2019年山东济南槐荫区八年级下学期北师版数学期末考试试卷

这是一份2019年山东济南槐荫区八年级下学期北师版数学期末考试试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 下列方程中，是一元二次方程的是
A. x2+2x−4=0B. 6x2+2=6x2−x
C. −3x+2=0D. x2+2xy−3y2=0

2. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 AB 延长线上的一点，若 ∠A=60∘，则 ∠1 的度数为
A. 120∘B. 60∘C. 45∘D. 30∘

3. 如图所示的几何体的俯视图是
A. B.
C. D.

4. 已知 ba=513，则 a−ba+b 的值是
A. 23B. 32C. 94D. 49

5. 一元二次方程 x2−x−2=0 的解是
A. x1=1，x2=2B. x1=1，x2=−2
C. x1=−1，x2=−2D. x1=−1，x2=2

6. 如图，平行四边形 ABCD 中，AD=10，AB=8，P 为 BC 上的任意一点，E，F，G，H 分别为 AB，AP，DP，DC 的中点，则 EF+GH 的长是
A. 10B. 8C. 5D. 4

7. 如图，下列条件不能判定 △ABC 与 △ADE 相似的是
A. AEAD=ACABB. ∠B=∠ADEC. AEAC=DEBCD. ∠C=∠AED

8. 某旅游景点三月份共接待游客 25 万人次，五月份共接待游客 64 万人次，设每月的平均增长率为 x，则可列方程为
A. 251+x2=64B. 251﹣x2=64
C. 641+x2=25D. 641﹣x2=25

9. 如图，菱形 ABCD 和菱形 ECGF 的边长分别为 2 和 3，∠A=120∘，则图中阴影部分的面积是
A. 3B. 2C. 3D. 2

10. 如图，在边长为 2 的正方形 ABCD 中，M 为边 AD 的中点，延长 MD 至点 E，使 ME=MC，以 DE 为边作正方形 DEFG，点 G 在边 CD 上，则 DG 的长为
A. 3−1B. 3−5C. 5+1D. 5−1

11. 如图，在斜边长为 1 的等腰直角三角形 OAB 中，作内接正方形 A1B1C1D1；在等腰直角三角形 OA1B1 中，作内接正方形 A2B2C2D2; 在等腰直角三角形 OA2B2 中，作内接正方形 A3B3C3D3；⋯；依次作下去，则第 n 个正方形 AnBnCnDn 的边长是
A. 13n−1B. 13nC. 13n+1D. 13n+2

12. 在矩形 ABCD 中，AB=1，AD=3，AF 平分 ∠DAB，过 C 点作 CE⊥BD 于 E，延长 AF，EC 交于点 H，下列结论中：① AF=FH；② BO=BF；③ CA=CH；④ BE=3ED．正确的是
A. ②③B. ③④C. ①②④D. ②③④

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 若一个多边形的内角和为 1080∘，则这个多边形是 边形．

14. 如图，把一个长方形纸片沿 EF 折叠后，点 D，C 分别落在 Dʹ，Cʹ 的位置．若 ∠EFB=65∘，则 ∠ 等于 50∘．

15. 已知关于 x 的方程 x2−2x+m=0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 ．

16. 如图，在平行四边形 ABCD 上，E 为 AD 的中点，△DEF 的面积为 1，则 △BCF 的面积为 ．

17. 如图，在边长为 2 cm 的正方形 ABCD 中，点 Q 为 BC 边的中点，点 P 为对角线 AC 上一动点，连接 PB，PQ，则 △PBQ 周长的最小值为 cm （结果不取近似值）．

18. 如图，在菱形 ABCD 和菱形 BEFG 中，点 A，B，E 在同一直线上，P 是线段 DF 的中点，连接 PG，PC．若 ∠ABC=∠BEF=60∘，则 PGCG 的值为 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
19. （1）解方程：x+12=5．
（2）解方程：2x2+3=7x．

