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2020-2021学年河南省南阳市宛城区七年级（下）期末数学试卷
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这是一份2020-2021学年河南省南阳市宛城区七年级（下）期末数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年河南省南阳市宛城区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分。）（下列各小题只有一个答案是正确的．）
1．（3分）二元一次方程组最适宜用哪种方法直接消元（ ）
A．代入消元法 B．加减消元法 C．A、B都可以 D．A、B都不对
2．（3分）一个一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图，则此不等式组的解集是（ ）
A．x≤1 B．x＜3 C．1≤x＜3 D．x＜1
3．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）将方程3x﹣4y＝5变形为用含x的代数式表示y为（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
5．（3分）下列关于三角形的分类，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）将方程去分母得到3y+2+4y﹣1＝12，错在（ ）
A．分母的最小公倍数找错
B．去分母时，漏乘了分母为1的项
C．去分母时，分子部分没有加括号
D．去分母时，各项所乘的数不同
7．（3分）如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转90°，得到△M1N1P1，则其旋转中心是（ ）
A．点E B．点F C．点G D．点H
8．（3分）小聪为某机器人编制一段程序，如果机器人以0.5m/s的速度在平地上按照图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需的时间为（ ）
A．12s B．24s C．48s D．60s
9．（3分）如图，有一张边长为x的正方形ABCD纸板，在它的一个角上切去一个边长为y的正方形AEFG，剩下图形的面积是32，过点F作FH⊥DC，垂足为H．将长方形GFHD切下，与长方形EBCH重新拼成一个长方形，若拼成的长方形的较长的一边长为8，则正方形ABCD的面积是（ ）
A．24 B．32 C．36 D．64
10．（3分）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为10，BD平分∠ABC，若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．4.5 D．6
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）写出一个一元一次方程，要求：所写的方程必须直接利用等式性质2求出解．这样的方程可以为 ．
12．（3分）对于任意有理数a、b，定义一种运算：a※b＝b﹣2a．例如，3※5＝5﹣2×3＝﹣1．根据上述定义可知：不等式（3x﹣4）※1＞3的最大整数解是 ．
13．（3分）如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，∠B+∠E＝180°．若△ABC的面积为10cm2，则△DEF的面积为 cm2．
14．（3分）“从甲地到乙地，长途汽车原需行驶7个小时，开通高速公路后，路程缩短了30千米，车速平均每小时增加了30千米，结果只需4小时即可到达．”三位同学根据题意，分别获得如下数量关系：①设汽车原来的速度为x千米/小时，则7x﹣30＝4（x+30）；②设甲、乙两地之间的高速公路的路程为y千米，则﹣30＝；③设甲、乙两地之间的普通公路的路程为s千米，则＝﹣30．你认为其中正确的数量关系序号为 ．
15．（3分）若一个三角形中一个角的度数是另一个角的度数的3倍，则称这样的三角形为“和谐三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“和谐三角形”，如图，直角三角形ABC中，∠CAB＝90°，∠ABC＝60°，D是边CB上一动点．当△ADC是“和谐三角形”时，∠DAB的度数是 ．
三、解答题（共75分）
16．（8分）解方程：1﹣x＝3﹣x．
17．（9分）解不等式：（1﹣2x）＞，并把它的解集在数轴上表示出来．
解：去分母得：2（1﹣2x）＞3×3（2x﹣1），
…
（1）请完成上述解不等式的余下步骤；
（2）解题回顾：本题“去分母”这一步的变形依据是 （填“A”或“B”）．
A．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
B．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
18．（9分）如图，已知点A、B、C都在方格纸的格点上．
（1）若把线段BC平移后，对应线段恰好为AM，请画出线段AM；
（2）请你再找一个格点D，使点A、B、C、D组成一个轴对称图形，并画出对称轴．（请分别在下图及备用图中尽可能多地设计出不同的图形，格点D分别用D1、D2、D3、…表示）．
19．（9分）有两种消费券：A券，满60减20元；B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元、30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购买了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，求所购商品的标价为多少元？
20．（9分）我们把关于x、y的两个二元一次方程x+ky＝b与kx+y＝b（k≠1）叫做互为共轭二元一次方程；二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组．
（1）若关于x、y的方程组，为共轭方程组，则a＝ ，b＝ ；
（2）若二元一次方程x+ky＝b中x、y的值满足下列表格：
x
1
0
y
0
2
则这个方程的共轭二元一次方程是 ；
（3）解下列方程组（直接写出方程组的解即可）：
的解为 ；的解为 ；的解为 ．
（4）发现：若共轭方程组的解是，则m、n之间的数量关系是 ．
21．（10分）如图，AD为△ABC的高，AE、BF为△ABC的角平分线，若∠CBF＝30°，∠AFB＝70°．
（1）∠BAD＝ °；
（2）求∠DAE的度数；
（3）若点M为线段BC上任意一点，当△MFC为直角三角形时，直接写出∠BFM的度数．
