2019年浙江宁波余姚市九年级上学期浙教版数学期末考试试卷

这是一份2019年浙江宁波余姚市九年级上学期浙教版数学期末考试试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. “a 是实数，a≥0”这一事件是
A. 必然事件B. 不确定事件C. 不可能事件D. 随机事件

2. 已知两数 a=3，b=27，则它们的比例中项为
A. 9B. −9C. ±9D. 81

3. 已知 sinA=23，且 ∠A 为锐角，则 tanA 等于
A. 5B. 52C. 255D. 32

4. 如果 ∠A 为锐角，sinA=15，那么
A. 0∘<∠A<30∘B. 30∘<∠A<45∘
C. 45∘<∠A<60∘D. 60∘<∠A<90∘

5. 如图所示，△ABC 和 △A1B1C1 是以点 O 为位似中心的位似三角形，若 C1 为 OC 的中点，AB=4，则 A1B1 的长为
A. 1B. 2C. 4D. 8

6. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=10，AC=6，以 C 为圆心作 ⊙C 和 AB 相切，则 ⊙C 的半径长为
A. 8B. 4C. 9.6D. 4.8

7. 已知点 P 是半径为 5 的 ⊙O 内的一点，且 OP=3，则 ⊙O 所有过点 P 的弦中，最短的弦长等于
A. 4B. 6C. 8D. 10

8. 已知二次函数 y=ax2+bx+ca≠0 图象如图所示，则下列结论中，正确的是
A. a>0
B. 3 是方程 ax2+bx+c=0 的一个根
C. a+b+c=0
D. 当 x<1 时，y 随 x 的增大而减小

9. 如图所示，在 △ABC 中，点 P 在边 AB 上，给出下列条件：① ∠ACP=∠B；② ∠APC=∠ACB；③ AC2=AP⋅AB；
④ AB⋅CP=AP⋅CB．其中能满足 △APC 和 △ACB 相似的条件是
A. ①②④B. ①③④C. ②③④D. ①②③

10. 如图所示，将 △ABC 放在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A，B，C 均落在格点上，用一个圆面去覆盖 △ABC，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是
A. 5B. 6C. 2D. 52

11. 如图所示，点 A 的坐标为 −3,−2，⊙A 的半径为 1，P 为 x 轴上一动点，PQ 切 ⊙A 于点 Q，则当 PQ 最小时，点 P 的坐标为
A. −4,0B. −2,0
C. −4,0 或 −2,0D. −3,0

12. 已知二次函数 y=ax2+bx+c 的自变量 x 与函数值 y 之间满足下列数量关系：
那么，a−b+c−b+b2−4ac2a+−b−b2−4ac2a 的值为
A. 20B. 8C. 24D. 4

二、填空题（共6小题；共30分）
13. “服务社会，提升自我．”某学校积极开展志愿者服务活动，来自九年级的 5 名同学（三男两女）成立了“交通秩序维护”小分队，若从该小分队中任选两名同学进行交通秩序维护任务，则恰是一男一女的概率为 ．

14. 二次函数 y=12x+22−1 向左、向下各平移 2 个单位，所得的函数表达式为 ．

15. 已知 ⊙O 的面积为 2π，则其内接正六边形的面积为 ．

16. 如图所示，△ABC 内接于 ⊙O，若 ⊙O 的半径为 4，∠A=60∘，则 BC 的长为 ．

17. 如图所示，△DEF 的边长分别为 1，3，2，正六边形网格由 24 个边长为 2 的正三角形组成．选择格点为顶点画 △ABC，使得 △ABC∽△DEF，如果相似比 ABDE=k，那么 k 的值可以是 ．

18. 如图所示，⊙A 与 x 轴相切于点 O，点 A 的坐标为 0,1，点 P 在 ⊙A 上，且在第一象限，∠PAO=60∘，⊙A 沿 x 轴正方向滚动，当点 P 在第 n 次落在 x 轴上时，点 P 的横坐标为 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
19. （1）计算：∣−3∣−3tan30∘+sin45∘cs45∘．
（2）已知 xy=23，求 2x−yx+2y 的值．

