2019年天津市和平区中考二模数学试卷

这是一份2019年天津市和平区中考二模数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 计算 −18×−4 的结果等于 ( )
A. 12B. 2C. −2D. −12

2. cs60∘ 的值等于 ( )
A. 3B. 33C. 22D. 12

3. 这段时间，一个叫“学习强国”的理论学习平台火了，很多人主动下载、积极打卡，兴起了一股全民学习的热潮．据不完全统计，截止 4 月 2 号，华为官方应用市场“学习强国 APP”下载量已达 8830 万次，将 8830 万用科学记数法表示为 ( )
A. 883×105B. 88.3×106C. 8.83×107D. 0.883×108

4. 下面四个图形分别是低碳绿色食品、节水和节能标志，其中可以看作是轴对称图形的是 ( )
A. B.
C. D.

5. 五个相同的小正方体摆成了如图所示的几何体，它的左视图为 ( )
A. B.
C. D.

6. 估计 35 的值在 ( )
A. 5 和 6 之间B. 6 和 7 之间C. 7 和 8 之间D. 8 和 9 之间

7. 计算 xx+1−1x(x+1) 的结果为 ( )
A. x2B. x−1xC. x+1xD. xx−1

8. 解分式方程 1−xx−2+2=12−x ( )
A. x=2 是方程的解B. x=3 是方程的解
C. x=4 是方程的解D. 无解

9. 对于反比例函数 y=−6x，当 −1≤x<0 时，y 的取值范围是 ( )
A. y≥6B. −6≤y<0C. 0
10. 如图，以点 A 为中心，把 △ABC 逆时针旋转 120∘，得到 △ABʹCʹ（点 B，C 的对应点分别为点 Bʹ，Cʹ），连接 BBʹ，若 ACʹ∥BBʹ，则 ∠CABʹ 的度数为 ( )
A. 45∘B. 60∘C. 70∘D. 90∘

11. 如图，四边形 ABCD 中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2，则 BD 的长为 ( )
A. 23B. 14C. 15D. 32

12. 如图，抛物线 y=ax2+bx+c 交 x 轴于 A(−1,0)，B(3,0)，交 y 轴的负半轴于点 C，顶点为 D．
有下列结论：
① 2a+b=0；② 2c<3b；③当 △ABD 是等腰直角三角形时，则 a=12；④当 △ABC 是等腰三角形时，a 的值有 3 个，其中，正确结论的个数是 ( )
A. 1B. 2C. 3D. 4

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 计算 3ab32 的结果等于 ．

14. 计算 22−32 的结果等于 ．

15. 现有两个不透明的袋子，其中一个装有红、黄两种颜色的小球各 1 个，另一个装有红、黄、蓝三种颜色的小球各 1 个，小球除颜色外其他均相同．若小浩从两个袋子中分别随机摸出一个小球，则摸出的两个小球颜色恰好相同的概率为 ．

16. 若正比例函数 y=kx（k 为常数，且 k≠0）的函数值 y 随着 x 的增大而减小，则 k 的值可以是 （写出一个即可）．

17. 如图，在 △ABC 中，AB=BC=4，AO=BO，P 是射线 CO 上的一个动点，∠AOC=60∘，则当 △PAB 为直角三角形时，AP 的长为 ．

18. 如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，△ABC 的顶点 A，B，C 均在格点上．
（Ⅰ）△ABC 是 三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）；
（Ⅱ）若 P，Q 分别为边 AB，BC 上的动点，当 PC+PQ 取得最小值时，在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出线段 PC，PQ，并简要说明点 Q 的位置是如何找到的（不要求证明） ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 解不等式组 2x+1≥−1,⋯⋯①3+x≥3x−1.⋯⋯② 请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式 ①，得 ；
（2）解不等式 ②，得 ；
（3）把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为 ．

20. 为了帮助贫困留守儿童，弘扬扶贫济困的传统美德，某校团委在学校举行“送温暖，献爱心”捐款活动，全校 2000 名学生都积极参与了该次活动．为了解捐款情况，随机调查了该校部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制出如下统计图 1 和图 2，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 ，图 1 中 m 的值是 ；
（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额超过 20 元的学生人数．

21. 已知 ⊙O 的直径为 10，点 A，B，C 在 ⊙O 上，∠CAB 的平分线交 ⊙O 于点 D．
（1）如图①，当 BC 为 ⊙O 的直径时，求 BD 的长；
（2）如图②，当 BD=5 时，求 ∠CDB 的度数．

22. 小明在热气球 A 上看到正前方横跨河流两岸的大桥 BC，并测得 B，C 两点的俯角分别为 45∘，35∘．已知大桥 BC 与地面在同一水平面上，其长度为 100 m，求热气球离地面的高度（结果保留整数）．
参考数据：sin35∘≈0.57，cs35∘≈0.82，tan35∘≈0.70．

