2018年山东省济南市高新区中考二模数学试卷

这是一份2018年山东省济南市高新区中考二模数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 国家主席习近平在 2018 年新年贺词中说道：“安得广厦千万间，大庇天下寒士俱欢颜！2017 年我国 3400000 贫困人口实现易地扶贫搬迁、有了温暖的新家．”其中 3400000 用科学记数法表示为
A. 0.34×107B. 3.4×106C. 3.4×105D. 34×105

2. 如图是某零件的直观图，则它的主视图为
A. B.
C. D.

3. 如图，已知 AB∥CD，DE⊥AC，垂足为 E，∠A=120∘，则 ∠D 的度数为
A. 30∘B. 60∘C. 50∘D. 40∘

4. 下列计算正确的是
A. a4÷a3=1B. a4+a3=a7C. 2a34=8a12D. a4⋅a3=a7

5. 如图，△ABC 内接于 ⊙O，连接 OA，OB，∠C=40∘，则 ∠OBA 的度数是
A. 60∘B. 50∘C. 45∘D. 40∘

6. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

7. 不等式组 2x+5≥6,5−2x>1+2x 的解集在数轴上表示正确的是
A. B.
C. D.

8. 初三体育素质测试，某小组 5 名同学成绩如下表所示，有两个数据被遮盖，如下图：
编号12345方差平均成绩得分3834■3740■37
那么被遮盖的两个数据依次是
A. 35，2B. 36，4C. 35，3D. 36，5

9. 济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”．某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量．如图，他们在 A 处仰望塔顶，测得仰角为 30∘，再往楼的方向前进 60 m 至 B 处，测得仰角为 60∘，若学生的身高忽略不计，3≈1.7，结果精确到 1 m，则该楼的高度 CD 为
A. 47 mB. 51 mC. 53 mD. 54 m

10. 如果关于 x 的方程 m−1x2+x+1=0 有实数根，那么 m 的取值范围是
A. m<54B. m<54 且 m≠1
C. m≤54D. m≤54 且 m≠1

11. 如图，把矩形纸片 OABC 放入平面直角坐标系中，使 OA，OC 分别落在 x 轴，y 轴上，连接 OB，将纸片 OABC 沿 OB 折叠，使点 A 落在 Aʹ 的位置，若 OB=5，tan∠BOC=12，则点 Aʹ 的坐标
A. −45,25B. −35,25C. −35,45D. −45,35

12. 如图，在平面直角坐标系中 2 条直线为 l1:y=−3x+3，l2:y=−3x+9，直线 l1 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，直线 l2 交 x 轴于点 D，过点 B 作 x 轴的平行线交 l2 于点 C，点 A，E 关于 y 轴对称，抛物线 y=ax2+bx+c 过 E，B，C 三点，下列判断中：
① a−b+c=0；
② 2a+b+c=5；
③抛物线关于直线 x=1 对称；
④抛物线过点 b,c；
⑤ S四边形ABCD=5，
其中正确的个数有
A. 5B. 4C. 3D. 2

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 分解因式：2a2−8a+8= ．

14. 不透明的袋子里装有 2 个红球和 1 个白球，这些球除了颜色外都相同，从中任意摸出一个，放回摇匀，再从中摸一个，则两次摸到球的颜色相同的概率是 ．

15. 已知方程组 2x+y=4,x+2y=5, 则 x+y 的值为 ．

16. 如图所示，扇形 AOB 的圆心角为 120∘，半径为 2，则图中阴影部分的面积为 ．

17. 如图，△ABC 的三个顶点分别为 A1,2，B2,5，C6,1．若函数 y=kx 在第一象限内的图象与 △ABC 有交点，则 k 的取值范围是 ．

18. 如图，M，N 是正方形 ABCD 的边 CD 上的两个动点，满足 AM=BN，连接 AC 交 BN 于点 E，连接 DE 交 AM 于点 F，连接 CF，若正方形的边长为 4，则线段 CF 的最小值是 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
19. 计算：3−π0−13−1+∣2−8∣+2cs45∘．

20. 先化简再求值：3aa+1−aa+1⋅a2−1a，其中 a=2．

21. 如图，在矩形 ABCD，AD=AE，DF⊥AE 于点 F．求证：AB=DF．

22. 工人师傅用一块长为 10 dm，宽为 6 dm 的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）求长方体底面面积为 12 dm2 时，裁掉的正方形边长多大?

