中考数学复习15：统计与概率

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中考数学复习15：统计与概率
知识集结
知识元
数据收集与处理
知识讲解
统计相关的基本概念
1.全面调查：考察全体对象的调查方式叫做全面调查.
2.抽样调查：抽样调查是一种非全面调查，它是从全部调查研究对象中，抽选一部分单位进行调查，并据以对全部调查研究对象作出估计和推断的一种调查方法.显然，抽样调查虽然是非全面调查，但它的目的却在于取得反映总体情况的信息资料，因而，也可起到全面调查的作用.
3.分层调查：像这样将总体单位按其属性特征分成若干类型或不同层次后，再在每个类型或每一层次中随机抽取样本的方法，称为分层抽样调查
4.总体：所有考察对象的全体叫做总体.
5.个体：总体中每一个考察对象叫做个体.
6.样本：从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本.
7.样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量.
8.样本平均数：样本中所有个体的平均数叫做样本平均数.
9.总体平均数：总体中所有个体的平均数叫做总体平均数，在统计中，通常用样本平均数估计总体平均数.
例题精讲
数据收集与处理
例1.
（2019∙朝阳）下列调查中，调查方式最适合普查（全面调查）的是（　）
A．对全国初中学生视力情况的调查
B．对2019年央视春节联欢晚会收视率的调查
C．对一批飞机零部件的合格情况的调查
D．对我市居民节水意识的调查
【答案】C
【解析】
题干解析:
A、对全国初中学生视力情况的调查，适合用抽样调查，A不合题意；
B、对2019年央视春节联欢晚会收视率的调查，适合用抽样调查，B不合题意；
C、对一批飞机零部件的合格情况的调查，适合全面调查，C符合题意；
D、对我市居民节水意识的调查，适合用抽样调查，D不合题意；
例2.
（2019∙抚顺）下列调查中，最适合采用全面调查的是（　）
A．对全国中学生视力和用眼卫生情况的调查
B．对某班学生的身高情况的调查
C．对某鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数的调查
D．对某池塘中现有鱼的数量的调查
【答案】B
【解析】
题干解析:
A、对全国中学生视力和用眼卫生情况的调查，适合抽样调查，故此选项错误；
B、对某班学生的身高情况的调查，适合全面调查，故此选项正确；
C、对某鞋厂生产的鞋底能承受的弯折次数的调查，适合抽样调查，故此选项错误；
D、对某池塘中现有鱼的数量的调查，适合抽样调查，故此选项错误；
例3.
（2019∙辽阳）下列调查适合采用抽样调查的是（　）
A．某公司招聘人员，对应聘人员进行面试
B．调查一批节能灯泡的使用寿命
C．为保证火箭的成功发射，对其零部件进行检查
D．对乘坐某次航班的乘客进行安全检查
【答案】B
【解析】
题干解析:
A、某公司招聘人员，对应聘人员进行面试适合采用全面调查；
B、调查一批节能灯泡的使用寿命适合采用抽样调查；
C、为保证火箭的成功发射，对其零部件进行检查适合采用全面调查；
D、对乘坐某次航班的乘客进行安全检查适合采用全面调查；
例4.
（2019春∙杭州期末）某市有9个区，为了解该市初中生的视力情况，小圆设计了四种调查方案．你认为比较合理的是（　）
A．测试该市某一所中学初中生的视力
B．测试该市某个区所有初中生的视力
C．测试全市所有初中生的视力
D．每区各抽5所初中，测试所抽学校学生的视力
【答案】D
【解析】
题干解析:
某市有9个区，为了解该市初中生的视力情况，小圆设计了四种调查方案．比较合理的是：每区各抽5所初中，测试所抽学校学生的视力，
例5.
（2019∙郴州）下列采用的调查方式中，合适的是（　）
A．为了解东江湖的水质情况，采用抽样调查的方式
B．我市某企业为了解所生产的产品的合格率，采用普查的方式
C．某小型企业给在职员工做工作服前进行尺寸大小的调查，采用抽样调查的方式
D．某市教育部门为了解该市中小学生的视力情况，采用普查的方式
【答案】A
【解析】
题干解析:
A、为了解东江湖的水质情况，采用抽样调查的方式，合适；
B、我市某企业为了解所生产的产品的合格率，因调查范围广，工作量大采用普查的方式不合适；
C、某小型企业给在职员工做工作服前进行尺寸大小的调查，因调查范围小采用抽样调查的方式不合适；
D、某市教育部门为了解该市中小学生的视力情况，因调查范围广，采用普查的方式不合适，
例6.
（2019∙河北）某同学要统计本校图书馆最受学生欢迎的图书种类，以下是排乱的统计步骤：
①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类
②去图书馆收集学生借阅图书的记录
③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比
④整理借阅图书记录并绘制频数分布表
正确统计步骤的顺序是（　）
A．②→③→①→④
B．③→④→①→②
C．①→②→④→③
D．②→④→③→①
【答案】D
【解析】
题干解析:
由题意可得，
正确统计步骤的顺序是：②去图书馆收集学生借阅图书的记录→④整理借阅图书记录并绘制频数分布表→③绘制扇形图来表示各个种类所占的百分比→①从扇形图中分析出最受学生欢迎的种类，
例7.
（2019∙遂宁）某校为了了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，随机对全校100名学生家长进行调查，这一问题中样本是（　）
A．100
B．被抽取的100名学生家长
C．被抽取的100名学生家长的意见
D．全校学生家长的意见
【答案】C
【解析】
题干解析:
某校为了了解家长对“禁止学生带手机进入校园”这一规定的意见，随机对全校100名学生家长进行调查，
这一问题中样本是：被抽取的100名学生家长的意见。
例8.
（2019∙贺州）调查我市一批药品的质量是否符合国家标准．采用______方式更合适．（填“全面调查”或“抽样调查”）
【答案】
抽样调查
【解析】
题干解析:调查我市一批药品的质量是否符合国家标准．采用抽样调查方式更合适，
例9.
（2018∙淮安）某学校为了解学生上学的交通方式，现从全校学生中随机抽取了部分学生进行“我上学的交通方式”问卷调查，规定每人必须并且只能在“乘车”、“步行”、“骑车”和“其他”四项中选择一项，并将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请解答下列问题：
（1）在这次调查中，该学校一共抽样调查了____名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）若该学校共有1500名学生，试估计该学校学生中选择“步行”方式的人数．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）本次调查中，该学校调查的学生人数为20÷40%=50人，故答案为：50；（2）步行的人数为50-（20+10+5）=15人，补全图形如下：（3）估计该学校学生中选择“步行”方式的人数为1500×=450人。
数据分析
知识讲解
众数、中位数、平均数、方差
众数：一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数.
平均数、中位数和众数都是数据的代表，它们刻画了一组数据的“平均水平”.
中位数：一般地，n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数.
平均数：一般地，对于n个数……，，我们把叫做这个数的平均数.
方差:是各个数据与平均数之差的平方的平均数，
统计图表的综合应用
1.扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比，但是不能清楚地表示出每个项目的具体数目以及事物的变化情况；
2.条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目，但是不能清楚地表示出各部分所占百分比以及事物的变化情况；
3.折线统计图：能清楚地反映事物的变化情况，但是不能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比以及每个项目的具体数目；
4.频数分布直方图以及频数分布折线图：能清楚地表示出收集或调查到的数据.

