还剩21页未读，
继续阅读
2021年四川省成都市高考一模数学试卷（理）
展开
这是一份2021年四川省成都市高考一模数学试卷（理），共24页。试卷主要包含了选择题.，填空题.，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1} C．{0，1} D．{﹣1，0}
2．已知i是虚数单位，设z＝，则复数+2对应的点位于复平面（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．抛物线y＝2x2的焦点坐标为（ ）
A．（1，0） B．（，0） C．（0，） D．（0，）
4．已知a＝log0.22，b＝0.32，c＝20.3，则（ ）
A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a
5．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
6．若tan（α+）＝﹣3，则sin2α＝（ ）
A． B．1 C．2 D．﹣
7．设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（ ）
A．y＝﹣2x B．y＝4x﹣2 C．y＝2x D．y＝﹣4x+2
8．已知函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则此函数的解析式为（ ）
A．y＝sin（2x+） B．y＝sin（2x+）
C．y＝sin（4x+） D．y＝sin（4x+）
9．下列命题中的真命题有（ ）
A．已知a，b实数，则“”是“log3a＞log3b”的充分而不必要条件
B．已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）ex＞1，则￢p：∃x0≤0，使得（x0+1）ex≤1
C．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α．“m∥β”是“α∥β”的充要条件
D．“∃x0∈R，＞x02”的否定为“∀x∈R，2x≤x2”
10．如图为某几何体的三视图，已知正视图为一正方形和其内切圆组成，圆半径为1，则该几何体表面积为（ ）
A．16﹣2π B．16+π C．16﹣π D．16+2π
11．自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了．造化钟神秀，阴阳割昏晓．荡胸生曾云，决毗入归鸟．会当凌绝顶，一览众山小．”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再人们出行的阻碍，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”．在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等．如图为某工程队将A到D修建一条隧道，测量员测得一些数据如图所示（A，B，C，D在同一水平面内），则A，D间的距离为（ ）
A．km B．km C．km D．km
12．已知双曲线＝1，O为坐标原点，P，Q为双曲线上两动点，且OP⊥OQ，则△POQ面积的最小值为（ ）
A．20 B．15 C．30 D．25
二、填空题（共3小题）.
13．已知向量＝（2，1），＝（﹣1，k），•（2﹣）＝0，则k等于 ．
14．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 ．
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481．
15．的展开式中x2y2项的系数是
三、解答题（共1小题，满分0分）
16．函数f（x）＝ex﹣1﹣e﹣x+1+asinπx（x∈R，a＞0）存在唯一的零点，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题
17．已知等比数列{an}的公比q＞1，且a1，a3的等差中项为10，a2＝8．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列{bn}的前n项和Sn．
18．为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动．为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间分别在[2，3），[3，4），[4，5），…，[8，9），[9，10）（单位：小时）的数据，整理得到的数据绘制成频率分布直方图（如图）．
（Ⅰ）由图中数据求a的值，并估计从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[5，6）的概率；
（Ⅱ）为了进一步了解学生该天锻炼身体的情况，现从抽取的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[2，3）和[8，9）的人中任选3人，求其中在[8，9）的人数X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在哪个时间段？（只需写出结论）
19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB∥DC，∠ADC＝，AB＝AD＝CD＝2，PD＝PB＝，PD⊥BC．
（1）求证：平面PBD⊥平面PBC；
（2）在线段PC上存在点M，使得，求平面ABM与平面PBD所成锐二面角的大小．
20．已知F1，F2分别为椭圆C1：＝1（a＞b＞0），且焦距是2，离心率是．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）不平行于坐标轴的直线与圆x2+（y+1）2＝1相切，且交椭圆C1于A，B，若椭圆C1上一点P满足，求实数λ2的取值范围．
