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    2018年苏州市吴中、吴江、相城区中考一模数学试卷

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    这是一份2018年苏州市吴中、吴江、相城区中考一模数学试卷,共12页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    一、选择题(共10小题;共50分)
    1. −3 的相反数是
    A. 33B. −33C. 3D. −3

    2. 下列计算正确的是
    A. a6÷a2=a3B. −2−1=2
    C. −3x2⋅2x3=−6x6D. 3−π0=1

    3. 如图是由几个相同的小正方体搭成的一个几何体,它的俯视图是
    A. B.
    C. D.

    4. 某种微生物半径约为 0.00000637 米,该数字用科学记数法可表示为 米.
    A. 0.637×10−5B. 6.37×10−6C. 63.7×10−7D. 6.37×10−7

    5. 如图,PA 和 PB 是 ⊙O 的切线,点 A 和点 B 是切点,AC 是 ⊙O 的直径,已知 ∠P=40∘,则 ∠ACB 的大小是
    A. 60∘B. 65∘C. 70∘D. 75∘

    6. 关于 x 的一元二次方程 x2−kx+1=0 有两个相等的实数根,则 k 的值为
    A. 2B. −2C. ±2D. 4

    7. 某厂进行技术创新,现在每天比原来多生产 30 台机器,并且现在生产 500 台机器所需时间与原来生产 350 台机器所需时间相同.设现在每天生产 x 台机器,根据题意可得方程为
    A. 500x=350x−30B. 500x−30=350xC. 500x=350x+30D. 500x+30=350x

    8. 若函数 y=2x 与 y=−2x−4 的图象的交点坐标为 a,b,则 1a+2b 的值是
    A. −4B. −2C. 1D. 2

    9. 若二次函数 y=−x2+bx+c 与 x 轴有两个交点 m,0,m−6,0,该函数图象向下平移 n 个单位长度时与 x 轴有且只有一个交点,则 n 的值是
    A. 9B. 6C. 3D. 36

    10. 如图,反比例函数 y=kxx<0 的图象经过 A−2,2,过点 A 作 AB⊥y 轴,垂足为 B,在 y 轴的正半轴上取一 P0,t,过点 P 作直线 OA 的垂线 l,以直线 l 为对称轴,点 B 经轴对称变换得到的点 Bʹ 在此反比例函数的图象上,则 t 的值是
    A. −1+5B. 4+2C. 4−2D. 1+5

    二、填空题(共8小题;共40分)
    11. 代数式 x−2 在实数范围内有意义,则 x 的取值范围是 .

    12. 有一组数据:3,5,5,6,7,这组数据的众数为 .

    13. 已知圆弧所在圆的半径为 24,所对圆心角为 60∘,则圆弧的长为 .

    14. 从长度分别是 3,4,5 的三条线段中随机抽出一条,与长为 2,3 的两条线段首尾顺次相接,能构成三角形的概率是 .

    15. 已知 ab=−2,a−b=3,则 a3b−2a2b2+ab3 的值为 .

    16. 已知二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 中,函数值 y 与自变量 x 的部分对应值如表:
    x⋯−5−4−3−2−1⋯y⋯3−2−5−6−5⋯
    则关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=−2 的根是 .

    17. 如图,已知 l1∥l2∥l3,相邻两条平行直线间的距离相等,若等腰直角三角形 ABC 的直角顶点 C 在 l1 上,另两个顶点 A,B 分别在 l3,l2 上,则 sinα 的值是 .

    18. 如图,矩形 ABCD 中,AB=4,BC=8,P,Q 分别是 BC,AB 上的两个动点,AE=2,△AEQ 沿 EQ 翻折形成 △FEQ,连接 PF,PD,则 PF+PD 的最小值是 .

    三、解答题(共10小题;共130分)
    19. 计算:3−1+−12018−tan60∘.

    20. (1)解不等式组:2x>3x−2,2x−13≥12x−23.
    (2)解方程:2x2x−1+xx−2=2.

    21. 先化简,再求值:1a−1a+1÷a2−2a+1a2+a,其中 a=3+1.

    22. 如图,在平行四边形 ABCD 中,E 是 CD 的延长线上一点,BE 与 AD 交于点 F,DE=12CD.
    (1)求证:△ABF∽△CEB;
    (2)若 △DEF 的面积为 2,求四边形 BCDF 的面积.

    23. 为了解某校学生的课余兴趣爱好情况,某调查小组设计了“阅读”、“打球”、“书法”和“舞蹈”四个选项,用随机抽样的方法调查了该校部分学生的课余兴趣爱好情况(每个学生必须选一项且只能选一项),并根据调查结果绘制了如图所示的统计图.根据统计图所提供的倍息,解答下列问题.
    (1)本次抽样调查中的学生人数是 ;
    (2)补全条形统计图;
    (3)若该校共有 2000 名学生,请根据统计结果估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数;
    (4)现有爱好舞蹈的两名男生两名女生想参加舞蹈社,但只能选两名学生,请你用列表或画树状图的方法,求出正好选到一男一女的概率.

