2019-2020学年广东省广州市黄埔区九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年广东省广州市黄埔区九上期末数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 方程 xx−5=0 的根是
A. x=0B. x=5C. x1=0，x2=−5D. x=0，x2=5

2. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

3. 设二次函数 y=x−12−2 图象的对称轴为直线 l，点 M 在直线 l 上，则点 M 的坐标可能是
A. 2,0B. −2,0C. 1,0D. 0,−1

4. 在平面内任意画一个四边形，其内角和是 180∘．这事件是
A. 随机事件B. 必然事件
C. 不可能事件D. 以上选项均不正确

5. 如图，四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形，连接 OA，OC，下列结论正确的是
A. ∠ABC+∠AOC=180∘B. ∠ABC+∠ADC=180∘
C. ∠OAB+∠OCB=180∘D. ∠BAD+∠BCO=180∘

6. 双曲线 y=kxk≠0 与直线 y=−12x 交于 A，B 两点，且点 A−2,m，则点 B 的坐标是
A. 12,−1B. −1,12C. 1,−2D. 2,−1

7. 关于 x 的一元二次方程 kx2+2x−1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是
A. k≠0B. k≥−1 且 k≠0
C. k>−1 且 k≠0D. k>−1

8. 若等腰直角三角形的外接圆半径的长为 2，则其内切圆半径的长为
A. 22−2B. 2−2C. 2−1D. 2

9. 如图，⊙O 的半径为 2，点 C 是圆上的一个动点，CA⊥x 轴，CB⊥y 轴，垂足分别为 A，B，AB 与 OC 相交于点 D，当点 C 在 ⊙O 上运动一周时，点 D 运动的路径长为
A. π4B. π2C. πD. 2π

10. 抛物线 y=ax2+bx+ca≠0 的图象如图所示，则一次函数 y=bx+b2−4ac 与反比例函数 y=a+b+ca−b+cx 在同一坐标系内的图象大致是
A. B.
C. D.

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 二次函数 y=3x−12+5 的最小值为 ．

12. 已知反比例函数 y=m−4x 在每个象限内 y 随 x 的增大而减小，而 m 的取值范围是 ．

13. 已知扇形的圆心角为 120∘，它所对弧长为 20π cm，则扇形的半径为 ．

14. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，∠B=60∘，BC=2，将 △ABC 绕点 C 顺时针旋转得到 △AʹBʹC，连接 ABʹ 若点 A，Bʹ，Aʹ 在同一条直线上，则 AAʹ 的长为 ．

15. 已知 x=2 是关于 x 的一元二次方程 kx2+k2−2x+2k+4=0 的一个根，则 k 的值为 ．

16. 已知点 Px0,m 和 Q1,n 在二次函数 y=x+ax−a−1a≠0 的图象上，且 m①该二次函数与 x 轴交于点 −a,0 和 a+1,0；
②该二次函数的对称轴是 x=12；
③该二次函数的最小值是 a+122；
④ 0其中正确的是 （填写序号）．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解方程：x2−6x+8=0．

18. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，OC=10 cm，CD=16 cm，求 AE 的长．

19. 抛物线 y=x2+4x+3．
（1）求出这条抛物线对称轴和顶点坐标．
（2）在所给的平面直角坐标系中用描点法画出这条抛物线．

20. 一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有 1 个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为 23．
（1）求袋子中白球的个数．
（2）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．

21. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标为 A−4,1，B−2,3，C−1,2．
（1）画出 △ABC 关于原点 O 成中心对称的 △AʹBʹCʹ，点 Aʹ，Bʹ，Cʹ 分别是点 A，B，C 的对应点．
（2）求过点 Bʹ 的反比例函数解析式．
（3）判断 AʹBʹ 的中点 P 是否在（2）中的函数图象上?