20. 如图所示，秋千链子 AB 的长度为 3 m．静止时秋千踏板（厚度忽略不计）距地面 DE 0.5 m．秋千向两边摆动时，若最大摆角（摆角指秋千链子与铅垂线的夹角）约为 53∘，求秋千踏板与地面的最大距离．（sin53∘≈0.80，cs53∘≈0.60）

21. 如图所示，A 是半径为 2 的 ⊙O 外一点，OA=4，AB 是 ⊙O 的切线，点 B 是切点，弦 BC∥OA，连接 AC，求图中阴影部分的面积．

22. 有三张正面分别标有数字 −1，1，2 的卡片，它们除数字不同外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从中抽出一张记下数字，放回洗匀后再从中随机抽出一张记下数字．
（1）请用列表或画树状图的方法，表示两次抽出卡片上的数字的所有结果．
（2）将第一次抽出的数字作为点的横坐标 x，第二次抽出的数字作为点的纵坐标 y，求点 x,y 落在抛物线 y=x2+1 上的概率．

23. 如图甲所示，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB，BC，AC 的长分别是 c，a，b，根据“切线长定理”，易证得 △ABC 的内切圆半径 r=a+b−c2，当 ⊙O 符合下列条件时，求半径 r．
（1）如图乙所示，圆心 O 在直角三角形外，且 ⊙O 与三角形三边均相切．
（2）如图丙所示，圆心 O 在直角三角形的斜边上，且 ⊙O 与其中一条直角边相切．

24. 某工艺厂设计了一款成本为 10 元/件的工艺品投放市场进行试销．经过市场调查，得到如下数据：
销售单价x元/件⋯2030405060⋯每天销售量y件⋯500400300200100⋯
（1）把上表中 x，y 的各组值作为点的坐标，在给出的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想 y 与 x 的函数关系，并求出函数表达式及自变量 x 的取值范围．
（2）如果市场物价部门规定，该工艺品的销售单价最高不能超过 35 元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该产品每天获得的利润最大?最大利润是多少?

25. 阅读下面的材料：
小明观察一个由 1×1 正方形点阵组成的点阵图．图中水平方向与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是 1．他发现了一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．
请解答下列问题：
（1）如图甲所示，A，B，C 是点阵中的三个点，请在点阵中找到点 D，连接线段 CD，使得 CD⊥AB．
（2）如图乙所示，线段 AB 与 CD 交于点 O．为了求出 ∠AOD 的正切值，小明在点阵中找到了点 E，连接 AE，恰好满足 AE⊥CD 于点 F，再作出点阵中的其他线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决．请你帮小明写出计算 OC 和 tan∠AOD 的过程．
（3）如图丙所示，计算：tan∠AOD= （直接写出计算结果）．