23. 为响应“书香校园”号召，重庆一中在九年级学生中随机抽取某班学生对 2016 年全年阅读中外名著的情况进行调查，整理调查结果发现，每名学生阅读中外名著的本数，最少的有 5 本，最多的有 8 本，并根据调查结果绘制了如图所示的不完整的折线统计图和扇形统计图．
（1）该班学生共有 名，扇形统计图中阅读中外名著本数为 7 本所对应的扇形圆心角的度数是 度，并补全折线统计图；
（2）根据调查情况，班主任决定在阅读中外名著本数为 5 本和 8 本的学生中任选两名学生进行交流，请用树状图或表格求出这两名学生阅读的本数均为 8 本的概率．

24. 如图 1，平行四边形 OABC 的边 OC 在 y 轴的正半轴上，OC=3，A2,1，反比例函数 y=kxx>0 的图象经过点 B．
（1）求点 B 的坐标和反比例函数的关系式；
（2）如图 2，将线段 OA 延长交 y=kxx>0 的图象于点 D，过 B，D 的直线分别交 x 轴、 y 轴于 E，F 两点，
①求直线 BD 的解析式；
②求线段 ED 的长度．

25. 定义：若以一条线段为对角线作正方形，则称该正方形为这条线段的“对角线正方形”．例如，图①中正方形 ABCD 即为线段 BD 的“对角线正方形”．如图②，在 △ABC 中，∠ABC=90∘，AB=3 cm，BC=4 cm，点 P 从点 C 出发，沿折线 CA−AB 以 5 cm/s 的速度运动，当点 P 与点 B 不重合时，作线段 PB 的“对角线正方形”，设点 P 的运动时间为 ts，线段 PB 的“对角线正方形”的面积为 Scm2．
（1）如图③，借助虚线的小正方形网格，画出线段 AB 的“对角线正方形”．
（2）当线段 PB 的“对角线正方形”有两边同时落在 △ABC 的边上时，求 t 的值．
（3）当点 P 沿折线 CA−AB 运动时，求 S 与 t 之间的函数关系式．
（4）在整个运动过程中，当线段 PB 的“对角线正方形”至少有一个顶点落在 ∠A 的平分线上时，直接写出 t 的值．

26. 如图，已知 △ABC 中，∠ACB=90∘，AC=8，csA=45，D 是 AB 边的中点，E 是 AC 边上一点，连接 DE，过点 D 作 DF⊥DE 交 BC 边于点 F，连接 EF．
（1）如图 1，当 DE⊥AC 时，求 EF 的长；
（2）如图 2，当点 E 在 AC 边上移动时，∠DFE 的正切值是否会发生变化，如果变化请说出变化情况；如果保持不变，请求出 ∠DFE 的正切值；
（3）如图 3，连接 CD 交 EF 于点 Q，当 △CQF 是等腰三角形时，请直接写出 BF 的长．

