2018年济南市历城区中考二模数学试卷

这是一份2018年济南市历城区中考二模数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 在 2，0，−2，12，−3 这五个数中最小的数是
A. 0B. −2C. 12D. −3

2. “中国制造 2025”，是我国政府实施制造强国战略第一个十年的行动纲领，到 2025 年中国迈入制造强国行列．在百度中输入“中国制造 2015”，搜索到相关结果约 4980000 个，将数字 4980000 用科学记数法表示为
A. 498×104B. 4.98×104C. 4.98×106D. 5×106

3. 如图，直线 l1∥l2，被直线 l3，l4 所截，并且 l3⊥l4，∠1=44∘，则 ∠2 等于
A. 56∘B. 36∘C. 44∘D. 46∘

4. 下列代数运算正确的是
A. x⋅x6=x6B. x23=x6
C. x+22=x2+4D. 2x3=2x3

5. 如图，从左面观察这个立体图形，能得到的平面图形是
A. B.
C. D.

6. 下列图形中是轴对称图形，但不是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

7. 对于一组统计数据 3，3，6，5，3．下列说法错误的是
A. 众数是 3B. 平均数是 4C. 方差是 1.6D. 中位数是 6

8. 如图，线段 AB 经过平移得到线段 AʹBʹ 其中点 A，B 的对应点分别为点 Aʹ，B′，这四个点都在格点上．若线段 AB 上有一个点 Pa,b 则点 P 在 A′B′ 上的对应点 P′ 的坐标为
A. a−2,b+3B. a−2,b−3
C. a+2,b+3D. a+2,b−3

9. 化简 1−2x+1÷1x2−1 的结果是
A. x+12B. x−12C. 1x+12D. 1x−12

10. 如图，菱形 ABCD 的周长为 16，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，OE⊥AB，垂足为 E，若 ∠ADC=120∘，则 OE 的长为
A. 33B. 1C. 3D. 23

11. 如图，在平面直角坐标系中，OA=AB，∠OAB=90∘，反比例函数 y=kxx>0 的图象经过 A，B 两点．若点 A 的坐标为 n,1，则 k 的值为
A. 5−12B. 5+12C. 3−12D. 3+12

12. 如图 1，点 O 为正六边形对角线的交点，机器人置于该正六边形的某顶点处，柱柱同学操控机器人以每秒 1 个单位长度的速度在图 1 中给出线段路径上运行，柱柱同学将机器人运行时间设为 t 秒，机器人到点 A 的距离设为 y，得到函数图象如图 2，通过观察函数图象，可以得到下列推断：
①该正六边形的边长为 1；
②当 t=3 时，机器人一定位于点 O；
③机器人一定经过点 D；
④机器人一定经过点 E．
其中正确的有
A. ①④B. ①③C. ①②③D. ②③④

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 把 3a2−12 分解因式为 ．

14. 若 3xnym 与 x4−nyn−1 是同类项，则 m+n= ．

15. 一枚质地均匀的骰子，其六个面上分别标有数字：1，2，3，4，5，6，投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率是 ．

16. 如图，D0,3，O0,0，C4,0，B 在 ⊙A 上，BD 是 ⊙A 的一条弦，则 sin∠OBD= ．

17. 如图，矩形 ABCD 中，AB=8，点 E 是 AD 上的一点，有 AE=4，BE 的垂直平分线交 BC 的延长线于点 F，交 AB 于点 H，连接 EF 交 CD 于点 G．若 G 是 CD 的中点，则 BC 的长是 ．

18. 把多块大小不同的 30∘ 直角三角板如图所示，摆放在平面直角坐标系中，第一块三角板 AOB 的一条直角边与 y 轴重合且点 A 的坐标为 0,1，∠ABO=30∘；第二块三角板的斜边 BB1 与第一块三角板的斜边 AB 垂直且交 y 轴于点 B1；第三块三角板的斜边 B1B2 与第二块三角板的斜边 BB1 垂直且交 x 轴于点 B2；第四块三角板的斜边 B2B3 与第三块三角板的斜边 B1B2 垂直且交 y 轴于点 B3；⋯ 按此规律继续下去，则点 B2017 的坐标为 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
19. 计算：−12−2+2−3−π−3.140−tan60∘+8．