例题精讲
数据分析
例1.
（2019∙云南）某公司销售部有营业员15人，该公司为了调动营业员的积极性，决定实行目标管理，根据目标完成的情况对营业员进行适当的奖励，为了确定一个适当的月销售目标，公司有关部门统计了这15人某月的销售量，如下表所示：

（1）直接写出这15名营业员该月销售量数据的平均数、中位数、众数；
（2）如果想让一半左右的营业员都能达到月销售目标，你认为（1）中的平均数、中位数、众数中，哪个最适合作为月销售目标？请说明理由．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）这15名营业员该月销售量数据的平均数==278（件），中位数为180件，∵90出现了4次，出现的次数最多，∴众数是90件；（2）如果想让一半左右的营业员都能达到销售目标，平均数、中位数、众数中，中位数最适合作为月销售目标；理由如下：因为中位数为180件，月销售量大于和等于180的人数超过一半，所以中位数最适合作为月销售目标，有一半以上的营业员能达到销售目标。
例2.
（2019∙常州）在“慈善一日捐”活动中，为了解某校学生的捐款情况，抽样调查了该校部分学生的捐款数（单位：元），并绘制成下面的统计图．
（1）本次调查的样本容量是____，这组数据的众数为____元；
（2）求这组数据的平均数；
（3）该校共有600名学生参与捐款，请你估计该校学生的捐款总数．

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）本次调查的样本容量是6+11+8+5=30，这组数据的众数为10元；故答案为：30，10；（2）这组数据的平均数为=12（元）；（3）估计该校学生的捐款总数为600×12=7200（元）。
例3.
（2019∙兰州）为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级1班和2班本门课程的期末成绩进行了调查分析．
小佳对八年级1班全班学生（25名）的成绩进行分析，过程如下：
收集、整理数据：
表一

