2019年天津市西青区中考二模数学试卷

这是一份2019年天津市西青区中考二模数学试卷，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 计算 −6×−1 的结果等于
A. 6B. 1C. −1D. −6

2. 2cs60∘ 的值等于
A. 12B. 1C. 2D. 3

3. 地球与月球之间的平均距离大约为 384000 km，384000 用科学记数法可表示为
A. 3.84×103B. 3.84×104C. 3.84×105D. 3.84×106

4. 下列图形中，可以看作是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

5. 如图是一个由 5 个相同的正方体组成的立体图形，它的俯视图是
A. B.
C. D.

6. 实数 a，b，c 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是
A. ∣a∣>4B. c−b>0C. ac>D. a+c>0

7. 计算 m2m−n+n2n−m 的结果为
A. m2+n2B. m+nC. m−nD. n−m

8. 方程 3x2x+1=22x+1 的两个根为
A. x1=23，x2=0B. x1=23，x2=12C. x1=32，x2=−12D. x1=23，x2=−12

9. 如图，将 △ABC 绕点 C 顺时针旋转 90∘ 得到 △EDC．若点 A，D，E 在同一条直线上，∠ACB=20∘，则 ∠ADC 的度数是
A. 55∘B. 60∘C. 65∘D. 70∘

10. 若点 Ax1,−3，Bx2,−1，Cx3,12 在反比例函数 y=3x 的图象上，则 x1，x2，x3 的大小关系是
A. x1
11. 如图，在正方形 ABCD 中，AB=6，G 是 BC 的中点，将 △ABG 沿 AG 折叠至 △AFG，延长 GF 交 DC 于点 E，则 DE 的长是
A. 1B. 1.5C. 2D. 2.5

12. 在平面直角坐标系 xOy 中，作抛物线 A 关于 x 轴对称的抛物线 B，再将抛物线 B 向左平移 2 个单位，向上平移 1 个单位，得到的抛物线 C 的函数解析式是 y=2x+12−1，则抛物线 A 所对应的函数解析式是
A. y=−2x+32−2B. y=−2x+32+2
C. y=−2x−12−2D. y=−2x−12+2

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 计算 xy5÷xy3 的结果等于 ．

14. 计算 3+22 的结果等于 ．

15. 甲袋中装有 2 个相同的小球，分别写有数字 1 和 2；乙袋中装有 2 个相同的小球，分别写有数字 1 和 2．从两个袋中各随机取出 1 个小球，取出的两个小球上都写有数字 2 的概率是 ．

16. 直线 y=2x+2 沿 y 轴向下平移 6 个单位长度后与 x 轴的交点坐标是 ．

17. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别是 BC，AC 的中点，且 BE⊥AD 于点 O，若 BD=10，BO=8，则 AO 的长为 ．

18. 如图，将 △ABC 放在每个小正方形的边长都为 1 的网格中，点 A，点 B，点 C 均落在格点上．
（Ⅰ）BC 的长等于 ；
（Ⅱ）请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，画出 △ABC 关于直线 BC 对称的图形，并简要说明画图方法（不要求证明）．
．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 解不等式组 23x+6>1−x,⋯⋯①12x+1≥−3+52x.⋯⋯②
请结合题意填空，完成本题的解答．
解不等式 ①，得 ；
解不等式 ②，得 ；
把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来：
原不等式组的解集为 ．

20. 某市开展“美丽家乡，创卫同行”活动，某校倡议学生利用双休日参加义务劳动．为了解同学们的劳动情况，学校随机调查了部分同学的劳动时间，并用得到的数据绘制了不完整的统计图 ① 和图 ②，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为 ，图 ① 中 m 的值是 ；
（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数．

21. 已知 AB 是 ⊙O 的直径，C 为 ⊙O 上一点，OC=4，∠OAC=60∘．
（1）如图 ①，过点 C 作 ⊙O 的切线，与 BA 的延长线交于点 P，求 ∠P 的大小及 PA 的长；
（2）如图 ②，P 为 AB 上一点，CP 延长线与 ⊙O 交于点 Q，若 AQ=CQ，求 ∠APC 的大小及 PA 的长．

22. 如图，甲、乙两座建筑物的水平距离 BC 为 30 m，从甲的顶部 A 处测得乙的顶部 D 处的俯角为 35∘，测得底部 C 处的俯角为 43∘，求甲、乙两座建筑物的高度 AB 和 DC（结果取整数）．
参考数据：tan35∘≈0.70，tan43∘≈0.93．