27. 如图 1，抛物线 y=ax2+bx+74 经过 A1,0，B7,0 两点，交 y 轴于 D 点，以 AB 为边在 x 轴上方作等边三角形 ABC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在 x 轴上方的抛物线上是否存在点 M，是 S△ABM=439S△ABC?若存在，请求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图 2，E 是线段 AC 上的动点，F 是线段 BC 上的动点，AF 与 BE 相交于点 P．
①若 CE=BF，试猜想 AF 与 BE 的数量关系及 ∠APB 的度数，并说明理由；
②若 AF=BE，当点 E 由 A 运动到 C 时，请直接写出点 P 经过的路径长．
答案
第一部分
1. B【解析】3400000 用科学记数法表示为 3.4×106．
2. A【解析】从正面看是一个大正方形的左上角去掉一个小正方形．
3. A【解析】∵AB∥CD，
∴∠A+∠C=180∘，
∵∠A=120∘，
∴∠C=60∘，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90∘，
∴∠D=180∘−∠C−∠DEC=30∘．
4. D【解析】A、 a4÷a3=a，故本选项错误；
B、 a4+a3≠a7，不能合并；故本选项错误；
C、 2a34=16a12，故本选项错误；
D、 a4⋅a3=a7，故本选项正确．
5. B
【解析】∵∠C=40∘，
∴∠AOB=80∘，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=50∘．
6. C【解析】A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；
C、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项正确；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误．
7. C【解析】2x+5≥6, ⋯⋯①5−2x>1+2x, ⋯⋯②
由 ① 得，x≥−2；由 ② 得，x<1，
故此不等式组的解集为：−2≤x<1．
在数轴上表示为：
8. B
9. B【解析】根据题意得 ∠A=30∘，∠DBC=60∘，DC⊥AC，
所以 ∠ADB=∠DBC−∠A=30∘，
所以 ∠ADB=∠A=30∘，
所以 BD=AB=60 m，
所以 CD=BD⋅sin60∘=60×32=303≈51m．
10. C
【解析】当 m−1=0 时，x+1=0，解得 x=−1；
当 m−1≠0 时，Δ=12−4×m−1×1≥0，解得 m≤54 且 m≠1，
所以 m 的取值范围为 m≤54．
11. C【解析】∵tan∠BOC=12，
∴OC=2BC．
∵OC2+BC2=OB2=5，
∴BC=1，OC=2．
∴A1,0，B1,2．
直线 OB 方程：y=2x，
Aʹ 和 A 关于直线 OB 对称，假设 Aʹx0,y0，AAʹ 中点，x=1+x02，y=y02．在直线 y=2x 上，y0=2x0+1．
x02+y02=1，x02+4x0+12=1，5x02+8x0+3=0．x0=−1 或 x0=−35，y0=0 或 y0=45，x0=−1，y0=0 不合题意，舍去．
∴A−35,45．
12. C【解析】∵ 直线 l1:y=−3x+3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，
∴A1,0，B0,3，
∵ 点 A，E 关于 y 轴对称，
∴E−1,0．
∵ 直线 l2:y=−3x+9 交 x 轴于点 D，过点 B 作 x 轴的平行线交 l2 于点 C，
∴D3,0，C 点纵坐标与 B 点纵坐标相同都是 3，
把 y=3 代入 y=−3x+9，得 3=−3x+9，解得 x=2，
∴C2,3．
∵ 抛物线 y=ax2+bx+c 过 E，B，C 三点，
∴a−b+c=0,c=3,4a+2b+c=3, 解得 a=−1,b=2,c=3,
∴y=−x2+2x+3．