    24. 如图,一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y=mx 的图象交于 A3,8−m,Bn,−6 两点.
    (1)求一次函数与反比例函数的解析式;
    (2)求 △AOB 的面积.

    25. 某公司经销一种空气净化器,每台净化器的成本价为 200 元.经过一段时间的销售发现,每月的销售量 y(台)与销售单价 x(元)的关系为 y=−2x+1000.
    (1)该公司每月的利润为 w 元,写出 w 与 x 的函数关系式;
    (2)若要使每月的利润为 40000 元,销售单价应定为多少元?
    (3)公司要求销售单价不低于 250 元,也不高于 400 元,求该公司每月的最高利润和最低利润分别为多少?

    26. 如图,AB 是 ⊙O 的直径,点 C 是 AB 的中点,点 D 是 ⊙O 外一点,AD=AB,AD 交 ⊙O 于 F,BD 交 ⊙O 于 E,连接 CE 交 AB 于 G.
    (1)证明:∠C=∠D;
    (2)若 ∠BEF=140∘,求 ∠C 的度数;
    (3)若 EF=2,tanB=3,求 CE⋅CG 的值.

    27. 已知,如图 1,直线 y=34x+3 与 x 轴、 y 轴分别交于 A,C 两点,点 B 在 x 轴上,点 B 的横坐标为 94,抛物线经过 A,B,C 三点.点 D 是直线 AC 上方抛物线上任意一点.
    (1)求抛物线的函数关系式;
    (2)若 P 为线段 AC 上一点,且 S△PCD=2S△PAD,求点 P 的坐标;
    (3)如图 2,连接 OD,过点 A,C 分别作 AM⊥OD,CN⊥OD,垂足分别为 M,N.当 AM+CN 的值最大时,求点 D 的坐标.

