2020年天津市河北区中考二模数学试卷

这是一份2020年天津市河北区中考二模数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 计算 −4×−2 的结果等于
A. 12B. −12C. 8D. −8

2. 计算 3tan30∘ 的值等于
A. 3B. 33C. 32D. 3

3. 截止北京时间 2020 年 6 月 1 日 23 点 33 分，全球新冠肺炎病例上升至 6203385 例，6203385 用科学记数法表示为
A. 6.2×106B. 6.2×107C. 6.203385×106D. 6.203385×107

4. 下列图标，是轴对称图形的是
A. B.
C. D.

5. 如图是一个由 5 个相同的正方体组成的几何体，它的左视图是
A. B.
C. D.

6. 估计 26−2 的值在
A. 3 和 4 之间B. 4 和 5 之间C. 5 和 6 之间D. 6 和 7 之间

7. 计算 x2x−2+42−x 的结果是
A. x−2B. 2−xC. x+2D. x+4

8. 一元二次方程 5x2−2x=0 的解是
A. x1=0，x1=−25B. x1=0，x1=25C. x1=0，x1=52D. x1=0，x1=−52

9. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为边 CD 上一点，将 △ADE 沿 AE 折叠至 △ADʹE 处，ADʹ 与 CE 交于点 F，若 ∠B=55∘，∠DAE=20∘，则 ∠FEDʹ 的大小为
A. 20∘B. 30∘C. 35∘D. 45∘

10. 已知反比例函数 y=4x，当 y<2 时，自变量 x 的取值范围是
A. x>2B. x<0C. 02

11. 如图，在平面直角坐标系中，矩形 OABC 的两边 OA，OC 分别在 x 轴和 y 轴上，并且 OA=5，OC=3．若把矩形 OABC 绕着点 O 逆时针旋转，使点 A 恰好落在 BC 边上的 A1 处，则点 C 的对应点 C1 的坐标为
A. −95,125B. −125,95C. −165,125D. −125,165

12. 抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 −2,0，且对称轴为直线 x=1，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：
① b=2a；
② 4a+2b+c>0；
③若 n>m>0，则 x=1+m 时的函数值小于 x=1−n 时的函数值；
④点 −c2a,0 一定此抛物线上．
其中正确结论的个数是
A. 4 个B. 3 个C. 2 个D. 1 个

二、填空题（共5小题；共25分）
13. 计算：2a⋅3a2= ．

14. 化简 5−12= ．

15. 在 10 个外观相同的产品中，有 2 个不合格产品，现从中任意抽取 1 个进行检测，抽到合格产品的概率是 ．

16. 一次函数 y=2x−1 经过第 象限．

17. 如图，在正方形 ABCD 中，AD=43，把边 BC 绕点 B 逆时针旋转 60∘ 得到线段 BP，连接 AP 并延长交 CD 于点 E，连接 PC，则三角形 PCE 的面积为 ．

三、解答题（共8小题；共104分）
18. 如图 1，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A，B，C，D 均在格点上．点 E 为直线 CD 上的动点，连接 BE，作 AF⊥BE 于 F．点 P 为 BC 边上的动点，连接 DP 和 PF．
（1）当点 E 为 CD 边的中点时，△ABF 的面积为 ；
（2）当 DP+PF 最短时，请在图 2 所示的网格中，用无刻度的直尺画出点 P，并简要说明点 P 的位置是如何找到的（不要求证明） ．

19. 解不等式组 x−4≥3x−2, ⋯⋯①4x−5<3x. ⋯⋯②
请结合题意填空，完成本题的解答．
（I）解不等式 ①，得 ；
（II）解不等式 ②，得 ；
（III）把不等式 ① 和 ② 的解集在数轴上表示出来：
（IV）原不等式组的解集为 ．

20. 小明是一名健步走运动的爱好者，他用手机软件记录了他近期健步走的步数（单位：万步），绘制出如下的统计图①和统计图②，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次记录的总天数为 ，图①中 m 的值为 ；
（2）求小名近期健步走步数的平均数、众数和中位数；
（3）根据样本数据，若小明坚持健步走一年（记为 365 天），试估计步数为 1.1 万步的天数．

21. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，点 C 是 ⊙O 上一点，∠BAC 的平分线 AD 交 ⊙O 于点 D，过点 D 作 DE⊥AC 交 AC 的延长线于点 E．
（1）求证：DE 是 ⊙O 的切线；
（2）如果 ∠BAC=60∘，AE=43，求 AC 长．