20. 解不等式组：−2x<6,3x−2≤x−4, 并把解集在数轴上表示出来．

21. 如图，矩形 ABCD 中，AC 与 BD 交于 O 点，若点 E 是 AO 的中点，点 F 是 OD 的中点．求证：BE=CF．

22. 为响应习总书记“足球进校园”的号召，某学校 2017 年在某商场购买甲、乙两种不同足球，购买甲种足球共花费 2000 元，购买乙种足球共花费 1400 元，购买甲种足球数量是购买乙种足球数量的 2 倍，且购买一个乙种足球比购买一个甲种足球多花 20 元．
（1）求购买一个甲种足球、一个乙种足球各需多少元；
（2）按照实际需要每个班须配备甲足球 2 个，乙种足球 1 个，购买的足球能够配备多少个班级?

23. 某校为了解九年级男同学的体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了 1000 米跑步测试．按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如图不完整的统计图．
（1）根据给出的信息，补全两幅统计图；
（2）该校九年级有 600 名男生，请估计成绩达到良好及以上等级的有多少名?
（3）某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会 1000 米比赛．预赛分别为A，B，C三组进行，选手由抽签确定分组．甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少?

24. 如图，已知直线 PT 与 ⊙O 相切于点 T，直线 PO 与 ⊙O 相交于 A，B 两点．
（1）求证：∠PTA=∠B；
（2）若 PT=TB=3，求图中阴影部分的面积．

25. 已知直线 l 经过 A6,0 和 B0,12 两点，且与直线 y=x 交于点 C，点 Pm,0 在 x 轴上运动．
（1）求直线 l 的解析式；
（2）过点 P 作 l 的平行线交直线 y=x 于点 D，当 m=3 时，求 △PCD 的面积；
（3）是否存在点 P，使得 △PCA 成为等腰三角形?若存在，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．

26. 如图，四边形 ABCD 是边长为 2，一个锐角等于 60∘ 的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点 D 重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交 CB，BA（或它们的延长线）于点 E，F，∠EDF=60∘，当 CE=AF 时，如图①小芳同学得出的结论是 DE=DF．
（1）继续旋转三角形纸片，当 CE≠AF 时，如图②，小芳的结论是否成立?若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．
（2）再次旋转三角形纸片，当点 E，F 分别在 CB，BA 的延长线上时，如图③，请写出 DE 与 DF 的数量关系，并加以证明．
（3）连接 EF，若 △DEF 的面积为 y，CE=x，求 y 与 x 的关系式，并指出当 x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少?

27. 如图，二次函数 y=ax2+2x+c 的图象与 x 轴交于点 A−1,0 和点 B，与 y 轴交于点 C0,3．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）过点 A 的直线 AD∥BC 且交抛物线于另一点 D，求直线 AD 的函数表达式；
（3）在（2）的条件下，请解答下列问题：
①在 x 轴上是否存在一点 P，使得以 B，C，P 为顶点的三角形与 △ABD 相似?若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；
②动点 M 以每秒 1 个单位的速度沿线段 AD 从点 A 向点 D 运动，同时，动点 N 以每秒 135 个单位的速度沿线段 DB 从点 D 向点 B 运动，问：在运动过程中，当运动时间 t 为何值时，△DMN 的面积最大，并求出这个最大值．
答案
第一部分
1. B【解析】根据实数比较大小的方法，可得 −2<−3<0<12<2，
∴2，0，−2，12，−3 中，最小的数是 −2．
2. C【解析】4980000=4.98×106．
3. D【解析】如图，