22. 销售一批足球纪念册，每本进价 40 元，规定销售单价不低于 44 元，且获利不高于 30%．试销售期间发现，当销售单价定为 44 元时，每天可售出 300 本，销售单价每上涨 1 元，每天销售量减少 10 本，现商店决定提价销售．设每天销售量为 y 本，销售单价为 x 元．
（1）请直接写出 y 与 x 之间的函数关系式和自变量 x 的取值范围．
（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利 2400 元．
（3）足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润 w 元最大?最大利润是多少元．

23. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 C 是 ⊙O 上一点，AC=BC，点 D 是 AB 上一点（点 D 与 A，B 不重合），连接 CD．
（1）用尺规作图：线段 CD 绕点 C 按逆时针方向旋转 90∘ 得到线段 CE，连接 DE 交 BC 于点 F，连接 BE．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）当 AD=BF 时，求 ∠BEF 的度数．
（3）求证：AD2+BD2=2CD2．

24. 已知抛物线 C1:y=ax2−4ax−5 的开口向上．
（1）当 a=1 时，求抛物线与 x 轴的交点坐标．
（2）试说明抛物线 C1 一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标．
（3）将抛物线 C1 沿（2）中所求的两个定点所在的直线翻折，得到抛物线 C2．
①写出抛物线 C2 的表达式．
②当抛物线 C2 的顶点到 x 轴的距离为 2，求 a 的值．