22．（10分）某商店计划购进A、B两种商品，已知购进10个A商品比购进5个B种商品多50元，购进20个A商品和20个B商品一共用700元．
（1）求每件A种商品和每件B种商品的进价分别是多少元？
（2）商店决定购进A、B两种商品共50件，A种商品加价5元出售，B种商品比进价提高20%后出售，所有商品全部出售后利润不少于210元，求至少购进A种商品多少件？
23．（11分）【教材呈现】以下是华师版七年级下册数学教材第122页的部分内容．
如图，△ACD、△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD＝∠EAB＝90°，画出△ACE以点A为旋转中心、逆时针旋转90°后的三角形．
（1）【操作发现】请在图①中画出△ACE以点A为旋转中心、逆时针旋转90°后的三角形，写出旋转前后CE与其对应线段的数量关系和位置关系： ．
（2）【探究证明】如图②，把△ADB绕点A顺时针旋转90°得到△ACE，设DB、AB分别与CE交于点F、G，判断BD和EC的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）【问题解决】如图③，把△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，点D恰好落在BC上，DE与CA交于点F，若△BAD与△FAD关于直线AD对称，且BC＝10，BD＝3，则：
①∠CDE＝ °；
②∠C＝ °；
③线段EF的长是 ．
2020-2021学年河南省南阳市宛城区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分。）（下列各小题只有一个答案是正确的．）
1．（3分）二元一次方程组最适宜用哪种方法直接消元（ ）
A．代入消元法 B．加减消元法 C．A、B都可以 D．A、B都不对
【分析】因为①式中未知数y的系数为﹣2，②式中y的系数为2，﹣2于2互为相反数，则①+②即可得出答案．
【解答】解：根据题意，，
①+②，
得5x＝8，消去未知数y，
所以应用加减消元法比较适宜．
故选：B．
2．（3分）一个一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图，则此不等式组的解集是（ ）
A．x≤1 B．x＜3 C．1≤x＜3 D．x＜1
【分析】根据数轴上表示出的解集，找出公共部分即可．
【解答】解：根据数轴得：，
则此不等式组的解集为x≤1，
故选：A．
3．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
4．（3分）将方程3x﹣4y＝5变形为用含x的代数式表示y为（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
【分析】把x看做已知数求出y即可．
【解答】解：方程3x﹣4y＝5，
解得：y＝，
故选：A．
5．（3分）下列关于三角形的分类，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形的分类可直接选出答案．
【解答】解：A、等腰直角三角形应该是直角三角形，不符合题意；
B、该选项中的三角形的分类正确，符合题意；
C、等腰三角形包括等边三角形，不符合题意；
D、等腰三角形包括等边三角形，不符合题意；
故选：B．
6．（3分）将方程去分母得到3y+2+4y﹣1＝12，错在（ ）
A．分母的最小公倍数找错
B．去分母时，漏乘了分母为1的项
C．去分母时，分子部分没有加括号
D．去分母时，各项所乘的数不同
【分析】去分母可得3（y+2）+2（2y﹣1）＝12，去括号得3y+6+4y﹣2＝12，由题即可求解．
【解答】解：方程去分母，
得，3（y+2）+2（2y﹣1）＝12，
去括号得，3y+6+4y﹣2＝12，
∴错在分子部分没有加括号，
故选：C．
7．（3分）如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转90°，得到△M1N1P1，则其旋转中心是（ ）
A．点E B．点F C．点G D．点H
【分析】根据旋转变换的性质，结合网格结构的特点作出NN1、PP1的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为旋转中心．
【解答】解：如图，作出NN1、PP1的垂直平分线，交点为G，则点G是旋转中心，
故选：C．
8．（3分）小聪为某机器人编制一段程序，如果机器人以0.5m/s的速度在平地上按照图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需的时间为（ ）
A．12s B．24s C．48s D．60s
【分析】根据图中所示可知，该机器人所经过的路径是一个正多边形，利用360°除以60°，即可求得正多边形的边数，即可求得周长，利用周长除以速度即可求得所需时间．
【解答】解：由题意得，该机器人所经过的路径是一个正多边形，
多边形的边数为：＝6，
则所走的路程是：2×6＝12（m），
则所用时间是：12÷0.5＝24（s）．
故选：B．
9．（3分）如图，有一张边长为x的正方形ABCD纸板，在它的一个角上切去一个边长为y的正方形AEFG，剩下图形的面积是32，过点F作FH⊥DC，垂足为H．将长方形GFHD切下，与长方形EBCH重新拼成一个长方形，若拼成的长方形的较长的一边长为8，则正方形ABCD的面积是（ ）
A．24 B．32 C．36 D．64
【分析】根据拼图前后各部分之间的关系可求出x、y的值，再计算面积即可．
【解答】解：由题意可知，由于x＞y，
拼成的长方形的较长的边为（x+y），较短的边为（x﹣y），
因此有x+y＝8，（x+y）（x﹣y）＝32，
解得x＝6，y＝2，
因此正方形ABCD的面积为62＝36，
故选：C．
10．（3分）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为10，BD平分∠ABC，若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．4.5 D．6
【分析】过C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值．
【解答】解：过C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，如图：
∵BD平分∠ABC，M′E⊥AB于点E，M′N′⊥BC于N′，
∴M′N′＝M′E，
∴CE＝CM′+M′E＝CM′+M′N′是CM+MN最小值，此时M与M′重合，N与N′重合，
∵三角形ABC的面积为10，AB＝4，
∴×4•CE＝10，
∴CE＝5．