20. （1）如图 1，在矩形 ABCD 中，∠BOC=120∘，AB=5，求 BD 的长．
（2）如图 2，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，长度分别是 8 和 6，求菱形的周长．

21. 如图，四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，已知 O 是 AC 的中点，AE=CF，DF∥BE．
求证：四边形 ABCD 是平行四边形．

22. 某学习小组由 3 名男生和 1 名女生组成，在一次合作学习后，开始进行成果展示．
（1）如果随机选取 1 名同学单独展示，那么女生展示的概率为 ；
（2）如果随机选取 2 名同学共同展示，求同为男生展示的概率．

23. 已知：如图，AB 和 DE 是直立在地面上的两根立柱，AB=5 m，某一时刻，AB 在阳光下的投影 BC=4 m．
（1）请你在图中画出此时 DE 在阳光下的投影；
（2）在测量 AB 的投影长时，同时测出 DE 在阳光下的投影长为 6 m，请你计算 DE 的长．

24. 某商店准备进一批季节性小家电，单价 40 元，经市场预测，销售定价为 52 元时，可售出 180 个，定价每增加 1 元，销售量减少 10 个．因受库存影响，每批次进货个数不得超过 180 个．商店若准备获利 2000 元，则应进货多少个?定价多少元?

25. 如图，正方形 ABCD 中，M 为 BC 上一点，F 是 AM 的中点，EF⊥AM，垂足为 F，交 AD 的延长线于点 E，交 DC 于点 N．
（1）求证：△ABM∽△EFA．
（2）若 AB=12，BM=5，求 DE 的长．

26. 如图，已知矩形 ABCD，AB=3，BC=3，在 BC 上取两点 E，F（E 在 F 左边），以 EF 为边作等边三角形 PEF，使顶点 P 在 AD 上，PE，PF 分别交 AC 于点 G，H．
（1）求 △PEF 的边长；
（2）在不添加辅助线的情况下，当 F 与 C 不重合时，从图中找出一对相似三角形，并说明理由；
（3）求证：PH−BE=1．

