2019-2020学年广州市黄埔区九上期末数学试题

这是一份2019-2020学年广州市黄埔区九上期末数学试题，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 方程 xx+5=0 的根是
A. x=5B. x=−5C. x1=0，x2=5D. x1=0，x2=−5

2. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中属于中心对称图形的有
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

3. 设二次函数 y=x−12−2 图象的对称轴为直线 l，若点 M 在直线 l 上，则点 M 的坐标可能是
A. 2,0B. −2,0C. 1,0D. 0,−1

4. 在平面内任意画一个四边形，其内角和是 180∘，这个事件是
A. 随机事件B. 必然事件
C. 不可能事件D. 以上选项均不正确

5. 如图，四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形，连接 OA，OC，下列结论正确的是
A. ∠ABC+∠AOC=180∘B. ∠ABC+∠ADC=180∘
C. ∠OAB+∠OCB=180∘D. ∠BAD+∠BCO=180∘

6. 如图，双曲线 y=kx 与直线 y=−12x 交于 A，B 两点，且 A−2,m，则点 B 的坐标是
A. 2,−1B. 1,−2C. 12,−1D. −1,12

7. 关于 x 的一元二次方程 kx2+2x−1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是
A. k>−1B. k>−1 且 k≠0
C. k≠0D. k≥−1

8. 若等腰直角三角形的外接圆半径的长为 2，则其内切圆半径的长为
A. 2B. 22−2C. 2−2D. 2−1

9. 如图，⊙O 的半径为 2，点 C 是圆上的一个动点，CA⊥x 轴，CB⊥y 轴，垂足分别为 A，B，D 是 AB 的中点，如果点 C 在圆上运动一周，那么点 D 运动过的路程长为
A. π4B. π2C. πD. 2π

10. 抛物线 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，那么一次函数 y=bx+b2−4ac 与反比例函数 y=a+b+ca−b+cx 在同一坐标系内的图象大致是
A. B.
C. D.

二、填空题（共6小题；共30分）
11. 二次函数 y=3x−12+5 的最小值为 ．

12. 已知反比例函数 y=m−4x 在每个象限内 y 随 x 增大而减小，则 m 的取值范围是 ．

13. 已知扇形的圆心角为 120∘，它所对弧长为 20π cm，则扇形的半径为 ．

14. 如图，在 △ABC 中，∠ACB=90∘，∠B=60∘，BC=2．将 △ABC 绕点 C 顺时针旋转，得到 △AʹBʹC，连接 ABʹ，且 A，Bʹ，Aʹ 在同一条直线上，则 AAʹ= ．

15. 已知 x=2 是关于 x 的一元二次方程 kx2+k2−2x+2k+4=0 的一个根，则 k 的值为 ．

16. 已知点 Px0,m，Q1,n 在二次函数 y=x+ax−a−1a≠0 的图象上，且 m①该二次函数与 x 轴交于点 −a,0 和 a+1,0；
②该二次函数的对称轴是 x=12；
③该二次函数的最小值是 a+22；
④ 0其中正确的是 （填写序号）．

三、解答题（共9小题；共117分）
17. 解方程：x2−6x+8=0．

18. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，OC=10 cm，CD=16 cm，求 AE 的长．

19. 抛物线 y=x2+4x+3．
（1）求出该抛物线对称轴和顶点坐标；
（2）在所给的平面直角坐标系中用描点法画出这条抛物线．

20. 一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外都相同，其中红球有 1 个，若从中随机摸出一个球，这个球是白球的概率为 23．
（1）求袋子中白球的个数；（请通过列式或列方程解答）
（2）随机摸出一个球后，放回并搅匀，再随机摸出一个球，求两次都摸到相同颜色的小球的概率．（请结合树状图或列表解答）

21. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标为 A−4,1，B−2,3，C−1,2．
（1）画出 △ABC 关于原点 O 成中心对称的 △AʹBʹCʹ，点 Aʹ，Bʹ，Cʹ 分别是点 A，B，C 的对应点；
（2）求过点 Bʹ 的反比例函数解析式；
（3）判断 AʹBʹ 的中点 P 是否在（2）的函数图象上．

22. 俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价 40 元，规定销售单价不低于 44 元，且获利不高于 30%．试销售期间发现，当销售单价定为 44 元时，每天可售出 300 本，销售单价每上涨 1 元，每天销售量减少 10 本，现商店决定提价销售．设每天销售量为 y 本，销售单价为 x 元．
（1）请直接写出 y 与 x 之间的函数关系式和自变量 x 的取值范围；
（2）当每本足球纪念册销售单价是多少元时，商店每天获利 2400 元?
（3）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润 w（元）最大?最大利润是多少元?

23. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 C 是 ⊙O 上一点，AC=BC，点 D 是 AB 上一点（点 D 与 A，B 不重合），连接 CD．
（1）用尺规作图，线段 CD 绕点 C 按逆时针方向旋转 90∘ 得到线段 CE，连接 DE 交 BC 于点 F，连接 BE（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）当 AD=BF 时，求 ∠BEF 的度数；
（3）求证：AD2+BD2=2CD2．

24. 已知抛物线 C1:y=ax2−4ax−5 的开口向上．
（1）当 a=1 时，求抛物线与 x 轴的交点坐标；
（2）试说明抛物线 C1 一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；
（3）将抛物线 C1 沿（2）所求的两个定点所在直线翻折，得到抛物线 C2．
①写出抛物线 C2 的表达式；
②当抛物线 C2 的顶点到 x 轴的距离为 2，求 a 的值．

25. 如图 1，在平面直角坐标系中，⊙O1 与 x 轴相切于点 A−3,0，与 y 轴相交于 B，C 两点，且 BC=8，连接 AB．
（1）求证：∠ABO1=∠ABO；
（2）求 AB 的长；
（3）如图 2，⊙O2 经过 A，B 两点，与 y 轴的正半轴交于点 M，与 O1B 的延长线交于点 N，求出 BM−BN 的值．
答案
第一部分
1. D【解析】方程 xx+5=0，可得 x=0 或 x+5=0，解得 x1=0 或 x2=−5．
2. B【解析】根据中心对称的概念可得第一个图形是中心对称图形，第二个图形不是中心对称图形，第三个图形是中心对称图形，第四个图形不是中心对称图形，
∴ 中心对称图有 2 个．
3. C【解析】二次函数 y=x−12−2 图象的对称轴为 x=1，
∵ 点 M 在直线 l 上，
∴M 的横坐标为 1．
4. C【解析】∵ 四边形内角和是 360∘，
∴ 在平面内任意画一个四边形，其内角和是 180∘，这个事件是不可能事件．
5. B
【解析】根据图形发现：四边形 ABCD 内接于 ⊙O，
∴∠ABC+∠ADC=180∘，∠BAD+∠BCD=180∘．
6. A【解析】当 x=−2 时，y=−12×−2=1，即 A−2,1，
将 A 点坐标代入 y=kx，得 k=−2×1=−2，
反比例函数的解析式为 y=−2x，
联立双曲线、直线，得 y=−2x,y=−12x,
解得 x1=−2,y1=1, x2=2,y2=−1, B2,−1．
7. B【解析】由已知得：k≠0,22+4k>0, 解得：k>−1 且 k≠0．
8. B【解析】∵ 等腰直角三角形外接圆半径为 2，
∴ 此直角三角形的斜边长为 4，两条直角边分别为 22，
∴ 它的内切圆半径为 R=1222+22−4=22−2．
9. D【解析】如图，连接 OC．
∵CA⊥x 轴，CB⊥y 轴，
∴ 四边形 OACB 是矩形，
∵D 为 AB 中点，
∴ 点 D 在 OC 上，且 OD=12OC，
∵⊙O 的半径为 2，
∴ 如果点 C 在圆上运动一周，那么点 D 运动轨迹是一个半径为 1 的圆，
∴ 点 D 运动过的路程长为 2π⋅1=2π．
10. D
【解析】∵ 二次函数图象开口向上，
∴a>0，
∵ 对称轴为直线 x=−b2a>0，
∴b<0，
当 x=−1 时，a−b+c>0；当 x=1 时，a−b+c<0，
∴a+b+ca−b+c<0，
∵ 抛物线与 x 轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，
