2021年上海市奉贤区中考二模数学试卷

这是一份2021年上海市奉贤区中考二模数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共6小题；共30分）
1. 计算 2a⋅3a 的结果是
A. 5aB. 5a2C. 6aD. 6a2

2. 在下列各式中，二次根式 a+b 的有理化因式是
A. a+bB. a−bC. a+bD. a−b

3. 某校对进校学生进行体温检测，在某一时段测得 6 名学生的体温分别为 36.8∘C，36.9∘C，36.5∘C，36.6∘C，36.9∘C，36.5∘C，那么这 6 名学生体温的平均数与中位数分别是
A. 36.7∘C，36.7∘CB. 36.6∘C，36.8∘C
C. 36.8∘C，36.7∘CD. 36.7∘C，36.8∘C

4. 下列函数中，函数值 y 随自变量 x 的值增大而减小的是
A. y=2xB. y=−2xC. y=2xD. y=−2x

5. 如图，在梯形 ABCD 中，AB∥DC，对角线 AC，BD 交于点 O．下列条件中，不一定能判断梯形 ABCD 是等腰梯形的是
A. AD=BCB. ∠ABC=∠BAD
C. AB=2DCD. ∠OAB=∠OBA

6. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，BC=18，AC=24，点 O 在边 AB 上，且 BO=2OA．以点 O 为圆心，r 为半径作圆，如果 ⊙O 与 Rt△ABC 的边有 3 个公共点，那么下列各值中，半径 r 不可以取的是
A. 6B. 10C. 15D. 16

二、填空题（共12小题；共60分）
7. 9 的平方根是 ．

8. 函数 y=xx−1 的定义域是 ．

9. 如果抛物线 y=ax2+bx+c 在对称轴左侧呈上升趋势，那么 a 的取值范围是 ．

10. 如果一元二次方程 x2−px+3=0 有两个相等的实数根，那么 p 的值是 ．

11. 将 π，23，2，0，−1 这 5 个数分别写在 5 张相同的卡片上，字面朝下随意放在桌上，任取一张，取到无理数的概率为 ．

12. 某小区一天收集各类垃圾共 2.4 吨，绘制成各类垃圾收集量的扇形图，其中湿垃圾在扇形图中对应的圆心角为 135∘，那么该小区这一天湿垃圾共收集了 吨．

13. 某品牌汽车公司大力推进技术革新，新款汽车油耗从每百公里 8 升下降到每百公里 6.8 升，那么该汽车油耗的下降率为 ．

14. 如图 △ABC 中，点 D 在 BC 上，且 CD=2BD．设 AB=a，AC=b，那么 AD= ．（结果用 a，b 表示）

15. 已知传送带和水平面所成斜坡的坡度 i=1:3，如果物体在传送带上经过的路程是 30 米，那么该物体上升的高度是 米（结果保留根号）．

16. 如图，⊙O 的半径为 6，如果弦 AB 是 ⊙O 内接正方形的一边，弦 AC 是 ⊙O 内接正十二边形的一边，那么弦 BC 的长为 ．

17. 我们把反比例函数图象上到原点距离相等的点叫做反比例函数图象上的等距点．如果第一象限内点 A2,4 与点 B 是某反比例函数图象上的等距点，那么点 A，B 之间的距离是 ．

18. 如图，在 △ABC 中，AD 是 BC 边上的中线，∠ADC=60∘，BC=3AD，将 △ABD 沿直线 AD 翻折，点 B 落在平面上的 Bʹ 处，连接 ABʹ 交 BC 于点 E，那么 CEBE 的值为 ．

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 先化简，再求值：4xx2−2x−3−xx−3+2xx+1，其中 x=3．

20. 解不等式组：12x−3<2x,2x−13≤x+12, 并把解集在数轴上表示出来．

21. 如图，已知，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=4，BC=2，点 D 是 AC 的中点，连接 BD 并延长至点 E，使 ∠E=∠BAC．
（1）求 sin∠ABE 的值．
（2）求点 E 到直线 BC 的距离．