21．已知函数f（x）＝2x3+3（1+m）x2+6mx（x∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若f（1）＝5，函数g（x）＝a（lnx+1）﹣≤0在（1，+∞）上恒成立，求整数a的最大值．
[选修4-4，坐标系与参数方程]
22．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；
（2）已知P（2，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．
[选修4-5，不等式选讲]
23．设函数f（x）＝|x+|+|x﹣a|．
（1）若f（2）＞a+1，求a的取值范围；
（2）若对∀a∈（0，+∞），f（x）≥m恒成立，求实数m的取值范围．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1} C．{0，1} D．{﹣1，0}
解：A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝Z，
∴A∩B＝{﹣1，0，1，2}．
故选：A．
2．已知i是虚数单位，设z＝，则复数+2对应的点位于复平面（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：∵z＝＝，
∴，
则+2对应点为（2，1），在第一象限．
故选：A．
3．抛物线y＝2x2的焦点坐标为（ ）
A．（1，0） B．（，0） C．（0，） D．（0，）
解：整理抛物线方程得x2＝y
∴焦点在y轴，p＝
∴焦点坐标为（0，）
故选：D．
4．已知a＝log0.22，b＝0.32，c＝20.3，则（ ）
A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a
解：∵a＝log0.22＜log0.21＜0，∴a＜0，
b＝0.32＝0.09，
∵c＝20.3＞20＝1，∴c＞1，
∴c＞b＞a，
故选：C．
5．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
解：A、m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A错误；
B、α，β 垂直于同一个平面γ，故α，β 可能相交，可能平行，故B错误；
C、α，β平行于同一条直线m，故α，β 可能相交，可能平行，故C错误；
D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确．
故选：D．
6．若tan（α+）＝﹣3，则sin2α＝（ ）
A． B．1 C．2 D．﹣
解：由tan（α+）＝﹣3，得＝﹣3，解得tanα＝2，
所以sin2α＝＝＝＝．
故选：A．
7．设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（ ）
A．y＝﹣2x B．y＝4x﹣2 C．y＝2x D．y＝﹣4x+2
解：函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，
可得a＝1，所以函数f（x）＝x3+x，可得f′（x）＝3x2+1，f（1）＝2；
曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线的斜率为：4，
则曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线方程为：y﹣2＝4（x﹣1）．即y＝4x﹣2．
故选：B．
8．已知函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则此函数的解析式为（ ）
A．y＝sin（2x+） B．y＝sin（2x+）
C．y＝sin（4x+） D．y＝sin（4x+）
解：由函数的图象可得A＝1，＝＝﹣，∴ω＝2．
再根据五点法作图可得2×+φ＝π，求得φ＝，故有函数y＝sin（2x+），
故选：B．
9．下列命题中的真命题有（ ）
A．已知a，b实数，则“”是“log3a＞log3b”的充分而不必要条件
B．已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）ex＞1，则￢p：∃x0≤0，使得（x0+1）ex≤1
C．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α．“m∥β”是“α∥β”的充要条件
D．“∃x0∈R，＞x02”的否定为“∀x∈R，2x≤x2”
解：对于A：已知a，b实数，则“”是“log3a＞log3b”的必要不充分条件，故A错误；
对于B：已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）ex＞1，则￢p：∃x0＞0，使得（x0+1），故B错误；
对于C：设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α．“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件，故C错误；
对于D：“∃x0∈R，＞x02”的否定为“∀x∈R，2x≤x2”，故D正确．
故选：D．
10．如图为某几何体的三视图，已知正视图为一正方形和其内切圆组成，圆半径为1，则该几何体表面积为（ ）
A．16﹣2π B．16+π C．16﹣π D．16+2π
解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为一个长为2，宽为2，高为1的长方体，挖去一个半径为1的半球．
