2023年天津市西青区中考数学二模试卷（含解析）

2023年天津市西青区中考数学二模试卷

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共12小题，共36.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  计算的结果为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  的值等于(    )

A.  B.  C.  D.

3.  将用科学记数法表示应为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  如图所示的个图案中是轴对称图形的是(    )

A. 阿基米德螺旋线 B. 笛卡尔心形线
C. 赵爽弦图 D. 太极图

5.  如图是一个由个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  估计的值在(    )

A. 和之间 B. 和之间 C. 和之间 D. 和之间

7.  计算的结果是(    )

A.  B.  C.  D.

8.  若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  方程的两个根是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

10.  如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，点在第四象限，且，，则点的坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  如图，将绕点逆时针旋转后得到，点，的对应点分别为，，点恰好在边上，且点在的延长线上，连接，若，则下列结论一定正确的是(    )

A.  B.  C. 旋转角是 D.

12.  已知抛物线是常数，经过点下列结论：
关于的方程有两个不相等的实数根，即，；
；
；
其中，正确的个数是(    )

A.  B.  C.  D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13.  计算的结果等于______ ．

14.  计算的结果等于______ ．

15.  不透明袋子中装有个球，其中有个红球、个绿球、个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出个球，则它是红球的概率是______ ．

16.  若直线经过第一、二、四象限，则的值可以是______ ．

17.  如图，四边形是正方形，点在边上，点在的延长线上，满足，连接与对角线交于点，连接，，若，则的长为______ ．

18.  如图，在每个小正方形的边长为的网格中，四边形的顶点，，均落在格点上，点是小正方形一边的中点，连接．
Ⅰ线段的长等于______ ．
Ⅱ以线段为直径作，试确定圆心的位置，并在线段上找一点，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点和点，并简要说明点，点的位置是如何找到的不要求证明 ______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.  本小题分
解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
Ⅰ解不等式，得______ ；
Ⅱ解不等式，得______ ；
Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来：

Ⅳ原不等式组的解集为______ ．

20.  本小题分
在“世界读书日”到来之际，学校开展了课外阅读主题周活动，活动结束后，调查统计了部分学生一周的课外阅读时长单位：小时，整理数据后绘制出如图所示的统计图和图．

请根据相关信息，解答下列问题：
Ⅰ本次接受调查的学生人数为______ ，图中的值为______ ；
Ⅱ求统计的这部分学生一周课外阅读时长的平均数、众数和中位数．

21.  本小题分
已知是的直径，点是上一点，点是外一点，是的切线，为切点，连接，．
Ⅰ如图，若与相切，为切点，，求的大小；
Ⅱ如图，若与相交于点，恰有，且，，求的长．

 

22.  本小题分
某校学生开展综合实践活动，测量某小区公园内路灯的高度如图，已知观测点，与路灯底端位于同一直线的水平线上，在点处测得路灯顶端的仰角为，在点处测得路灯顶端的仰角为，两个观测点，相距，求路灯的高度结果精确到．
参考数据：，

23.  本小题分
在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．
小明和小亮相约到公园游玩已知小明家，小亮家到公园的距离相同，小明先骑车到达超市，购买了一些食物和饮用水，然后再骑车到达公园，小明出发后，小亮骑车从家出发直接到达公园，给出的图象中单位：反映了这个过程中小明骑行的路程，请根据相关信息，解答下列问题：
Ⅰ填表：

Ⅱ填空：
小明购物的超市到公园的距离是______ ；
小亮骑车的速度为______ ；
在小明和小亮从各自的家到公园的途中，当两人到公园的距离相同时，小明离开家的时间为______ ；
当小亮到达公园时，小明距公园还有______
Ⅲ当时，请直接写出关于的函数解析式．

24.  本小题分
将直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点，点，点在边上点不与点，重合，折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点，并与边交于点，且，点的对应点为点，设．
Ⅰ如图，当时，求的大小和点的坐标；
Ⅱ如图，若折叠后重合部分为四边形，，分别与交于点，，试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围；
Ⅲ请直接写出折叠后重合部分面积的最大值．

 

25.  本小题分
已知抛物线为常数，过点，顶点为点．
Ⅰ当时，求此抛物线顶点的坐标；
Ⅱ当时，若的面积为，求此抛物线的解析式；
Ⅲ将抛物线向左平移个单位，向下平移个单位，得到新抛物线的顶点为，与轴交点为，点在直线上，点在直线上，当四边形的周长最小时，恰好有，求平移后抛物线的解析式．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：原式，
故选：．
原式利用同号两数相加的法则计算即可求出值．
此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

