2018-2019学年山东省青岛市市北区青岛第五十三中学八上期末数学试卷

这是一份2018-2019学年山东省青岛市市北区青岛第五十三中学八上期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共8小题；共40分）
1. −8 的立方根是
A. −2B. 2C. 2 或 −2D. 64

2. 下列各数：① 23；② 3.14；③ 0.21；④ 3−0.8；⑤ −13，其中的无理数有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

3. 在平面直角坐标系中，已知点 Am,3 与点 B4,n 关于 y 轴对称，那么 m+n2019 的值为
A. 1B. −1C. −72019D. 72018

4. 如图，矩形 ABCD 的边 AD 长为 2，AB 长为 1，点 A 在数轴上对应的是 −1，以 A 点为圆心，对角线 AC 长为半径画弧，交数轴于点 E，则这个点 E 表示的实数是
A. 5+1B. 5C. 5−1D. 1−5

5. 下面的统计图表示某体校射击队甲、乙两名队员射击比赛的成绩，根据统计图中的信息，下列结论正确的是
A. 甲队员成绩的平均数比乙队员的大
B. 乙队员成绩的平均数比甲队员的大
C. 甲队员成绩的中位数比乙队员的大
D. 甲队员成绩的方差比乙队员的大

6. 如图，一个底面边等边三角形的三棱镜，在三棱镜的侧面上，从顶点 A 到顶点 Aʹ 镶有一圆金属丝，已知此三棱镜的高为 8 cm, 底面边长为 2 cm, 则这圈金属丝的长度至少为
A. 8 cmB. 10 cmC. 12 cmD. 15 cm

7. 如图，已知一次函数 y=kx+b 的图象与 x 轴，y 轴分别交于点 2,0，点 0,3．有下列结论：
①关于 x 的方程 kx+b=0 的解为 x=2．
②关于 x 的方程 kx+b=3 的解为 x=0．
③当 x>2 时，y<0．
④当 x<0 时，y<3．
其中正确的是
A. ①②③B. ①③④C. ②③④D. ①②④

8. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，AC=BC=4，D 为 BC 的中点，DE⊥AB，垂足为 E．过点 B 作 BF∥AC 交 DE 的延长线于点 F，连接 CF，AF．现有如下结论：① AD 平分 ∠CAB；② BF=2；③ AD⊥CF；④ AF=25；⑤ ∠CAF=∠CFB．其中正确的结论有
A. 2 个B. 3 个C. 4 个D. 5 个

二、填空题（共6小题；共30分）
9. 某校招聘一名数学老师，对应聘者分别进行了教学能力、科研能力和组织能力三项测试，其中甲、乙两名应聘者的成绩如表所示（单位：分），如果根据实际需要，学校将教学、科硏和组织能力三项测试得分按 5:3:2 的比例计算两人的总成绩，得分高者被录用，那么 将被录用．
教学能力科研能力组织能力甲818586乙928074

10. 如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为 E，∠1=50∘，则 ∠2 的度数是 ．

11. 市关工委准备为希望小学购进图书和文具若干套，已知 2 套文具和 3 套图书需 104 元；3 套文具和 2 套图书需 116 元，则 1 套文具和 1 套图书需 元．

12. 一次函数 y1=k1x+b 和 y2=k2x 图象上的一部分点的坐标如下表所示：
x⋯0123⋯y1⋯−4−125⋯
x⋯−4123⋯y2⋯4−1−2−3⋯
则方程组 y1=k1x+b,y2=k2x 的解为 ．

13. 在平面直角坐标系 xOy 中，A0,2，B4,0，点 P 与 A，B 不重合．若以 P，O，B 三点为顶点的三角形与 △ABO 全等，则点 P 的坐标为 ．

14. 如图，点 A 的坐标为 4,0，点 B 从原点出发，沿 y 轴负方向以每秒 1 个单位长度的速度运动，分别以 OB，AB 为直角边在第三、第四象限作等腰 Rt△OBF，等腰 Rt△ABE，连接 EF 交 y 轴于 P 点，当点 B 在 y 轴上运动时，经过 t 秒时，点 E 的坐标是 （用含 t 的代数式表示），PB 的长是 ．

三、解答题（共9小题；共117分）
15. 如图，△ABC 中，A 点坐标为 2,4，B 点坐标为 −3,−2，C 点坐标为 3,1．
（1）在图中画出 △ABC 关于 y 轴对称的 △AʹBʹCʹ，写出点 Aʹ，Bʹ，Cʹ 的坐标．
（2）△ABC 的面积 = ．

16. 计算．
（1）212−418+348．
（2）315−15−603．

17. 解方程组：
（1）3x−y=13,5x+2y=7.
（2）3x−4y=4,x2+y3=3.