即CM+MN的最小值为5．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）写出一个一元一次方程，要求：所写的方程必须直接利用等式性质2求出解．这样的方程可以为 3x＝5（答案不唯一） ．
【分析】此题属于开放型题目，答案不唯一，根据一元一次方程的定义和等式的性质填空．
【解答】解：依题意，得3x＝5．
故答案是：3x＝5（答案不唯一）．
12．（3分）对于任意有理数a、b，定义一种运算：a※b＝b﹣2a．例如，3※5＝5﹣2×3＝﹣1．根据上述定义可知：不等式（3x﹣4）※1＞3的最大整数解是 0 ．
【分析】先根据新定义列出不等式1﹣2（3x﹣4）＞3，解之可得x的取值范围，继而得出答案．
【解答】解：根据题意知1﹣2（3x﹣4）＞3，
去括号，得：1﹣6x+8＞3，
移项，得：﹣6x＞3﹣1﹣8，
合并同类项，得：﹣6x＞﹣6，
系数化为1，得：x＜1，
则不等式（3x﹣4）※1＞3的最大整数解是0，
故答案为：0．
13．（3分）如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，∠B+∠E＝180°．若△ABC的面积为10cm2，则△DEF的面积为 10 cm2．
【分析】平移△DEF使DE与AB重合，由∠B+∠E＝180°可知C、B、E、F在同一条直线上，结合BC＝EF，从而可得：S△ABC＝S△DEF，于是可得解．
【解答】解：由AB＝DE，∠B+∠E＝180°，则可平移△DEF使DE与AB重合，
于是C、B、E、F在同一条直线上，
∵BC＝EF，
∴S△ABC＝S△DEF，
∵△ABC的面积为10cm2，
∴S△DEF＝10cm2，
故答案为：10．
14．（3分）“从甲地到乙地，长途汽车原需行驶7个小时，开通高速公路后，路程缩短了30千米，车速平均每小时增加了30千米，结果只需4小时即可到达．”三位同学根据题意，分别获得如下数量关系：①设汽车原来的速度为x千米/小时，则7x﹣30＝4（x+30）；②设甲、乙两地之间的高速公路的路程为y千米，则﹣30＝；③设甲、乙两地之间的普通公路的路程为s千米，则＝﹣30．你认为其中正确的数量关系序号为 ①②③ ．
【分析】根据题意和各个小题中设的未知数，可以分别列出相应的方程，然后即可列出相应的方程，从而可以解答本题．
【解答】解：设汽车原来的速度为x千米/小时，则7x﹣30＝4（x+30），故①正确；
设甲、乙两地之间的高速公路的路程为y千米，则﹣30＝，故②正确；
设甲、乙两地之间的普通公路的路程为s千米，则＝﹣30，故③正确；
故答案为：①②③．
15．（3分）若一个三角形中一个角的度数是另一个角的度数的3倍，则称这样的三角形为“和谐三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“和谐三角形”，如图，直角三角形ABC中，∠CAB＝90°，∠ABC＝60°，D是边CB上一动点．当△ADC是“和谐三角形”时，∠DAB的度数是 30°或80°或52.5° ．
【分析】分三种情况进行讨论：①当∠ADC＝3∠C时；②当∠C＝3∠CAD时；③当∠ADC＝3∠CAD时．根据“和谐三角形”的定义求解即可．
【解答】解：∵∠CAB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠C＝90°﹣∠ABC＝30°．
当△ADC是“和谐三角形”时，分三种情况：
①当∠ADC＝3∠C时，∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝60°，
∴∠DAB＝∠CAB﹣∠CAD＝30°；
②当∠C＝3∠CAD时，∠CAD＝10°，
∴∠DAB＝∠CAB﹣∠CAD＝80°；
③当∠ADC＝3∠CAD时，
∵∠ADC+∠CAD＝180°﹣∠C＝150°，
∴∠CAD＝×150°＝37.5°，
∴∠DAB＝∠CAB﹣∠CAD＝52.5°．
综上所述，∠DAB的度数是30°或80°或52.5°．
故答案为：30°或80°或52.5°．
三、解答题（共75分）
16．（8分）解方程：1﹣x＝3﹣x．
【分析】方程先移项、再合并同类项，可得，求得x＝﹣6．
【解答】解：1﹣x＝3﹣x，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得x＝﹣6．
17．（9分）解不等式：（1﹣2x）＞，并把它的解集在数轴上表示出来．
解：去分母得：2（1﹣2x）＞3×3（2x﹣1），
…
（1）请完成上述解不等式的余下步骤；
（2）解题回顾：本题“去分母”这一步的变形依据是 A （填“A”或“B”）．
A．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
B．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【分析】（1）依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得答案；
（2）根据不等式的基本性质求解即可．
【解答】解：（1）去括号得：2﹣4x＞18x﹣9，
移项得：﹣4x﹣18x＞﹣9﹣2，
合并同类项得：﹣22x＞﹣11，
系数化为1得：，
不等式的解集在数轴上表示为：
（2）本题“去分母”这一步的变形依据是：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，
故答案为：A．
18．（9分）如图，已知点A、B、C都在方格纸的格点上．
（1）若把线段BC平移后，对应线段恰好为AM，请画出线段AM；
（2）请你再找一个格点D，使点A、B、C、D组成一个轴对称图形，并画出对称轴．（请分别在下图及备用图中尽可能多地设计出不同的图形，格点D分别用D1、D2、D3、…表示）．
【分析】（1）利用平移变换的性质作出图形即可．
（2）根据轴对称图形的性质解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，线段AM即为所求．
（2）如图，点D以及对称轴，如图所示．
19．（9分）有两种消费券：A券，满60减20元；B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元、30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购买了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，求所购商品的标价为多少元？
【分析】设所购商品的标价为x元，根据标价﹣消费券＝实际付款列出方程解方程即可．
【解答】解：设所购商品的标价为x元，
根据题意列方程得：（x﹣30）+（x﹣20）＝150，
解得x＝100，
答：所购商品的标价为100元．