① ∵ 抛物线 y=ax2+bx+c 过 E−1,0，
∴a−b+c=0，故①正确；
② ∵a=−1，b=2，c=3，
∴2a+b+c=−2+2+3=3≠5，故②错误；
③ ∵ 抛物线过 B0,3，C2,3 两点，
∴ 对称轴是直线 x=1，
∴ 抛物线关于直线 x=1 对称，故③正确；
④ ∵b=2，c=3，抛物线过 C2,3 点，
∴ 抛物线过点 b,c，故④正确；
⑤ ∵ 直线 l1∥l2，即 AB∥CD，
又 BC∥AD，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴S四边形ABCD=BC⋅OB=2×3=6≠5，故⑤错误．
综上可知，正确的结论有 3 个．
第二部分
13. 2a−22
【解析】2a2−8a+8=2a2−4a+4=2a−22.
14. 59
【解析】画树状图如下：
由树状图知共有 9 种等可能，两次摸到球的颜色相同的有 5 种，
∴ 两次摸到球的颜色相同的概率是 59．
15. 3
【解析】2x+y=4, ⋯⋯①x+2y=5. ⋯⋯②
①+② 得：3x+3y=3x+y=9，
则 x+y=3．
16. 4π3−3
【解析】过点 O 作 OD⊥AB，
∵∠AOB=120∘，OA=2，
∴∠OAD=180∘−∠AOB2=30∘，
∴OD=12OA=12×2=1，AD=OA2−OD2=22−12=3．
∴AB=2AD=23，
∴S阴影=S扇形OAB−S△AOB=120π×22360−12×23×1=4π3−3．
17. 2≤k≤494
【解析】反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是交点为 A，
∵ 过点 A1,2 的反比例函数解析式为 y=2x，
∴k≥2．
随着 k 值的增大，反比例函数的图象必须和线段 BC 有交点才能满足题意，
经过 B2,5，C6,1 的直线解析式为 y=−x+7，
y=−x+7,y=kx, 得 x2−7x+k=0，
根据 Δ≥0，得 k≤494，
综上可知 2≤k≤494．
18. 25−2
【解析】在正方形 ABCD 中，AD=BC=CD，∠ADC=∠BCD，∠DCE=∠BCE，
在 Rt△ADM 和 Rt△BCN 中，
AD=BC,AM=BN,
∴Rt△ADM≌Rt△BCNHL，
∴∠1=∠2，
在 △DCE 和 △BCE 中，
BC=CD,∠DCE=∠BCE,CE=CE,
∴△DCE≌△BCESAS，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∵∠ADF+∠3=∠ADC=90∘，
∴∠1+∠ADF=90∘，
∴∠AFD=180∘−90∘=90∘，
取 AD 的中点 O，连接 OF，OC，
则 OF=DO=12AD=2，
在 Rt△ODC 中，OC=DO2+DC2=22+42=25，
根据三角形的三边关系，OF+CF>OC，
∴ 当 O，F，C 三点共线时，CF 的长度最小，
最小值 =OC−OF=25−2．
第三部分
19. 原式=1−3+22−2+2=32−4.
20. 原式=2aa+1⋅a+1a−1a=2a−1=2a−2,
当 a=2 时，
原式=2×2−2=2.
21. ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AD∥BC，∠B=90∘，
∴∠AEB=∠DAE，
∵DF⊥AE，
∴∠AFD=∠B=90∘，
在 △ABE 和 △DFA 中，
∵∠AEB=∠DAE,∠AFD=∠B,AD=AE,
∴△ABE≌△DFA，
∴AB=DF．
22. 设裁掉的正方形的边长为 x dm，
由题意可得
10−2x6−2x=12.
即
x2−8x+12=0,
解得
x=2或x=6舍去.
答：裁掉的正方形的边长为 2 dm，底面积为 12 dm2．
23. （1） 50；108
补全如图：
【解析】该班学生共有 30÷60%=50 名，圆心角的度数是 15÷50×360∘=108∘，50−2−30−15=3（人）．
（2） 因为阅读 5 本的有 2 人，阅读 8 本的有 3 人，所以可设 A，B 表示阅读 5 本的学生，C，D，E 表示阅读 8 本的学生，画树状图得：