分析数据：
表二

小丽用同样的方法对八年级2班全班学生（25名）的成绩进行分析，数据如下：
表三

根据以上信息，解决下列问题：
（1）已知八年级1班学生的成绩在80≤x<90这一组的数据如下：
85，87，88，80，82，85，83，85，87，85
根据上述数据，将表二补充完整；
（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由．
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）共有25个数据，第13个数落在80≤x<90这一组中，此组最小的数为第13个数，所以八年级1班学生的成绩的中位数为80；故答案为80；（2）八年级1班学生的成绩更为优异。理由如下：八年级1班学生的成绩的平均数比2班高，1班的中位数比2班的中位数大，并且1班的众数为85，比2班的众数大，1班的方差比2班小，比较稳定．
例4.
（2019∙湘潭）随着长株潭一体化进程不断推进，湘潭在交通方面越来越让人期待．将要实施的“两干一轨”项目中的“一轨”，是将长沙市地铁3号线南延至湘潭北站，往返长潭两地又将多“地铁”这一选择．为了解人们选择交通工具的意愿，随机抽取了部分市民进行调查，并根据调查结果绘制如下统计图，关于交通工具选择的人数数据，以下结论正确的是（　）

A．平均数是8
B．众数是11
C．中位数是2
D．极差是10
【答案】A
【解析】
题干解析:
（7+2+13+11+7）÷5=8，即平均数是8，故A事正确的。
出现次数最多的是7，即众数是7，故B不正确，
从小到大排列，第3个数都是7，即中位数是7，故C是不正确的；
极差为13-2=11，故D不正确；
例5.
（2019∙荆州）在一次体检中，甲、乙、丙、丁四位同学的平均身高为1.65米，而甲、乙、丙三位同学的平均身高为1.63米，下列说法一定正确的是（　）
A．四位同学身高的中位数一定是其中一位同学的身高
B．丁同学的身高一定高于其他三位同学的身高
C．丁同学的身高为1.71米
D．四位同学身高的众数一定是1.65
【答案】C
【解析】
题干解析:
A、四位同学身高的中位数可能是某两个同学身高的平均数，故错误；
B、丁同学的身高一定高于其他三位同学的身高，错误；
C、丁同学的身高为1.65×4-1.63×3=1.71米，正确；
D．四位同学身高的众数一定是1.65，错误。
例6.
（2019∙烟台）某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试因此计算其他39人的平均分为90分，方差s2=41．后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是（　）
A．平均分不变，方差变大
B．平均分不变，方差变小
C．平均分和方差都不变
D．平均分和方差都改变
【答案】B
【解析】
题干解析:
∵小亮的成绩和其他39人的平均数相同，都是90分，
∴该班40人的测试成绩的平均分为90分，方差变小，
例7.
（2019∙宜宾）如表记录了两位射击运动员的八次训练成绩：

根据以上数据，设甲、乙的平均数分别为、，甲、乙的方差分别为s甲2，s乙2，则下列结论正确的是（　）
A．=，s甲2 B．=，s甲2>s乙2
C．>，s甲2 D．<，s甲2 【答案】A
【解析】
题干解析:
（1）=（10+7+7+8+8+8+9+7）=8；=（10+5+5+8+9+9+8+10）=8；
s甲2=[（10-8）2+（7-8）2+（7-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（9-8）2+（7-8）2]=1；
s乙2=[（10-8）2+（5-8）2+（5-8）2+（8-8）2+（9-8）2+（9-8）2+（8-8）2+（10-8）2]=，
∴=，s甲2 例8.
（2019春∙莒南县期末）若一组数据x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为17，方差为2，则另一组数据x1+2，x2+2，…，xn+2的平均数和方差分别为（　）
A．17，2
B．18，2
C．17，3
D．18，3
【答案】B
【解析】
题干解析:
∵数据x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为17，
∴x1+2，x2+2，…，xn+2的平均数为18，
∵数据x1+1，x2+1，…，xn+1的方差为2，
∴数据x1+2，x2+2，…，xn+2的方差不变，还是2；
例9.
（2017∙河南）某市5月份连续7天的最高气温如下（单位：℃）：32，30，34，36，36，33，37．这组数据的中位数、众数分别为（　）
A．34℃，36℃
B．34℃，34℃
C．36℃，36℃
D．32℃，37℃
【答案】A
【解析】
题干解析:
把这组数据从小到大排列为30，32，33，34，36，36，37，最中间的数是34，
则中位数是34；
众数是36；

例10.
（2018∙遂宁）已知一组数据：12，10，8，15，6，8．则这组数据的中位数是___．
【答案】
9
【解析】
题干解析:将数据从小到大重新排列为：6、8、8、10、12、15，所以这组数据的中位数为=9，
例11.
（2018∙衡阳）某公司有10名工作人员，他们的月工资情况如表，根据表中信息，该公司工作人员的月工资的众数是_______．