∵l1∥l2，
∴∠1=∠3=44∘，
又 ∵l3⊥l4，
∴∠2=90∘−44∘=46∘．
4. B【解析】A．x⋅x6=x7，原式计算错误，故本选项错误；
B．x23=x6，原式计算正确，故本选项正确；
C．x+22=x2+4x+4，原式计算错误，故本选项错误；
D．2x3=8x3，原式计算错误，故本选项错误．
5. A
【解析】从左面看下面一个正方形，上面一个正方形．
6. B【解析】A．不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D．是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．
7. D【解析】A．这组数据中 3 都出现了 3 次，出现的次数最多，所以这组数据的众数为 3，此选项正确；
B．由平均数公式求得这组数据的平均数为 4，故此选项正确；
C．s2=153−42+3−42+6−42+5−42+3−42=1.6，故此选项正确；
D．将这组数据按从大到小的顺序排列，第 3 个数是 3，故中位数为 3，故此选项错误．
8. A【解析】本题考查图形的平移．由图形可知点 A 的坐标为 1,−1，点 A′ 的坐标为 −1,2，∴ 点 A′ 可看作点 A 先向左平移 2 个单位，再问上平移 3 个单位得到的，∵ 点 P 的坐标为 a,b，点 P′ 的坐标为 a−2,b+3．
9. B【解析】1−2x+1÷1x2−1=x+1−2x+1÷1x+1x−1=x−1x+1⋅x+1x−1=x−12.
10. C
【解析】∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AB=BC=CD=AD=4，
∵∠ADC=120∘，CD∥AB，
∴∠DAB=60∘，
∴∠OAE=12∠DAB=30∘，
∴OE=12OA，
∵OA=AB⋅cs30∘=23，
∴OE=3．
11. A【解析】如图：过 A 作 AC⊥y 轴，垂足为 C，作 BD⊥AC，垂足为 D，