2.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
根据特殊角的三角函数值得出即可．
本题考查了特殊角的三角函数的应用，能熟记特殊角的三角函数值是解此题的关键，难度适中．
 

3.【答案】 

【解析】解：．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：，，选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
 

5.【答案】 

【解析】解：从正面看，底层有三个小正方形，上层中间是一个小正方形，
故选：．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图．解题的关键是理解简单组合体的三视图的定义，明确从正面看得到的图形是主视图．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
，
估计的值在和之间，
故选：．
根据平方运算估算出的值，即可解答．
本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握平方数是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】解：


，
故选：．
运用同分母分式相加减，分母不变分子相加减进行运算．
此题考查了分式加减的运算能力，关键是能准确理解并运用该计算法则进行正确地计算．
 

8.【答案】 

【解析】解：当时，，解得：；
当时，，解得：；
当时，，解得：．
．
故选：．
利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出，，的值，比较后即可得出结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征，求出，，的值是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：，
，
则，
，，
故选：．
直接开平方法求解即可．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．
 

10.【答案】 

【解析】解：过点作轴于，
，
，
，
，
，
在与中，
，
≌，
，，
，
点坐标，
故选：．
过点作轴于，根据证明与全等，进而解答即可．
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据证明与全等解答．
 

11.【答案】 

【解析】解：将绕点逆时针旋转后得到，
，，，，，
，
，
，
，即旋转角为，
，
，
，
与不平行，
，
，
故选：．
由旋转的性质可得，，，，，由等腰三角形的性质可求，可得，即可求解．
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，掌握旋转的性质可求解．
 

12.【答案】 

【解析】解：关于抛物线的对称轴为直线，抛物线经过点，
抛物线经过，
关于的方程有两个不相等的实数根，即，，故结论正确；
抛物线是常数，经过点，
，
，
，
而，
，正确；
，正确．
故选：．
根据抛物线的对称性即可判断；
把点代入解析式中利用已知条件即可判断；
利用和已知条件即可判断．
此题主要考查了抛物线与轴的交点，解题的关键是熟练掌握抛物线的图象和性质．
 

13.【答案】 

【解析】解：

．
故答案为：．
利用单项式乘单项式的法则：单项式乘以单项式，它们的积仍然是单项式，积的系数等于原来两个单项式的系数的积，它的各个变数字母的幂指数，等于在原来两个单项式中相应的变数字母的幂指数的和，进行运算即可．
本题主要考查单项式乘单项式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
 

14.【答案】 

【解析】解：原式．
故答案为：．
根据平方差公式求解即可．
本题考查了平方差公式，掌握平方差公式是解题关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：共个球，红球有个，
从袋子中随机取出个球，则它是红球的概率为，
故答案为：．
用红球的个数除以球的总数即可．
此题考查概率公式，熟知如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率是解题的关键．
 

16.【答案】答案不唯一 

【解析】解：一次函数的图象经过第一、二、四象限，
；
的值可以是答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
根据一次函数经过的象限确定其图象的增减性，然后确定的取值范围即可．
本题考查一次函数图象与系数的关系；熟练掌握一次函数，与对函数图象的影响是解题的关键．
 

17.【答案】 

【解析】解：连接，
四边形是正方形，
，，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
过作交于，如图：
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
．
故答案为：．
作辅助线，由四边形是正方形，可得，，从而≌，即得，，证明和是等腰直角三角形，可得结论．
本题考查正方形性质及应用，涉及三角形全等的判定及性质，等腰直角三角形判定及性质等知识，解题的关键是证明≌，从而．
 

18.【答案】  利用网格特征作出的中点，取的中点，连接交于点，连接，延长交于点 

【解析】解：Ⅰ；

Ⅱ如图，点即为所求．
作法：利用网格特征作出的中点，取的中点，连接交于点，连接，延长交于点．
故答案为：利用网格特征作出的中点，取的中点，连接交于点，连接，延长交于点．
Ⅰ利用勾股定理求解；
Ⅱ利用网格特征作出的中点，取的中点，连接交于点，连接，延长交于点，点即为所求．
本题考查作图复杂作图，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
 