∴ 一次函数图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象经过第二四象限．
第二部分
11. 5
【解析】由于二次函数 y=3x−12+5 中，a=3>0，
∴ 当 x=1 时，函数取得最小值为 5．
12. m>4
【解析】∵ 在反比例函数 y=m−4x 图象的每个象限内，y 随 x 的增大而减小，
∴m−4>0，解得 m>4．
13. 30 cm
【解析】根据题意得 120×π×r180=20π，r=30 cm．
14. 6
【解析】由在 Rt△ABC 中，∠ACB=90∘，∠B=60∘，BC=2，
得 AB=4，∠BAC=30∘．
由旋转的性质，得 AʹBʹ=AB=4，∠Aʹ=∠BAC=30∘，∠AʹBʹC=∠B=60∘，AC=AʹC．
由等腰三角形的性质，得 ∠CABʹ=∠Aʹ=30∘．
由邻补角的定义，得 ∠ABʹC=180∘−∠AʹBʹC=120∘．
由三角形的内角和定理，得 ∠ACBʹ=180∘−∠ABʹC−∠BʹAC=30∘．
∴∠BʹAC=∠BʹCA=30∘．
ABʹ=BʹC=BC=2，AʹA=AʹBʹ+ABʹ=4+2=6．
15. −3
【解析】把 x=2 代入 kx2+k2−2x+2k+4=0，得 4k+2k2−4+2k+4=0，
整理得 k2+3k=0，解得 k1=0，k2=−3，
∵k≠0，
∴k 的值为 −3．
16. ①②④
【解析】① ∵ 二次函数 y=x+ax−a−1，
∴ 当 y=0 时，x1=−a，x2=a+1，
即该二次函数与 x 轴交于点 −a,0 和 a+1,0，故①结论正确；
②对称轴为 x=x1+x22=12，故②结论正确；
③由 y=x+ax−a−1 得到 y=x−122−a+122，
则其最小值是 −a+122，故③结论错误；
④当 P 在对称轴的左侧（含顶点）时，y 随 x 的增大而减小，
由 m当 P 在对称轴的右侧时，y 随 x 的增大而增大，
由 m综上所述：m第三部分
17.
x2−6x+8=0.x−2x−4=0.∴x−2=0 或 x−4=0.∴x1=2,x2=4.
18. ∵ 弦 CD⊥AB 于点 E，CD=16 cm，
∴CE=12CD=8 cm．
在 Rt△OCE 中，OC=10 cm，CE=8 cm，
∴OE=OC2−CE2=102−82=6cm，
∴AE=AO+OE=10+6=16cm．
19. （1） y=x2+4x+3=x2+4x+4−4+3=x+22−1，
顶点坐标为 −2,−1，对称轴为 x=−1．
（2） 当 y=0 时，x2+4x+3=0，则 x+1x+3=0，
解得：x1=−1，x2=−3，
∴ 抛物线与 x 轴交于点 −1,0，−3,0，图象如图所示．
20. （1） 设袋子中白球有 x 个，
根据题意可得
xx+1=23.
解得
x=2.
经检验，x=2 是所列方程的根．
∴ 袋子中白球有 2 个．
（2） 列表（或画树状图）正确；
列表：
树状图：
∵ 总共有 9 种等可能的结果，其中，两次都摸到相同颜色小球的结果有 5 种，
∴ 两次都摸到相同颜色的小球的概率 P=59．
21. （1） ∵A−4,1，B−2,3，C−1,2，关于原点对称的点的坐标横纵坐标均为相反数，
∴Aʹ4,−1，Bʹ2,−3，Cʹ1,−2．
在坐标系中找到 Aʹ，Bʹ，Cʹ，依次连线即可，如图：
（2） 设过点 Bʹ 的反比例函数解析式为 y=kx，
∵Bʹ2,−3，
∴−3=k2，
∴k=−6，
∴ 反比例函数解析式为 y=−6x．
（3） ∵Aʹ4,−1，Bʹ2,−3，
∴AʹBʹ 的中点 P 坐标为 3,−2，
∵3×−2=−6，
∴ 点 P 在（2）的函数图象上．
22. （1） y=300−10x−44，即 y=−10x+74044≤x≤52．