23. 某校计划租用汽车送 234 名学生和 6 名教师集体外出活动，每辆汽车上至少要有 1 名教师，租车费用不超过 2300 元．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下：
甲种客车乙种客车载客量/(人/辆)4530租金/(元/辆)400280
为给出最节省费用的租车方案，请先帮小明完成分析，再解决问题．
小明的分析：
（1）可以先考虑共需租多少辆车．从乘车人数的角度出发，要注意到以下要求：
（i）要保证 240 名师生都有车坐；
（ii）要使每辆汽车上至少有 1 名教师，根据（i）可知，汽车总数不能少于 ；根据（ii）可知，汽车总数不能大于 ；综合起来可知汽车总数为 ．
（2）设租用甲种客车 x 辆（x 为非负整数），试填写下表：
车型甲乙数量/(辆)x载客人数/(人)45x费用/(元)400x
（3）请给出租车费用最节省的方案．

24. 已知矩形纸片 OBCD 的边 OB 在 x 轴上，OD 在 y 轴上，点 C 在第一象限，且 OB=8，OD=6．现将纸片折叠，折痕为 EF（点 E，F 是折痕与矩形的边的交点），点 P 为点 D 的对应点，再将纸片还原．
（1）若点 P 落在矩形 OBCD 的边 OB 上，
（i）如图 ①，当点 E 与点 O 重合时，求点 F 的坐标；
（ii）如图 ②，当点 E 在 OB 上，点 F 在 DC 上时，EF 与 DP 交于点 G，若 OP=7，求点 F 的坐标．
（2）若点 P 落在矩形 OBCD 的内部，且点 E，F 分别在边 OD，边 DC 上，当 OP 取最小值时，求点 P 的坐标（直接写出结果即可）．