27. 如图 1，在正方形 ABCD 中，P 是对角线 BD 上的一点，点 E 在 AD 的延长线上，且 PA=PE，PE 交 CD 于 F．
（1）证明：PC=PE；
（2）求 ∠CPE 的度数；
（3）如图 2，把正方形 ABCD 改为菱形 ABCD，其他条件不变，当 ∠ABC=120∘ 时，连接 CE，试探究线段 AP 与线段 CE 的数量关系，并说明理由．
答案
第一部分
1. A
2. B
3. B
4. D【解析】可以用代入消元法，也可以用特殊值法求解．因为 ba=513，所以不妨设 a 为 13，b 为 5，则 a−ba+b=13−513+5=818=49．
5. D
6. C
7. C
8. A
9. A【解析】如图，设 BF，CE 相交于点 M，
∵ 菱形 ABCD 和菱形 ECGF 的边长分别为 2 和 3，
∴△BCM∽△BGF，
∴CMGF=BCBG，
即 CM3=22+3，
解得 CM=1.2，
∴DM=2−1.2=0.8，
∵∠A=120∘，
∴∠ABC=180∘−120∘=60∘，
∴ 菱形 ABCD 边 CD 上的高为 2sin60∘=2×32=3，
菱形 ECGF 边 CE 上的高为 3sin60∘=3×32=332，
∴ 阴影部分面积 =S△BDM+S△DFM=12×0.8×3+12×0.8×332=3．
10. D
11. B【解析】过 O 作 OM⊥AB，交 AB 于点 M，交 A1B1 于点 N，如图所示：
∵A1B1∥AB，
∴ON⊥A1B1，
∵△OAB 为斜边为 1 的等腰直角三角形，
∴OM=12AB=12，
又 ∵△OA1B1 为等腰直角三角形，
∴ON=12A1B1=12MN，
∴ON:OM=1:3，
∴ 第 1 个正方形的边长 A1C1=MN=23OM=23×12=13，
同理第 2 个正方形的边长 A2C2=23ON=23×16=132，
则第 n 个正方形 AnBnDnCn 的边长 13n．
12. D【解析】∵AB=1，AD=3，
∴BD=AC=2，OB=OA=OD=OC=1．
∴OB=OA=OD=OC=AB=CD=1，
∴△OAB，△OCD 为等边三角形．
∵AF 平分 ∠DAB，
∴∠FAB=45∘，即 △ABF 是一个等腰直角三角形．
∴BF=AB=1，BF=BO=1．
∴∠FAB=45∘，
∴∠CAH=45∘−30∘=15∘．
∵∠ACE=30∘（正三角形上的高的性质）
∴∠AHC=15∘，
∴CA=CH，
由正三角形上的高的性质可知：DE=OD÷2，OD=OB，
∴BE=3ED．
第二部分
13. 8
14. AEDʹ 或 CʹFB
15. m<1
16. 4
17. 5+1
【解析】连接 DQ，交 AC 于点 P，连接 PB，BD，BD 交 AC 于点 O．
因为四边形 ABCD 是正方形，
所以 AC⊥BD，BO=OD，CD=2 cm，
所以点 B 与点 D 关于 AC 对称，
所以 BP=DP，
所以 BP+PQ=DP+PQ．
当 D，P，Q 三点共线时，BP+PQ 最小，此时 △PBQ 的周长最小，此时 BP+PQ=DQ．
在 Rt△CDQ 中，DQ=CD2+CQ2=22+12=5 cm
所以 △PBQ 的周长的最小值为：BP+PQ+BQ=DQ+BQ=5+1cm．
18. 32
【解析】如图，延长 GP 交 DC 于点 H，
∵ P 是线段 DF 的中点，
∴ FP=DP，
由题意可知 DC∥GF，
∴ ∠GFP=∠HDP，
在 △GFP 和 △HDP 中，
∠GPF=∠HPD,PF=DP,∠GFP=∠HDP,
∴ △GFP≌△HDP ASA，
∴ GP=HP，GF=HD，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴ CD=CB，
∴ CG=CH，
∴ △CHG 是等腰三角形，
∴ PG⊥PC，（三线合一）
又 ∵ ∠ABC=∠BEF=60∘，
∴ ∠GCP=60∘，
∴ PGCG=sin60∘=32．
第三部分
19. （1）
x+12=5,
x+1=±5,
x1=−1+5, x2=−1−5.
（2）
2x2+3=7x,
2x2−7x+3=0,
2x−1x−3=0,
2x−1=0, x−3=0,
x1=12, x2=3
．
20. （1） ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AC=BD，OB=OC，
∵∠BOC=120∘，
∴∠BCA=30∘，
∵ 在 Rt△ABC 中，AB=5，
∴AC=2AB=10，
∴BD=AC=10．
（2） ∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴OA=12AC=12×8=4，OB=12BD=12×6=3，AC⊥BD，
