2019年浙江绍兴诸暨市九年级上学期浙教版数学期末考试试卷

这是一份2019年浙江绍兴诸暨市九年级上学期浙教版数学期末考试试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 若 xy=43，则 x+yy 的值为
A. 73B. 74C. 47D. 1

2. 鞋柜中有 2 双鞋，任取一只恰为左脚的概率为
A. 12B. 13C. 14D. 15

3. ⊙O 的半径为 5 cm，点 A 到圆心 O 的距离 OA=3 cm，则点 A 与 ⊙O 的位置关系为
A. 点 A 在圆上B. 点 A 在圆内C. 点 A 在圆外D. 无法确定

4. 如图所示，在 △ABC 中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则 EC 的长为
A. 1B. 2C. 3D. 4

5. 如图所示，某数学兴趣小组将边长为 4 的正方形铁丝框 ABCD 变形为以 A 为圆心，AB 为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形 DAB 的面积为
A. 12B. 14C. 16D. 18

6. 如图，AB∥CD，CB 平分 ∠ABD，若 ∠C=40∘，则 ∠D 的度数为
A. 90∘B. 100∘C. 110∘D. 120∘

7. 在一个不透明的盒子中装有 a 个除颜色外其他完全相同的球，这 a 个球中只有 2 个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出 1 个球，记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在 20% 左右，则 a 的值约为
A. 8B. 10C. 2D. 14

8. 点 O 是 △ABC 的外心，若 ∠BOC=100∘，则 ∠BAC 的度数为
A. 50∘B. 80∘C. 50∘ 或 80∘D. 50∘ 或 130∘

9. 小明将如图所示两水平线 l1，l2 的其中一条当成 x 轴，且向右为正方向；两铅直线 l3，l4 的其中一条当成 y 轴，且向上为正方向，并在此坐标平面上画出二次函数 y=ax2+2ax+1 的图形．关于他选择 x 轴、 y 轴的叙述，下列说法中正确的是
A. l1 为 x 轴，l3 为 y 轴B. l1 为 x 轴，l4 为 y 轴
C. l2 为 x 轴，l3 为 y 轴D. l2 为 x 轴，l4 为 y 轴

10. 如图所示，在正五边形 ABCDE 中，连接 AC，AD，CE，CE 交 AD 于点 F，连接 BF，下列说法中，不正确的是
A. FC 平分 ∠BFDB. DE2=DF⋅AC
C. AC2+BF2=4CD2D. △CDF 的周长等于 AD+CD

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 二次函数 y=x2−2x 的顶点坐标是 ．

12. 如图所示，⊙O 的直径 AB=8，AC=3CB，过点 C 作 AB 的垂线交 ⊙O 于 M，N 两点，连接 MB，则弦 MN 的长为 ．

13. 如图所示，⊙O 的半径为 1 cm，弦 AB，CD 的长度分别为 2 cm，1 cm，则弦 AC，BD 所夹的锐角 α= 度．

14. 若等腰直角三角形的外接圆半径的长为 2，则其内切圆半径的长为 ．

15. 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，给出下列结论：① abc>0；② a−b+c<0；③ 2a+b−c<0；④ 4a+2b+c>0；⑤若点 −23,y1 和 73,y2 在该图象上，则 y1>y2，其中正确的结论是 （填入正确结论的序号）．

16. 如图所示，△ABC，△EFG 均是边长为 4 的等边三角形，点 D 是边 BC，EF 的中点，直线 AG，FC 相交于点 M．当 △EFG 绕点 D 旋转时，∠AMC 度，线段 BM 长的最大值为 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
17. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=10，sinB=35，求 △ABC 的面积．

18. 二次函数 y=x2−x−2 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，求线段 AB 的长．

19. 课间，小明和小丽玩掷般子的游戏，规则如下：两人同时随机各掷一枚完全相同且质地均匀的骰子一次，向上一面的点数都是奇数，则小明胜；向上一面的点数都是偶数，则小丽胜；否则，视为平局．若为平局，继续上述游戏，直至分出胜负为止．如果小明和小丽按上述规则各掷一次骰子，请解答下列问题：
（1）小明掷得向上一面的点数为奇数的概率是多少?
（2）该游戏是否公平?请用列表或树状图等方法说明理由．