22. 如图，聪聪想在自己家的窗口 A 处测量对面建筑物 CD 的高度，他首先量出窗口 A 到地面的距离 AB 为 16 m，又测得从 A 处看建筑物底部 C 的俯角 α 为 30∘，看建筑物顶部 D 的仰角 β 为 53∘，且 AB，CD 都与地面垂直，点 A，B，C，D 在同一平面内．
（参考数据：sin53∘≈0.8，cs53∘≈0.6，tan53∘≈1.3，3≈1.7）
（1）求 AB 与 CD 之间的距离（结果保留根号）；
（2）求建筑物 CD 的高度（结果精确到 1 m）．

23. 疫情期间，甲厂欲购买某种无纺布生产口罩，A，B 两家无纺布公司各自给出了该种无纺布的销售方案．
A 公司方案：无纺布的价格均为每吨 1.95 万元；
B 公司方案：无纺布不超过 30 吨时，每吨收费 2 万元；超过 30 吨时，超过的部分每吨收费 1.9 万元．设甲厂在同一公司一次购买无纺布的数量为 x 吨（x>0）．
（1）根据题意，填写下表：
一次购买数量吨102035⋯A公司花费万元39⋯B公司花费万元40⋯
（2）设在 A 公司花费 y1 万元，在 B 公司花费 y2 万元，分别求 y1，y2 关于 x 的函数解析式；
（3）如果甲厂所需购买的无纺布是 50 吨，试通过计算说明选择哪家公司费用较少．

24. 在平面直角坐标系中，两个形状、大小完全相同的三角板 OBC，DEF，按如图所示的位置摆放，O 为原点，点 B12,0，点 B 与点 D 重合，边 OB 与边 DE 都在 x 轴上．其中，∠C=∠DEF=90∘，∠OBC=∠F=30∘．
（1）如图①，求点 C 坐标；
（2）现固定三角板 DEF，将三角板 OBC 沿 x 轴正方向平移，得到 △OʹBʹCʹ，当点 Oʹ 落点 D 上时停止运动．设三角板平移的距离为 x，两个三角板重叠部分的面积为 y．求 y 关于 x 的函数解析式，并写出自变量 x 的取值范围；
（3）在（2）条件下，设边 BC 的中点为点 M，边 DF 的中点为点 N．直接写出在三角板平移过程中，当点 M 与点 N 之间的距离最小时，点 M 的坐标（直接写出结果即可）．