【答案】
0.6万元
【解析】
题干解析:由表可知0.6万元出现次数最多，有4次，所以该公司工作人员的月工资的众数是0.6万元，
例12.
（2018∙泰州）某鞋厂调查了商场一个月内不同尺码男鞋的销量，在平均数、中位数、众数和方差等数个统计量中，该鞋厂最关注的是____．
【答案】
众数
【解析】
题干解析:由于众数是数据中出现最多的数，故鞋厂最感兴趣的销售量最多的鞋号即这组数据的众数．
例13.
（2018∙株洲）睡眠是评价人类健康水平的一项重要指标，充足的睡眠是青少年健康成长的必要条件之一，小强同学通过问卷调查的方式了解到本班三位同学某天的睡眠时间分别为7.8小时，8.6小时，8.8小时，则这三位同学该天的平均睡眠时间是_______．
【答案】
8.4小时
【解析】
题干解析:根据题意得：（7.8+8.6+8.8）÷3=8.4小时，则这三位同学该天的平均睡眠时间是8.4小时，
概率
知识讲解
随机事件与概率
1.确定性事件包括：
（1）必然事件：在一定的条件，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；
（2）不可能事件：有的事件必然都不会发生，这样的事件称为不可能的事件．
（3）确定事件概率：当A是必然事件时，P（A）=1；当A是不可能事件时，P（A）=0.
2.随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．
（1）随机事件发生的可能性：一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同．对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小．要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样．所谓判断事件可能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题．
（2）随机事件的概率的意义：一般地，对于一个随机事件A，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P（A）．
（3）随机事件的概率：
3.古典概型
（1）古典概型的定义：
某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结果有有限多个；②在一次试验中，各种结果发生的可能性相等．我们把具有这两个特点的试验称为古典概型．
（2）古典概型的概率的求法：
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=
4.几何概型
概率的大小与面积的大小有关，事件发生的概率等于此事件所有可能结果所组成图形的面积除以所有可能结果组成图形的面积，即如果所有可能发生的区域的面积为S，所求事件A发生的区域面积为S’，那么.
用列举法求随机事件的概率
1.用列举法求随机事件的概率必须具备以下两个条件：
（1）一次试验中，可能出现的结果必须是有限个；
（2）一次试验中，各种结果发生的可能性必须相等。
2.用列表法求概率
列表法计算方法：

A1
A2
A3
......
An
A1
（A1，A1）
（A2，A1）
（A3，A1）
......
（An，A1）
A2
（A1，A2）
（A2，A2）
（A3，A2）
......
（An，A2）
A3
（A1，A3）
（A2，A3）
（A3，A3）
......
（An，A3）
......
......
......
......
......
......
An
（A1，An）
（A2，An）
（A3，An）
......
（An，An）
由表格可知，共有n2种可能情况，再数出满足情况的个数m，则P=。各种情况出现的可能性要做到不重不漏，并且要求各种情况出现的可能性务必相同。
【批注】列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时求概率的问题，并且试验的次数为两次的随机事件，当随机事件的发生的次数大于两次时，列表法就不再适用了；并非所有的问题都是上述完整的表格，因为用列表法解决问题时需要注意题中的已知条件对两步试验的要求，在形如不放回摸球问题中，是不可能两次摸到同一个球的，此时总数也会随之改变.
3.用树状图求概率
树状图计算方法：

由表格可知，共有n2种可能情况，再数出满足情况的个数m，则P=，各种情况出现的可能性要做到不重不漏，并且要求各种情况出现的可能性务必相同.
【批注】树状图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时求概率的问题，与列表法不同的是树状图常常用于试验的次数大于或等于三次的情况（当然次数为两次时同样适用，因此比列表法适用范围更广）.
频率与概率
1.频率的概念：把样本分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，落在不同小组中的数据的个数为该组的频数，各组的频数之和等于这组数据的总数，频数和数据总数的比为频率.
2.概率的定义：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称之为事件A发生的概率，记为P（A）.
【批注】频率是经过试验后得到的实际发生的事件出现的次数与总数的比，关键强调已经发生过；概率是事件尚未发生时事先进行的预测.两者看似没有关系，但是当我们做大量重复的随机试验时，该事件发生的频率呈现出一定的稳定性，围绕概率小范围波动.因此，做完大量重复试验后，可以用一个事件发生的频率估计这个事件发生的概率.
3.频率与概率的区别和联系

频率
概率
区别
试验值或使用时的统计值
理论值
与试验次数的变化有关
与试验次数的变化无关
与试验人、试验时间、试验地点有关
与试验人、试验时间、试验地点无关
联系
当试验次数非常大时，频率会比较接近概率
【批注】（1）试验得出的频率只是概率的近似值；（2）对一个随机事件A，用频率估计的概率P（A）不可能小于0，也不可能大于1；（3）概率是针对大量重复试验而言的，大量试验反映的规律并非在每一次试验中一定存在；（4）用频率估计概率，其做法大多是取多次试验的频率的平均值来估计概率.需要注意的是，大量试验得到的频率是非常接近概率的，但是频率永远不能取代概率，因为二者的含义是不同的.