25. 如图 1，在平面直角坐标系中，⊙O1 与 x 轴相切于点 A−3,0，与 y 轴交于点 B，C，BC=8，连接 AB．
（1）求证：AB 平分 ∠O1BO．
（2）求 AB 的长．
（3）如图 2，⊙O2 经过点 A，B，与 y 轴的正半轴交于点 M，与 O1B 的延长线交于点 N，求 BM−BN 的值．
答案
第一部分
1. D
2. B【解析】四个图形中，第一个与第三个为中心对称图形，共 2 个．
3. C【解析】∵ 二次函数 y=x−12−2，
∴ 对称轴为直线 l:x=1，
∵ 点 M 在直线 l 上，
∴ 点 M 横坐标为 1．
4. C【解析】∵ 四边形内角和为 360∘，
∴ 在平面内任意画一个四边形，其内角和是 180∘ 是不可能事件．
5. B
6. D【解析】∵ 双曲线 y=kxk≠0 与直线 y=−12x 交于 A，B 两点，且点 A−2,m，
∴m=1．
∵ 由双曲线 y=kxk≠0 与直线 y=−12x 关于原点中心对称，
∴ 点 B 与点 A 关于原点中心对称，
∴B 点坐标为 2,−1．
7. C【解析】根据题意得，k≠0，且 Δ>0，
即 22−4×k×−1>0，解得 k>−1，
∴ 实数 k 的取值范围为 k>−1 且 k≠0．
8. A【解析】∵ 等腰直角三角形外接圆半径为 2，
∴ 此直角三角形的斜边长为 4，两条直角边分别为 22，
∴ 它的内切圆半径为：R=1222+22−4=22−2．
9. D【解析】如图，连接 OC，
∵CA⊥x 轴，CB⊥y 轴，
∴ 四边形 OACB 是矩形，
∵D 为 AB 中点，
∴ 点 D 在 AC 上，且 OD=12OC，
∵O 的半径为 2，
∴ 如果点 C 在圆上运动一周，那么点 D 运动轨迹是一个半径为 1 的圆，
∴ 点 D 运动过的路程长为 2π⋅1=2π．
10. D
【解析】根据抛物线图象可知：b2−4ac>0，a>0，−b2a>0，
∴b<0，
∴ 一次函数 y=bx+b2−4ac 经过第一、二、四象限，
∵ 抛物线图象中当 x=1 时，y<0，
当 x=−1 时，y>0，
∴a+b+c<0，a−b+c>0，
∴a+b+ca−b+c<0，
∴ 反比例函数 y=a+b+ca−b+cx 的图象经过第二、四象限，
通过观察四个选项可发现，只有D选项符合题意．
第二部分
11. 5
12. m>4
【解析】∵ 反比例函数 y=m−4x 在每个象限内 y 随 x 的增大而减小，
∴m−4>0，解得 m>4，
∴m 的取值范围是 m>4．
13. 30 cm
【解析】设此扇形的半径是 r cm，
由题意得 2πr⋅120360=20π，r3=10，r=30 cm．
14. 6
【解析】∵∠ACB=90∘，∠B=60∘，
∴∠BAC=30∘，
∵BC=2，
∴AB=4，
∵△ABC 绕点 C 顺时针旋转得到 △AʹBʹCʹ，
∴AʹBʹ=AB=4，BʹC=BC=2，AʹC=AC，∠Aʹ=∠BAC=30∘，∠AʹBʹC=∠B=60∘，
∴△CAAʹ 为等腰三角形，
∴∠CAAʹ=∠Aʹ=30∘，
∵A，Bʹ，Aʹ 在同一条直线上，
∴∠AʹBʹC=∠BʹAC+∠BʹCA，
∴∠BʹCA=60∘−30∘=30∘，
∴BʹA=BʹC=2，
∴AAʹ=ABʹ+AʹBʹ=4+2=6．
15. −3
【解析】把 x=2 代入 kx2+k2−2x+2k+4=0 得 4k+2k2−4+2k+4=0，
整理得 k2+3k=0，解得 k1=0，k2=−3，
∵k≠0，
∴k 的值为 −3．
16. ①②④
【解析】∵ 二次函数 y=x+ax−a−1，
∴ 令 y=0，x+ax−a−1=0，
x1=−a，x2=a+1，
∴ 该二次函数与 x 轴交于点 −a,0 和 a+1,0，故①正确．
∴ 二次函数的对称轴是 x=−a+a+12=12，故②正确．
∵ 抛物线开口向上，
∴ 当 x=12 时，二次函数的函数值取得最小值为 y=−a+122，故③错误．
∵Px0,m 和 Q1,n 在二次函数的图象上，且 m ∴P 点到对称轴的距离比 P 点到对称轴的距离小，
∴0 ∴ 正确的结论有①②④．
第三部分
17.
x−2x−4=0.x−2=0 或 x−4=0.x1=2,x2=4.
18. ∵AB 是 ⊙O 直径，CD⊥AB，
∴CE=DE=12CD=12×16=8 cm，
在 Rt△OCE 中，OE=OC2−CE2=102−82=6 cm，
∵OA=OC=10 cm，
∴AE=OA+OE=10+6=16 cm．
19. （1） y=x2+4x+3=x+22−1．
∴ 顶点坐标为 −2,−1，对称轴为直线 x=−2．
（2） x−4−3−2−10y30−103
20. （1） 设袋子中白球有 x 个，
根据题意得：
xx+1=23.
解得：
x=2.