25. 已知抛物线 y=x2+bx+c 的图象与 x 轴的一个交点为 A−1,0，另一个交点为 B，与 y 轴交于点 C0,−3，顶点为 D．
（1）求二次函数的解析式和点 D 的坐标；
（2）若点 M 是抛物线在 x 轴下方图象上的一动点，过点 M 作 MN∥y 轴交线段 BC 于点 N，当 MN 取最大值时，点 M 的坐标；
（3）将该抛物线向上或向下平移，使得新抛物线的顶点 D 落在 x 轴上，原抛物线上一点 P 平移后的对应点为 Q，如果 ∠OQP=∠OPQ，试求点 Q 的坐标．
答案
第一部分
1. C【解析】−4×−2=8．
2. D【解析】∵tan30∘=33，
∴3tan30∘=3．
3. C【解析】6203385=6.203385×106．
4. D【解析】A、不是轴对称图形，故不符合题意；
B、不是轴对称图形，故不符合题意；
C、不是轴对称图形，故不符合题意；
D、是轴对称图形，故符合题意，故选D．
5. B
【解析】从左面看是一列 3 个正方形．
6. A【解析】∵5<26<6，
∴3<26−2<4，
∴26−2 在 3 和 4 之间．
7. C【解析】原式=x2x−2−4x−2=x2−4x−2=x−2x+2x−2=x+2.
8. B【解析】5x2−2x=5x−2x=0，
∴ 方程的解为 x1=0，x2=25．
9. B【解析】∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠D=∠B=55∘．
由折叠的性质得：∠Dʹ=∠D=55∘，∠EADʹ=∠DAE=20∘，
∴∠AEF=∠D+∠DAE=55∘+20∘=75∘，∠AEDʹ=180∘−∠EADʹ−∠Dʹ=105∘，
∴∠FEDʹ=105∘−75∘=30∘．
10. D
【解析】当 y=2 时，x=2，函数 y=4x 的图象如图所示：
由图象可得：当 y<2 时，自变量 x 的取值范围是：x<0 或 x>2．
11. A【解析】过点 C1 作 C1N⊥x 轴于点 N，过点 A1 作 A1M⊥x 轴于点 M．
由题意可得：∠C1NO=∠A1MO=90∘，∠1=∠2=∠3．
则 △A1OM∽△OC1N．
∵OA=5，OC=3，
∴OA1=5，A1M=3．
∴OM=4．
∴ 设 NO=3x，则 NC1=4x，OC1=3，
则 3x2+4x2=9，解得：x=±35（负数舍去）．
则 NO=95，NC1=125．
故点 C 的对应点 C1 的坐标为 −95,125．
12. C【解析】∵ 抛物线的对称轴为 −b2a=1，
∴b=−2a，
故①错误；
∵ 抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 −2,0，
∴4a−2b+c=0，
故②错误；
∵ 抛物线开口向下，对称轴为直线 x=1，
∴ 横坐标是 1−n 的点的对称点的横坐标为 1+n，
∵n>m>0，
∴1+n>1+m，
∴x=1+m 时的函数值小于 x=1−n 时的函数值，故③正确；
∵b=−2a，
∴ 抛物线为 y=ax2−2ax+c，
∵ 抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 −2,0，
∴4a+4a+c=0，即 8a+c=0，
∴c=−8a，
∴−c2a=4，
∵ 点 −2,0 对称点是 4,0，
∴ 点 −c2a,0 一定在此抛物线上，故④正确，
故选：C．
第二部分
13. 6a3
【解析】2a⋅3a2=2×3×a1+2=6a3．
14. 6−25
【解析】5−12=5−25+1=6−25．
15. 45
【解析】根据概率的意义，用符合条件的数量除以总数即可，即 10−210=45．
16. 一、三、四
【解析】∵ 一次函数 y=2x−1 中，k=2>0，b=−1<0，
∴ 一次函数 y=2x−1 的图象经过一、三、四象限．
17. 123−12
【解析】过 P 点作 PF⊥BC 于 F 点，PH⊥CD 于 H 点，延长 FP 交 AD 于 G 点，
∵AD∥BC，
∴PG⊥AD，
根据旋转性质可得 BP=BC，∠PBC=60∘，
∴△PBC 是等边三角形，
∴F 点是 BC 中点，
∴BF=FC=PH=23，利用勾股定理求得 PF=6，
∴PG=43−6，
∵FG∥CD，F 为 BC 中点，
∴G 为 AD 中点，P 为 AE 中点，
∴DE=2PG=83−12，EC=43−DE=12−43，
∴△PCE 的面积为 12CE×PH=12×12−43×23=123−12．
第三部分
18. （1） 4
【解析】根据题意可得，当 E 为 CD 中点时，由勾股定理可得 AF=BF=22，
则 △ABF 的面积为 12AF⋅BF=4．
（2） 先取格点 G，M，N，分别连接 DG，MN 交于点 Dʹ，取 AB 的中点 H，连接 HDʹ 交 BC 于 P，点 P 即为所求
19. （I）x≤1；
（II）x<5；
（II）
（IV）x≤1
【解析】解不等式 ①，得 x≤1．
解不等式 ②，得 x<5．
原不等式组的解集为 x≤1．
20. （1） 25；12
【解析】2+5+7+8+3=25；
100−32−28−20−8=12．