25. 已知抛物线 y=x2−2mx+3m 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的右侧），与 y 轴交于点 C(0,−3)，顶点为 D．
（1）求该抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；
（2）Q 为线段 BD 上一点，点 A 关于 ∠AQB 的平分线的对称点为 Aʹ，
（i）判断点 Aʹ 与直线 BQ 的位置关系：点 Aʹ （填写“在”或“不在”）直线 BQ 上；
（ii）若 QA−QB=5，求点 Q 的坐标；
（3）若此抛物线的对称轴上的点 P 满足 ∠APB=∠ACB，求点 P 的坐标．
答案
第一部分
1. A
2. D
3. C
4. B
5. C
6. B【解析】∵35=45，且 36<45<49，
∴36<45<49，
∴6<35<7．
7. B【解析】xx+1−1x(x+1)=x2x(x+1)−1x(x+1)=(x+1)(x−1)x(x+1)=x−1x.
8. D【解析】方程两边分别乘以 x−2 得：1−x+2(x−2)=−1，
去括号整理得：x=2，
经检验 x=2 是原方程的增根，
故原方程无解．
9. A【解析】∵k=−6<0，
∴ 当 −1≤x<0 时，y=−6x 的图象在第二象限上，y 随 x 的增大而增大，
∴−1≤x<0 时，y≥6．
10. D
【解析】∵ 将 △ABC 逆时针旋转 120∘ 得到 △ABʹCʹ，
∴∠BABʹ=∠CACʹ=120∘，AB=ABʹ，
∴∠ABʹB=12180∘−120∘=30∘．
∵ACʹ∥BBʹ，
∴∠CʹABʹ=∠ABʹB=30∘，
∴∠CABʹ=∠CACʹ−∠CʹABʹ=120∘−30∘=90∘．
11. C【解析】过点 C 作 AB 的垂线交 AB 于点 G，作 AF⊥BC 交 BC 于点 F，作 DE⊥AB 交 BA 的延长线于点 E，
∵BC=1，AB=AC=AD=2，
∴CF=12，
∴AF=AC2−CF2=152．
又 ∵12×AB×CG=12×CB×AF=S△ABC，
∴CG=154，
∴AG=AC2−CG2=74，BG=AB−AG=14，
∵DE⊥AB，CG⊥AB，
∴CG∥DE，
又 ∵CD∥AB，∠CGE=90∘，
∴ 四边形 CDEG 是矩形，
∴DE=CG=154，
又 ∵AC=AD，∠CGA=∠DEA=90∘，
∴△DEA≌△CGA(HL)，
∴EA=AG，
∴BE=2AG+BG=154，
在 Rt△BDE 中，BD=DE2+BE2=15．
12. B【解析】∵ y=ax2+bx+c 的交点是 A(−1,0)，B(3,0)，
∴ 对称轴为：x=1，
∴ −b2a=1，
∴ b=−2a，故 2a+b=0，①正确；
∵ (−1,0) 在二次函数的图象上，
∴ a−b+c=0，
∴ c=−3a，
∴ 2c=3b，故②错误；
当 △ABD 是等腰直角三角形时，
D(1,−2)，代入二次函数解析式，得 a+b+c=−2，
又 ∵ b=−2a，c=−3a，
即 a−2a−3a=−2，
∴ a=12，故③正确；
当 △ABC 是等腰三角形时，AB=AC 或 AB=BC，
则满足条件的 C 有两种可能，AC=BC 不存在，故④错误．
第二部分
13. 9a2b6
14. 17−122
15. 13
16. −1（答案不唯一，k<0 即可）
17. 23 或 27 或 2
【解析】当 ∠APB=90∘ 时（如图 1），
∵AO=BO，
∴PO=BO．
∵∠AOC=60∘，
∴∠BOP=60∘，
∴△BOP 为等边三角形．
∵AB=BC=4，
∴AP=ABsin60∘=4×32=23；
当 ∠ABP=90∘ 时（如图 2），
∵∠AOC=∠BOP=60∘，
∴∠BPO=30∘，
∴BP=OBtan30∘=233=23，
在直角三角形 ABP 中，AP=232+42=27；
如图 3，
∵AO=BO，∠APB=90∘，
∴PO=AO，
∵∠AOC=60∘，
∴△AOP 为等边三角形，
∴AP=AO=2．
18. 直角，取格点 Cʹ，P 连接 CʹP 并延长交 BC 于点 Q
【解析】（Ⅰ）因为 AC=5，BC=25，AB=5，
所以 AC2+BC2=AB2，
所以 △ABC 是直角三角形．
（Ⅱ）要求 PC+PQ 的最小值，只需作点 C 关于 AB 的对称点 Cʹ，并从 Cʹ 向 BC 作垂线，与 AB，BC 分别交于点 P，Q，Q 点即为所求．
作法：取格点 Cʹ，则 Cʹ 为点 C 关于 AB 的对称点，由 ① 可知，AC⊥BC，则只需过 Cʹ 作 AC 的平行线，即取格点 P 使 AC∥CʹP，连接 CʹP 并延长交 BC 于点 Q，点 Q 即为所求．
第三部分
19. （1） x≥−1
（2） x≤2
（3）
（4） −1≤x≤2
20. （1） 50；32
【解析】10÷20%=50，m%1650=32%，故 m=32．
（2） 捐 30 元的人数为：50−(4+16+12+10)=8，
∵ x=4×5+16×10+15×12+10×20+8×3050=16，
∴ 这组样本数据的平均数为 16；
∵ 在这组样本数据中，10 出现了 16 次，出现次数最多，
∴ 这组样本数据的众数为 10；
∵ 将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是 15，有 15+152=15，
∴ 这组样本数据的中位数为 15．
（3） ∵ 样本中捐款 20 元以上的学生占 16%，
∴ 估计捐款 20 元以上的学生人数是：2000×16%=320．
答：估计该校捐款 20 元以上的学生约有 320 人．
21. （1） 连接 CD，OD．
