2019年天津市滨海新区中考二模数学试卷

这是一份2019年天津市滨海新区中考二模数学试卷，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 计算 −18÷−6 的结果等于
A. 3B. −3C. 13D. −13

2. sin45∘ 的值等于
A. 1B. 32C. 22D. 12

3. 一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1 个天文单位是地球与太阳的平均距离，即 149600000 千米，将 149600000 用科学记数法表示为
A. 0.1496×109B. 1.496×108C. 14.96×107D. 149.6×106

4. 下列图形中，可以看作是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

5. 如图是一个由 5 个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是
A. B.
C. D.

6. 估计 43 的值在
A. 4 和 5 之间B. 5 和 6 之间C. 6 和 7 之间D. 7 和 8 之间

7. 计算 aa+12+1a+12 的结果为
A. a+1B. 1aC. 1a+1D. a+1a2+1

8. 一元二次方程 x2+x=0 的根为
A. x=−1B. x=0C. x1=1，x2=0D. x1=−1，x2=0

9. 已知反比例函数 y=kx 的图象经过点 P−1,2，则这个函数的图象位于
A. 第二，三象限B. 第一，三象限C. 第三，四象限D. 第二，四象限

10. 如图，平行四边形 ABCD 的周长为 36，对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E 是 CD 的中点，BD=12，则 △DOE 的周长为
A. 15B. 18C. 21D. 24

11. 如图，等腰直角 △ABC 中，AC=BC，∠ACB=90∘，点 O 在斜边 AB 上，且满足 BO:OA=1:3，将 △BOC 绕 C 点顺时针方向旋转到 △AQC 的位置，则 ∠AQC 的大小为
A. 100∘B. 105∘C. 120∘D. 135∘

12. 已知抛物线 y=ax2+bx+c 开口向下，与 x 轴交于点 A−1,0，顶点坐标为 1,n，与 y 轴的交点在 0,2，0,3 之间（包含端点），则下列结论：① 2a+b=0；② −1≤a≤−23；③对于任意实数 m，a+b≥am2+bm 总成立；④关于 x 的方程 ax2+bx+c=n−1 有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数是
A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 计算 a3+a3 的结果等于 ．

14. 计算 25−22 的结果等于 ．

15. 不透明袋子中装有 9 个球，其中有 2 个红球、 3 个绿球和 4 个蓝球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出 1 个球，则它是蓝球的概率是 ．

16. 若一次函数 y=kx+3（k 为常数，k≠0），y 随 x 的增大而减小，则 k 的值可以是 （写出一个即可）．

17. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 5，点 E，F 分别在 AD，DC 上，AE=DF=2，BE 与 AF 相交于点 G，点 H 为 BF 的中点，连接 GH，则 GH 的长为 ．

18. 如图，将 △ABC 放在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A，B，C 均落在格点上．
（Ⅰ）△ABC 的面积等于 ；
（Ⅱ）若四边形 DEFG 是 △ABC 中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明）．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 解不等式组 2−x≤5, ⋯⋯①x+3≤3−2x. ⋯⋯②
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式 ①，得 ；
（Ⅱ）解不等式 ②，得 ；
（Ⅲ）把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．

20. 八年级（1）班研究性学习小组为研究全校同学课外阅读情况，在全校随机邀请了部分同学参与问卷调査，统计同学们一个月阅读课外书的数量，并绘制了如下的统计图 1 和图 2，请根据图中相关信息，解决下列问题：
（1）图 1 中 m 的值为 ，共有 名同学参与问卷调查．
（2）求统计的这组数据的平均数、众数和中位数．
（3）全校共有学生 1500 人，根据样本数据，估计该校学生一个月阅读 2 本课外书的人数约为多少?