23. 现有A、B型两种客车，它们的载客量和租金如下表：
A型客车B型客车载客量/人/辆4530租金/元/辆400280
某学校计划在总费用 1900 元的限额内，租A、B型客车共 5 辆送九年级师生集体外出活动．
设租A型客车 x 辆．
（1）根据题意，用含 x 的式子填写下表：
车辆数/辆载客量租金/元A型客车x45x400xB型客车5−x
（2）设租车费用 y（单位：元）是 x 的函数，求 y 与 x 的函数解析式；
（3）若九年级师生共有 195 人，写出所存可能的租车方案，并给出最节省费用的租车方案．

24. 在平面直角坐标系中，四边形 OABC 是矩形，点 O0,0，点 A−8,0，点 C0,6．以点 O 为中心，顺时针旋转矩形 OABC，得到矩形 OAʹBʹCʹ，点 A，B，C 旋转后的对应点分别为 Aʹ，Bʹ，Cʹ，直线 OAʹ，直线 BʹCʹ 分别与直线 BC 相交于点 P，Q．记旋转角为 α．
（1）如图 ①，当矩形 OAʹBʹCʹ 的顶点 Bʹ 落在 y 轴正半轴上时，
（i）求证：△BʹCQ∽△BʹCʹO；
（ii）求点 Q 的坐标；
（2）如图 ②，当矩形 OAʹBʹCʹ 的顶点 Bʹ 落在直线 BC 上时，
（i）求证：△PCO≌△PAʹBʹ；
（ii）求点 P 的坐标；
（3）在矩形 OABC 旋转过程中，当 0∘<α≤180∘ 时，若 BQ=2BP，请直接写出此时点 P 的坐标．