举例：养鱼塘的王先生为了与客户签订购销合同，需要对自己鱼塘中鱼的总重量进行估计，你知道怎样才能估计出整个鱼塘中鱼的总重量吗？

【提示】先捞出100条，将每条鱼做上记号放入水中，当它们完全混合于鱼群后，再捞出200条，称得重量为m，且带有记号的鱼为n条，估计出鱼塘中鱼的条数后即可计算鱼的重量，该方法即为蒙特卡罗方法.

例题精讲
概率
例1.
（2018∙山西）在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是（　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
题干解析:
画树状图如下：

由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到黄球的有4种结果，
∴两次都摸到黄球的概率为，
例2.
（2018∙台湾）已知甲、乙两袋中各装有若干颗球，其种类与数量如表所示“今阿冯打算从甲袋中抽出一颗球，小潘打算从乙袋中抽出一颗球，若甲袋中每颗球被抽出的机会相等，且乙袋中每颗球被抽出的机会相等，则下列叙述何者正确？（　）

A．阿冯抽出红球的机率比小潘抽出红球的机率大
B．阿冯抽出红球的机率比小潘抽出红球的机率小
C．阿冯抽出黄球的机率比小潘抽出黄球的机率大
D．阿冯抽出黄球的机率比小潘抽出黄球的机率小
【答案】C
【解析】
题干解析:
∵阿冯抽出红球的机率为、抽出黄球的机率为，
小潘抽出红球的机率为=，小潘抽出黄球的机率为=，
∴阿冯抽出红球的机率与小潘抽出红球的机率相等，
阿冯抽出黄球的机率比小潘抽出黄球的机率大，
例3.
（2018∙武汉）一个不透明的袋中有四张完全相同的卡片，把它们分别标上数字1、2、3、4．随机抽取一张卡片，然后放回，再随机抽取一张卡片，则两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率是（　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
题干解析:
画树状图为：

共有16种等可能的结果数，其中两次抽取的卡片上数字之积为偶数的结果数为12，
所以两次抽取的卡片上数字之积为偶数的概率==。
例4.
（2018∙株洲）从-5，-，-，-1，0，2，π这七个数中随机抽取一个数，恰好为负整数的概率为（　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】
题干解析:
-5，-，-，-1，0，2，π这七个数中有两个负整数：-5，-1
所以，随机抽取一个数，恰好为负整数的概率是：
例5.
（2018∙湖州）某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是（　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
题干解析:
将三个小区分别记为A、B、C，
列表如下：

由表可知，共有9种等可能结果，其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有3种，
所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为=，
例6.
（2018∙温州）在一个不透明的袋中装有10个只有颜色不同的球，其中5个红球、3个黄球和2个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为（　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
题干解析:
∵袋子中共有10个小球，其中白球有2个，
∴摸出一个球是白球的概率是=，
例7.
（2018∙威海）一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数字，分别是-2，-1，0，1．卡片除数字不同外其它均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率是（　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
题干解析:
画树状图如下：

由树状图可知共有12种等可能结果，其中抽取的两张卡片上数字之积为负数的结果有4种，
所以抽取的两张卡片上数字之积为负数的概率为=，
例8.
（2018∙巴彦淖尔）如图，△ABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB=13，AC=5，BC=12，阴影部分是△ABC的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（　）

A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
题干解析:
∵AB=13，AC=5，BC=12，
∴AB2=BC2+AC2，
∴△ABC为直角三角形，
∴△ABC的内切圆半径==2，
∴S△ABC=AC∙BC=×12×5=30，
S圆=4π，
∴小鸟落在花圃上的概率==；
例9.
（2018∙聊城）小亮、小莹、大刚三位同学随机地站成一排合影留念，小亮恰好站在中间的概率是（　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
题干解析:
列表如下：
，
共有6种等可能的结果，其中小亮恰好站在中间的占2种，
所以小亮恰好站在中间的概率=。


例10.
（2018∙扬州）有4根细木棒，长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是___．
【答案】

【解析】
题干解析:根据题意，从4根细木棒中任取3根，有2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、4、5，共4种取法，而能搭成一个三角形的有2、3、4；3、4、5；2，4，5，3种；故其概率为：．
例11.
（2018∙岳阳）在-2，1，4，-3，0这5个数字中，任取一个数是负数的概率是___．
【答案】

【解析】
题干解析:任取一个数是负数的概率是：P=，
例12.
（2018∙鞍山）某鱼塘里养了1600条鲤鱼、若干条草鱼和800条罗非鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，若该鱼塘主随机在鱼塘捕捞一条鱼，则捞到鲤鱼的概率约为___．
【答案】