22. 为了预防“诺如病毒”，某校对专用教室采取“药熏”消毒．从开始消毒到结束，室内含药量 y（毫克/立方米）与时间 x（分）这两个变量之间的关系如图中折线 OA−AB 所示．
（1）求 20 分钟至 60 分钟时间段之间的含药量 y 与时间 x 的函数解析式（不要求写定义域）．
（2）开始消毒后，消毒人员在某一时刻对该专用教室的含药量进行第一次检测，时隔半小时进行了第二次跟踪检测，发现室内含药量比第一次检测时的含药量下降了 2 毫克/立方米，求第一次检测时的含药量．

23. 如图，已知，在平行四边形 ABCD 中，E 为射线 CB 上一点，连接 DE 交对角线 AC 于点 F，∠ADE=∠BAC．
（1）求证：CF⋅CA=CB⋅CE．
（2）如果 AC=DE，求证：四边形 ABCD 是菱形．

24. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知 B0,2，C1,−32，点 A 在 x 轴正半轴上，且 OA=2OB，抛物线 y=ax2+bxa≠0 经过点 A，C．
（1）求这条抛物线的表达式．
（2）将抛物线先向右平移 m 个单位，再向上平移 1 个单位，此时点 C 恰好落在直线 AB 上的点 Cʹ 处，求 m 的值．
（3）设点 B 关于原抛物线对称轴的对称点为 Bʹ，连接 AC，如果点 F 在直线 ABʹ 上，∠ACF=∠BAO，求点 F 的坐标．