20. 某网店开展促销活动：新款服装 30 件，每件售价 300 元．若一次性购买不超过 10 件时，售价不变；若一次性购买超过 10 件时，每多买 1 件，所买的每件服装的售价均降低 3 元．已知该服装成本是每件 200 元，设顾客一次性购买服装 x 件时，该网店从中获利 y 元．
（1）求 y 与 x 的函数表达式，并写出自变量 x 的取值范围．
（2）顾客一次性购买多少件时，该网店获利最多?

21. 张老师利用休息时间组织学生测量山坡上一棵大树的高度 CD，如图所示，山坡与水平面成 30∘ 角（即 ∠MAN=30∘），在山坡底部 A 处测得大树顶端点 C 的仰角为 45∘，沿坡面前进 20 m，到达 B 处，又测得树顶端点 C 的仰角为 60∘（图中各点均在同一平面内）．求这棵大树的高度 CD．（结果保留根号）

22. 如图所示，在等腰三角形 ABC 中，CA=CB，AD 是腰 BC 上的高，△ACD 的内切圆 ⊙E 分别与边 AD，BC 相切于点 F，G，连接 AE，BE．
（1）求证：AF=BG．
（2）过点 E 作 EH⊥AB 于点 H，试探究线段 EH 与线段 AB 的数量关系，并说明理由．
（3）若 CA=CB=13，sin∠CAB=1213，求 ⊙E 的半径．

23. 如图甲所示，∠ABC=90∘，点 B 在直线 l 上，过 A，C 两点作直线 l 的垂线段，垂足分别为 D，E，容易证得 △ADB∽△BEC．此图形如横放的大写英文字母“K”，故常称为“K 形图”．又因为图中的三个直角顶点在同一直线上，又称为“一线三垂直”，是学习相似三角形的基本图形之一．请以“K 形图”为模型，解答下列问题：
（1）将图甲中“∠ABC=∠ADB=∠BEC=90∘”改为图乙中的“∠ABC=∠ADB=∠BEC=α”，请问 △ADB∽△BEC 的结论还成立吗?若成立，请证明这个结沦；若不成立，请说明理由．
（2）如图丙所示，在等边三角形 ABC 中，AB=6，将一直角三角板 DEF 的 60∘ 角顶点 E 置于边 BC 上移动（不与点 B，C 重合），移动过程中，始终满足直角边 DE 经过点 A，斜边 EF 交 AC 于点 G．
①求线段 AG 长度的最小值．
②探究：在点 E 的移动过程中，两三角形重叠部分能否构成等腰三角形?若能，求出此时 BE 的长；若不能，请说明理由．