【解析】
题干解析:∵捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，设草鱼的条数为x，可得：；解得：x=2400，∴由题意可得，捞到鲤鱼的概率为，
例13.
（2018∙丹东）已知线段AB的长为10，在线段AB上任取一点P（点P与点A不重合），以AP为边作正方形APQR，则正方形APQR的面积不超过25的概率是___。
【答案】

【解析】
题干解析:∵正方形APQR的面积不超过25，∴其边长AP的长度不超过5，∵线段AB的长为10，∴正方形APQR的面积不超过25的概率是，
例14.
（2018∙盘锦）如图，正六边形内接于⊙O，小明向圆内投掷飞镖一次，则飞镖落在阴影部分的概率是___．

【答案】

【解析】
题干解析:如图所示：连接OA，∵正六边形内接于⊙O，∴△OAB，△OBC都是等边三角形，∴∠AOB=∠OBC=60°，∴OC∥AB，∴S△ABC=S△OBC，∴S阴=S扇形OBC，则飞镖落在阴影部分的概率是；
例15.
（2018∙宜昌）某校创建“环保示范学校”，为了解全校学生参加环保类杜团的意愿，在全校随机抽取了50名学生进行问卷调查，问卷给出了五个社团供学生选择（学生可根据自己的爱好选择一个社团，也可以不选），对选择了社团的学生的问卷情况进行了统计，如表：

（1）填空：在统计表中，这5个数的中位数是____；
（2）根据以上信息，补全扇形图（图1）和条形图（图2）；
（3）该校有1400名学生，根据调查统计情况，请估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团；
（4）若小诗和小雨两名同学在酵素制作社团或绿植养护社团中任意选择一个参加，请用树状图或列表法求出这两名同学同时选择绿植养护社团的概率。

【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）这5个数从小到大排列：5，5，10，10，15，故中位数为10，故答案为10。（2）没有选择的占1-10%-30%-20%-10%-20%=10%，条形图的高度和E相同；如图所示：（3）1400×20%=280（名）答：估计全校有多少学生愿意参加环保义工社团有280名；（4）酵素制作社团、绿植养护社团分别用A、B表示：树状图如图所示，共有4种可能，两人同时选择绿植养护社团只有一种情形，∴这两名同学同时选择绿植养护社团的概率=．
例16.
（2018∙潍坊）为进一步提高全民“节约用水”意识，某学校组织学生进行家庭月用水量情况调查活动，小莹随机抽查了所住小区n户家庭的月用水量，绘制了下面不完整的统计图．

（1）求n并补全条形统计图；
（2）求这n户家庭的月平均用水量；并估计小莹所住小区420户家庭中月用水量低于月平均用水量的家庭户数；
（3）从月用水量为5m3和9m3的家庭中任选两户进行用水情况问卷调查，求选出的两户中月用水量为5m3和9m3恰好各有一户家庭的概率．
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）n=（3+2）÷25%=20，月用水量为8m3的户数为20×55%-7=4户，月用水量为5m3的户数为20-（2+7+4+3+2）=2户，补全图形如下：（2）这20户家庭的月平均用水量为=6.95（m3），因为月用水量低于6.95m3的有11户，所以估计小莹所住小区420户家庭中月用水量低于6.95m3的家庭户数为420×=231户；（3）月用水量为5m3的两户家庭记为a、b，月用水量为9m3的3户家庭记为c、d、e，列表如下：由表可知，共有20种等可能结果，其中满足条件的共有12种情况，所以选出的两户中月用水量为5m3和9m3恰好各有一户家庭的概率为=。
当堂练习
单选题
练习1.
（2019∙济宁）以下调查中，适宜全面调查的是（　）
A．调查某批次汽车的抗撞击能力
B．调查某班学生的身高情况
C．调查春节联欢晚会的收视率
D．调查济宁市居民日平均用水量
【答案】B
【解析】
题干解析:
A、调查某批次汽车的抗撞击能力，适合抽样调查，故A选项错误；
B、调查某班学生的身高情况，适合全面调查，故B选项正确；
C、调查春节联欢晚会的收视率，适合抽样调查，故C选项错误；
D、调查济宁市居民日平均用水量，适于抽样调查，故D选项错误。
练习2.
（2019∙南充）在2019年南充市初中毕业升学体育与健康考试中，某校九年级（1）班体育委员对本班50名同学参加球类自选项目做了统计，制作出扇形统计图（如图），则该班选考乒乓球人数比羽毛球人数多（　）