21. 已知 AB 是 ⊙O 的直径，点 C，D 在 ⊙O 上，CD 与 AB 交于点 E，连接 BD．
（1）如图 1，若点 D 是弧 AB 的中点，求 ∠C 的大小；
（2）如图 2，过点 C 作 ⊙O 的切线与 AB 的延长线交于点 P，若 AC=CP，求 ∠D 的大小．

22. 随着科学技术的发展，导航装备的不断更新极大方便了人们的出行．如图，某校组织学生乘车到 C 地开展社会实践活动，车到达 A 地后，发现 C 地恰好在 A 地的正北方向，导航显示车辆应沿北偏东 58∘ 方向行驶 8 km 至 B 地，再沿北偏西 37∘ 方向行驶一段距离才能到达 C 地，求 B，C 两地的距离（结果取整数）．
（参考数据：sin37∘≈0.60，cs37∘≈0.80，sin58∘≈0.85，cs58∘≈0.53）

23. 服装店准备购进甲乙两种服装共 100 件，费用不得超过 7500 元，甲种服装每件进价 80 元，每件售价 120 元；乙种服装每件进价 60 元，每件售价 90 元．
（1）设购进甲种服装 x 件，试填写下表，
表一
购进甲种服装的数量/件1020⋯x购进甲种服装所用费用/元8001600⋯ 购进乙种服装所用费用/元5400 ⋯
表二
购进甲种服装的数量/件1020⋯x甲种服装获得的利润/元 800⋯ 乙种服装获得的利润/元27002400⋯
（2）给出能够获得最大利润的进货方案，并说明理由．

24. 在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为 A3,0，B0,4，C−3,0．动点 M，N 同时从点 A 出发，M 沿 A→C，N 沿折线 A→B→C，均以每秒 1 个单位长度的速度移动，当一个动点到达终点 C 时，另一个动点也随之停止移动，移动时间记为 t 秒，连接 MN．
（1）如图 1，当点 N 移动到 AB 中点时，求此时 t 的值及 M 点坐标；
（2）在移动过程中，将 △AMN 沿直线 MN 翻折，点 A 的对称点为 A1．
（i）如图 2，当点 A1 恰好落在 BC 边上的点 D 处时，求此时 t 的值；
（ii）当点 M 移动到点 C 时，点 A1 落在点 E 处，求此时点 E 的坐标（直接写出结果即可）．