24. 如图甲所示，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线 y=−33x+1 与 x 轴、 y 轴分别交于 A，B 两点，在第二象限内的该直线上取一点 P，使 PB=12AB，过 P，O，A 三点作抛物线，连接 PO，设抛物线的函数表达式为 y=ax2+bx+c．
（1）求抛物线 y=ax2+bx+c 的函数表达式．
（2）点 Q 是 x 轴上方的抛物线上一点，且 △APQ 的面积是 △AOP 面积的 2 倍，请求出点 Q 的坐标．
（3）如图乙所示，动点 C，D 分别在线段 PO 和 x 轴上，连接 BC，BD，CD．在 C，D 两点的运动过程中，∠CBD 的度数始终保持 60∘，记 CO=m，DO=n．
①求 m，n 之间的数量关系．
②当 △BCD 的外接圆与 x 轴相切时，求 m 的值．
答案
第一部分
1. A
2. A
3. B
4. B【解析】∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC．
∴ADAD+DB=AEAE+EC．
代入数据可得 EC=2．
5. C
【解析】∵圆心角=8×360∘4×2π=360π∘，
∴S=π×42×360π∘÷360∘=16．
6. B
7. B
8. D
9. D
10. A
【解析】由正五边形的性质得 △ADE≌△DEC，
∴∠DEC=∠ADE．
∴△DEF∽△DAE．
又 ∵AC=AD，
∴DE2=DF⋅AC．故B正确．
∵ 五边形 ABCDE 是正 五边形．
∴AB=BC=CD=DE=AE，BA∥CE，AD∥BC，AC∥DE，AC=AD=CE．
∴ 四边形 ABCF 是菱形．
∴CF=AF．
∴△CDF 的周长等于 CF+DF+CD，即 △CDF 的周长等于 AD+CD．故D正确．
∵ 四边形 ABCF 是菱形，
∴AC⊥BF，设 AC 与 BF 交于点 O，由勾股定理得 OB2+OC2=BC2．∴AC2+BF2=2OC2+2OB2=4OC2−4OB2=4BC2．
∴AC2+BF2=4CD2，故C正确．
第二部分
11. 1,−1
12. 43
【解析】连接 OM．
由题意知 OC=BC=2，AB⊥MN，
∴ MO=MB=MO=4．
∴ △OMB 是等边三角形．
∴ MC=23．
∴ MN=43．
13. 75
【解析】如图所示，连接 OA，OB，OC，OD．
∵ OA=OB=OC=OD=1，AB=2，CD=1，
∴ OA2+OB2=AB2，
∴ △AOB 是等腰直角三角形，
△COD 是等边三角形，
∴ ∠OAB=∠OBA=45∘，∠ODC=∠OCD=60∘．
∵ ∠CDB=∠CAB，∠ODB=∠OBD，
∴
α=180∘−∠CAB−∠OBA−∠OBD=180∘−∠OBA−∠CDB+∠ODB=180∘−45∘−60∘=75∘.
14. 22−2
【解析】设内切圆半径为 r，易知 2r+r=2，解得 r=32+1=22−2．
15. ②③④
【解析】由图象可得 a<0，b>0，c>0，故 abc<0，故①错误．当 x=−1 时，y=a−b+c<0，故②正确．
∵ 函数的对称轴是直线 x=1，
∴b=−2a．
∴2a+b−c=−b+b−c=−c<0，故③正确．
∵ 函数图象与 x 轴的左交点满足 −1 ∴ 函数图象与 x 轴的右交点满足 2 ∴ 当 x=2 时，y=4a+2b+c>0．故④正确．
∵ 此函数图象有最大值，−23,y1，73,y2 在对称轴两侧，且 −23,y1 离对称轴较远，
∴y116. 90，23+2
【解析】如图所示，取 AC 的中点 O，连接 AD，DG，BO，OM．
∵△ABC，△EFG 均是边长为 4 的等边三角形，点 D 是边 BC，EF 的中点，
∴AD⊥BC，GD⊥EF，DA=DG，DC=DF．
∴∠ADG=90∘−∠CDG=∠FDC，DADC=DGDF．
∴△DAG∽△DCF．
∴∠DAG=∠DCF．
∴A，D，C，M 四点共圆．
∴∠AMC=∠ADC=90∘．
根据两点之间线段最短可得 BO+OM≥BM，当点 M 在线段 BO 延长线与该圆的交点处时，线段 BM 最长，此时 BO=BC2−BO2=23，OM=12AC=2，
∴BM 的最大值为 23+2．
第三部分
17. ∵AC=ABsinB=6，BC=102−62=8，
∴S△ABC=12AB⋅BC=12×6×8=24．