26. 如图甲所示，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=−x2−m−1x+m2−6 交 x 轴于点 A，D，交 y 轴正半轴于点 B0,3，顶点 C 位于第二象限，连接 AB，AC，BC，BD．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）点 E 是 y 轴正半轴上一点，且在 B 点上方，若 ∠ECB=∠CAB，求证：CE 是 △ABC 外接圆的切线．
（3）试探究坐标轴上是否存在一点 P，使以 B，D，P 为顶点的三角形与 △ABC 相似．若存在，请求出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）图乙中，设与 △AOB 重合的 △EFG 从 △AOB 的位置出发，沿 x 轴负方向平移 t 个单位长度 0答案
第一部分
1. A
2. C
3. C
4. A
5. B
【解析】因为 C1 是 OC 的中点，
所以 △ABC 和 △A1B1C1 的相似比为 2:1．
因为 AB=4，
所以 A1B1=2．
6. D
7. C【解析】当此弦与 OP 垂直时，此弦最短，
由垂径定理及勾股定理可得此弦的长度为 2×52−32=8．
8. B
9. D
10. A
【解析】由题意得此圆是 △ABC 的外接圆．
外接圆圆心是 △ABC 三条中垂线的交点，
故根据作图易知 r=12+22=5．
11. D【解析】连接 AQ，AP．根据切线的性质定理，得 AQ⊥PQ，要使 PQ 最短，只需 AP 最短，根据垂线段最短，可得 AP⊥x 轴时，AP 最短，此时 P 的坐标为 −3,0．
12. B【解析】根据表格内容可知抛物线的对称轴是直线 x=1，
当 x=−1 时，a−b+c=4．
∴ 原式=4×2×1=8．
第二部分
13. 35
14. y=12x+42−3
15. 33
【解析】因为圆的而积是 2π，
所以圆的半径为 2，
所以圆内接正六边形的边长也是 2，
所以该正六边形的面积为 34×22×6=33．
16. 43
【解析】连接 OB，OC，过点 O 作 OD⊥BC，垂足为 D．
∵ ∠BAC=60∘，
∴ ∠BOC=120∘．
∵ OD⊥BC，OB=OC=4．
∴ ∠BOD=∠COD=60∘，BD=23，
∴ BC=2BD=43．
17. 2；23；4
【解析】∵△DEF 的三边分别为 1，3，2，
∴∠E=90∘，∠F=30∘，∠D=60∘．
∵△ABC 的顶点为格点，
根据等边三角形的性质可得 AB=2，23，4，
∴k=2，23，4．
18. 6n−53π
【解析】根据弧长公式易知 OP 的长为 13π，圆的周长是 2π．
当点 P 第一次落在 x 轴上时，点 P 的横坐标为 13π；
当点 P 第二次落在 x 轴上时，点 P 的横坐标为 2π+13π=73π⋯⋯
当点 P 第 n 次落在 x 轴上时，点 P 的横坐标为 2n−1π+13π=6n−53π．
第三部分
19. （1） 原式=3−3×33+22×22=12.
（2） 设 x=2k，y=3k，则 2x−yx+2y=4k−3k2k+6k=18．
20. 作 BF⊥DE，垂足为 F；作 BG⊥AD，垂足为 G．
设秋千链子的最低点为 H．
因为 AB=3 m，∠HAB=53∘，
所以 AG=ABcs53∘≈3×0.6=1.8 m．
因为 AH=AB=3 m，
所以 GH=3−1.8=1.2 m．
因为 HD=0.5 m，
所以 BF=GD=1.2+0.5=1.7 m，
即秋千踏板与地面的最大距离为 1.7 m．
21. 如图所示，过点 O 作 OD⊥BC，垂足为 D，连接 OC，OB，
由题意知 OC=OB=2，OA=4．
∵ AB 是切线，B 是切点，
∴ ∠OBA=90∘．
∴ ∠BOA=60∘．
∴ AB=23．
∵ BC∥OA，
∴ ∠OBC=60∘．
∴ △OBC 是等边三角形．
∴ ∠BOC=60∘，OD=3．
∴S阴影=S扇形BOC+S△AOB−S△AOC=π×22×60∘360∘+12×2×23−12×4×3=23π.
22. （1） 列表或树状图略，共有 9 种结果．
（2） 一共可以组成 9 个不同的坐标：−1,−1，−1,1，−1,2，1,−1，1,1，1,2，2,−1，2,1，2,2，其中在抛物线 y=x2+1 上的坐标有 2 个：−1,2，1,2，
所以 P=29．
23. （1） 作 OD⊥AC 的延长线，垂足为 D；作 OE⊥AB 的延长线，垂足为 E；作 OF⊥BC，垂足为 F，则 OD=OE=OF=CF=CD=r．