经检验，x=2 是原分式方程的解．
∴ 袋子中白球有 2 个．
（2） 画树状图得：
∵ 共有 9 种等可能的结果，两次都摸到相同颜色的小球的有 5 种情况，
∴ 两次都摸到相同颜色的小球的概率为：59．
21. （1） △AʹBʹCʹ 即为所求，Aʹ4,−1，Bʹ2,−3，Cʹ1,−2．
（2） 设反比例函数解析式 y=kx，
把 Bʹ2,−3 代入 y=kx 中，
得 −3=k2，解得 k=−6，
∴ 反比例函数解析式 y=−6x．
（3） AʹBʹ 中点 P 坐标 3,−2，
把 x=3 代入 y=−6x 中，得 y=−2，
∴P3,−2 在反比例函数 y=−6x 图象上．
22. （1） y=−10x+74044≤x≤52．
【解析】y=300−10x−44，即 y=−10x+74044≤x≤52．
（2） 根据题意得 x−40−10x+740=2400，
解得 x1=50，x2=64（舍去），
答：当每本足球纪念册销售单价是 50 元时，商店每天获利 2400 元．
（3） w=x−40−10x+740=−10x2+1140x−29600=−10x−572+2890.
当 x<57 时，w 随 x 的增大而增大，而 44≤x≤52，
∴ 当 x=52 时，w 有最大值，最大值为 −1052−572+2890=2640，
答：将足球纪念册销售单价定为 52 元时，商店每天销售纪念册获得的利润 w 元最大，最大利润是 2640 元．
23. （1） 如图所示：CE 即所求．
（2） ∵AC=BC，
∴CA=CB，
∵AB 是 ⊙O 直径，
∴∠ACB=90∘，
∴∠CAB=∠CBA=45∘，
根据旋转性质可知 ∠DCE=90∘，CD=CE，
∴∠ACB=∠DCE，
∴∠ACB−∠DCB=∠DCE−∠DCB，即 ∠ACD=∠BCE，
在 △CAD 和 △CBE 中，
CA=CB,∠ACD=∠BCE,CD=CE,
∴△CAD≌△CBESAS，
∴AD=BE，∠CAD=∠CBE=45∘，
∵AD=BF，
∴BE=BF，
∴∠BEF=∠BFE=180∘−∠CBE2=180∘−45∘2=67.5∘．
（3） 由（2）知 △CAD≌△CBE，∠CBA=45∘，
∴AD=BE，∠CAD=∠CBE=45∘，
∴∠DBE=∠CBA+∠CBE=45∘+45∘=90∘，
∴△DBE 为直角三角形，
∴BD2+BE2=DE2，
∵△CDE 是等腰直角三角形，
∴DE2=2CD2，
∴BD2+AD2=2CD2．
24. （1） 当 a=1 时，抛物线解析式为 y=x2−4x−5=x−22−9，
∴ 对称轴为 y=2，
∴ 当 y=0 时，x−2=3 或 x−2=−3，即 x=−1 或 5，
∴ 抛物线与 x 轴的交点坐标为 −1,0 或 5,0．
（2） 抛物线 C1 解析式为：y=ax2−4ax−5，
整理得：y=axx−4−5，
∵ 当 axx−4=0 时，y=−5，
∴ 抛物线 C1 一定经过两个定点 0,−5，4,−5．
（3） ①由（2）得这两个点的连线为 y=−5，
将抛物线 C1 沿 y=−5 翻折，得到抛物线 C2，
开口方向发生变化，但对称轴未变，
∴ 抛物线 C2 的解析式为 y=−ax2+4ax−5．
②抛物线 C2 的顶点到 x 轴的距离为 2，
则 x=2 时，y=2 或 −2．
当 y=2 时，2=−4a+8a−5，解得 a=74，
当 y=−2 时，−2=−4a+8a−5，解得 a=34，
∴a=74 或 34．
25. （1） 连接 O1A，
则 O1A⊥OA，又 OB⊥OA，
∴O1A∥OB，
∴∠O1AB=∠ABO，
又 ∵O1A=O1B，
∴∠O1AB=∠O1BA，
∴∠ABO1=∠ABO，
∴AB 平分 ∠O1BO．
（2） 作 O1E⊥BC 于点 E，
∴E 为 BC 的中点，
∵BC=8，
∴BE=12BC=4，
∵A−3,0，
∴O1E=OA=3，
在直角三角形 O1BE 中，
根据勾股定理得：O1B=BE2+O1B2=42+32=5，
∴O1A=EO=5，
∴BO=5−4=1，
在直角三角形 AOB 中，
根据勾股定理得：AB=AO2+BO2=10．
（3） 在 MB 上取一点 G，使 MG=BN，连接 AM，AN，AG，MN，
∵∠ABO1 为四边形 ABMN 的外角，
∴∠ABO1=∠NMA，又 ∠ABO1=∠ABO，
∴∠ABO=∠NMA，又 ∠ABO=∠ANM，
∴∠AMN=∠ANM，
∴AM=AN，
∵∠AMG 和 ∠ANB 都为 AB 所对的圆周角，
∴∠AMG=∠ANB，
在 △AMG 和 △ANB 中，
∵AM=AN,∠AMG=∠ANB,MG=BN,
∴△AMG≌△ANBSAS，
∴AG=AB，
∵AO⊥BG，
∴BG=2BO=2，
∴BM−BN=BM−MG=BG=2．