18. 令 y=0，则有 x2−x−2=0，解得 A，B 两点的坐标分别为 2,0 和 −1,0．
∴ AB=3．
19. （1） 12．
（2） 列表：
12345611,11,21,31,41,51,622,12,22,32,42,52,633,13,23,33,43,53,644,14,24,34,44,54,655,15,25,35,45,55,666,16,26,36,46,56,6∵
一共有 36 种可能的结果，其中小明和小丽获胜的结果各有 9 种，
∴ P小明胜=936=14，P小丽胜=936=14．
∴ 游戏公平．
20. （1） y=300x−200x,0≤x≤10,且x为整数300−3x−10−200x,10 （2） 当 0≤x≤10 时，y=100x，
当 x=10 时，y 有最大值 1000；
当 10当 x=2123 时，y 有最大值．
又 ∵x 为整数，
∴ 当 x=22 时，y 有最大值 1408．
∴1408>1000，
∴ 顾客一次性购买 22 件时，该网站获利最多．
21. 过点 B 作 BE⊥CD 交 CD 延长线于点 E．
∵ ∠CAN=45∘，∠MAN=30∘，
∴ ∠CAB=15∘．
∵ ∠CBD=60∘，∠DBE=30∘，
∴ ∠CBD=30∘．
∵ ∠CBE=∠CAB+∠ACB，
∴ ∠CAB=∠ACB=15∘．
∴ AB=BC=20．
在 Rt△BCE 中，∠CBE=60∘，BC=20 m，
∴ CE=BCsin∠CBE=20×32=103 m，BE=BCcs∠CBE=20×12=10 m．
在 Rt△DBE 中，∠DBE=30∘，BE=10 m，
∴ DE=BEtan∠DBE=10×33=1033 m．
∴ CD=CE−DE=103−1033=2033 m．
22. （1） 设 △ACD 的内切圆 ⊙E 与边 AC 相切于点 I．
∵△ACD 的内切圆 ⊙E 与边 BC 相切于点 G，
∴CI=CG．同理可得 AI=AF．
∵CA=CB，CI=CG．
∴AI=BG．
又 ∵AI=AF．
∴AF=BG．
（2） EH=12AB．理由如下：连接 CE．
∵E 是 △ACD 的内切圆的圆心，
∴CE 平分 ∠ACB，即 ∠ACE=∠BCE，在 △ACE 和 △BCE 中，
∵CA=BC,∠ACE=∠BCE,CE=CE.
∴△ACE≌△BCE．
∴∠AEC=∠BEC，
AE=BE．
∵E 是 △ACD 的内切圆的圆心，∠ADC=90∘．
∵∠AEC=90∘+12∠ADC=135∘．
∴∠AEB=90∘，
又 ∵AE=BE，
∴△ABE 是等腰直角三角形．
∵EH⊥AB 于点 H，
∴EH=12AB．
（3） 由题意得 CH=12，AB=10，根据 S△ABC=S△CAE+S△CBE+S△ABE，可得内切圆半径 r=3513．
23. （1） 结论仍成立．证明如下：
根据三角形外角的性质，有 ∠ABE=∠ABC+∠CBE=∠A+∠ADB．
∵ ∠ABC=∠ADB=∠BEC=α，
∴ ∠A=∠CBE．
又 ∵ ∠ADB=∠BEC，
∴ △ADB∽△BEC．
（2） ①设 BE=x，则 CE=6−x．
∵ ∠B=∠AEG=∠C=60∘，
∴ 结合（1）可得 △ABE∽△ECG．
∴ CGBE=CEAB，
∴ CGx=6−xx，
∴ CG=−16x−32+32．
∴ 当 x=3 时，CG 最长为 32，AG 最短为 6−32=92．
②不能．理由如下：
∵ ∠AEG=60∘，
∴ 若重叠部分是等腰三角形，则也是等边三角形．
∴ AE=EG．
∴ △ABE≌△ECG．
∴ AB=EC．
∴ 点 E 与点 B 重合，与题设矛盾．
∴ 重叠部分不能为等腰三角形．
24. （1） y=23x2−323x．
（2） 点 Q 的坐标为 323,32 或 −3,4．
（3） 由题意可得 ∠CBO=∠DBA，∠COB=∠DAB=30∘．
所以 △BCO∽△BDA．
所以 BCBD=BOBA=12．
所以 AD=2CO．
①当点 D 在 x 轴正半轴时，m，n 之间的数量关系为 2m+n=3；
当点 D 在 x 轴负半轴时，m，n 之间的数量关系为 2m−n=3．
②因为 △BCO∽△BDA，
所以 BCBD=BOBA．
又因为 ∠CBD=∠OBA=60∘，
所以 △BCD∽△BOA．
所以 ∠BCD=∠BOA=90∘．
所以 △BCD 的外接圆是以 BD 为直径的，当外接圆与 x 轴相切时，BD⊥x 轴，此时点 D 与 O 重合，
所以 m=32．