    28. 如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90∘,AC=2 cm,AB=4 cm,动点 P 从点 C 出发,在 BC 边上以每秒 3 cm 的速度向点 B 匀速运动,同时动点 Q 也从点 C 出发,沿 C→A→B 以每秒 4 cm 的速度匀速运动,运动时间为 t 秒(0(1)当 t=12 时,求 △PCQ 的面积;
    (2)设 ⊙O 的面积为 s,求 s 与 t 的函数关系式;
    (3)当点 Q 在 AB 上运动时,⊙O 与 Rt△ABC 的一边相切,求 t 的值.
    答案
    第一部分
    1. C
    2. D
    3. D
    4. B
    5. C
    6. C
    7. A
    8. B
    9. A
    10. D
    第二部分
    11. x≥2
    12. 5
    13. 8π
    14. 23
    15. −18
    16. x1=−4,x2=0
    17. 1010
    18. 8
    第三部分
    19. 原式=3−1+1−3=0.
    20. (1)
    2x>3x−2, ⋯⋯①2x−13≥12x−23. ⋯⋯②
    由 ① 得
    x<2.
    由 ② 得
    x≥−2.∴
    不等式组的解集为
    −2≤x<2.
    (2) 方程两边同乘以 2x−1x−2 得
    2xx−2+x2x−1=22x−1x−2,x=45.
    经检验 x=45 是原方程的根.
    21. 1a−1a+1÷a2−2a+1a2+a=1a−12,
    当 a=3+1 时,原式=13.
    22. (1) ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,
    ∴∠A=∠C,AB∥CD,
    ∴∠ABE=∠E,
    ∴△ABF∽△CEB.
    (2) ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形,
    ∴AD∥BC,
    ∴△DEF∽△CEB,
    ∴S△DEFS△CEB=DECE2,
    ∵DE=12CD,CE=DE+CD,
    ∴DECE=13,
    ∴S△DEFS△CEB=DECE2=19,
    ∵S△DEF=2,
    ∴S△CEB=18,
    ∴S四边形BCDF=S△CEB−S△DEF=16.
    23. (1) 100
    (2)
    (3) 2000×1−30%−10%−20100=800(名),
    ∴ 爱好打球的学生有 800 名.
    (4) 画树状图如图所示,
    共有 12 种等可能的情况产生,其中满足条件的情况共两种.
    ∴P一男一女=812=23.
    24. (1) ∵y=mx 经过 A3,8−m,
    ∴3×8−m=m,
    ∴m=6,
    ∴A3,2,y=6x,
    把 Bn,−6 代入 y=6x 得 n=−1,
    ∴B−1,−6,
    把 A,B 两点的坐标代入 y=kx+b 得 3k+b=2,−k+b=−6,
    ∴k=2,b=−4,
    ∴y=2x−4.
    (2) 设 AB 与 x 轴交于点 C,
    当 y=0 时 0=2x−4,
    ∴x=2,
    ∴C2,0,
    ∴OC=2,
    ∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=12OC⋅yA+12OC⋅yB=8.
    25. (1) w=x−200−2x+1000=−2x2+1400x−200000.
    (2) 当 w=40000 时,
    −2x2+1400x−200000=40000,x−300x−400=0.
    所以
    x1=300,x2=400.
    因为 200≤x≤500,
    所以 x=300或400.
    答:销售单价为 300 元或者 400 元.
    (3) 因为 w=−2x2+1400x−200000=−2x−3502+45000,
    250≤x≤400,
    所以当 x=350 时 wmax=45000,
    当 x=250 时 wmin=25000,
    答:最高利润是 45000 元,最低利润为 25000 元.
    26. (1) ∵AB=AD,
    ∴∠B=∠D,
    ∵∠C 与 ∠B 是 AE 所对圆周角,
    ∴∠C=∠B,
    ∴∠C=∠D.
    (2) ∵∠BAF 与 ∠BEF 是 ⊙O 内接四边形 ABEF 的内对角,
    ∴∠BAF+∠BEF=180∘,
    ∵∠BEF=140∘,
    ∴∠BAF=40∘,
    ∴∠B=∠D=12×180∘−40∘=70∘,
    ∴∠C=∠D=70∘.
    (3) 如图,连接 AE,BC.
    ∵AB 是 ⊙O 的直径,
    ∴∠AEB=∠ACB=90∘,
    ∴AE⊥BD,
    又 ∵AB=AD,
    ∴∠BAE=∠DAE,
    ∴BE=EF=2,
    ∵ 在 Rt△ABE 中,tan∠ABE=AEBE=3,
    ∴AE=6,
    ∴AB=AE2+BE2=210,
    ∵C 是 AE 的中点,
    ∴AC=BC,
    ∴AC=BC,∠AEC=∠CAG,
    ∴ 在 Rt△ABC 中 AC=25,
    ∵∠ACG=∠ACE,
    ∴△ACG∽△ECA,
    ∴CGAC=ACCE,
    ∴CE⋅CG=AC2=20.
    27. (1) 当 x=0 时 y=3,当 y=0 时 x=−4,
    ∴A−4,0,C0,3,
    ∵B 的横坐标是 94,
    ∴B94,0,
    设抛物线的解析式为 y=ax+4x−94,
    把 C0,3 代入得 a=−13,
    ∴y=−13x+4x−94=−13x2−712x+3.
    (2) 如图 1,过 D 作 DH⊥AC 于 H,过 P 作 PQ⊥x 轴于 Q,
    ∵S△APD=12AP⋅DH,S△CPD=12CP⋅DH,
    ∴S△ADPS△CDP=APCP,
    ∵S△CPD=2S△APD,
    ∴APCP=12,
    ∵△PAQ∽△CAO,
    ∴APAC=PQOC=13,
    ∴PQ=1,
    当 y=1 时 x=−83,
    ∴P−83,1.
    (3) 如图 2,设 OD 与 AC 交于 G,
    ∵AM≤AG,CN≤CG,
    ∴AM+CN≤AG+CG=AC,
    ∴ 当 OD 与 AC 垂直时 AM+CN 的值最大,
    ∴OD 的解析式为 y=−43x,
    由 y=−43x,y=−13x2−712x+3 得 x1=9−3738,y1=−3+732, x2=9+3738,y2=−3−732(舍去),
    ∴D9−3738,−3+732.
    28. (1) 当 t=12 时,Q 在 AC 上,PC=32 cm,CQ=2 cm,
    ∴S△PCQ=12PC⋅CQ=32cm2.
    (2) 1.当 Q 在 AC 上时 0 ∴ 在 Rt△PCQ 中 PQ=PC2+CQ2=19tcm.
    ∴⊙O 半径为 192t cm,
    ∴S=π192t2=194πt2cm2.
    2.当 Q 在 AB 上时 12 ∴PC=3t cm,AQ=4t−2cm,如图 1,过 Q 作 QM,QN 分别垂直于 AC,BC,
    则 △AMQ∽△QNB,
    ∵AQ=4t−2cm,
    ∴AM=2t−1cm,MQ=23t−3cm,
    ∴PN=3−3tcm,QN=3−2tcm,
    ∴S=π×143−3t2+3−2t2=74πt2−92πt+3πcm2.
    (3) 在 Rt△ABC 中 AC=2 cm,AB=4 cm,
    ∴BC=23 cm,PB=23−3tcm,BQ=6−4tcm.
    1.当 ⊙O 与 AC 相切,如图 2,

    设切点为 D,OE=12PN=3−3t2DE=MQ=23t−3cm,
    ∴OD=33t−32 cm.
    ∵PQ=2OD,
    ∴PQ2=4OD2,
    ∴3−3t2+3−2t2=4×33t−322,
    ∴t1=3510,t2=−3510(舍去),
    ∴t=3510.
    2.⊙O 与 BC 相切,如图 3,
    则 QP⊥BC,
    ∴△ACB∽△QPB,
    ∴BPBC=BQAB,
    ∴23−3t23=6−4t4,
    ∴t=1.
    3.⊙O 与 AB 相切,如图 4,
    则 QP⊥AB,
    ∴△ACB∽△PQB,
    ∴BPAB=BQBC,
    ∴23−3t4=6−4t23,
    ∴t=65.
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