河南省信阳市2020-2021学年高二下学期期末教学质量检测 数学（文） Word版含答案

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数学(文科)试题
(测试时间：120分钟 卷面总分：150分)
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，6，8}，则A∩B中元素的个数为
A.1 B.2 C.3 D.4
2.已知复数z满足：z·(1＋2i)＝i，则复数z的共轭复数z所对应的点位于复平面的
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.用反证法证明命题“自然数a，b，c中至少有一个偶数“，则证明的第一步，其正确的反设为
A.a，b，c都是奇数 B.a，b，c都是偶数
C.a，b，c至少有一个奇数 D.a，b，c至多有一个偶数
4.使得a>b>0成立的一个充分不必要条件是
A.>0 B.ea>eb C.a2>b2 D.lna>lnb>0
5.有一散点图如图所示，在5个(x，y)数据中去掉D(3，10)后，给出下列说法：
①相关系数r变大； ②相关指数R2变大；
③残差平方和变小； ④解释变量x与预报变量y的相关性变强。
其中正确说法的个数为
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.若a，b，c满足2a＝3，b＝lg25，3c＝2，则
A.a7.执行下面的程序框图，若输入的x＝0，y＝1，n＝1，则输出的x，y的值满足
A.y＝2x B.y＝3x C.y＝4x D.y＝5x
8.在西方，人们把宽与长之比为(≈0.618)的矩形称为黄金矩形，这个比例被称为黄金分割比例。如图，名画《蒙娜丽莎的微笑》的整个画面的主体部分便很好地体现了黄金分割比例，其中矩形ABCD，矩形BCFE，矩形EBHG，矩形GEJI，矩形GKLI均为黄金矩形。若画中点G与点K间的距离超过3.2cm，点C与点F间的距离不超过14cm，则该名画中，A与B间的距离可能为
(参考数据：0.6184≈0.146，0.6185≈0.090，0.6186≈0.056，0.6187≈0.034)
A.34cm B.36cm C.37cm
9.函数y＝(2x－2－x)sinx在[－π，π]的图象大致为
10.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学从理工类专业的A班和文史类专业的B班各抽取20名同学参加环保知识测试。统计得到成绩与专业的列联表如下所示：
附表及公式：
则下列说法正确的是.
A.有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关
B.有99%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关
C.有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业有关
D.有95%的把握认为环保知识测试成绩与专业无关。
11.若直角坐标平面内的两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数y＝f(x)的图象上；②P，Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数y＝f(x)的一对“友好点对”(点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”)。已知函数f(x)＝(a>0且a≠1)，若此函数的“友好点对“有且只有一对，则a的取值范围是
A.(0，1)∪(1，＋∞) B.(，1) C.(，1)∪(1，＋∞) D.(0，1)
12.若alna>blnb>clnc＝1，则
A.eb＋clna>ec＋alnb>ea＋blnc B.ec＋alnb>eb＋clna>ea＋blnc
C.ea＋blnc>ec＋alnb>eb＋clna D.ea＋blnc>eb＋clna>ec＋alnb
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知A＝{x|>0}，若1∈A，3A，则实数a的取值范围为 。
14.若幂函数y＝f(x)的图象经过函数g(x)＝lga(x＋3)＋(a>0，a≠1)图象的定点A，则f()＝ 。
15.我们知道，当a>b>c时，可以得到不等式≥。当a>b>c>d时，可以得到不等式≥，由此可以推广：当a1>a2>a3>…>an时，其中n∈N*，n≥3，得到的不等式是 。
16.已知f(x)＝2f'(ln2)x＋ex，则曲线y＝f(x)在(0，f(0))处的切线方程为 。
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(一)必考题：共60分
17.(本题满分12分)
已知i为虚数单位，关于x的方程2x2－px＋10＝0(p∈R)的两根分别为x1，x2。若x1＝3＋i，求实数p的值。
18.(本题满分12分)
已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x，g(x)＝－7。
(1)当a＝1时，求f(x)的单调增区间；
(2)若对任意x1∈[－1，1]，总存在x2∈[1，3]，使得f'(x1)＋2ax1＝g(x2)成立，求实数a的取值范围。
19.(本题满分12分)
某互联网公司为了确定下一季度的前期广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x(单位：万元)和收益(单位：万元)的数据如下表：
他们分别用两种模型①y＝bx＋a，②y＝aebx分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如下图所示的残差图及一些统计量的值。
(1)根据残差图，比较模型①②的拟合效果，应该选择哪个模型？请说明理由。
(2)残差绝对值大于2的数据认为是异常数据，需要剔除。
①剔除异常数据后求出(1)中所选模型的回归方程；
②若广告投入量x＝18，求该模型收益的预报值是多少？
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
。
20.(本题满分12分)
已知f'(x)是函数f(x)的导函数，且f(－x)＝f(x)，当x≥0时，f'(x)>3x。
(1)证明：当x≥0时，函数g(x)＝f(x)－x2是增函数；
(2)解不等式f(x)－f(x－1)<3x－。
21.(本题满分12分)
已知f(x)＝x3＋x2＋2x，f'(x)是f(x)的导数。
(1)求f(x)的极值；
(2)令g(x)＝f'(x)＋kex－1，若y＝g(x)的函数图象与x轴有三个不同的交点，求实数k的取值范围。
(二)选考题：共10分。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.(本题满分10分)
已知平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，曲线C2的参数方程为(θ为参数)。以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
(1)求C1的普通方程以及C2的极坐标方程；
(2)若C1与C2交于A，B两点，点M(1，0)，求MA＋MB的值。
23.(本题满分10分)
已知f(x)＝|x－1|－|ax－2a|(其中a∈R)。
(1)若a＝1，求不等式f(x)<；
(2)若不等式f(x)－x＋4≥0对任意x∈(2，1)恒成立，求a的取值范围。