25. 如图，已知扇形 AOB 的半径 OA=4，∠AOB=90∘，点 C，D 分别在半径 OA，OB 上（点 C 不与点 A 重合），连接 CD．点 P 是弧 AB 上一点，PC=PD．
（1）当 ct∠ODC=34．以 CD 为半径的圆 D 与圆 O 相切时，求 CD 的长．
（2）当点 D 与点 B 重合，点 P 为弧 AB 的中点时，求 ∠OCD 的度数．
（3）如果 OC=2，且四边形 ODPC 是梯形，求 S△PCDS△OCD 的值．
答案
第一部分
1. D【解析】2a⋅3a=6a2．
2. B【解析】∵a+ba−b=a2−b2=a−b，
∴a+b 的有理化因式为：a−b．
3. A【解析】题中 6 名同学的体温由小到大排列为 36.5∘C，36.5∘C，36.6∘C，36.8∘C，36.9∘C，36.9∘C，
平均数x=16×36.5∘C×2+36.6∘C+36.8∘C+36.9∘C×2=36.7∘C，
中位数=12×36.6∘C+36.8∘C=36.7∘C．
4. D
5. C
【解析】根据等腰梯形的判定，逐一作出判断．
A选项：
∵AB∥DC，AD=BC，
∴ 梯形 ABCD 为等腰梯形，A不符合，故A错误；
B选项：
∵∠ABC=∠BAD，AB∥DC，
∴ 梯形 ABCD 为等腰梯形，B不符合，故B错误；
C选项：由 AB=2DC，AB∥DC，
不能判定梯形 ABCD 为等腰梯形，C符合，故C正确；
D选项：
∵∠OAB=∠OBA，AB∥DC，
∴∠ODC=∠OCD=∠OAB=∠OBA，
∴OA=OB，OC=OD，
则 OA+OC=OB+OD，
即 AC=BD，
∵AB∥DC，
∴ 梯形 ABCD 为等腰梯形，D不符合，故D错误．
6. C【解析】在 Rt△ABC 中，AC=24，BC=18，
∴AB=242+182=30，
∵BO=2OA，
∴BO=20，AO=10，
过点 O 作 OE⊥BC，OF⊥AC，
∴OE∥AC，OF∥BC，
∵△BEO∽△BCA，
∴OE:AC=2:3，
∴OE=16，
同理 OF=6，
如图 r=6或10或16 时有 3 个交点，
∴r=15 没有 3 个交点．
第二部分
7. ±3
【解析】a 的平方根为 ±a，
故 9 的平方根为 ±9，即 ±3．
8. x≠1
【解析】由题意得，x−1≠0，
解得 x≠1．
9. a<0
【解析】∵ 抛物线 y=ax2+bx+c 在对称轴左侧呈上升趋势，
∴ 该抛物线开口向下，
∴a<0，
∴a 的取值范围是 a<0．
10. ±23
【解析】∵ 一元二次方程 x2−px+3 有两个相等的实数根，
∴Δ=b2−4ac=−p2−4×3=p2−12=0，
即 p2−12=0，
p2=12，
p=±12，
p=±23．
11. 25
【解析】任取一张牌共有五种等可能情况，其中取到无理数的情况有 2 种，故概率为 25．
12. 0.9
【解析】∵ 湿垃圾在扇形图中对应的圆心角为 135∘，
∴ 湿垃圾在扇形图中占总体的百分比为 135360×100%=37.5%，
∴ 该小区这一天湿垃圾收集了：2.4×37.5%=0.9（吨）．
13. 15%
【解析】该汽车油耗的下降率为
8−6.88×100%=1.28×100%=15%．
14. 23a+13b
【解析】CD=2DB，
∴AD−AC=2AB−AD，
∴AD=23a+13b．
15. 310
【解析】如图，由题意，得斜坡 AB 的坡度为 1:3，
过点 A 作 AE⊥BD 于点 E，
由坡度的定义，得 AEBE=13，
设 AE=a 米，则 BE=3a 米，
∴AB=AE2+BE2=10a=30 米，
∴a=310，
∴AE=310 米，
∴ 该物件体上升的高度是 310 米．
16. 63
【解析】连接 OA，OB，OC，过 O 作 OH⊥AB 于 H，
∴∠OHB=90∘，CH=BH=12BC，
∵AB 是 ⊙O 内接正方形一边，
AC 是 ⊙O 内接正十二边形一边，
∴∠AOB=90∘，∠AOC=30∘，
∴∠COB=∠AOB+∠AOC=120∘，
∵OC=OB=6，
∴∠OCB−∠OBC=30∘，
在 Rt△OCH 中 ∠OBH=30∘
∴OH=12OB=3，
∴BH=OB2−OH2=33，
∴BC=2BH=63．
17. 45
【解析】设反比例函数为 y=kx，
∵A2,4 在反比例函数上，将 A 代入 y=kx 中，
得 4=k2，k=8，
∴ 函数为 y=8x，
根据等距点知 B 在第三象限内，又可知 A，B 两点关于原点对称，
设 B 为 x,y，A 是 2,4，原点为 0,0，
关于原点对称，那么 x+22=0，y+42=0，
得 x=−2，y=−4，
∴B 为 −2,−4，
∣AB∣=x1−x22+y1−y22=2−−22+4−−42=42+82=45．