25. 已知抛物线 y=x2+bx+c（b，c 是常数）与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C．
（1）当 A−1,0，C0,−3 时，求抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）在（I）的条件下，设 Pm,t 为抛物线上的一个动点．
（i）当点 P 关于原点的对称点 Pʹ 落在直线 BC 上时，求 m 的值；
（ii）当点 P 关于原点的对称点 Pʹ 落在第一象限内，PʹA2 取得最小值时，求 m 的值及这个最小值．
答案
第一部分
1. A
2. B
3. C
4. A
5. A
6. B【解析】∵−4数轴上表示 b 的点在表示 c 的点的左侧，故B选项正确；
∵a<0，c>0，∴ac<0，故C选项错误；
∵a<0，c>0，∣a∣>∣c∣，∴a+c<0，故D选项错误．
7. B【解析】原式=m2m−n+n2n−m=m2−n2m−n=m+nm−nm−n=m+n.
8. D【解析】移项，得 3x2x+1−22x+1=0，提取公因式，得 2x+13x−2=0，得 2x+1=0 或 3x−2=0，解得 x1=−12，x2=23．
9. C【解析】∵ 将 △ABC 绕点 C 顺时针旋转 90∘ 得到 △EDC，
∴∠DCE=∠ACB=20∘，∠BCD=∠ACE=90∘，AC=CE，
∵ 点 A，D，E 在同一条直线上，
∴∠ADC+∠EDC=180∘，
∵∠EDC+∠E+∠DCE=180∘，
∴∠ADC=∠E+20∘，
∵∠ACE=90∘，AC=CE，
∴∠E=∠DAC=45∘，
∴∠ADC=65∘．
10. D
【解析】点 A，B，C 均在反比例函数 y=3x 图象上，将点 A，B，C 分别代入 y=3x，解得 x1=−1，x2=−3，x3=6，即 x211. C【解析】连接 AE，
根据题意，AB=AD=AF，∠D=∠AFE=90∘，
在 Rt△AFE 和 Rt△ADE 中，
∵AE=AE，AD=AF，
∴Rt△AFE≌Rt△ADEHL，
∴EF=DE，设 DE=FE=x，则 GE=3+x，EC=6−x．
∵G 是 BC 的中点，
∴CG=3，
在直角 △ECG 中，根据勾股定理，得：6−x2+9=x+32，
解得 x=2．
12. D【解析】易得抛物线 C 的顶点 −1,−1，
∵ 抛物线 B 向左平移 2 个单位，向上平移 1 个单位得到抛物线 C，
∴ 抛物线 B 的顶点坐标 1,−2，
易得抛物线 A 的二次项系数为 −2，顶点坐标为 1,2，
∴ 抛物线 A 的解析式为 y=−2x−12+2．
第二部分
13. x2y2
14. 7+43
15. 14
16. 2,0
17. 12
【解析】∵BE⊥AD，BD=10，BO=8，
∴OD=BD2−BO2=102−82=6，
∵AC，BC 上的中线相交于点 O，
∴ 点 O 是 △ABC 的重心，
∴AO=2OD=12．
18. 10，取格点 D，E，F，连接 FA，ED，交于点 Aʹ．连接 AʹC，AʹB，则 △AʹBC 即为所求
【解析】（Ⅰ）BC=AC2+AB2=32+12=10；
（Ⅱ）按照题意只需找到点 A 关于 BC 的对称点 Aʹ 即可．首先过点 A 作 BC 的垂线 AF，
由于 BC 是 1×3 的格点矩形对角线，只需找到 F 点，只需 AF 也为 1×3 的格点矩形对角线即可满足．下一步保证 A，Aʹ 到 BC 的距离相等即可，根据平行线分线段成比例，找到格点 E，AB=BE，则只需过点 E 作 BC 的平行线 DE，则 DE 与 AF 的交点即为 Aʹ 点，连接 AʹC，AʹB，则 △AʹBC 即为所求．
第三部分
19. x>−3；x≤2；；−320. （1） 100；12
【解析】3030%=100，m%=12100=12%．
（2） 观察条形统计图，
∵x=0.5×12+1×30+1.5×40+2×18100=1.32；
∴ 这组数据的平均数是 1.32．
∵ 在这组样本数据中，1.5 出现了 40 次，出现的次数最多，
∴ 这组数据的众数是 1.5；
∵ 将这组样本数据按照从小到大的顺序排列，其中处于中间位置的两个数都是 1.5，有 1.5+1.52=1.5，
∴ 这组样本数据的中位数是 1.5．
21. （1） ∵∠OAC=60∘，OA=OC，
∴△OAC 是等边三角形．
∴∠AOC=60∘，
∵PC 是圆 O 的切线，OC 为圆 O 的半径，
∴PC⊥OC，即 ∠OCP=90∘，
∴∠P=30∘，
∴PO=2CO=8，
∴PA=PO−AO=PO−CO=4．
（2） 由（I）知 △OAC 是等边三角形，
∴∠AOC=∠ACO=∠OAC=60∘，
∴∠AQC=12∠AOC=30∘，
∵AQ=CQ，
∴∠ACQ=∠QAC=75∘，
∴∠ACQ−∠ACO=∠QAC−∠OAC=15∘，即 ∠QCO=∠QAO=15∘，
∴∠APC=∠AQC+∠QAO=45∘；
如图 ②，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，
∵△OAC 是等边三角形，CD⊥AB 于点 D，
∵∠DCO=30∘，AD=12AO=12CO=2，
∵∠APC=45∘，
∴∠DCQ=∠APC=45∘，
∴PD=CD，