∵∠BAO=90∘，
∴∠OAC+∠BAD=90∘ 且 ∠BAD+∠ABD=90∘，
∴∠ABD=∠CAO 且 ∠D=∠ACO=90∘，AO=AB，
∴△ACO≌△BDA，
∴AD=CO，BD=AC，
∵An,1n>0，
∴OC=AD=1，AC=BD=n．
∴B1+n,1−n，
∵ 反比例函数 y=kxx>0 的图象经过 A，B 两点，
∴n×1=1+n1−n，
∴n=−1±52，
∵n 大于零，
∴n=−1+52，
∴k=1×n=−1+52．
12. C【解析】由图象可知，机器人距离点 A 1 个单位长度，可能在 F 或 B 点，则正六边形边长为 1，故①正确；
观察图象 t 在 3∼4 之间时，图象具有对称性则可知，机器人在 OB 或 OF 上，
则当 t=3 时，机器人距离点 A 距离为 1 个单位长度，机器人一定位于点 O，故②正确；
所有点中，只有点 D 到 A 距离为 2 个单位，故③正确；
∵ 机器人可能在 F 点或 B 点出发，当从 B 出发时，不经过点 E，故④错误．
第二部分
13. 3a+2a−2
【解析】3a2−12=3a2−4=3a+2a−2.
14. 3
【解析】∵3xnym 与 x4−nyn−1 是同类项，
∴n=4−n，m=n−1，解得：m=1，n=2，故 m+n=3．
15. 12
【解析】投掷一次，朝上一面的数字是偶数的概率 =36=12．
16. 35
【解析】如图，
∵D0,3，C4,0，
∴OD=3，OC=4，
∴CD=5，
连接 CD，
∵∠OBD=∠OCD，
∴sin∠OBD=sin∠OCD=ODCD=35．
17. 7
【解析】∵ 矩形 ABCD 中，G 是 CD 的中点，AB=8，
∴CG=DG=12×8=4，
在 △DEG 和 △CFG 中，
∠D=∠DCF=90∘,DG=CG,∠DGE=∠CGF,
∴△DEG≌△CFG，
∴DE=CF，EG=FG，
设 DE=x，则 BF=BC+CF=AD+CF=4+x+x=4+2x，
在 Rt△DEG 中，EG=DE2+DG2=x2+16，
∴EF=2x2+16，
∵FH 垂直平分 BE，
∴BF=EF，
∴4+2x=2x2+16，解得 x=3，
∴AD=AE+DE=4+3=7，
∴BC=AD=7．
18. 0,−31009
第三部分
19. 原式=4+3−2−1−3+22=3+2.
20.
−2x<6, ⋯⋯①3x−2≤x−4, ⋯⋯②
解不等式 ①，得
x>−3.
解不等式 ②，得
3x−6≤x−4.2x≤2.x≤1.∴
原不等式组的解集为
−3这个不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
21. ∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，AC=BD，
∴OA=OC=OB=OD，
∵ 点 E 是 AO 的中点，点 F 是 OD 的中点，
∴OE=12OA，OF=12OD，
∴OE=OF，
在 △OBE 和 △OCF 中，
OE=OF,∠BOE=∠COF,OB=OC,
∴△OBE≌△OCF，
∴BE=CF．
22. （1） 设购买一个甲种足球需 x 元，则购买一个乙种足球需 x+20 元，
可得：
2000x=2×1400x+20.
解得：
x=50.
经检验 x=50 是原方程的解．
答：购买一个甲种足球需 50 元，则购买一个乙种足球需 70 元．
（2） 由（1）可知该校购买甲种足球 2000x=200050=40 个，购买乙种足球 20 个，
∵ 每个班须配备甲足球 2 个，乙种足球 1 个，
∴ 购买的足球能够配备 20 个班级．
23. （1） 调查的总人数为 16÷40%=40（人），
∴ 合格等级的人数为 40−12−16−2=10（人），
合格等级人数所占的百分比 =1040×100%=25%；
优秀等级人数所占的百分比 =1240×100%=30%．
统计图为：
（2） 600×30%+40%=420（名），
∴ 估计成绩达到良好及以上等级的有 420 名．
（3） 画树状图为：
共有 9 种等可能的结果数，其中甲、乙两人恰好分在同一组的结果数为 3，
∴ 甲、乙两人恰好分在同一组的概率 =39=13．
24. （1） 如图，连接 OT．
∵ 直线 PT 与 ⊙O 相切于点 T，
∴OT⊥PT，
∴∠OTP=90∘，
即 ∠2+∠PTA=90∘，
∵AB 为直径，
∴∠ATB=90∘，
∴∠2+∠1=90∘，
∴∠PTA=∠1，
∵OB=OT，
∴∠1=∠B，
∴∠PTA=∠B．
（2） ∵TP=TB，
∴∠P=∠B，
∵∠POT=∠B+∠1=2∠B，
∴∠POT=2∠P，
而 ∠OTP=90∘，
∴∠P=30∘，∠POT=60∘，
∴OT=33TP=3，△AOT 为等边三角形，
∴ 图中阴影部分的面积 =S扇形AOT−S△AOT=60⋅π⋅32360−34⋅32=12π−334．