20．（9分）我们把关于x、y的两个二元一次方程x+ky＝b与kx+y＝b（k≠1）叫做互为共轭二元一次方程；二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组．
（1）若关于x、y的方程组，为共轭方程组，则a＝ ﹣1 ，b＝ 1 ；
（2）若二元一次方程x+ky＝b中x、y的值满足下列表格：
x
1
0
y
0
2
则这个方程的共轭二元一次方程是 ；
（3）解下列方程组（直接写出方程组的解即可）：
的解为 ；的解为 ；的解为 ．
（4）发现：若共轭方程组的解是，则m、n之间的数量关系是 m＝n ．
【分析】（1）含x项的系数和含y项的系数相等，常数项相等；
（2）先求k和b，再写共轭二元一次方程；
（3）消元法求解；
（4）利用整体思想求解．
【解答】解：（1）由定义可得：1﹣a＝2，b+2＝3，
∴a＝﹣1，b＝1，
故答案为：﹣1，1．
（2）将x＝1，y＝0和x＝0，y＝2分别代入x+ky＝b，得：
，解得：，
∴二元一次方程为：x+y＝1，
∴共轭二元一次方程为：，
故答案为：．
（3）解方程组，
①×2﹣②得：3y＝3，
∴y＝1，
将y＝1代入①得，x+2＝3，
∴x＝1，
∴方程组的解为：．
解方程组，
③×2﹣④×3得：﹣5y＝10，
∴y＝﹣2，
将y＝﹣2代入③得：3x﹣4＝﹣10，
∴x＝﹣2，
∴方程组的解为：．
解方程组，
⑤×2+⑥得：3x＝12，
∴x＝4，
将x＝4代入⑤得：8﹣y＝4，
∴y＝4，
∴方程组的解为：，
故答案为：，，．
（4）将x＝m，y＝n，代入方程组得：，
①×k﹣②得：（k2﹣1）n＝（k﹣1）b，
∵k≠1，
∴n＝，
将n＝代入②得：km+＝b，
∴m＝，
∴m＝n．
故答案为：m＝n．
21．（10分）如图，AD为△ABC的高，AE、BF为△ABC的角平分线，若∠CBF＝30°，∠AFB＝70°．
（1）∠BAD＝ 30 °；
（2）求∠DAE的度数；
（3）若点M为线段BC上任意一点，当△MFC为直角三角形时，直接写出∠BFM的度数．
【分析】（1）利用角平分线的定义求出∠ABC，再利用三角形内角和定理求出∠BAD．
（2）根据∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD，求出∠BAE，∠BAD即可．
（3）分两种情形：如图1中，当∠FMC＝90°时，如图2中，当∠MFC＝90°时，分别求解即可．
【解答】解：（1）∵BF平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠CBF＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣60°＝30°，
故答案为：30．
（2）∵∠AFB＝∠FBC+∠C，
∴∠C＝70°﹣30°＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
∵AE平分∠BAC，
∴，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣30°＝10°．
（3）如图1中，当∠FMC＝90°时，∠BFM＝90°﹣30°＝60°．
如图2中，当∠MFC＝90°时，∠BFM＝∠FMC﹣∠FBC＝（90°﹣40°）﹣30°＝20°，
综上所述，∠BFM度数为60°或20°．
22．（10分）某商店计划购进A、B两种商品，已知购进10个A商品比购进5个B种商品多50元，购进20个A商品和20个B商品一共用700元．
（1）求每件A种商品和每件B种商品的进价分别是多少元？
（2）商店决定购进A、B两种商品共50件，A种商品加价5元出售，B种商品比进价提高20%后出售，所有商品全部出售后利润不少于210元，求至少购进A种商品多少件？
【分析】（1）设每件A种商品的进价是x元，每件B种商品的进价是y元，根据“购进10个A商品比购进5个B种商品多50元，购进20个A商品和20个B商品一共用700元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A种商品m件，则购进B种商品（50﹣m）件，根据总利润＝每件的利润×销售数量，结合所有商品全部出售后利润不少于210元，
【解答】解：（1）设每件A种商品的进价是x元，每件B种商品的进价是y元，
依题意得：，
解得：．
答：每件A种商品的进价是15元，每件B种商品的进价是20元．
（2）设购进A种商品m件，则购进B种商品（50﹣m）件，
依题意得：5m+20×20%（50﹣m）≥210，
解得：m≥10．
答：至少购进A种商品10件．
23．（11分）【教材呈现】以下是华师版七年级下册数学教材第122页的部分内容．
如图，△ACD、△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD＝∠EAB＝90°，画出△ACE以点A为旋转中心、逆时针旋转90°后的三角形．
（1）【操作发现】请在图①中画出△ACE以点A为旋转中心、逆时针旋转90°后的三角形，写出旋转前后CE与其对应线段的数量关系和位置关系： EC＝BD，EC⊥BD ．
（2）【探究证明】如图②，把△ADB绕点A顺时针旋转90°得到△ACE，设DB、AB分别与CE交于点F、G，判断BD和EC的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）【问题解决】如图③，把△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，点D恰好落在BC上，DE与CA交于点F，若△BAD与△FAD关于直线AD对称，且BC＝10，BD＝3，则：
①∠CDE＝ 40 °；
②∠C＝ 30 °；
③线段EF的长是 7 ．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）结论：BD＝EC，BD⊥EC．利用全等三角形的性质解决问题即可．
（2）利用旋转变换的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，△ABD即为所求．EC＝BD，EC⊥BD[理由见（2）中证明]，
故答案为：EC＝BD，EC⊥BD．
（2）结论：BD＝EC，BD⊥EC．
理由：如图②中，
∵△ADB绕点A顺时针旋转90°得到△ACE，
∴△ADB≌△ACE，
∴BD＝EC，∠EAB＝∠CAD＝90°，∠E＝∠B，
又在△AEG和△FBG中，∠AGB＝∠FGB，
∴∠EAG＝∠BFG＝90°，
∴BD⊥EC．
故答案为：BD＝EC，BD⊥EC．
（3）如图③中，
由旋转的性质可知，AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣40°）＝70°，
∵△ADF与△ADB关于AD对称，