在 Rt△DOC 中，OC=4，OD=2，∠DCO=30∘，
∴CD=23，
∴PD=CD=23，
∴AP=AD+DP=2+23．
22. 如图作 AE⊥CD 交 CD 的延长线于 E．则四边形 ABCE 是矩形，
∴AE=BC=30，AB=CE，
在 Rt△ACE 中，EC=AE⋅tan43∘≈27.9m，
∴AB=CE≈27.9m，
在 Rt△AED 中，DE=AE⋅tan35∘，
∴CD=EC−DE=AE⋅tan43∘−AE⋅tan35∘=30×0.93−30×0.7≈7m，
答：甲、乙建筑物的高度 AB 为 28 m，DC 为 7 m．
23. （1） 305−x；2805−x
（2） 根据题意，
∴y=400x+2805−x，
∴y=120x+1400；
（3） 为使 195 名九年级师生有坐，x 不能小于 3；为使租车费用不超过 1900 元，x 不能超过 4．综合起来可知 x 的取值为 3 或 4．
① A型客车 3 辆，B型客车 2 辆，租车费用为 400×3+280×2=1760（元），载客量为 45×3+30×2=195（人），符合题意；
② A型客车 4 辆，B型客车 1 辆，租车费用为 400×4+280×1=1880（元），
载客量为 45×4+30×1=210（人），210>195，符合题意．
∴ 符合题意的租车方案有两种，最节省费用的租车方案是A型客车 3 辆，B型客车 2 辆．
24. （1） （i）根据题意，知 ∠BʹCQ=∠BCO=90∘，∠BCO=∠Cʹ=90∘，
∴∠BʹCQ=∠Cʹ=90∘，
又 ∵∠QBʹC=∠OBʹCʹ，
∴△BʹCQ∽△BʹCʹO．
（ii）∵ 点 A−8,0，C0,6，
∴OA=8，OC=6，
∵ 四边形 OABC 是矩形，
∴BC=OA=8，
根据题意，知 BʹCʹ=BC=8，OCʹ=OC=6，
∴OBʹ=10，BʹC=OBʹ−OC=4，
由（i）知 △BʹCQ∽△BʹCʹO，
∴BʹCBʹCʹ=CQCʹO，即 48=CQ6，
∴CQ=3，
∴ 点 Q 的坐标为 3,6．
（2） （i）由题意知 AʹBʹ=AB=OC，∠BCO=∠BʹCO=∠Aʹ=90∘，
又 ∵∠CPO=∠AʹPBʹ，
∴△PCO≌△PAʹBʹAAS．
（ii）根据题意，知 AʹO=AO=8，
设 CP=x，由（i）知 △PCO≌△PAʹBʹ，
∴AʹP=CP=x，AʹBʹ=OC=6，PBʹ=PO=AʹO−AʹP=8−x，
在 Rt△PAʹBʹ 中，PBʹ2=PAʹ2+AʹBʹ2，即 8−x2=x2+62，
解得 x=74，
∴CP=74，
∴ 点 P 的坐标为 74,6．
（3） 点 P 的坐标为 −9−326,6 或 −74,6．
【解析】对于 △PQO，PQ 边上的高 CO 等于 PO 边上的高 CʹO，设 BP=n，
① 当 P 在 BQ 上时，
∵BQ=2BP，
∴BP=PQ=n，
由三角形面积相等得 12⋅PQ⋅CO=12PO⋅OCʹ，
∴PO=PQ=BP=n，
在 Rt△PCO 中，由勾股定理得：n2=62+8−n2，解得 n=254，
∴PC=BC−BP=8−254=74，故 P 点坐标为 −74,6．
② 当 P 在 QB 的延长线上时，
∵BQ=2BP，
∴PQ=3BP=3n，
由三角形面积相等可得 PO=PQ=3n，
∴ 在 Rt△PCO 中，由勾股定理得 3n2=62+8+n2，解得 n=1+326或1−326（舍），
∴PC=BC+BP=8+1+326=9+326，故 P 点坐标为 −9−326,6，
综上所述，点 P 的坐标为 −9−326,6 或 −74,6．
25. （1） ∵ 抛物线 y=x2+bx+c 经过点 A−1,0，C0,−3，
∴0=1−b+c,−3=c,
解得 b=−2,c=−3,
∴ 抛物线的解析式为 y=x2−2x−3，
∵y=x2−2x−3=x−12−4，
∴ 抛物线的顶点坐标为 1,−4．
（2） （i）由（I）可知 y=x2−2x−3 与 x 轴的交点 B 的坐标为 3,0，与 y 轴交点 C 的坐标为 0,−3，
设直线 BC 的解析式为 y=kx+bk≠0，
∴0=3k+b,−3=b,
解得 k=1,b=−3,
∴ 直线 BC 的解析式为 y=x−3．
∵ 点 Pʹ 与点 Pm,t 关于原点对称，
∴ 点 Pʹ 的坐标为 −m,−t，
∵ 点 P 关于原点的对称点 Pʹ−m,−t 落在直线 BC 上，
∴−t=−m−3，即 t=m+3，
∵ 点 Pm,t 在抛物线 y=x2−2x−3 上，
∴t=m2−2m−3，
∴m2−2m−3=m+3，解得 m=3+332 或 m=3−332，
∴m 的值为 m=3+332或3−332．
（ii）∵ 点 Pm,t 关于原点的对称点 Pʹ−m,−t 落在第一象限内，
∴−m>0，−t>0，即 m<0，t<0，
∵ 点 Pm,t 在抛物线 y=x2−2x−3 上，
∴t=m2−2m−3，
∴t+3=m2−2m，
Pʹ−m,−t，根据两点距离公式，
∴PʹA2=−m+12+t2=m2−2m+1+t2=t2+t+4=t+122+154，
∵ 二次项系数 a=1>0，
∴ 当 t=−12 时，PʹA2 有最小值 154，
∴−12=m2−2m−3，
解得 m=2−142或2+142（舍去），
∴m 的值为 2−142，PʹA2 的最小值为 154．