故几何体的表面积为S＝4×2×1+2×2+4﹣π•12+2•π•12＝16+π．
故选：B．
11．自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了．造化钟神秀，阴阳割昏晓．荡胸生曾云，决毗入归鸟．会当凌绝顶，一览众山小．”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再人们出行的阻碍，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”．在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等．如图为某工程队将A到D修建一条隧道，测量员测得一些数据如图所示（A，B，C，D在同一水平面内），则A，D间的距离为（ ）
A．km B．km C．km D．km
解：如图所示，连接BD，
在△BCD中，∵BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠BCD＝9+25﹣2×3×5×（﹣）＝49，∴BD＝7，
又∵，即，解得：sin∠DBC＝，
∵∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC，∴cos∠ABD＝cos（90°﹣∠DBC）＝sin∠DBC＝，
在△ABD中，AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cos∠ABD＝16+49﹣2×4×7×＝65﹣12，
即A，D间的距离为km，
故选：A．
12．已知双曲线＝1，O为坐标原点，P，Q为双曲线上两动点，且OP⊥OQ，则△POQ面积的最小值为（ ）
A．20 B．15 C．30 D．25
解：设直线OP的方程为y＝kx，k＞0，
且P在第一象限内，
代入双曲线＝1，可得P（，k），
由OP⊥OQ，可将上面中的k换为﹣，
可得Q（k，﹣），
所以△POQ面积S＝|OP|•|OQ|＝•••
＝10（1+k2）≥10（1+k2）•＝20，
当且仅当5﹣4k2＝5k2﹣4，即k＝1时，上式取得等号，
所以△POQ面积的最小值为20．
故选：A．
二、填空题
13．已知向量＝（2，1），＝（﹣1，k），•（2﹣）＝0，则k等于 12 ．
解：∵＝（2，1），＝（﹣1，k），
∴2﹣＝2（2，1）﹣（﹣1，k）＝（5，2﹣k），
又∵•（2﹣）＝0，
∴2×5+1×（2﹣k）＝0，
解得k＝12
故答案为：12
14．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 01 ．
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481．
解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号
依次为08，02，14，07，02，01；
其中第二个和第四个都是02，重复，舍去；
可知对应的数值为08，02，14，07，01，04；
则第5个个体的编号为01．
故答案为：01．
15．的展开式中x2y2项的系数是 420
解：∵ 表示8个因式（1+2x﹣）的乘积，要得到含x2y2的项，
需其中有2个因式取2x，2个因式取﹣，其余的因式都取1．
故展开式中x2y2项的系数为•22•••＝420，
故答案为：420．
三、解答题（共1小题，满分0分）
16．函数f（x）＝ex﹣1﹣e﹣x+1+asinπx（x∈R，a＞0）存在唯一的零点，则实数a的取值范围是 （0，] ．
解：函数f（x）＝ex﹣1﹣e﹣x+1+asinπx（x∈R，a＞0）存在唯一的零点，
等价于函数φ（x）＝asinπx 与函数g（x）＝e1﹣x﹣ex﹣1只有唯一一个交点，
∵φ（1）＝0，g（1）＝0，
∴函数φ（x）＝asinπx 与函数g（x）＝e1﹣x﹣ex﹣1唯一交点为（1，0），
又∵g′（x）＝﹣e1﹣x﹣ex﹣1，且e1﹣x＞0，ex﹣1＞0，
∴g′（x）＝﹣e1﹣x﹣ex﹣1在R上恒小于零，即g（x）＝e1﹣x﹣ex﹣1在R上为单调递减函数，
又∵φ（x）＝asinπx （a＞0）是最小正周期为2，最大值为a的正弦函数，
∴可得函数φ（x）＝asinπx 与函数g（x）＝e1﹣x﹣ex﹣1的大致图象如图：
∴要使函数φ（x）＝asinπx 与函数g（x）＝e1﹣x﹣ex﹣1只有唯一一个交点，则φ′（1）≥g′（1），
∵φ′（1）＝πacosπ＝﹣πa，g′（1）＝﹣e1﹣1﹣e1﹣1＝﹣2，
∴﹣πa≥﹣2，解得a≤，
又∵a＞0，∴实数a的范围为（0，]．
故答案为：（0，]．
三、解答题
17．已知等比数列{an}的公比q＞1，且a1，a3的等差中项为10，a2＝8．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列{bn}的前n项和Sn．
解：（Ⅰ）由题意可得：，
∴2q2﹣5q+2＝0，
∵q＞1，∴，∴数列{an}的通项公式为．
（Ⅱ） ，∴，
＝，
上述两式相减 可得
∴＝．
18．为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动．为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间分别在[2，3），[3，4），[4，5），…，[8，9），[9，10）（单位：小时）的数据，整理得到的数据绘制成频率分布直方图（如图）．
（Ⅰ）由图中数据求a的值，并估计从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[5，6）的概率；