19.【答案】     

【解析】解：Ⅰ解不等式，得；
Ⅱ解不等式，得；
Ⅲ把不等式和的解集在数轴上表示出来：

Ⅳ原不等式组的解集为．
故答案为：，，．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
 

20.【答案】   

【解析】解：Ⅰ本次接受调查的学生人数为：，
，
所以．
故答案为：；；
Ⅱ这部分学生一周课外阅读时长的平均数为：；
众数为；
中位数为．
Ⅰ用小时的人数除以可得样本容量，用小时的人数除以样本容量可得的值；
Ⅱ根据加权平均数，众数和中位数的定义解答即可．
本题考查条形统计图、扇形统计图、中位数、众数及用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
 

21.【答案】解：如图，连接，
，分别与圆相切于和，
，
，，
，
；
如图，作于，连接，
，
切圆于，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
． 

【解析】连接，由切线的性质，得到，由，得到，由圆周角定理即可得到；
作于，连接，由垂径定理得到，由切线的性质，垂直的定义，推出四边形是矩形，得到，，由勾股定理求出的长，得到的长，即可求出的长．
本题考查切线的性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，综合应用以上知识点是解题的关键．
 

22.【答案】解：由题意得：，
设米，
米，
米，
在中，，
米，
在中，，
米，
，
解得：，
米，
路灯的高度约为米． 

【解析】根据题意可得：，设米，则米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
 

23.【答案】       

【解析】解：Ⅰ由图可知，小明的速度为，
时，，
由图象知，当时，；当时，．
故答案为：，，；
Ⅱ由图象知，小明购物的超市到公园的距离是；
小亮骑车的速度为；
小明从超市到公园的速度为，
第二阶段小明的速度比小亮的慢，
只有小明在超市期间两人出现距公园距离相同的情况，
小亮到超市所用时间为，
此时小明离家时间为，
小亮到达公园时，小明还有．
故答案为：；；；；
Ⅲ当时，；
当时，；
当时，．
关于的函数解析式为．
Ⅰ根据图象可以直接得出结论；
Ⅱ根据图象，结合速度，时间，路程之间的关系逐一求值即可；
Ⅲ根据函数图象分段求出函数解析式．
本题考查了一次函数的应用，从函数图象获取信息是解题的关键．
 

24.【答案】解：Ⅰ如图中，过点作于．

，，点，
，，
，
是等边三角形，
点，，
，
由折叠的性质得是等边三角形，
，，
轴，，，
，
延长交轴于点，
，
，
，
，，
，
；
Ⅱ由折叠可知，≌，
，，
是等边三角形，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
；
Ⅲ当点落在上时，重叠部分是，

由Ⅱ知，
，
，，
，
，
，
，
当时，折叠后重合部分面积最大值；
当时，重叠部分是四边形，
折叠后重合部分面积，
由Ⅱ知，，，
，，
折叠后重合部分面积，
当时，有最大值，最大值，
，
折叠后重合部分面积的最大值为． 

【解析】Ⅰ证出是等边三角形，由等边三角形的性质得出，根据折叠的性质得是等边三角形，，，可得轴，延长交轴于点，根据直角三角形的性质求出，即可得出答案；
Ⅱ证明四边形是菱形，则，，根据直角三角形的性质求出，由即可求解；
Ⅲ分别求出当时，折叠后重合部分面积最大值；当时，重叠部分是四边形，最大值，即可得出答案．
本题属于四边形综合题，考查了菱形的判定和性质，翻折变换，多边形的面积，解直角三角形，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．
 

25.【答案】解：Ⅰ将，代入抛物线得：
，
解得，
抛物线的解析式为；
；
Ⅱ过作轴交于，如图：

设直线的解析式为，将代入得，
直线的解析式为，
将代入得：，
抛物线的解析式为，
抛物线顶点，对称轴是直线，
在中，令得，
，
，
的面积为，
，
解得，
抛物线的解析式为；
Ⅲ平移后的抛物线为，
，，
作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交直线，于，，此时四边形的周长最小，如图：

设直线的解析式为，
将，代入可得：
，
解得：，
直线解析式为，
 直线的解析式为，
将，代入得：
，
解得：，
直线解析式为，
，
，
解得，
抛物线的解析式为． 

【解析】Ⅰ将，代入抛物线，可得函数解析式，即可解答；
Ⅱ先求出点坐标，求得抛物线对称轴与直线的交点的坐标，根据，即可解答；
Ⅲ写出新抛物线的解析式为，再按照题意求得的值即可．
本题为二次函数综合题目，考查了二次函数的性质，二次函数的平移，熟练画出大致图形并作出四边形周长最小时的图形是解题的关键．