∴∠DAF＝∠DAB＝40°，
∴∠CAB＝80°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠CAB＝180°﹣70°﹣80°＝30°，
由旋转的性质可知，BC＝DE＝10，
∵BD＝DF＝3，
∴EF＝DE﹣DF＝10﹣3＝7，
故答案为：40，30，7．
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日期：2021/8/17 11:17:08；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298
2020-2021学年河南省南阳市宛城区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分。）（下列各小题只有一个答案是正确的．）
1．（3分）二元一次方程组最适宜用哪种方法直接消元（ ）
A．代入消元法 B．加减消元法 C．A、B都可以 D．A、B都不对
2．（3分）一个一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图，则此不等式组的解集是（ ）
A．x≤1 B．x＜3 C．1≤x＜3 D．x＜1
3．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）将方程3x﹣4y＝5变形为用含x的代数式表示y为（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
5．（3分）下列关于三角形的分类，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）将方程去分母得到3y+2+4y﹣1＝12，错在（ ）
A．分母的最小公倍数找错
B．去分母时，漏乘了分母为1的项
C．去分母时，分子部分没有加括号
D．去分母时，各项所乘的数不同
7．（3分）如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转90°，得到△M1N1P1，则其旋转中心是（ ）
A．点E B．点F C．点G D．点H
8．（3分）小聪为某机器人编制一段程序，如果机器人以0.5m/s的速度在平地上按照图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需的时间为（ ）
A．12s B．24s C．48s D．60s
9．（3分）如图，有一张边长为x的正方形ABCD纸板，在它的一个角上切去一个边长为y的正方形AEFG，剩下图形的面积是32，过点F作FH⊥DC，垂足为H．将长方形GFHD切下，与长方形EBCH重新拼成一个长方形，若拼成的长方形的较长的一边长为8，则正方形ABCD的面积是（ ）
A．24 B．32 C．36 D．64
10．（3分）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为10，BD平分∠ABC，若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．4.5 D．6
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）写出一个一元一次方程，要求：所写的方程必须直接利用等式性质2求出解．这样的方程可以为 ．
12．（3分）对于任意有理数a、b，定义一种运算：a※b＝b﹣2a．例如，3※5＝5﹣2×3＝﹣1．根据上述定义可知：不等式（3x﹣4）※1＞3的最大整数解是 ．
13．（3分）如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，∠B+∠E＝180°．若△ABC的面积为10cm2，则△DEF的面积为 cm2．
14．（3分）“从甲地到乙地，长途汽车原需行驶7个小时，开通高速公路后，路程缩短了30千米，车速平均每小时增加了30千米，结果只需4小时即可到达．”三位同学根据题意，分别获得如下数量关系：①设汽车原来的速度为x千米/小时，则7x﹣30＝4（x+30）；②设甲、乙两地之间的高速公路的路程为y千米，则﹣30＝；③设甲、乙两地之间的普通公路的路程为s千米，则＝﹣30．你认为其中正确的数量关系序号为 ．
15．（3分）若一个三角形中一个角的度数是另一个角的度数的3倍，则称这样的三角形为“和谐三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“和谐三角形”，如图，直角三角形ABC中，∠CAB＝90°，∠ABC＝60°，D是边CB上一动点．当△ADC是“和谐三角形”时，∠DAB的度数是 ．
三、解答题（共75分）
16．（8分）解方程：1﹣x＝3﹣x．
17．（9分）解不等式：（1﹣2x）＞，并把它的解集在数轴上表示出来．
解：去分母得：2（1﹣2x）＞3×3（2x﹣1），
…
（1）请完成上述解不等式的余下步骤；
（2）解题回顾：本题“去分母”这一步的变形依据是 （填“A”或“B”）．
A．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
B．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
18．（9分）如图，已知点A、B、C都在方格纸的格点上．
（1）若把线段BC平移后，对应线段恰好为AM，请画出线段AM；
（2）请你再找一个格点D，使点A、B、C、D组成一个轴对称图形，并画出对称轴．（请分别在下图及备用图中尽可能多地设计出不同的图形，格点D分别用D1、D2、D3、…表示）．
19．（9分）有两种消费券：A券，满60减20元；B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元、30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购买了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，求所购商品的标价为多少元？
20．（9分）我们把关于x、y的两个二元一次方程x+ky＝b与kx+y＝b（k≠1）叫做互为共轭二元一次方程；二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组．
（1）若关于x、y的方程组，为共轭方程组，则a＝ ，b＝ ；
（2）若二元一次方程x+ky＝b中x、y的值满足下列表格：
x
1
0
y
0
2
则这个方程的共轭二元一次方程是 ；
（3）解下列方程组（直接写出方程组的解即可）：
的解为 ；的解为 ；的解为 ．
（4）发现：若共轭方程组的解是，则m、n之间的数量关系是 ．