18. 37
【解析】如图，连接 BBʹ，延长 AD 交 BBʹ 于点 F，连接 BʹC，
∵D 为 BC 中点，
∴BD=CD=12BC，
∵△ABʹD 是由 △ABD 沿直线 AD 翻折而得，
∴∠BAD=∠BʹAD，BD=BʹD，
∴△BBʹC 为直角三角形，
即 ∠BBʹC=90∘，
∴∠BDF=∠BʹDF=∠ADE=60∘，
∴∠CDBʹ=180∘−60∘−60∘=60∘，
∴△BʹDC 为等边三角形，
故 BʹD=CD=BʹC，
由折叠可知，点 B 于点 Bʹ 关于 AD 对称，
∴AF⊥BBʹ，
∴AF∥BʹC，
∴△AED∽△BʹEC，
∴BʹCAD=CEDE，
12BC13BD=CEDE，
CEDE=32，
故 CECD=35，
CEBC=310，
∴CEBC−CE=310−3，
∴CEBE=37．
第三部分
19. 4xx2−2x−3−xx−3+2xx+1=4xx−3x+1−xx+1x+1x−3+2xx−3x+1x−3=4x−x2−x+2x2−6xx−3x+1=x2−3xx−3x+1=xx−3x−3x+1=xx+1,
把 x=3 代入得，
原式=xx+1=33+1=3−32.
20.
12x−3<2x, ⋯⋯①2x−13≤x+12, ⋯⋯②
由①得
x−6<4x,x−4x<6,−3x<6,x>−2,
由②得
4x−2≤3x+3,x≤5,
数轴表示如下：
∴ 不等式组解集为
−221. （1） 过点 D 作 DQ⊥AB 于 Q，
在 Rt△ABC 中，
sin∠BAC=BCAB=24=12sinα=对边斜边，
∴∠BAC=30∘，
AC=AB2−BC2=42−22=23（勾股定理），
∵ 点 D 为 AC 中点，
∴AD=12AC=12×23=3，
在 Rt△ADQ 中，∠BAC=30∘，
∴DQ=12AD=32（30∘ 所对的直角为斜边一半），
∴AQ=AD2−DQ2=32−322=32，
∴BQ=AB−AQ=4−32=52，
在 Rt△BQD 中，
BD2=BQ2+DQ2=522+322=7，
∴BD=7，
在 Rt△BQD 中，
sin∠ABE=DQBD=327，
∴sin∠ABE=2114．
（2） 过点 A 作 AM⊥BE 于 M，
过点 E 作 EH⊥BC 于 H，
在 Rt△ABM 中，
sin∠ABE=AHAB=2114，
∴AM=2114×4=2721，
BM=AB2−AM2=42−27212=1077，
∵∠BAC=30∘，∠AEB=∠BAC，
∴∠AEB=30∘，
在 Rt△AME 中，tan∠AEB=AMEM=33，
∴EM=3AM=2721×3=677，
∴BE=BM+EM=1077+677=1677，
∵ 点 D 为 AC 中点，
∴CD=12AC=12×23=3，
∵CD⊥BC，EH⊥BC，
∴AC∥EH，
∴CDEH=BDBE（平行线分线段成比例），
∴3EH=71677=716，
∴EH=1673，
∴ 点 E 到直线 BC 的距离为 1673．
22. （1） 根据图象可知，
当 0令 x=20，得 y=25×20=8，
∴ 点 A 坐标为 20,8，
设 AB 段对应的解析式为 y=kx+b，
将点 20,8，60,0 代入，得：
20k+b=8,60k+b=0,
解得：k=−15,b=12,
∴20 分至 60 分钟时间段之间的解析式为：
y=−15x+12．
（2） 设第二次检测时的时间为第七分钟，则第一次检测时的时间为第 t−30 分钟，
根据题意可知 t>30，
若 t−30>20，即 t>50 时，
−15t−30+12−−15t+12=2，
−15t+6+12+15t−12=2，
6=2，
∴ 方程无解．
若 0 25t−30−−15t+12=2，
25t−12+15t−12=2，
35t=26，
t=1303，
∴25t−30=25×1303−30=163，
故第一次检测时的含药量为 163 毫克/立方米．
23. （1） ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AD∥BC，即 AD∥CE，
∴∠ADE=∠CEO，
∵∠ADE=∠BAC，
∴∠CED=∠BAC=∠ADE，
∵∠ECF=∠ACB，
∴△ABC∽△CEF，
∴CFCB=CECA，
∴CF⋅CA=CB⋅CE．
（2） ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，∠ADE=∠CEF，
∴△AFD∽△CEF，
∴EFDE=CFAC，
∵AC=DE，
∴EF=CF，
∵△ABC∽△CEF，
∴AB=BC，
又 ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴ 四边形 ABCD 为菱形．