因为共有 20 种等可能的结果，抽得这两名学生阅读的本数均为 8 本的有 6 种情况，
所以 P两名学生都读8本=6÷20=310．
24. （1） 如图 1，过点 A 作 AP⊥x轴 于点 P，
则 AP=1，OP=2．
又 ∵ 四边形 OABC 是平行四边形，
∴AB=OC=3，
∴B2,4．
∵ 反比例函数 y=kxx>0 的图象经过的 B，
∴4=k2．
∴k=8．
∴ 反比例函数的关系式为 y=8x．
（2） ①点 A2,1，
∴ 直线 OA 的解析式为 y=12xⅠ．
∵ 点 D 在反比例 y=8xⅡ 函数图象上，
联立 ⅠⅡ 解得，x=4,y=2 或 x=−4,y=−2.
∵ 点 D 在第一象限，
∴D4,2．
由 B2,4，点 D4,2，
∴ 直线 BD 的解析式为 y=−x+6．
②如图 2，把 y=0 代入 y=−x+6，解得 x=6．
∴E6,0，
过点 D 作 DH⊥x轴 于 H，
∵D4,2，
∴DH=2，HE=6−4=2，
由勾股定理可得：ED=DH2+HE2=22．
25. （1） 线段 AB 的“对角线正方形”如图所示：
（2） 如图 1 中，
当线段 PB 的“对角线正方形”有两边同时落在 △ABC 的边上时，设正方形的边长为 x，
∵PE∥AB，
∴PEAB=CECB，
∴x3=4−x4，
解得 x=127，
∴PE=127，CE=4−127=167，
∴PC=PE2+EC2=207，
∴t=2075=47 s．
（3） ①如图 2 中，当 0≤t≤1 时，作 PH⊥BC 于 H．
∵PC=5t，则 HC=4t，PH=3t，
在 Rt△PHB 中，PB2=PH2+BH2=3t2+4−4t2=25t2−32t+16．
∴S=12PB2=252t2−16t+8．
②如图 3 中，
当 1 ∵PB=8−5t，
∴S=12PB2=252t2−40t+32．
综上所述，S=252t2−16t+8,0≤t≤1252t2−40t+32,1 （4） 在整个运动过程中，当线段 PB 的“对角线正方形”至少有一个顶点落在 ∠CAB 的平分线上时，t 的值为 25 s 或 1 s 或 65 s．
【解析】①如图 4 中，
当 D，E 在 ∠BAC 的平分线上时，易知 AB=AP=3，PC=2，
∴t=25 s．
②当点 P 运动到点 A 时，满足条件，此时 t=1 s．
③如图 5 中，当点 E 在 ∠BAC 的角平分线上时，作 EH⊥BC 于 H．
易知 EB 平分 ∠ABC，
∴ 点 E 是 △ABC 的内心，四边形 EOBH 是正方形，OB=EH=EO=BH=AB+BC−AC2=1（直角三角形内切圆半径公式），
∴PB=2OB=2，
∴AP=1，
∴t=65 s，
综上所述，在整个运动过程中，当线段 PB 的“对角线正方形”至少有一个顶点落在 ∠CAB 的平分线上时，t 的值为 25 s 或 1 s 或 65 s．
26. （1） ∵∠ACB=90∘，csA=45，
∴ACAB=45，
∵AC=8，
∴AB=10，
∵D 是 AB 边的中点，
∴AD=12AB=5，
∵DE⊥AC，
∴∠DEA=∠DEC=90∘，
∴csA=AEAD=45，
∴AE=4，
∴CE=8−4=4，
∵ 在 Rt△AED 中，AE2+DE2=AD2，
∴DE=3，
∵DF⊥DE，
∴∠FDE=90∘，
又 ∵∠ACB=90∘，
∴ 四边形 DECF 是矩形，
∴DF=EC=4，
∵ 在 Rt△EDF 中，DF2+DE2=EF2，
∴EF=5．
（2） 不变．
如图 2，过点 D 作 DH⊥AC，DG⊥BC，垂足分别为点 H，G，
由（1）可得 DH=3，DG=4，
∵DH⊥AC，DG⊥BC，
∴∠DHC=∠DGC=90∘，
又 ∵∠ACB=90∘，
∴ 四边形 DHCG 是矩形，
∴∠HDG=90∘，
∵∠FDE=90∘，
∴∠HDG−∠HDF=∠EDF−∠HDF，即 ∠EDH=∠FDG，
又 ∵∠DHE=∠DGF=90∘，
∴△EDH∽△FDG，
∴DEDF=DHDG=34，
∵∠FDE=90∘，
∴tan∠DFE=DEDF=34．
（3） BF 的长为 3 或 527117 或 4111．