A．5人
B．10人
C．15人
D．20人
【答案】B
【解析】
题干解析:
∵选考乒乓球人数为50×40%=20人，
选考羽毛球人数为50×=10人，
∴选考乒乓球人数比羽毛球人数多20-10=10人，
练习3.
（2019∙呼和浩特）某学校近几年来通过“书香校园”主题系列活动，倡导学生整本阅读纸质课外书籍．下面的统计图是该校2013年至2018年纸质书人均阅读量的情况，根据统计图提供的信息，下列推断不合理的是（　）

A．从2013年到2016年，该校纸质书人均阅读量逐年增长
B．2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量的中位数是46.7本
C．2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量的极差是45.3本
D．2013年至2018年，该校后三年纸质书人均阅读量总和是前三年纸质书人均阅读量总和的2倍
【答案】D
【解析】
题干解析:
A、从2013年到2016年，该校纸质书人均阅读量逐年增长，正确；
B、2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量的中位数是本，正确；
C、2013年至2018年，该校纸质书人均阅读量的极差是60.8-15.5=45.3本，正确；
D、2013年至2018年，该校后三年纸质书人均阅读量总和是前三年纸质书人均阅读量总和的倍，错误；
练习4.
（2019∙舟山）2019年5月26日第5届中国国际大数据产业博览会召开．某市在五届数博会上的产业签约金额的折线统计图如图．下列说法正确的是（　）

A．签约金额逐年增加
B．与上年相比，2019年的签约金额的增长量最多
C．签约金额的年增长速度最快的是2016年
D．2018年的签约金额比2017年降低了22.98%
【答案】C
【解析】
题干解析:
A、错误．签约金额2017，2018年是下降的。
B、错误．与上年相比，2016年的签约金额的增长量最多．
C、正确．
D、错误．下降了：≈9.3%．

练习5.
（2019∙烟台）某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试因此计算其他39人的平均分为90分，方差s2=41．后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是（　）
A．平均分不变，方差变大
B．平均分不变，方差变小
C．平均分和方差都不变
D．平均分和方差都改变
【答案】B
【解析】
题干解析:
∵小亮的成绩和其他39人的平均数相同，都是90分，
∴该班40人的测试成绩的平均分为90分，方差变小，
练习6.
（2019春∙莒南县期末）若一组数据x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为17，方差为2，则另一组数据x1+2，x2+2，…，xn+2的平均数和方差分别为（　）
A．17，2
B．18，2
C．17，3
D．18，3
【答案】B
【解析】
题干解析:
∵数据x1+1，x2+1，…，xn+1的平均数为17，
∴x1+2，x2+2，…，xn+2的平均数为18，
∵数据x1+1，x2+1，…，xn+1的方差为2，
∴数据x1+2，x2+2，…，xn+2的方差不变，还是2；
练习7.
（2018∙巴彦淖尔）如图，△ABC是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃，已知AB=13，AC=5，BC=12，阴影部分是△ABC的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（　）

A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
题干解析:
∵AB=13，AC=5，BC=12，
∴AB2=BC2+AC2，
∴△ABC为直角三角形，
∴△ABC的内切圆半径==2，
∴S△ABC=AC∙BC=×12×5=30，
S圆=4π，
∴小鸟落在花圃上的概率==；
练习8.
（2018∙聊城）小亮、小莹、大刚三位同学随机地站成一排合影留念，小亮恰好站在中间的概率是（　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
题干解析:
列表如下：
，
共有6种等可能的结果，其中小亮恰好站在中间的占2种，
所以小亮恰好站在中间的概率=。


填空题
练习1.
（2019∙孝感）董永社区在创建全国卫生城市的活动中，随机检查了本社区部分住户五月份某周内“垃圾分类”的实施情况，将他们绘制了两幅不完整的统计图（A．小于5天；B．5天；C．6天；D．7天），则扇形统计图B部分所对应的圆心角的度数是______．

【答案】
108°
【解析】
题干解析:∵被调查的总人数为9÷15%=60（人），∴B类别人数为60-（9+21+12）=18（人），则扇形统计图B部分所对应的圆心角的度数是360°×=108°，
练习2.
（2019∙温州）某校学生“汉字听写”大赛成绩的频数直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示，其中成绩为“优良”（80分及以上）的学生有____人．