18. 如图，在一条东西走向河的一侧有一村庄 C，河边原有两个取水点 A，B，由于某种原因，由 C 到 A 的路现在已经不通，村里为方便村民取水决定在河边新建一个取水点 H（A，H，B 在一条直线上），并新修一条路 CH，测得 CB=3 千米，CH=2.4 千米，HB=1.8 千米．CH 是否为从村庄 C 到河边的最近路?请通过计算加以说明．

19. 某校八年级学生开展跳绳比赛活动，每班派 5 名学生参加，按团体总分多少排列名次，统计发现成绩最好的甲班、乙班总分相等，下表是甲班和乙班的学生数据（单位：个）：
选手1号2号3号4号5号总数甲班1009810594103500乙班991009510997500
此时有学生建议，可以通过考察数据中的其他信息作为参考．请解答下列问题：
（1）求两班比赛数据的中位数以及方差．
（2）请根据以上数据，说明应该定哪一个班为冠军?为什么?

20. 如图，在 △ABC 中，AB=AC，AD⊥BC 于点 D，AM 是 △ABC 的外角 ∠CAE 的平分线．
（1）求证：AM∥BC；
（2）若 DN 平分 ∠ADC 交 AM 于点 N，判断 △ADN 的形状并说明理由．

21. 甲骑自行车从 A 地出发前往 B 地，同时乙步行从 B 地出发前往 A 地，如图的折线 OPQ 和线段 EF，分别表示甲、乙两人与 A 地的距离 y甲 、 y乙 与他们所行时间 xh 之间的函数关系，且 OP 与 EF 相交于点 M．
（1）求线段 OP 对应的 y甲 与 x 的函数关系式．
（2）求 y乙 与 x 的函数关系式以及 A，B 两地之间的距离．
（3）求经过多少小时，甲、乙两人相距 3 km．

22. 回答下列各题：
（1）特例研究：如图①，等边 △ABC 的边长为 8，求等边 △ABC 的高．
（2）经验提升：如图②，在 △ABC 中，AB=AC≠BC，点 P 为线段 BC 上的任一点，过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥AC 垂足分别为 D，E，过点 C 作 CF⊥AB，垂足为 F．补全图形，判断线段 PD，PE，CF 的数量关系，并说明理由．
（3）综合应用：如图③，在平面直角坐标系中有两条直线 l1:y=34x+3，l2:y=−3x+3，若线段 BC 上有一点 M 到 l1 的距离是 1，请运用 2 中的结论求出点 M 的坐标．