【解析】①当 QF=QC 时，
∴∠QFC=∠QCF，
∵∠EDF+∠ECF=180∘，
∴ 点 D，E，C，F 四点共圆，
∴∠ECQ=∠DFE，∠DFE+∠QFC=∠ECQ+∠QCF=∠ACB=90∘，即 ∠DFC=90∘，
又 ∵∠ACB=90∘，D 是 AB 的中点，
∴CD=BD=12AB=5，
∴BF=CF=12BC=3．
②当 FQ=FC 时，
∴∠BCD=∠CQF，
∵ 点 D 是 AB 的中点，
∴BD=CD=12AB=5，
∴∠BDC=∠BCD，
∴∠BCD=∠FCQ，∠BDC=∠CFQ，
∴△FQC∽△DCB，
由①知，点 D，E，C，F 四点共圆，
∴∠DEF=∠DCF，
∵∠DQE=∠FQC，
∴△FQC∽△DEQ，
即：△FQC∽△DEQ∽△DCB，
∵ 在 Rt△EDF 中，tan∠DFE=DEDF=34，
∴ 设 DE=3k，则 DF=4k，EF=5k，
∵∠DEF=∠DCF=∠CQF=∠DQE，
∴DE=DQ=3k，
∴CQ=5−3k，
∵△DEQ∽△DCB，
∴DEEQ=DCBC=56，
∴EQ=185k，
∴FQ=FC=75k，
∵△FQC∽△DCB，
∴FQCQ=DCBC=56，
∴75k5−3k=56，解得 k=125117，
∴FC=75×125117=175117，
∴BF=6−175117=527117．
③当 CF=CQ 时，如图 3，
∴∠BCD=∠CQF，
由②知，CD=BD，
∴∠BDC=∠BCD，
∵△EDQ∽△BDK，
在 BC 边上截取 BK=BD=5，
过点 D 作 DH⊥BC 于 H，
∴DH=12AC=4，BH=12BC=3，
由勾股定理得 DK=25，
同②的方法得，△CFQ∽△EDQ，
∴ 设 DE=3m，则 EQ=3m，EF=5m，
∴FQ=2m，
∵△EDQ∽△BDK，
∴DEDQ=BDDK=525，
∴DQ=655m，
∴CQ=FC=5−655m，
∵△CQF∽△BDK，
∴CQFQ=BDDK=525，
∴5−655m2m=525，
解得 m=5511，
∴FC=2511，
∴BF=6−2511=4111．
即：△CQF 是等腰三角形时，BF 的长为 3 或 527117 或 4111．
27. （1） 将点 A1,0，B7,0 代入抛物线的解析式得：49a+7b+74=0,a+b+74=0,
解得：a=14，b=−2．
∴ 抛物线的解析式为 y=14x2−2x+74．
（2） 存在点 M，使得 S△ABM=439S△ABC．
理由：如图所示：过点 C 作 CK⊥x 轴，垂足为 K．
∵△ABC 为等边三角形，
∴AB=BC=AC=6，∠ACB=60∘．
∵CK⊥AB，
∴KA=BK=3，∠ACK=30∘．
∴CK=33．
∴S△ABC=12AB⋅CK=12×6×3=93．
∴S△ABM=439×93=12．
设 Ma,14a2−2a+74．
∴12AB⋅y=12，即 12×6×14a2−2a+74=12，
解得：a1=9，a2=−1．
∴ 点 M 的坐标为 9,4 或 −1,4．
（3） ①结论：AF=BE，∠APB=120∘．
∵△ABC 为等边三角形，
∴BC=AB，∠C=∠ABF．
在 △BEC 和 △AFB 中，
BC=AB,∠C=∠ABF,CE=BF,
∴△BEC≌△AFB．
∴AF=BE，∠CBE=∠BAF．
∴∠FAB+∠ABP=∠ABP+∠CBE=∠ABC=60∘．
∴∠APB=180∘−60∘=120∘．
②点 P 运动的路径为 33 或 43π3．
【解析】②当 AE≠BF 时，由①可知点 P 在以 AB 为弦的圆上，过点 M 作 ME⊥AB，垂足为 E．
∵∠APB=120∘，
∴∠N=60∘．
∴∠AMB=120∘．
又 ∵ME⊥AB，垂足为 E，
∴AE=BE=3，∠AME=60∘．
∴AM=23．
∴ 点 P 运动的路径 =120π×23180=43π3．
当 AE=BF 时，点 P 在 AB 的垂直平分线上时，
如图所示：过点 C 作 CK⊥AB，则点 P 运动的路径 =CK 的长．
∵AC=6，∠CAK=60∘，
∴KC=33．
∴ 点 P 运动的路径为 33．
综上所述，点 P 运动的路径为 33 或 43π3．