25. 在平面直角坐标系中，O 为原点，抛物线 y=ax2−332xa≠0 经过点 A3,−3，对称轴为直线 l，点 O 关于直线 l 的对称点为点 B．过点 A 作直线 AC∥x 轴，交 y 轴于点 C．
（1）求该抛物线的解析式及对称轴；
（2）点 P 在 y 轴上，当 PA+PB 的值最小时，求点 P 的坐标；
（3）抛物线上是否存在点 Q，使得 S△AOC=13S△AOQ，若存在，求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
答案
第一部分
1. A
2. C
3. B
4. B
5. A
6. C【解析】∵36<43<49，
∴36<43<49，
∴6<43<7．
7. C【解析】aa+12+1a+12=a+1a+12=1a+1．
8. D【解析】∵x2+x=0，
∴xx+1=0，
即 x=0 或 x+1=0，
解得：x=0 或 x=−1．
9. D【解析】由题意得，k=−1×2=−2<0，
∴ 函数的图象位于第二，四象限．
10. A
【解析】∵ 平行四边形 ABCD 的周长为 36，
∴2BC+CD=36，即 BC+CD=18．
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，对角线 AC，BD 相交于点 O，BD=12，
∴OD=OB=12BD=6．
又 ∵ 点 E 是 CD 的中点，DE=12CD，
∴OE 是 △BCD 的中位线，
∴OE=12BC，
∴△DOE的周长=OD+OE+DE=12BD+12BC+CD=6+9=15，
即 △DOE 的周长为 15．
11. B【解析】连接 OQ，
∵AC=BC，∠ACB=90∘，
∴∠B=∠BAC=45∘，
由旋转的性质可得，△BCO≌△ACQ，
∴∠B=∠CAQ=45∘，OC=CQ，BO=AQ，∠BCO=∠ACQ，
∴∠OCQ=∠ACB=90∘，∠OAQ=90∘，且 ∠OQC=45∘，
∵tan∠AQO=AOAQ=AOBO=3，
∴∠AQO=60∘，
∴∠AQC=105∘．
12. D【解析】∵ 抛物线顶点坐标为 1,n，
∴−b2a=1，
∴2a+b=0，故①正确；
∵ 抛物线与 x 轴交于点 A−1,0，
∴a−b+c=0，b=−2a，
∴c=−3a，且 c 是函数与 y 轴的交点的纵坐标，
∵2≤c≤3，
∴2≤−3a≤3，即 −1≤a≤−23，故②正确；
由②可知二次函数开口向下，
又 ∵ 顶点坐标为 1,n，
∴x=1 时 y 取最大值，
∴a+b+c≥am2+bm+c，即 a+b≥am2+bm，故③正确；
∵ 二次函数的最大值为 n，并且 n−1 ∴y=ax2+bx+c 与 y=n−1 这条直线有两个交点，
∴ 关于 x 的方程 ax2+bx+c=n−1 有两个不相等的实数根，故④正确．
第二部分
13. 2a3
14. 22−410
15. 49
16. −1（答案不唯一，k<0 即可）
17. 342
【解析】∵ 四边形 ABCD 为正方形，
∴∠BAE=∠D=90∘，AB=AD，
在 △ABE 和 △DAF 中，
∵AB=AD,∠BAE=∠ADF,AE=DF,
∴△ABE≌△DAF(SAS)，
∴∠ABE=∠DAF，
∵∠ABE+∠BEA=90∘，
∴∠DAF+∠BEA=90∘，
∴∠AGE=∠BGF=90∘，△BGF 为直角三角形，
∵ 点 H 为 BF 的中点，
∴GH=12BF，
∵BC=5，CF=CD−DF=5−2=3，
∴BF=BC2+CF2=34，
∴GH=12BF=342．
18. （Ⅰ）6；（Ⅱ）取格点 P，连接 PC，过点 A 画 PC 的平行线，与 BC 交于点 Q，连接 PQ 与 AC 相交得点 D，过点 D 画 CB 的平行线，与 AB 相交得点 E，分别过点 D，E 画 PC 的平行线，与 CB 相交得点 G，F，则四边形 DEFG 即为所求．
【解析】（Ⅰ）△ABC 的面积为：12×4×3=6；
（Ⅱ）如图，取格点 P，连接 PC，
过点 A 画 PC 的平行线，与 BC 交于点 Q，连接 PQ 与 AC 相交得点 D，过点 D 画 CB 的平行线，与 AB 相交得点 E，分别过点 D，E 画 PC 的平行线，与 CB 相交得点 G，F，则四边形 DEFG 即为所求．
第三部分
19. （Ⅰ）x≥−3；
（Ⅱ）x≤0；
（Ⅲ）
（Ⅳ）−3≤x≤0
20. （1） 41；100
【解析】m%=1−15%−10%−34%=41%；
10÷10%=100．
（2） ∵x=10×1+41×2+34×3+15×4100=2.54，
∴ 这组数据的平均数是 2.54，
∵ 在这组数据中，2 出现了 41 次，出现的次数最多，
∴ 这组数据的众数为 2；
∵ 将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是 2，有 2+22=2，
∴ 这组数据的中位数为 2．
（3） 估计这 1500 名学生一个月阅读 2 本课外书的人数约为：1500×41100=615（人）．