23. 如图 1，平面直角坐标系中，直线 y=−x+6 与直线 y=2x 交于点 C2,4．
（1）x 轴上是否存在点 P，使 △COP 的面积是 △ACO 面积的二倍?若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，说明理由．
（2）如图 2，若点 E 是 x 轴上的一个动点，点 E 的横坐标为 mm>0，过点 E 作 直线l⊥x轴 于点 E，交直线 y=2x 于点 F，交直线 y=−x+6 于点 G，求 m 为何值时，△COB≌△CFG?请说明理由．
（3）在（2）的前提条件下，直线 l 上是否存在点 Q，使 OQ+BQ 的值最小?若存在，直接写出点 Q 的坐标；若不存在，说明理由．
答案
第一部分
1. A【解析】∵−23=−8，
∴−8 的立方根是 −2．
2. C【解析】在所列实数中，无理数有①④⑤这 3 个．
3. B【解析】∵ 点 Am,3 与点 B4,n 关于 y 轴对称，
∴m=−4，n=3，
∴m+n2019=−4+32019=−1．
4. C【解析】如图所示：连接 AC，
由题意可得：AC=5，
则点 E 表示的实数是：5−1．
故选C．
5. D
【解析】甲队员 10 次射击的成绩分别为 6，7，7，7，8，8，9，9，9，10，
则中位数 8+82=8，
甲 10 次射击成绩的平均数 =6+3×7+2×8+3×9+10÷10=8（环），
乙队员 10 次射击的成绩分别为 6，7，7，8，8，8，8，9，9，10，
则中位数是 8，
乙 10 次射击成绩的平均数 =6+2×7+4×8+2×9+10÷9=8（环），
甲队员成绩的方差 =110×6−82+3×7−82+2×8−83+3×9−82+10−82=1.4；
乙队员成绩的方差 =110×6−82+2×7−82+4×8−83+2×9−82+10−82=1.2．
综上可知甲、乙的中位数相同，平均数相同，甲的方差大于乙的方差．
6. B【解析】将三棱柱沿 AAʹ 展开，其展开图如图，
则 AAʹ=82+62=10cm．
7. A【解析】由图象得：
①关于 x 的方程 kx+b=0 的解为 x=2，正确．
②关于 x 的方程 kx+b=3 的解为 x=0，正确．
③当 x>2 时，y<0，正确．
④当 x<0 时，y>3，错误．
故选：A．
8. C【解析】①错误，
∵CD=DB，
∴AD 是 △ACB 的中线，如果是角平分线，
则 AC=BC，显然与已知矛盾，故错误；
②正确，易证 △DBF 是等腰直角三角形，故 BF=BD=2；
③正确，
∵AC=BC，∠ACD=∠CBF，CD=BF，
∴△ACD≌△CBF，
∴∠CAD=∠BCF，
∵∠BCF+∠ACF=90∘，
∴∠CAD+∠ACF=90∘，
∴AD⊥CF；
④正确，在 Rt△ACD 中，
AD=AC2+CD2=42+22=25，
易证 AF=AD=25；
⑤正确，
∵△ACD≌△CBF，
∴AD=CF=AF，
∴∠CAF=∠FCA，
∵AC∥BF，
∴∠CFB=∠FCA=∠CAF．
第二部分
9. 乙
【解析】甲的加权平均数 =81×5+85×3+86×210=83.2（分），
乙的加权平均数 =92×5+80×3+74×210=84.8（分），
∵84.8>83.2，
∴ 乙的成绩比较好．
故答案为：乙．
10. 40∘
【解析】∵∠1=50∘，FE⊥DB，
∴∠D=40∘，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠D=40∘．
11. 44
【解析】设 1 套文具 x 元，1 套图书 y 元，
根据题意得：2x+3y=104,3x+2y=116,
① + ②，得 5x+5y=220，
∴x+y=44．
故答案为：44．
12. x=1,y=−1
【解析】由表可知，一次函数 y1=k1x+b 和 y2=k2x 的图象交点为 1,−1，
所以方程组 y1=k1x+b,y2=k2x 的解为 x=1,y=−1,
故答案为：x=1,y=−1.
13. 0,−2；4,2；4,−2
【解析】如图所示：
P，O，B 三点为顶点的三角形与 △ABO 全等，则 P0,−2 或 4,−2 或 4,2．
14. t,−t−4，2
【解析】如图，作 EN⊥y 轴于 N，
∵∠ENB=∠BOA=∠ABE=90∘，
∴∠OBA+∠NBE=90∘，∠OBA+∠OAB=90∘，
∴∠NBE=∠BAO，
在 △ABO 和 △BEN 中，
∵∠AOB=∠BNE,∠BAO=∠NBE,AB=BE,
∴△ABO≌△BEN（AAS），
∴OB=NE=BF，BN=OA=4，
∴ 点 E 的坐标是 t,−t−4，
∵∠OBF=∠FBP=∠BNE=90∘，
在 △BFP 和 △NEP 中，
∵∠FPB=∠EPN,∠FBP=∠ENP,BF=NE,
∴△BFP≌△NEP（AAS），
∴BP=NP，
又 ∵ 点 A 的坐标为 4,0，
∴OA=BN=4，
∴BP=NP=2．
第三部分
15. （1） 如图所示．
Aʹ−2,4，Bʹ3,−2．
（2） 1012
【解析】S△ABC=6×6−12×5×6−12×6×3−12×1×3=36−15−9−112=1012.
16. （1） 原式=43−2+123=163−2.
（2） 原式=355−153−603=355−5+25=855.
17. （1）
3x−y=13, ⋯⋯①5x+2y=7. ⋯⋯②
① ×2+ ②，得：
11x=33.
解得：
x=3.
将 x=3 代入①，得：
9−y=13.
解得：
y=−4.