∵ ∠CAB 的平分线交 ⊙O 于点 D，
∴ ∠CAD=∠DAB，
∵ ∠COD=2∠CAD，∠DOB=2∠DAB，
∴ ∠COD=∠DOB，
∴ CD=DB，
∵ BC 为 ⊙O 的直径，
∴ ∠CDB=90∘，
在 Rt△CDB 中，CD2+BD2=BC2，
∴ BD=52．
（2） 连接 OB，OD，
∵ ⊙O 直径为 10，
∴ OB=OD=5，
∵ BD=5，
∴ OB=OD=BD，
∴ △BOD 为等边三角形，
∴ ∠BOD=60∘，
∴ ∠BAD=12∠BOD=30∘，
∴ ∠CAB 的平分线交 ⊙O 于点 D，
∴ ∠CAD=∠BAD=30∘，
∴ ∠BAC=60∘，
∵ 四边形 ABDC 是 ⊙O 的内接四边形，
∴ ∠CDB=180∘−∠BAC=120∘．
22. 过点 A 作 AD⊥BC 交 CB 的延长线于点 D，
设 AD 为 x，
由题意得，∠ABD=45∘，∠ACD=35∘，
在 Rt△ADB 中，∠ABD=45∘，
∴ ∠DAB=90∘−45∘=45∘，
∴ DB=DA=x，
在 Rt△ADC 中，∠ACD=35∘，
∴ tan∠ACD=ADCD，
∴ xx+100=710，
解得 x≈233.3，
∴ AD≈233．
答：热气球离地面的高度约为 233 米．
23. （1） 6；6；6
（2） 6−x；30(6−x)；280(6−x)
（3） 根据题意，得 45x+30(6−x)≥234+6,400x+280(6−x)≤2300.
解得 4≤x≤316，
租车费用 y=400x+280(6−x)=120x+1680，
即 y=120x+1680（4≤x≤316，且 x 为整数）．
因为 120>0，
所以 y 随 x 的增大而增大．
所以当 x=4 时租车费用最少．
答：租车费用最节省的方案是租甲种车 4 辆，乙种车 2 辆．
24. （1） （i）∵ 折痕为 EF，点 P 为点 D 的对应点，
∴△DOF≌△POF，
∴∠DOF=∠POF=45∘，
∵ 四边形 OBCD 是矩形，
∴∠ODF=90∘，
∴∠DFO=∠DOF=45∘，
∴DF=DO=6，
点 F 的坐标为 (6,6)．
（ii）∵ 折痕为 EF，点 P 为点 D 的对应点，
∴DG=PG，EF⊥PD，
∵ 四边形 OBCD 是矩形，
∴DC∥OB，
∴∠FDG=∠EPG，
∵∠DGF=∠PGE，
∴△DGF≌△PGE(ASA)，
∴DF=PE，
∵DF∥PE，
∴ 四边形 DEPF 是平行四边形．
∵EF⊥PD，
∴ 平行四边形 DEPF 是菱形．
设菱形的边长为 x，则 DE=EP=x，
∵OP=7，
∴OE=7−x，
在 Rt△ODE 中，由勾股定理得 OD2+OE2=DE2，
∴62+(7−x)2=x2，
解得 x=8514，
∴DF=EP8514，
∴ 点 F 的坐标为 8514,6．
（2） P85,65．
【解析】点 P 落在矩形 OBCD 的内部，且点 E，F 分别在边 OD，边 DC 上，
如图，
PF+FC=8 是定值，OP+PF+FC 之和最小时即 O，P，C 三点共线时，OP 最短，
由勾股定理得 OC=OD2+CD2=62+82=10，
由折叠的性质求 CD=PC=8，
当 O，P，C 在一直线上时，OP 最小，此时 OP=OC−PC=10−8=2，
过点 P 作 PM⊥OB 于 M，
则 PM∥BC，
∴△OPM∽△OCB，
∴OPOC=PMCB=OMOB，
∴210=PM6=OM8，
∴PM=65，OM=85，
∴P 点坐标为 85,56．
25. （1） 把点 C 的坐标代入抛物线解析式，得 3m=−3，解得 m=−1，
故该抛物线的解析式为 y=x2+2x−3，
∵ y=x2+2x−3=(x+1)2−4，
∴ 顶点 D 的坐标为 (−1,−4)．
（2） （i）在；
（ii）∵ 点 A 关于 ∠AQB 的平分线的对称点为 Aʹ，
∴ QA=QAʹ，由对称性质得 Q，B，Aʹ 三点在一条直线上，
且已知 QA−QB=5，
∴ BAʹ=QAʹ−QB=QA−QB=5，
当 y=0 时，x2+2x−3=0，
解得 x1=1，x2=−3，
∴ A(1,0)，B(−3,0)，
设直线 BD 的解析式为 y=kx+b(k≠0)，由 B(−3,0)，D(−1,−4)，得直线 BD 的解析式为 y=−2x−6，
故直线 BD 与 y 轴交点为 E(0,−6)，作 AʹN⊥x 轴于点 N，
∵ 点 Q 在线段 BD 上，Q，B，Aʹ 三点在一条直线上，
∴ ∠AʹBN=∠OBE，
∴ tan∠AʹBN=tan∠OBE，
∴ AʹNBN=EOBO=2，
∵ AʹB=AʹN2+BN2=5，
∴ AʹN=2，BN=1，
∴ 点 Aʹ 的坐标为 (−4,2)，
∵ 点 Q 在线段 BD 上，
故设点 Q 的坐标为 (x,−2x−6)，其中 −3≤x≤−1，
∵ OA=OAʹ，
∴ (x+4)2+(−2x−6−2)2=(x−1)2+(−2x−6)2，
解得 x=−4318，
∵ x=−4318 在 −3≤x≤−1 内，
∴ 点 Q 的坐标为 (−4318,−119)．
（3） 作 △ABC 的外接圆 ⊙I，设 ⊙I 与抛物线的对称轴位于 x 轴下方的部分的交点为点 P，点 P 关于 x 轴的对称点为点 Pʹ，
可知圆心 I 必在 AB 边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线 x=−1 上，
设圆心 I(−1,m)，
由 AI=CI，得 22+m2=(−1)2+(m+3)2，
∴ m=−1，PI=AI=5，
点 P 的坐标为 (−1,−1−5)，
由对称性得点 Pʹ 的坐标为 (−1,1+5)，
符合题意的点 P 的坐标为 (−1,−1−5) 或 (−1,1+5)．