因为 AC=b，
所以 AD=AC+CD=b+r．
因为 BC=a，
所以 BF=BC−CF=a−r．
所以由切线长定理可知 BE=a−r，AE=AD=a−r+c=b+r．
所以 r=a+c−b2．
（2） 作 OD⊥AC，垂足为 D；作 OG⊥BC，垂足为 G，则 OB=OD=CG=r．
因为 BC=a，
所以 BG=a−r．
在 Rt△BGO 中，由勾股定理得 OG=OB2−BG2=r2−a−r2=−a2+2ar．
因为 ∠BGO=∠C=90∘，∠B=∠B，
所以 △BGO∽△BCA．
所以 OGAC=OBAB．
将 OB=r，OG=−a2+2ar，AB=c，AC=b 代入，得 −a2+2arb=rc，整理得 b2r2−2ac2r+a2c2=0，解得 r=ac2+a2cb2 或 r=ac2−a2cb2．
24. （1）
y=−10x+700，0 （2） 设利润为 M，则 M=xy−10y=x−10x+700−10−10x+700=−10x2+800x−7000，0 ∵ M=−10x2+800x−7000 的对称轴是直线 x=40，且 a=−10<0，
∴ 在对轴左边，M 随 x 的增大而增大．
∴ 当 x=35 时，M 有最大值 8750．故当销售单价为 35 元时，工艺厂试销该产品每天获得的利润最大，最大利润为 8750 元．
25. （1） 如图甲所示，线段 CD 即为所求．
（2） 如图乙所示，连接 AC，DB，AD．
∵ AD=DE=2，
∴ AE=22．
∵ CD⊥AE，
∴ DF=AF=2．
∵ AC∥BD，
∴ △ACO∽△DBO．
∴ OC:OD=2:3．
∴ OC=25CD=425．
∴ OD=625．
∴ OF=25．
∴ tan∠AOD=AFOF=5．
（3） 74
【解析】如图丙所示，
由题意知 BF=2，AE=5．
由勾股定理得 AF=5，AB=13．
∵ FB∥AE，
∴ △AOE∼△BOF．
∴ OA:OB=AE:BF=5:2．
∴ OA=57AB=5713．
在 Rt△AOF 中，OF=OA2−OF2=475，
∴ tan∠AOD=AFOF=74．
26. （1） ∵ 抛物线 y=−x2−m−1x+m2−6 交 y 轴正半轴于点 B0,3，
代入得：m2−6=3，
解得：m=−3 或 m=3，
∵ 顶点 C 在第二象限，
则对称轴 x=−m−12<0，
∴m>1，
∴m=3．
∴ 抛物线函数表达式为 y=−x2−2x+3．
（2） y=−x2−2x+3=−x+3x−1，交点 A−3,0，顶点 C−1,4，点 B0,3，点 D1,0．
∴AC=25，BC=2，AB=32，
∴AC2=BC2+AB2，
∴∠ABC=90∘，AC 是 △ABC 外接圆的直径．
∵∠ECB=∠CAB，∠CAB+∠ACB=90∘，
∴∠ECB+∠ACB=90∘，
∴∠ACE=90∘，
∴AC⊥CE．
∴CE 是 △ABC 外接圆的切线．
（3） 如图甲所示，
若以 D，E，P 为顶点的三角形与 △ABC 相似，
则 △DEP 必为直角三角形．
AC=25，BC=2，AB=32，∠ABC=90∘．
①当 DE 为斜边时，点 P1 在 x 轴上．此时点 P1 与点 O 重合．
由 D1,0，B0,3，得 OD=1，OB=3，
∴OBOD=31=3．
∵ABBC=322=3，
∴OBOD=ABBC．
又 ∵∠DOB=90∘，
∴△BOD∽△ABC．
∴ 点 O 是符合条件的点 P1，坐标为 0,0．
②当 DB 为短直角边时，点 P2 在 x 轴上．
若以点 D，E，P 为顶点的三角形与 △ABC 相似，
则 ∠DBP2=∠ABC=90∘，DBDP2=BCAC=225=1010，而 BD=10，
则 DP2=10，OP2=DP2−OD=9，
∴P2−9,0．
③当 DE 为长直角边时，点 P3 在 y 轴上．
若以 D，E，P 为顶点的三角形与 △ABE 相似，
则 ∠BDP3=∠ACB=90∘，
DBBP3=ABAC=3225=31010，
∴BP3=103，OP3=BP3−OB=13．
∴P30,−13．
综上，得：P10,0，P2−9,0，P30,−13．
（4） 易知 AB 所在直线的函数表达式 y=x+3，AC 所在直线的函数表达式 y=2x+6，
设 EG 所在直线的函数表达式 y=x+3+t，
如图乙所示，
则 EG 与 AC 交点 Ht−3,2t，AE=t，点 G−t,3，
当点 G 在 AC 上时：3=−2t+6，解得：t=1.5．
当 0 S=S等腰梯形AEGM−S△AEH=3×3÷2−3−t×3−t÷2−t×2t÷2=9−t2+6t−9−2t2÷2=−3t2−2t2.