（2） ∵x=1.0×2+1.1×5+1.2×7+1.3×8+1.4×32+5+7+8+3=1.22，
∴ 这组数据的平均数为 1.22 万步；
∵ 在这组数据中，1.3 万步出现了 8 次，出现的次数最多，
∴ 这组数据的众数为 1.3 万步；
∵ 将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的数是 1.2 万步，
∴ 这组数据的中位数为 1.2 万步．
（3） ∵ 在统计的健步走的步数样本数据中，步数为 1.1 万约占 20%，
∴ 估计 365 天中，步数为 1.1 万约占 20%，
365×20%=73，
答：若小明坚持健步走一年（记为 365 天），步数为 1.1 万步的天数约为 73 天．
21. （1） 连接 OD，如图，
∵∠BAC 的平分线 AD 交 ⊙O 于点 D，
∴∠BAD=∠DAC；
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠ODA=∠DAC；
∴OD∥AE；
∵DE⊥AE，
∴DE⊥OD，OD 为半径；
∴DE 是 ⊙O 的切线．
（2） 作 OF⊥AC 于 F，
∵∠BAC=60∘，
∴∠DAE=30∘；
在 Rt△ADE 中，DE=AE⋅tan30∘=4；
四边形 ODEF 为矩形，
∴OF=DE=4；
在 Rt△OAF 中，
∵∠OAF=60∘，
∴AF=OF3=433；
∴AC=2AF=833．
22. （1） 作 AM⊥CD 于 M，则四边形 ABCM 为矩形．
∴CM=AB=16，AM=BC．
在 Rt△ACM 中，tan∠CAM=CMAM，
则 AM=CMtan∠CAM=16tan30∘=163m．
答：AB 与 CD 之间的距离 163 m．
（2） 在 Rt△AMD 中，tan∠DAM=DMAM，
则 DM=AM⋅tan∠DAM≈16×1.7×1.3=35.36．
∴DC=DM+CM=35.36+16≈51m．
答：建筑物 CD 的高度约为 51 m．
23. （1） 根据题意，得：
一次购买数量吨102035⋯A公司花费万元10×1.95=19.53935×1.95=68.25⋯B公司花费万元10×2=204030×2+5×1.9=69.5⋯
（2） 根据题意得，y1=1.95xx>0，
当 0当 x>30 时，y2=2×30+1.9x−30，即 y2=1.9x+3．
（3） 如果在 A 公司购买，所需的费用为：y1=1.95×50=97.5 万元；
如果在 B 公司购买，所需的费用为：y2=2×30+1.9×50−30=98 万元；
∵97.5<98，
∴ 在 A 公司购买费用较少．
24. （1） 如图①所示：过点 C 作 CG⊥AB 于 G 点．
∵B12,0，得 OB=12，
在 Rt△OBC 中，由 OB=12，∠OBC=30∘，得 OC=6．
∴∠COB=60∘，
在 Rt△OCG 中，OG=OC⋅cs60∘=3．
∴CG=OC⋅sin60∘=33．
∴C3,33．
（2） ①当 0≤x<6 时，如图②所示．
∠GDE=60∘，∠GBʹD=30∘，DBʹ=x，得 DG=12x，BʹG=32x，重叠部分的面积为 y=12DG⋅BʹG=12⋅12x⋅32x=38x2．
②当 6≤x≤12 时，如图③所示．
BʹD=x，DG=12x，BʹG=32x，BʹE=x−6，EH=33x−6．
重叠部分的面积为 y=S△BʹDG−S△BʹEH=12DG⋅BʹG−12BʹE⋅EH，
即 y=12⋅12x⋅32x−12⋅x−6⋅33x−6，
化简，得 y=−324x2+23x−63；
综上所述：y=38x2,0≤x<6−324x2+23x−63,6≤x≤12．
（3） 15,332．
【解析】如图 5 所示，作 NG⊥DE 于 G 点，
点 M 在 NG 上时 MN 最短，
∵NG 是 △DEF 的中位线，
∴NG=12EF=33，DG=12DE=3，
∴OG=OD+DG=12+3=15，
∴M 点坐标为：15,332．
25. （1） ∵ 抛物线 y=x2+bx+c 经过 A−1,0，C0,−3，得 1−b+c=0,c=−3,
∴b=−2,c=−3,
∴ 抛物线的解析式为 y=x2−2x−3．
∴y=x−12−4．
∴ 顶点 D1,−4．
（2） ∵y=x2−2x−3，
当 y=0 时，x2−2x−3=0，解得 x1=3，x2=−1．
∴B3,0．
设直线 BC 解析式为 y=kx+bk≠0．
把 B3,0，C0,−3 代入 y=kx+b．
可得 3k+b=0,b=−3, 解得：k=1,b=−3,
∴ 直线 BC 解析式为 y=x−3．
设 Mm,m2−2m−3，Nm,m−3．
∴MN=m−3−m2−2m−3=−m2+3m=−m−322+94.
∴ 当 MN 最大时，点 M 的坐标为 32,−154．
（3） 由（1）可得抛物线顶点坐标 D1,−4，根据题意可得抛物线向上平移 4 个单位长度．
∵ 点 P 在原抛物线 y=x2−2x−3 上．
∴ 设 Px,x2−2x−3，则 Qx,x2−2x+1．
∵∠OQP=∠OPQ，
∴OP=OQ．
∴ 得到 x=1+2 或 x=1−2．
∴Q1+2,2或1−2,2．