答：约有 615 人．
21. （1） 连接 AD，
∵AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ADB=90∘，
∵D 是弧 AB 的中点，
∴弧AD=弧BD，
∴AD=BD，
∴△ABD 是等腰直角三角形，
∴∠ABD=45∘；
又 ∵∠C=∠ABD，
∴∠C=45∘．
（2） 连接 OC，
∵CP 是 ⊙O 的切线，
∴∠OCP=90∘，
∵AC=CP，
∴∠A=∠P，
∵∠COP=2∠A，
∴∠COP=2∠P，
∵ 在 Rt△OPC 中，∠COP+∠P=90∘，
∴2∠P+∠P=90∘，
∴∠P=30∘，
∴∠A=30∘，
∴∠D=∠A=30∘．
22. 如图，过点 B 作 BD⊥AC，垂足为点 D，
由题意得 ∠BAD=58∘，∠BCD=37∘，AB=8．
在 Rt△ABD 中，sin58∘=BDAB，
∴sin58∘=BD8，
∴BD=8sin58∘．
在 Rt△BCD 中，sin37∘=BDBC，
∴sin37∘=8sin58∘BC，
∴BC=8sin58∘sin37∘，
∴BC≈11．
答：B，C 两地的距离约为 11 千米．
23. （1） 80x；4800；6000−60x；400；40x；3000−30x
（2） 应购进甲种服装 75 件，乙种服装 25 件．
理由：
设购进甲种服装 x 件，由题意可知：
80x+60100−x≤7500,
解得：
x≤75.
设总利润为 w 元，0≤x≤75，
w=40x+30100−x=10x+3000,∵10>0
，w 随 x 的增大而增大，
∴ 当 x=75 时，w 有最大值．
答：购进甲种服装 75 件，乙种服装 25 件时，可获得最大利润．
24. （1） ∵A3,0，B0,4，
∴OA=3，OB=4，
∴ 由勾股定理算得 AB=5．
当点 N 移动到 AB 中点时，由题意可得 AN=AM=52 ，
∴t=52．
∵OA=3，t ∴OM=OA−AM=3−52=12，
∴ 点 M 坐标为 12,0．
（2） （i）由题意可得 AM=AN=t，
∵△AMN 沿直线 MN 翻折，点 A1 落在点 D 处，
∴AM=AN=MD=ND=t，
∴ 四边形 AMDN 为菱形，
∴BN=5−t，DN∥x 轴，
∴△BDN∽△BCA，
∴DNCA=BNBA，t6=5−t5，
解得 t=3011．
（ii）E 点坐标为 −11725,14425．
【解析】（ii）连接 AE，
则 AE⊥MB，
∵OC=3，OB=4，∠COB=90∘，
∴BC=5，
∴sin∠BCO=OBBC=45，
∴sin∠BCO=AHAC=45，即 AH6=45，
∴AH=245，
∴AE=485，
设 MF=a，EF=b，
∵AC=EM=6，
∴a2+b2=62,a+62+b2=4852,
解得 a=4225,b=14425,
∴OF=3+4225=−11725，
∴ 点 E 的坐标为 −11725,14425．
25. （1） ∵y=ax2−332xa≠0 经过点 A3,−3，
∴−3=a×32−332×3，
解得 a=12，
∴ 抛物线的解析式为 y=12x2−332x，
∵x=−b2a=−−3322×12=332，
∴ 抛物线的对称轴为直线 x=332．
（2） ∵ 点 O0,0，对称轴为 x=332，
∴ 点 O 关于对称轴的对称点 B 点坐标为 33,0．
作点 B 关于 y 轴的对称点 B1，得 B1−33,0，
设直线 AB1 的解析式为 y=kx+b，
把点 A3,−3，点 B1−33,0 代入得 −3=3k+b,0=−33k+b,
解得 k=−34,b=−94.
∴y=−34x−94．
∴ 直线 y=−34x−94 与 y 轴的交点即为 P 点．
令 x=0 得 y=−94，
∴P 点坐标为 0,−94．
（3） 存在点 Q，使得 S△AOC=13S△AOQ．
∵A3,−3，AC∥x 轴，
∴AC=3，OC=3，
∴S△AOC=12OC⋅AC=12⋅3⋅3=332．
又 ∵S△AOC=13S△AOQ，
∴S△AOQ=3S△AOC=932．
设 Q 点坐标为 m,12m2−332m，
如图情况一，作 QR⊥CA，交 CA 延长线于点 R，
∵S△AOQ=S梯形OCRQ−S△AOC−S△AQR=932，
∴12⋅m3+12m2−332m+3−12⋅3⋅3−12m−312m2−332m+3=932，
化简整理得 m2−3m−18=0，
解得 m1=33（舍），m2=−23（舍）；
如图情况二，作 QN⊥AC，交 AC 延长线于点 N，交 x 轴于点 M，
∵S△AOQ=S△AQN−S△QMO−S梯形OMNA=932，
∴123−m12m2−332m+3−12−m12m2−332m−32−m+3−m=932，
化简整理得 m2−3m−18=0，
解得 m1=33，m2=−23，
∴Q 点坐标为 33,0 或 −23,15，
∴ 抛物线上存在点 Q，使得 S△AOC=13S△AOQ．