25. （1） 设直线 l 解析式为 y=kx+b，
把 A，B 两点坐标代入可得 6k+b=0,b=12, 解得 k=−2,b=12,
∴ 直线 l 解析式为 y=−2x+12．
（2） 解方程组 y=−2x+12,y=x 可得 x=4,y=4,
∴C 点坐标为 4,4，
设 PD 解析式为 y=−2x+n，把 P3,0 代入可得 0=−6+n，解得 n=6，
∴ 直线 PD 解析式为 y=−2x+6，
解方程组 y=x,y=−2x+6 可得 x=2,y=2,
∴D 点坐标为 2,2，
∴S△POD=12×3×2=3，S△POC=12×3×4=6，
∴S△PCD=S△POC−S△POD=6−3=3．
（3） 存在满足条件的点 P，其坐标为 1,0 或 6+25,0 或 6−25,0 或 2,0．
【解析】∵A6,0，C4,4，Pm,0，
∴PA2=m−62=m2−12m+36，PC2=m−42+42=m2−8m+32，AC2=6−42+42=20，
当 △PAC 为等腰三角形时，则有 PA=PC，PA=AC 或 PC=AC 三种情况，
① 当 PA=PC 时，则 PA2=PC2，即 m2−12m+36=m2−8m+32，解得 m=1，此时 P 点坐标为 1,0；
② 当 PA=AC 时，则 PA2=AC2，即 m2−12m+36=20，解得 m=6+25 或 m=6−25，此时 P 点坐标为 6+25,0 或 6−25,0；
③ 当 PC=AC 时，则 PC2=AC2，即 m2−8m+32=20，解得 m=2 或 m=6，当 m=6 时，P 与 A 重合，舍去，此时 P 点坐标为 2,0；
综上可知存在满足条件的点 P，其坐标为 1,0 或 6+25,0 或 6−25,0 或 2,0．
26. （1） DF=DE．
证明：如图 2，连接 BD，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AD=AB．
又 ∵∠A=60∘，
∴△ABD 是等边三角形，
∴AD=BD，∠ADB=60∘，
∴∠DBE=∠A=60∘，
∵∠EDF=60∘，
∴∠ADF=∠BDE，
在 △ADF 与 △BDE 中，
∠ADF=∠BDE,AD=BD,∠A=∠DBE,
∴△ADF≌△BDE，
∴DF=DE．
（2） DF=DE．
如图 3，连接 BD．
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴AD=AB．
又 ∵∠A=60∘，
∴△ABD 是等边三角形，
∴AD=BD，∠ADB=60∘，
∵∠DBC=∠DAB=60∘，
∴∠DBE=∠DAF=120∘，
∵∠EDF=60∘，
∴∠ADF=∠BDE．
在 △ADF 与 △BDE 中，
∠ADF=∠BDE,AD=BD,∠DAF=∠DBE,
∴△ADF≌△BDE，
∴DF=DE．
（3） 由（2）知，△ADF≌△BDE．
则 S△ADF=S△BDE，
由题意 AF=BE=x−2．
∴y=S△BEF+S△ABD=12⋅x⋅32x−2+12×2×2×32=34x−12+334.
即 y=34x−12+334，
∴ 当 x=1 时，y 有最小值 334．
27. （1） 由题意知：0=a−2+c,3=c, 解得 a=−1,c=3,
∴ 二次函数的表达式为 y=−x2+2x+3．
（2） 在 y=−x2+2x+3 中，令 y=0，则 −x2+2x+3=0，解得：x1=−1，x2=3，
∴B3,0，
设直线 BC 的解析式为：y1=k1x+b1，
∵y1=k1x+b1 过点 B3,0，C0,3，
∴3k1+b1=0,b1=3,
∴k1=−1,b1=3,
∴ 直线 BC 的解析式为 y=−x+3，
∵AD∥BC，
∴ 设直线 AD 的解析式为 y=−x+b，
∴0=1+b，
∴b=−1，
∴ 直线 AD 的解析式为 y=−x−1．
（3） ① ∵BC∥AD，
∴∠DAB=∠CBA，
∴ 只要当：BCAD=PBAB 或 BCAB=PBAD 时，△PBC∽△ABD，
解 y=−x2+2x+3,y=−x−1 得 D4,−5，
∴AD=52，AB=4，BC=32，
设 P 的坐标为 x,0，即 3252=3−x4 或 324=3−x52，
解得 x=35 或 x=−4.5，
∴P35,0 或 P−4.5,0；
②过点 B 作 BF⊥AD 于 F，过点 N 作 NE⊥AD 于 E，
在 Rt△AFB 中，∠BAF=45∘，
∴sin∠BAF=BFAB，
∴BF=4×22=22，BD=26，
∴sin∠ADB=BFBD=2226=21313，
∵DM=52−t，DN=135t，
又 ∵sin∠ADB=NEDN，NE=135t⋅21313=25t，
∴S△MDN=12DM⋅NE=1252−t⋅25t=−15t2+2t=−15t2−52t=−15t−5222+52,
∴ 当 t=522 时，S△MDN 的最大值为 52．