（2） 根据题意得
x−40−10x+740=2400.
解得
x1=50,x2=64舍去.
答：当每本足球纪念册销售单价是 50 元时，商店每天获利 2400 元．
（3） w=x−40−10x+740=−10x2+1140x−29600=−10x−572+2890,
当 x<57 时，w 随 x 的增大而增大，而 44≤x≤52，
∴ 当 x=52 时，w 有最大值，最大值为 −1052−572+2890=2640，
答：将足球纪念册销售单价定为 52 元时，商店每天销售纪念册获得的利润 w 最大，最大利润是 2640 元．
23. （1） 如图，CE，BE 为所作．
（2） ∵AB 为直径，
∴∠ACB=90∘，
∵AC=BC，
∴AC=BC，
∴△ACB 为等腰直角三角形，
∴∠A=∠ABC=45∘，
∵ 线段 CD 绕点 C 按逆时针方向旋转 90∘ 得到线段 CE，
∴∠DCE=90∘，CD=CE，
∴∠ACD=∠BCE，
在 △ACD 和 △BCE 中，
CA=CB,∠ACD=∠BCE,CD=CE,
∴△ACD≌△BCESAS，
∴AD=BE，∠CBE=∠A=45∘，
∵AD=BF，
∴BF=BE，
∴∠BEF=∠BFE，
∴∠BEF=12180∘−45∘=67.5∘．
（3） ∵∠ABC=45∘，∠CBE=45∘，
∴∠DBE=90∘，
∴BE2+DB2=DE2，
∵BE=AD，DE=2CD，
∴AD2+BD2=2CD2．
24. （1） 当 a=1 时，抛物线解析式为 y=x2−4x−5=x−22−9，
∴ 对称轴为 x=2，
∴ 当 y=0 时，x−2=3 或 −3，即 x=−1 或 5，
∴ 抛物线与 x 轴的交点坐标为 −1,0 或 5,0．
（2） 抛物线 C1 解析式为 y=ax2−4ax−5，
整理得 y=axx−4−5，
∵ 当 axx−4=0 时，y 恒定为 −5，
∴ 抛物线 C1 一定经过两个定点 0,−5，4,−5．
（3） ①这两个点连线为 y=−5，
将抛物线 C1 沿 y=−5 翻折，得到抛物线 C2，开口方向变了，但是对称轴没变，
∴ 抛物线 C2 解析式为 y=−ax2+4ax−5；
②抛物线 C2 的顶点到 x 轴的距离为 2，则 x=2 时，y=2 或者 −2；
当 y=2 时，2=−4a+8a−5，解得 a=74；
当 y=−2 时，−2=−4a+8a−5，解得 a=34，
∴a=74 或 34．
25. （1） 如图，连接 AO1．
∵⊙O1 与 x 轴相切于点 A，
∴∠OAO1=90∘，
又 ∠AOB=90∘，
∴∠OAO1+∠AOB=180∘，
∴AO1∥OB，
∴∠ABO=∠O1AB，
∵O1A=O1B，
∴∠O1AB=∠ABO1，
∴∠ABO1=∠ABO．
（2） 如图，过点 O1 作 O1H⊥BC 于 H，则 CH=BH=12BC=4．
∴∠O1HO=∠HOA=∠OAO1=90∘，
∴ 四边形 AO1HO 是矩形，
∴AO1=AO=3，
∴ 在 Rt△O1HB 中，O1B=O1H2+BH2=5，
∴HO=O1A=O1B=5，
∴OB=HO−BH=1，
∴ 在 Rt△AOB 中，AB=AO2+BO2=32+12=10．
（3） 如图，作点 B 关于 x 轴的对称点 Bʹ，则 OBʹ=OB=1，AB=ABʹ．
∴BBʹ=2，∠ABʹO=∠ABO．
∴ 由（1）知 ∠ABO=∠ABO1，
∴∠ABO1=∠ABʹO，
∴180∘−∠ABO1=180∘−∠ABʹO，即 ∠ABN=∠ABʹM，
又 ∵AB=AB，
∴∠AMBʹ=∠N，
∴△AMBʹ≌△ANBAAS，
∴MBʹ=NB，
∴BM−BN=BM−BʹM=BBʹ=2，
∴BM−BN 的值为 2．