21．（10分）如图，AD为△ABC的高，AE、BF为△ABC的角平分线，若∠CBF＝30°，∠AFB＝70°．
（1）∠BAD＝ °；
（2）求∠DAE的度数；
（3）若点M为线段BC上任意一点，当△MFC为直角三角形时，直接写出∠BFM的度数．
22．（10分）某商店计划购进A、B两种商品，已知购进10个A商品比购进5个B种商品多50元，购进20个A商品和20个B商品一共用700元．
（1）求每件A种商品和每件B种商品的进价分别是多少元？
（2）商店决定购进A、B两种商品共50件，A种商品加价5元出售，B种商品比进价提高20%后出售，所有商品全部出售后利润不少于210元，求至少购进A种商品多少件？
23．（11分）【教材呈现】以下是华师版七年级下册数学教材第122页的部分内容．
如图，△ACD、△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD＝∠EAB＝90°，画出△ACE以点A为旋转中心、逆时针旋转90°后的三角形．
（1）【操作发现】请在图①中画出△ACE以点A为旋转中心、逆时针旋转90°后的三角形，写出旋转前后CE与其对应线段的数量关系和位置关系： ．
（2）【探究证明】如图②，把△ADB绕点A顺时针旋转90°得到△ACE，设DB、AB分别与CE交于点F、G，判断BD和EC的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）【问题解决】如图③，把△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，点D恰好落在BC上，DE与CA交于点F，若△BAD与△FAD关于直线AD对称，且BC＝10，BD＝3，则：
①∠CDE＝ °；
②∠C＝ °；
③线段EF的长是 ．
2020-2021学年河南省南阳市宛城区七年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分。）（下列各小题只有一个答案是正确的．）
1．（3分）二元一次方程组最适宜用哪种方法直接消元（ ）
A．代入消元法 B．加减消元法 C．A、B都可以 D．A、B都不对
【分析】因为①式中未知数y的系数为﹣2，②式中y的系数为2，﹣2于2互为相反数，则①+②即可得出答案．
【解答】解：根据题意，，
①+②，
得5x＝8，消去未知数y，
所以应用加减消元法比较适宜．
故选：B．
2．（3分）一个一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图，则此不等式组的解集是（ ）
A．x≤1 B．x＜3 C．1≤x＜3 D．x＜1
【分析】根据数轴上表示出的解集，找出公共部分即可．
【解答】解：根据数轴得：，
则此不等式组的解集为x≤1，
故选：A．
3．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
4．（3分）将方程3x﹣4y＝5变形为用含x的代数式表示y为（ ）
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
【分析】把x看做已知数求出y即可．
【解答】解：方程3x﹣4y＝5，
解得：y＝，
故选：A．
5．（3分）下列关于三角形的分类，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据三角形的分类可直接选出答案．
【解答】解：A、等腰直角三角形应该是直角三角形，不符合题意；
B、该选项中的三角形的分类正确，符合题意；
C、等腰三角形包括等边三角形，不符合题意；
D、等腰三角形包括等边三角形，不符合题意；
故选：B．
6．（3分）将方程去分母得到3y+2+4y﹣1＝12，错在（ ）
A．分母的最小公倍数找错
B．去分母时，漏乘了分母为1的项
C．去分母时，分子部分没有加括号
D．去分母时，各项所乘的数不同
【分析】去分母可得3（y+2）+2（2y﹣1）＝12，去括号得3y+6+4y﹣2＝12，由题即可求解．
【解答】解：方程去分母，
得，3（y+2）+2（2y﹣1）＝12，
去括号得，3y+6+4y﹣2＝12，
∴错在分子部分没有加括号，
故选：C．
7．（3分）如图，在4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转90°，得到△M1N1P1，则其旋转中心是（ ）
A．点E B．点F C．点G D．点H
【分析】根据旋转变换的性质，结合网格结构的特点作出NN1、PP1的垂直平分线，两垂直平分线的交点即为旋转中心．
【解答】解：如图，作出NN1、PP1的垂直平分线，交点为G，则点G是旋转中心，
故选：C．
8．（3分）小聪为某机器人编制一段程序，如果机器人以0.5m/s的速度在平地上按照图中的步骤行走，那么该机器人从开始到停止所需的时间为（ ）
A．12s B．24s C．48s D．60s
【分析】根据图中所示可知，该机器人所经过的路径是一个正多边形，利用360°除以60°，即可求得正多边形的边数，即可求得周长，利用周长除以速度即可求得所需时间．
【解答】解：由题意得，该机器人所经过的路径是一个正多边形，
多边形的边数为：＝6，
则所走的路程是：2×6＝12（m），
则所用时间是：12÷0.5＝24（s）．
故选：B．
9．（3分）如图，有一张边长为x的正方形ABCD纸板，在它的一个角上切去一个边长为y的正方形AEFG，剩下图形的面积是32，过点F作FH⊥DC，垂足为H．将长方形GFHD切下，与长方形EBCH重新拼成一个长方形，若拼成的长方形的较长的一边长为8，则正方形ABCD的面积是（ ）
A．24 B．32 C．36 D．64
【分析】根据拼图前后各部分之间的关系可求出x、y的值，再计算面积即可．
【解答】解：由题意可知，由于x＞y，
拼成的长方形的较长的边为（x+y），较短的边为（x﹣y），
因此有x+y＝8，（x+y）（x﹣y）＝32，
解得x＝6，y＝2，
因此正方形ABCD的面积为62＝36，
故选：C．
10．（3分）如图，在锐角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面积为10，BD平分∠ABC，若M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．4.5 D．6
【分析】过C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，则CE即为CM+MN的最小值，再根据三角形的面积公式求出CE的长，即为CM+MN的最小值．
【解答】解：过C作CE⊥AB于点E，交BD于点M′，过点M′作M′N′⊥BC于N′，如图：
∵BD平分∠ABC，M′E⊥AB于点E，M′N′⊥BC于N′，
∴M′N′＝M′E，
∴CE＝CM′+M′E＝CM′+M′N′是CM+MN最小值，此时M与M′重合，N与N′重合，