∴AB=OA2+OB2=5，
∴ 菱形的周长为 20．
21. ∵ 点 O 是 AC 中点，
∴ OA=OC，
∵ AE=CF，
∴ OE=OF，
∵ DF∥BE，
∴ ∠OEB=∠OFD，
在 △BOE 和 △DOF 中，∠OEB=∠OFD,OE=OF,∠BOE=DOF,
∴ △BOE≌△DOFASA ，
∴ OD=OB，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形．
22. （1） 如果随机抽取 1 名同学单独展示，那么女生展示的概率为 P女生展示=13+1=14．
（2） 列表如下：
男男男女男−−男,男男,男女,男男男,男−−男,男女,男男男,男男,男−−女,男女男,女男,女男,女−−
所有等可能的情况有 12 种，其中同为男生的情况有 6 种，则 P同为男生=12．
23. （1） 作法：连接 AC，过点 D 作 DF∥AC，交直线 BE 于 F，则 EF 就是 DE 在阳光下的投影．
（2） ∵ 太阳光线是平行的，
∴ AC∥DF．
∴ ∠ACB=∠DFE．
又 ∵ ∠ABC=∠DEF=90∘，
∴ △ABC∽△DEF．
∴ ABDE=BCEF，
∵ AB=5 m，BC=4 m，EF=6 m，
∴ 5DE=46，
∴ DE=7.5m．
24. 设每个小家电的增加是 x 元，
由题意，得
52+x−40180−10x=2000.
解得
x1=8,x2=−2.∵180−10x≤180
，
∴x≥0，
∴x=8，则 180−10x=100（个），52+8=60（元），
答：商店若准备获利 2000 元，则应进货 100 个，定价 60 元．
25. （1） 因为四边形 ABCD 是正方形，
所以 AB=AD，∠B=90∘，AD∥BC .
所以 ∠AMB=∠EAF .
又 EF⊥AM，
所以 ∠AFE=90∘ .
所以 ∠B=∠AFE .
所以 △ABM∽△EFA．
（2） 因为 ∠B=90∘，AB=12，BM=5，
所以 AM=122+52=13，AD=12 .
因为 F 是 AM 的中点，
所以 AF=12AM=6.5 .
因为 △ABM∽△EFA，
所以 BMAF=AMAE，
即 56.5=13AE .
所以 AE=16.9 .
所以 DE=AE−AD=4.9．
26. （1） 过 P 作 PQ⊥BC 于 Q，如图所示．
∵ 矩形 ABCD 中，∠B=90∘，即 AB⊥BC，
又 ∵AD∥BC，
∴PQ=AB=3，
∵△PEF 是等边三角形，
∴∠PFQ=60∘．
在 Rt△PQF 中，PF=PQsin60∘=332=2，
∴△PEF 的边长为 2；
（2） △APH∽△CFH．
理由：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∵∠3=∠4，
∴△APH∽△CFH；
（3） 在 Rt△ABC 中，AB=3，BC=3，
∴AC=AB2+BC2=23，
∴∠ACB=30∘，
∵△PEF 是等边三角形，
∴∠2=60∘，PF=EF=2，
∵∠2=∠1+∠3，
∴∠3=30∘，
∴∠1=∠3，
∴FC=FH，
∵PH+FH=2，BE+FC=3−EF=3−2=1，
∴PH−BE=1．
27. （1） 在正方形 ABCD 中，AB=BC，
∠ABP=∠CBP=45∘，
在 △ABP 和 △CBP 中，
AB=BC,∠ABP=∠CBP,PB=PB,
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，
∵PA=PE，
∴PC=PE．
（2） 由（1）知，△ABP≌△CBP，
∴∠BAP=∠BCP，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠E，
∴∠DCP=∠E，
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180∘−∠PFC−∠PCF=180∘−∠DFE−∠E，即 ∠CPF=∠EDF=90∘．
（3） 在菱形 ABCD 中，AB=BC，∠ABP=∠CBP=60∘，
在 △ABP 和 △CBP 中，
AB=BC,∠ABP=∠CBP,PB=PB,
∴△ABP≌△CBP（SAS），
∴PA=PC，∠BAP=∠BCP，
∵PA=PE，
∴PC=PE，
∴∠DAP=∠DCP，
∵PA=PE，
∴∠DAP=∠DEP，
∴∠DCP=∠DEP，
∵∠CFP=∠EFD（对顶角相等），
∴180∘−∠PFC−∠PCF=180∘−∠DFE−∠E，即 ∠CPF=∠EDF=180∘−∠ADC=180∘−120∘=60∘，
∴△EPC 是等边三角形，
∴PC=CE，
∴AP=CE．