的角④与所成的角等于与所成的角A． B． C． D．【答案】D【解析】当体积最大时，平面SAD平面ABCD，如下图所示： 对①：若又根据题意，，故平面SDB，又BD平面SDB故可得，而根据题意，无法得知两直线位置关系，故不正确；对②：AB//CD，由CD平面SCD，故AB//平面SCD，正确；对③：因为无法得知底面ABCD的边长关系，所以无法确定，故错误；对④：AB与SC所成角度为，而DC与SA所成角度为，两个角度显然不相等，故错误.综上所述，正确的只有②.故选：D.5．（多选题）设l为直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中错误的是(　　)A.若l∥α,l∥β,则α∥β B.若l⊥α,l⊥β,则α∥βC.若l⊥α,l∥β,则α∥β D.若α⊥β,l∥α,则l⊥β【答案】ACD【解析】A中α,β也可相交,A不正确;由垂直同一直线的两平面平行知,B正确;C中,α,β垂直,不正确;D中l与β也可平行或l⊂β,不正确.6．（多选题）如图正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,以下结论正确的是(　　)A.异面直线A1D与AB1所成的角为60°                  B.直线A1D与BC1垂直C.直线A1D与BD1平行                                D.三棱锥A-A1CD的体积为a3【答案】ABD【解析】A1D与AB1所成角即A1D与DC1成的角,再连接A1C构成等边△A1DC1,即A正确;A1D与BC1成的角即A1D与AD1成的角,由A1D⊥AD1即B正确;由BD1⊥平面A1DC1,∴BD1⊥A1D,即C不正确;a·a2=,即D正确.二、填空题7．一个正方体内接于一个球（即正方体的8个顶点都在球面上），过球心作一截面，则截面的图形可能是_______.【答案】（1）（2）（3）【解析】当截面平行于正方体的一个侧面时得（3）；当截面过正方体的体对角线时得（2）；当截面既不平行于任何侧面也不过体对角线时得（1）；但无论如何都不能截出（4）.8．现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．【答案】【解析】由体积相等得：9.在正方体ABCD-A'B'C'D'中,过对角线BD'的一个平面交AA'于点E,交CC'于点F,则:①四边形BFD'E一定是平行四边形;②四边形BFD'E有可能是正方形;③四边形BFD'E在底面ABCD内的投影一定是正方形;④平面BFD'E有可能垂直于平面BB'D.以上结论正确的为　　　　　.(写出所有正确结论的编号) 【答案】①③④【解析】如图所示:∵BE和DF,BF和D'E分别是正方体两平行平面被平面BFD'E所截,所以BE∥D'F,D'E∥BF,∴四边形BFD'E为平行四边形.∴①正确.②不正确,当E,F分别为AA',CC'中点时,四边形BFD'E为菱形,设正方体棱长为a,则BF2=D'F2=a2,BD'2=3a2,即BF2+D'F2≠BD'2,四边形BFD'E不可能为正方形.③正确(其射影是正方形ABCD).④正确.当E,F分别是AA',CC'中点时,平面BFD'E⊥平面BB'D.10.如图所示,以等腰直角三角形ABC斜边BC上的高AD为折痕.使△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面,则:(1)BD与CD的关系为　　　　　;  (2)∠BAC=　　　　　. 【答案】(1)BD⊥CD　(2)60°【解析】 (1)AB=AC,AD⊥BC,∴BD⊥AD,CD⊥AD,∴∠BDC为二面角的平面角,∠BDC=90°,∴BD⊥DC.(2)设等腰直角三角形的直角边长为a,则斜边长为a.∴BD=CD=a.∴折叠后BC==a.∴折叠后△ABC为等边三角形.∴∠BAC=60°.三、解答题11.如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(1)证明:MN∥平面C1DE;(2)求点C到平面C1DE的距离.【解析】(1)连接B1C,ME.因为M,E分别为BB1,BC的中点,所以ME∥B1C,且ME=B1C.又因为N为A1D的中点,所以ND=A1D.由题设知A1B1?DC,可得B1C?A1D,故ME?ND,因此四边形MNDE为平行四边形,MN∥ED.又MN⊄平面C1DE,ED⊂平面C1DE,所以MN∥平面C1DE.(2)过点C作C1E的垂线,垂足为点H.由已知可得DE⊥BC,DE⊥C1C,所以DE⊥平面C1CE,故DE⊥CH.从而CH⊥平面C1DE,故CH的长即为C到平面C1DE的距离.由已知可得CE=1,C1C=4,所以C1E=,故CH=.从而点C到平面C1DE的距离为.12.如图，在三棱锥P-ABC中，，底面ABC.（1）求证：平面平面PBC；（2）若，M是PB的中点，求AM与平面PBC所成角的正切值.【解析】（1）由题意，因为面ABC，面ABC，，又，即，，平面PAC，平面PBC，∴平面平面PBC.（2）取PC的中点D，连接AD，DM..由（1）知，平面PAC，又平面PAC，.而.平面PBC，所以DM是斜线AM在平面PBC上的射影，所以是AM与平面PBC所成角，且，设，则由M是PB中点得，，所以，即AM与平面PBC所成角的正切值为.