∵三角形ABC的面积为10，AB＝4，
∴×4•CE＝10，
∴CE＝5．
即CM+MN的最小值为5．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）写出一个一元一次方程，要求：所写的方程必须直接利用等式性质2求出解．这样的方程可以为 3x＝5（答案不唯一） ．
【分析】此题属于开放型题目，答案不唯一，根据一元一次方程的定义和等式的性质填空．
【解答】解：依题意，得3x＝5．
故答案是：3x＝5（答案不唯一）．
12．（3分）对于任意有理数a、b，定义一种运算：a※b＝b﹣2a．例如，3※5＝5﹣2×3＝﹣1．根据上述定义可知：不等式（3x﹣4）※1＞3的最大整数解是 0 ．
【分析】先根据新定义列出不等式1﹣2（3x﹣4）＞3，解之可得x的取值范围，继而得出答案．
【解答】解：根据题意知1﹣2（3x﹣4）＞3，
去括号，得：1﹣6x+8＞3，
移项，得：﹣6x＞3﹣1﹣8，
合并同类项，得：﹣6x＞﹣6，
系数化为1，得：x＜1，
则不等式（3x﹣4）※1＞3的最大整数解是0，
故答案为：0．
13．（3分）如图，在△ABC和△DEF中，AB＝DE，BC＝EF，∠B+∠E＝180°．若△ABC的面积为10cm2，则△DEF的面积为 10 cm2．
【分析】平移△DEF使DE与AB重合，由∠B+∠E＝180°可知C、B、E、F在同一条直线上，结合BC＝EF，从而可得：S△ABC＝S△DEF，于是可得解．
【解答】解：由AB＝DE，∠B+∠E＝180°，则可平移△DEF使DE与AB重合，
于是C、B、E、F在同一条直线上，
∵BC＝EF，
∴S△ABC＝S△DEF，
∵△ABC的面积为10cm2，
∴S△DEF＝10cm2，
故答案为：10．
14．（3分）“从甲地到乙地，长途汽车原需行驶7个小时，开通高速公路后，路程缩短了30千米，车速平均每小时增加了30千米，结果只需4小时即可到达．”三位同学根据题意，分别获得如下数量关系：①设汽车原来的速度为x千米/小时，则7x﹣30＝4（x+30）；②设甲、乙两地之间的高速公路的路程为y千米，则﹣30＝；③设甲、乙两地之间的普通公路的路程为s千米，则＝﹣30．你认为其中正确的数量关系序号为 ①②③ ．
【分析】根据题意和各个小题中设的未知数，可以分别列出相应的方程，然后即可列出相应的方程，从而可以解答本题．
【解答】解：设汽车原来的速度为x千米/小时，则7x﹣30＝4（x+30），故①正确；
设甲、乙两地之间的高速公路的路程为y千米，则﹣30＝，故②正确；
设甲、乙两地之间的普通公路的路程为s千米，则＝﹣30，故③正确；
故答案为：①②③．
15．（3分）若一个三角形中一个角的度数是另一个角的度数的3倍，则称这样的三角形为“和谐三角形”．例如，三个内角分别为120°，40°，20°的三角形是“和谐三角形”，如图，直角三角形ABC中，∠CAB＝90°，∠ABC＝60°，D是边CB上一动点．当△ADC是“和谐三角形”时，∠DAB的度数是 30°或80°或52.5° ．
【分析】分三种情况进行讨论：①当∠ADC＝3∠C时；②当∠C＝3∠CAD时；③当∠ADC＝3∠CAD时．根据“和谐三角形”的定义求解即可．
【解答】解：∵∠CAB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠C＝90°﹣∠ABC＝30°．
当△ADC是“和谐三角形”时，分三种情况：
①当∠ADC＝3∠C时，∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C＝60°，
∴∠DAB＝∠CAB﹣∠CAD＝30°；
②当∠C＝3∠CAD时，∠CAD＝10°，
∴∠DAB＝∠CAB﹣∠CAD＝80°；
③当∠ADC＝3∠CAD时，
∵∠ADC+∠CAD＝180°﹣∠C＝150°，
∴∠CAD＝×150°＝37.5°，
∴∠DAB＝∠CAB﹣∠CAD＝52.5°．
综上所述，∠DAB的度数是30°或80°或52.5°．
故答案为：30°或80°或52.5°．
三、解答题（共75分）
16．（8分）解方程：1﹣x＝3﹣x．
【分析】方程先移项、再合并同类项，可得，求得x＝﹣6．
【解答】解：1﹣x＝3﹣x，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得x＝﹣6．
17．（9分）解不等式：（1﹣2x）＞，并把它的解集在数轴上表示出来．
解：去分母得：2（1﹣2x）＞3×3（2x﹣1），
…
（1）请完成上述解不等式的余下步骤；
（2）解题回顾：本题“去分母”这一步的变形依据是 A （填“A”或“B”）．
A．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
B．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
【分析】（1）依次去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得答案；
（2）根据不等式的基本性质求解即可．
【解答】解：（1）去括号得：2﹣4x＞18x﹣9，
移项得：﹣4x﹣18x＞﹣9﹣2，
合并同类项得：﹣22x＞﹣11，
系数化为1得：，
不等式的解集在数轴上表示为：
（2）本题“去分母”这一步的变形依据是：不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，
故答案为：A．
18．（9分）如图，已知点A、B、C都在方格纸的格点上．
（1）若把线段BC平移后，对应线段恰好为AM，请画出线段AM；
（2）请你再找一个格点D，使点A、B、C、D组成一个轴对称图形，并画出对称轴．（请分别在下图及备用图中尽可能多地设计出不同的图形，格点D分别用D1、D2、D3、…表示）．
【分析】（1）利用平移变换的性质作出图形即可．
（2）根据轴对称图形的性质解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，线段AM即为所求．
（2）如图，点D以及对称轴，如图所示．
19．（9分）有两种消费券：A券，满60减20元；B券，满90元减30元，即一次购物大于等于60元、90元，付款时分别减20元、30元．小敏有一张A券，小聪有一张B券，他们都购买了一件标价相同的商品，各自付款，若能用券时用券，这样两人共付款150元，求所购商品的标价为多少元？
【分析】设所购商品的标价为x元，根据标价﹣消费券＝实际付款列出方程解方程即可．
【解答】解：设所购商品的标价为x元，
根据题意列方程得：（x﹣30）+（x﹣20）＝150，
解得x＝100，
答：所购商品的标价为100元．
20．（9分）我们把关于x、y的两个二元一次方程x+ky＝b与kx+y＝b（k≠1）叫做互为共轭二元一次方程；二元一次方程组，叫做共轭二元一次方程组．