24. （1） ∵B0,2，OA=2OB，
∴OA=4，即 A4,0，
∵ 抛物线 y=ax2+bx 经过点 A，C．
∴ 将 A4,0，C1,−32 代入 y=ax2+bx，中可得：16a+4b=0,a+b=−32, 解得：a=12,b=−2,
∴ 抛物线解析式为 y=12x2−2x．
（2） 设直线 AB 的解析为：y=R⋅x+b1，
代入 A4,0，B0,2 可得，
4R+b=0,b=2, 解得：R=−12,b=2,
∴ 直线 AB 解析式为：y=−12x+2，
∵ 由题可得，点 C 先向右平移 m 个单位，再向上平移 1 个单位得到点 Cʹ，
∴ 点 Cʹ 的坐标为 1+m,−32+1，
即：Cʹ1+m,−12，
将点 Cʹ 代入直线 AB 可得，
−12=−12m+1+2，
解得：m=4．
（3） ∵ 原抛物线对称轴为直线 x=22×12=2，
∴ 点 B0,2 关于直线 x=2 的对称点 Bʹ 的坐标为 4,2，
∴ 直线 ABʹ 与 x 轴垂直，
∵A4,0，B0,2，C1,−32，
∴tan∠BAO=OBOA=12，
如图所示，过 C 作 CM⊥x轴 于 M，连接 AC，
∴CM=∣yc∣=32，AM=xA⋅xC=4−1=3，
∴tan∠CAO=CMAM=323=12，
∴tan∠BAO=tan∠CAO，
∴∠BAO=∠CAO，
∴ 当点 F 在直线 AC 下方时，如图所示过 C 作 CF∥x轴 交直线 ABʹ 于点 F，
∴∠CAO=∠ACF，
∴∠BAO=∠ACF 符合题意，
此时点 F 的坐标为 4,−32，
当点 F 在直线 AC 上方时，如图所示为 Fʹ，
设 FʹC 与 x 轴交于点 G，
∵∠ACFʹ=∠BAO=∠CAO，
∴GA=GC，
设点 G 的坐标为 m,0，
∴GA2=4−m2，G⋅C2=m−12+322，
∴4−m2=m−12+322，
解得：m=178，
∴ 设直线 CFʹ 的解析式为 y=k2x+b2，
代入 C1,−32，G178,0 可得，
k2+b2=−32,178k2+b2=0, 解得 k2=43,b2=−176,
∴ 直线 CFʹ 的解析式为：y=43x−176，
联立 y=43x−176,x=4,
解得：x=4,y=52,
∴ 点 Fʹ 的坐标为 4,52，
∴ 综上，符合条件的 F 坐标为，4,−32 或 4,52．
25. （1） 因为 ∠COD=90∘，
所以 ct∠COD=ODOC=34，
设 OD=3a，则 DC=4a，
所以 CD=OD2+OC2=5a，
因为以 CD 为半径的圆 D 与圆 O 相切，
所以 OB−CD=OD，
因为 OA=OB=4，
所以 4−5a=3a，
所以 a=12，
所以 CD=5a=52．
（2） 如图，连接 AP，
因为点 P 是 AB 的中点，
所以 AP=BP，
所以 AP=PB，∠AOP=∠BOP=12∠AOB=45∘，
因为点 D 与点 B 重合，
所以 PD=PB=PC，
所以 PC=PA，
因为 ∠PAC=∠PCA，
因为 OA=OP，
所以 ∠OAP=∠OPA=180∘−∠AOP2=67.5∘，
所以 ∠PAC=∠PCA=67.5∘，
所以 ∠APC=45∘，
因为 ∠APB=180∘−12∠AOB=135∘，
所以 ∠CPB=∠APB−∠APC=90∘，
所以 ∠PCB=∠PBC=45∘，
所以
∠OCD=180∘−∠PCA−∠PCB=180∘−67.5∘−45∘=67.5∘.
（3） 如图，当 OC∥PD 时，过点 C 作 CH⊥PD 于点 H，连接 OP．
所以 ∠OCH=∠OHD=∠COD=90∘，
所以四边形 OCHD 是矩形，
所以 OC=DH=2，CH=OD，
在 Rt△OPD 中，OD2=OP2−PD2，
在 Rt△CPH 中，CH2=CP2−PH2，
设 PH=x，则 PD=PC=x+2，
所以 42−x+22=x+22−x2，
整理得 x2+8x−8=0，
x+42=24，
x1=26−4，x2=−26−4，
所以 PH=26−4，
所以 PD=26−2，
所以 S△PCDS△OCD=12PD⋅CH12OC⋅OD=PDOC=26−22=6−1，
当 OD∥PC 时，过点 P 作 PN⊥OB 于点 N，连接 OP，
所以 ∠PNO=∠CON=∠OCP=90∘，
所以四边形 OCPN 矩形，
所以 OC=PN=2，
在 Rt△OCP 中，∠OCP=90∘，
PC=OP2−OC2=23，
所以 PD=PC=23，
在 Rt△PND 中，DN=PD2−PN2=22，
因为 ON=PC=23，
所以 OD=ON−DN=23−22，
所以
S△PCDS△OCD=12PC⋅OC12OD⋅OC=PCOD=2323−2=33−2=33+23−23+2=3+6.
综上所述，S△PCDS△OCD 的值为 6−1 或 3+6．