则方程组的解为
x=3,y=−4.
（2）
3x−4y=4, ⋯⋯①x2+y3=3. ⋯⋯②
② ×6− ①得：
6y=14.
解得：
y=73.
把 y=73 代入①得，
x=409.
则方程组的解为：
x=409,y=73.
18. CH 是从村庄 C 到河边得最近路．
在 △CHB 中，
∵CH2+BH2=2.42+1.82=9，
BC2=9，
∴CH2+BH2=BC2，
∴CH⊥AB，
∴CH 是从村庄 C 到河边的最近路．
19. （1） 把甲班的成绩从小到大排列为：94，98，100，103，105，则甲班的中位数为 100，把乙班的成绩从小到大排列为：95，97，99，100，109，则乙班的中位数为 99，
甲班的平均数是：1594+98+100+103+105=100（分），
s甲2=1594−1002+98−1002+100−1002+103−1002+105−1002=14.8，
乙班的平均数是：1595+97+99+100+109=100（分），
s乙2=1595−1002+97−1002+99−1002+100−1002+109−1002=23.2．
（2） 从方差看，甲班成绩稳定，甲为冠军．
20. （1） ∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC
∵AM 平分 ∠EAC，
∴∠EAM=∠MAC=12∠EAC．
∴∠MAD=∠MAC+∠DAC=12∠EAC+12∠BAC=12×180∘=90∘．
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90∘，
∴∠MAD+∠ADC=180∘，
∴AM∥BC．
（2） △ADN 是等腰直角三角形．
理由是：∵AM∥BC，
∴∠AND=∠NDC，
∵DN 平分 ∠ADC，
∴∠ADN=∠NDC=∠AND．
∴AD=AN．
∴△ADN 是等腰直角三角形．
21. （1） 将 0.5,9 代入到 y=kx 中，k=18，
∴ y=18x．
（2） 将 0.5,9 和 2,0 代入到 y=kx+b，k=−6，b=12，
∴ y=−6x+12，
将 x=0 代入，得 y=12，
∴ A，B 两地之间的距离是 12 千米．
（3） 应该分类讨论，有两个时间两人相距 3 千米．
当 0当 12综上所述，当时间为 38 h 或 58 h 时，两人相距 3 千米．
22. （1） 如图①，过点 A 作 AG⊥BC 于 G，
∵△ABC 是等边三角形，
∴BG=12BC=4，
在 Rt△ABG 中，AB=8，
∴AG=AB2−BG2=43，
则等边 △ABC 的高为 43．
（2） ①当点 P 在边 BC 上时，PD+PE=CF，如图②，连接AP，
∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，
∴S△ABP=12AB⋅PD，S△ACP=12AC⋅PE，S△ABC=12AB⋅CF，
∵S△ABP+S△ACP=S△ABC，
∴12AB⋅PD+12AC⋅PE=12AB⋅CF
∵AB=AC，
∴PD+PE=CF．
②当点 P 在 BC 的延长线上时，PD−PE=CF，
理由：如图③，连接 AP，
∵PD⊥AB，PE⊥AC，CF⊥AB，
∴S△ABP=12AB⋅PD，S△ACP=12AC⋅PE，S△ABC=12AB⋅CF
∵S△ABP−S△ACP=S△ABC
∴12AB⋅PD−12AC⋅PE=12AB⋅CF
∵AB=AC，
∴PD−PE=CF．
（3） 如图④，由题意可求得 A−4,0，B0,3，C1,0，
∴AB=5，AC=5，BC=12+32=10，OB=3，
过 M 分别作 MP⊥x 轴，MQ⊥AB，垂足分别为 P，Q．
∵l2 上的一点 M 到 l1 的距离是 1，
∴MQ=1．
由图②的结论得：MP+MQ=3，
∴MP=2，
∴M 点的纵坐标为 2，
又 ∵M 在直线 y=−3x+3，
∴ 当 y=2 时，x=13
∴M 坐标为 13,2．
23. （1） 点 P 的坐标为 −12,0 或 12,0．
【解析】当 y=0 时，−x+6=0，解得 x=6，
∴ 点 A 的坐标为 6,0，OA=6，
∵△COP 和 △ACO 等高，且 △COP 的面积是 △ACO 面积的二倍，
∴OP=2OA=12，
∴ 点 P 的坐标为 −12,0 或 12,0．
（2） ∵OB∥FG，
∴∠OBC=∠FGC，∠BOC=∠GFC，
∴△COB∽△CFG，
当 x=0 时，y=−x+6=6，
∴ 点 B 的坐标为 0,6，
若要 △COB≌△CFG，只需 BC=GC，
∵ 点 B 的坐标为 0,6，点 C 的坐标为 2,4，
∴ 点 G 的坐标为 4,2，
又 ∵FG⊥x 轴，
∴m=4，
∴ 当 m=4 时，△COB≌△CFG．
（3） 4,3．
【解析】由（2）可知，直线 l 的解析式为 x=4，作点 O 关于直线 l 对称的对称点 D，连接 BD，交直线 l 于点 Q，如图 3 所示，
∵ 点 O，D 关于直线 l 对称，
∴OQ=DQ，点 D 的坐标为 8,0，
∵B，Q，D 共线，
∴ 此时 OQ+BQ 取得最小值，
设直线 BD 的解析式为 y=kx+bk≠0，
将 B0,6，D8,0 代入 y=kx+b，得：b=6,8k+b=0,
解得：k=−34,b=6,
∴ 直线 BD 的解析式为 y=−34x+6，
当 x=4 时，y=−34x+6=3，
∴ 直线 l 上存在点 Q，使 OQ+BQ 的值最小，点 Q 的坐标为 4,3．