（1）若关于x、y的方程组，为共轭方程组，则a＝ ﹣1 ，b＝ 1 ；
（2）若二元一次方程x+ky＝b中x、y的值满足下列表格：
x
1
0
y
0
2
则这个方程的共轭二元一次方程是 ；
（3）解下列方程组（直接写出方程组的解即可）：
的解为 ；的解为 ；的解为 ．
（4）发现：若共轭方程组的解是，则m、n之间的数量关系是 m＝n ．
【分析】（1）含x项的系数和含y项的系数相等，常数项相等；
（2）先求k和b，再写共轭二元一次方程；
（3）消元法求解；
（4）利用整体思想求解．
【解答】解：（1）由定义可得：1﹣a＝2，b+2＝3，
∴a＝﹣1，b＝1，
故答案为：﹣1，1．
（2）将x＝1，y＝0和x＝0，y＝2分别代入x+ky＝b，得：
，解得：，
∴二元一次方程为：x+y＝1，
∴共轭二元一次方程为：，
故答案为：．
（3）解方程组，
①×2﹣②得：3y＝3，
∴y＝1，
将y＝1代入①得，x+2＝3，
∴x＝1，
∴方程组的解为：．
解方程组，
③×2﹣④×3得：﹣5y＝10，
∴y＝﹣2，
将y＝﹣2代入③得：3x﹣4＝﹣10，
∴x＝﹣2，
∴方程组的解为：．
解方程组，
⑤×2+⑥得：3x＝12，
∴x＝4，
将x＝4代入⑤得：8﹣y＝4，
∴y＝4，
∴方程组的解为：，
故答案为：，，．
（4）将x＝m，y＝n，代入方程组得：，
①×k﹣②得：（k2﹣1）n＝（k﹣1）b，
∵k≠1，
∴n＝，
将n＝代入②得：km+＝b，
∴m＝，
∴m＝n．
故答案为：m＝n．
21．（10分）如图，AD为△ABC的高，AE、BF为△ABC的角平分线，若∠CBF＝30°，∠AFB＝70°．
（1）∠BAD＝ 30 °；
（2）求∠DAE的度数；
（3）若点M为线段BC上任意一点，当△MFC为直角三角形时，直接写出∠BFM的度数．
【分析】（1）利用角平分线的定义求出∠ABC，再利用三角形内角和定理求出∠BAD．
（2）根据∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD，求出∠BAE，∠BAD即可．
（3）分两种情形：如图1中，当∠FMC＝90°时，如图2中，当∠MFC＝90°时，分别求解即可．
【解答】解：（1）∵BF平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠CBF＝60°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣60°＝30°，
故答案为：30．
（2）∵∠AFB＝∠FBC+∠C，
∴∠C＝70°﹣30°＝40°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣60°﹣40°＝80°，
∵AE平分∠BAC，
∴，
∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝40°﹣30°＝10°．
（3）如图1中，当∠FMC＝90°时，∠BFM＝90°﹣30°＝60°．
如图2中，当∠MFC＝90°时，∠BFM＝∠FMC﹣∠FBC＝（90°﹣40°）﹣30°＝20°，
综上所述，∠BFM度数为60°或20°．
22．（10分）某商店计划购进A、B两种商品，已知购进10个A商品比购进5个B种商品多50元，购进20个A商品和20个B商品一共用700元．
（1）求每件A种商品和每件B种商品的进价分别是多少元？
（2）商店决定购进A、B两种商品共50件，A种商品加价5元出售，B种商品比进价提高20%后出售，所有商品全部出售后利润不少于210元，求至少购进A种商品多少件？
【分析】（1）设每件A种商品的进价是x元，每件B种商品的进价是y元，根据“购进10个A商品比购进5个B种商品多50元，购进20个A商品和20个B商品一共用700元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进A种商品m件，则购进B种商品（50﹣m）件，根据总利润＝每件的利润×销售数量，结合所有商品全部出售后利润不少于210元，
【解答】解：（1）设每件A种商品的进价是x元，每件B种商品的进价是y元，
依题意得：，
解得：．
答：每件A种商品的进价是15元，每件B种商品的进价是20元．
（2）设购进A种商品m件，则购进B种商品（50﹣m）件，
依题意得：5m+20×20%（50﹣m）≥210，
解得：m≥10．
答：至少购进A种商品10件．
23．（11分）【教材呈现】以下是华师版七年级下册数学教材第122页的部分内容．
如图，△ACD、△AEB都是等腰直角三角形，∠CAD＝∠EAB＝90°，画出△ACE以点A为旋转中心、逆时针旋转90°后的三角形．
（1）【操作发现】请在图①中画出△ACE以点A为旋转中心、逆时针旋转90°后的三角形，写出旋转前后CE与其对应线段的数量关系和位置关系： EC＝BD，EC⊥BD ．
（2）【探究证明】如图②，把△ADB绕点A顺时针旋转90°得到△ACE，设DB、AB分别与CE交于点F、G，判断BD和EC的数量关系和位置关系，并说明理由；
（3）【问题解决】如图③，把△ABC绕点A逆时针旋转40°得到△ADE，点D恰好落在BC上，DE与CA交于点F，若△BAD与△FAD关于直线AD对称，且BC＝10，BD＝3，则：
①∠CDE＝ 40 °；
②∠C＝ 30 °；
③线段EF的长是 7 ．
【分析】（1）根据要求作出图形即可．
（2）结论：BD＝EC，BD⊥EC．利用全等三角形的性质解决问题即可．
（2）利用旋转变换的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理解决问题即可．
【解答】解：（1）如图，△ABD即为所求．EC＝BD，EC⊥BD[理由见（2）中证明]，
故答案为：EC＝BD，EC⊥BD．
（2）结论：BD＝EC，BD⊥EC．
理由：如图②中，
∵△ADB绕点A顺时针旋转90°得到△ACE，
∴△ADB≌△ACE，
∴BD＝EC，∠EAB＝∠CAD＝90°，∠E＝∠B，
又在△AEG和△FBG中，∠AGB＝∠FGB，
∴∠EAG＝∠BFG＝90°，
∴BD⊥EC．
故答案为：BD＝EC，BD⊥EC．
（3）如图③中，
由旋转的性质可知，AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝（180°﹣40°）＝70°，
∵△ADF与△ADB关于AD对称，
∴∠DAF＝∠DAB＝40°，
∴∠CAB＝80°，
∴∠C＝180°﹣∠B﹣∠CAB＝180°﹣70°﹣80°＝30°，
由旋转的性质可知，BC＝DE＝10，
∵BD＝DF＝3，
∴EF＝DE﹣DF＝10﹣3＝7，
故答案为：40，30，7．
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