【答案】
90
【解析】
题干解析:由直方图可得，成绩为“优良”（80分及以上）的学生有：60+30=90（人），
练习3.
（2018∙株洲）睡眠是评价人类健康水平的一项重要指标，充足的睡眠是青少年健康成长的必要条件之一，小强同学通过问卷调查的方式了解到本班三位同学某天的睡眠时间分别为7.8小时，8.6小时，8.8小时，则这三位同学该天的平均睡眠时间是_______．
【答案】
8.4小时
【解析】
题干解析:根据题意得：（7.8+8.6+8.8）÷3=8.4小时，则这三位同学该天的平均睡眠时间是8.4小时，
练习4.
（2018∙宿迁）一组数据：2，5，3，1，6，则这组数据的中位数是___。
【答案】
3
【解析】
题干解析:将数据重新排列为1、2、3、5、6，所以这组数据的中位数为3，
练习5.
（2018∙抚顺）一个不透明布袋里有3个红球，4个白球和m个黄球，这些球除颜色外其余都相同，若从中随机摸出1个球是红球的概率为，则m的值为___．
【答案】
2
【解析】
题干解析:由题意可得，m=3÷-3-4=9-3-4=2，
练习6.
（2018∙资阳）一口袋中装有若干红色和白色两种小球，这些小球除颜色外没有任何区别，袋中小球已搅匀，蒙上眼睛从中取出一个白球的概率为．若袋中白球有4个，则红球的个数是____．
【答案】
16
【解析】
题干解析:由题意可得，红球的个数为：4÷-4=4×5-4=20-4=16，
练习7.
（2018∙上海）从，π，这三个数中选一个数，选出的这个数是无理数的概率为___．
【答案】

【解析】
题干解析:∵在，π，这三个数中，无理数有π，这2个，∴选出的这个数是无理数的概率为，
解答题
练习1.
（2019∙兰州）为了解某校八年级学生一门课程的学习情况，小佳和小丽分别对八年级1班和2班本门课程的期末成绩进行了调查分析．
小佳对八年级1班全班学生（25名）的成绩进行分析，过程如下：
收集、整理数据：
表一

分析数据：
表二

小丽用同样的方法对八年级2班全班学生（25名）的成绩进行分析，数据如下：
表三

根据以上信息，解决下列问题：
（1）已知八年级1班学生的成绩在80≤x<90这一组的数据如下：
85，87，88，80，82，85，83，85，87，85
根据上述数据，将表二补充完整；
（2）你认为哪个班级的成绩更为优异？请说明理由．
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）共有25个数据，第13个数落在80≤x<90这一组中，此组最小的数为第13个数，所以八年级1班学生的成绩的中位数为80；故答案为80；（2）八年级1班学生的成绩更为优异。理由如下：八年级1班学生的成绩的平均数比2班高，1班的中位数比2班的中位数大，并且1班的众数为85，比2班的众数大，1班的方差比2班小，比较稳定．
练习2.
（2018∙泰安）为增强学生的安全意识，我市某中学组织初三年级1000名学生参加了“校园安全知识竞赛”，随机抽取一个班学生的成绩进行整理，分为A，B，C，D四个等级，并把结果整理绘制成条形统计图与扇形统计图（部分），请依据如图提供的信息，完成下列问题：

（1）请估计本校初三年级等级为A的学生人数；
（2）学校决定从得满分的3名女生和2名男生中随机抽取3人参加市级比赛，请求出恰好抽到2名女生和1名男生的概率．
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）∵所抽取学生的总数为8÷20%=40人，∴该班级等级为A的学生人数为40-（25+8+2）=5人，则估计本校初三年级等级为A的学生人数为1000×=125人；（2）设两位满分的男生记为A1、A2、三位满分的女生记为B1、B2、B3，从这5名同学中选3人的所有等可能结果为：（B1，B2，B3）、（A2，B2，B3）、（A2，B1，B3）、（A2，B1，B2）、（A1，B2，B3）、（A1，B1，B3）、（A1，B1，B2）、（A1，A2，B3）、（A1，A2，B2）、（A1，A2，B1），其中恰好有2名女生、1名男生的结果有6种，所以恰好抽到2名女生和1名男生的概率为=。
练习3.
（2018∙临安区）不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球（除颜色外其余都相同），其中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个是白球的概率为．
（1）试求袋中蓝球的个数；
（2）第一次任意摸一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用画树状图或列表格法，求两次摸到都是白球的概率．
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）设袋中蓝球的个数为x个，∵从中任意摸出一个是白球的概率为，∴=，解得：x=1，∴袋中蓝球的个数为1；（2）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，两次都是摸到白球的有2种情况，∴两次都是摸到白球的概率为：=。
练习4.
（2018∙湘潭）今年我市将创建全国森林城市，提出了“共建绿色城”的倡议．某校积极响应，在3月12日植树节这天组织全校学生开展了植树活动，校团委对全校各班的植树情况进行了统计，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．

（1）求该校的班级总数；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）求该校各班在这一活动中植树的平均棵树．
【答案】
详见解析
【解析】
题干解析:（1）该校的班级总数=3÷25%=12，答：该校的班级总数是12；（2）植树11棵的班级数：12-1-2-3-4=2，如图所示：（3）（1×8+2×9+2×11+3×12+4×15）÷12=12（棵），答：该校各班在这一活动中植树的平均数约是12棵数。