（Ⅱ）为了进一步了解学生该天锻炼身体的情况，现从抽取的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[2，3）和[8，9）的人中任选3人，求其中在[8，9）的人数X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在哪个时间段？（只需写出结论）
解：（Ⅰ）因为（0.05+0.1+0.18+a+0.32+0.1+0.03+0.02）×1＝1，所以a＝0.2．
因为0.2×1×100＝20，
所以该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[5，6）的学生有20人．
所以从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[5，6）的概率为．
（Ⅱ）由图中数据可知，该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[2，3）和[8，9）的人分别为5人和3人．
所以X的所有可能取值为0，1，2，3．
P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，
P（X＝2）＝，P（X＝3）＝．
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
所以数学期望E（X）＝．
（Ⅲ）样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在[5，6）．
19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB∥DC，∠ADC＝，AB＝AD＝CD＝2，PD＝PB＝，PD⊥BC．
（1）求证：平面PBD⊥平面PBC；
（2）在线段PC上存在点M，使得，求平面ABM与平面PBD所成锐二面角的大小．
【解答】（1）证明：因为四边形ABCD是直角梯形，且AB∥DC，∠ADC＝，AB＝AD＝2，
所以BD＝，又CD＝4，∠BDC＝45°，
由余弦定理可得，BC＝，
所以CD2＝BD2+BC2，故BC⊥BD，
又因为BC⊥PD，PD∩BD＝D，PD，BD⊂平面PBD，
所以BC⊥平面PBD，又因为BC⊂平面PBC，
所以平面PBD⊥平面PBC；
（2）设E为BD的中点，连结PE，
因为PB＝PD＝，所以PE⊥BD，PE＝2，
由（1）可得平面ABCD⊥平面PBD，平面ABCD∩平面PBD＝BD，
所以PE⊥平面ABCD，
以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，4，0），D（2，0，0），P（1，1，2），
因为，所以，所以，
平面PBD的一个法向量为，
设平面ABM的法向量为，
因为，，
则有，即，
令x＝1，则y＝0，z＝﹣1，故，
所以，
故平面ABM与平面PBD所成锐二面角的大小为．
20．已知F1，F2分别为椭圆C1：＝1（a＞b＞0），且焦距是2，离心率是．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）不平行于坐标轴的直线与圆x2+（y+1）2＝1相切，且交椭圆C1于A，B，若椭圆C1上一点P满足，求实数λ2的取值范围．
解：（1）由已知可得2c＝2，且，所以a＝2，c＝1，
则b2＝a2﹣c2＝3，
所以椭圆C1的方程为；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），由，
则x1+x2＝λx0，y1+y2＝λy0，且…①
又因为直线y＝k（x+t），（kt≠0）与圆相切，所以，即k＝）…②
联立方程，消去y整理可得：（4+3k2）x2+6k2tx+3k2t2﹣12＝0，
所以x，所以y，
所以P（﹣），代入①得，
②代入③得，t≠±1，t≠0，
因为（），（）2++1≠3，
所以λ2∈（0，．
21．已知函数f（x）＝2x3+3（1+m）x2+6mx（x∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若f（1）＝5，函数g（x）＝a（lnx+1）﹣≤0在（1，+∞）上恒成立，求整数a的最大值．
解：（1）f′（x）＝6x2+6（1+m）x+6m＝6（x+1）（x+m），
①当m＝1时，f′（x）≥0，f（x）在R上单调递增；
②当m＞1时，﹣m＜﹣1，令f'（x）＝0⇒x＝﹣m，或x＝﹣1，
则有f′（x）＞0⇒x＜﹣m或x＞﹣1，此时函数f（x）为单调递增；f′（x）＜0⇒﹣m＜x＜﹣1，此时函数f（x）单调递减；
③当m＜1时，﹣m＞﹣1，f'（x）＝0⇒x＝﹣m，或x＝﹣1，
则有f′（x）＞0⇒x＜﹣1或x＞﹣m，此时函数f（x）为单调递增；f′（x）＜0⇒﹣1＜x＜﹣m，此时函数f（x）单调递减；
综上，m＝1时，f（x）在R上单调递增；
m＞1时，f（x）在（﹣∞，﹣m）和（﹣1，+∞）上单调递增，在（﹣m，﹣1）上单调递减；
m＜1时，f（x）在（﹣∞，﹣1）和（﹣m，+∞）上单调递增，在（﹣1，﹣m）上单调递减．
（2）由f（1）＝2+3（1+m）+6m＝5得，m＝0，所以f（x）＝2x3+3x2，
又因为当x∈（1，+∞）时，lnx+1＞0，
所以g（x）＝a（lnx+1）﹣≤0在（1，+∞）上恒成立，
即在（1，+∞）上恒成立，
此时，令h（x）＝（x∈（1，+∞）），则有a≤h（x）min，
∵＝，
令F（x）＝2lnx﹣（x＞1），则有F'（x）＝＞0，
即得F（x）在（1，+∞）上单调递增，
又因为F（2）＝2ln2﹣＜0，F（e）＝2﹣＞0，
故可得h'（x）＝0在（1，+∞）上有且只有一个实根x0，且2＜x0＜e，
此时，
所以当1＜x＜x0时，h'（x）＜0，此时函数h（x）单调递减，当x＞x0时，h'（x）＞0，此时函数h（x）单调递增，
因此可得h（x）min＝h（x0）＝＝2x0＜2e．
从而可得a＜2x0＜2e，
所以：当a＝5时，不等式g（x）≤0不恒成立；当a＝4时，不等式g（x）≤0恒成立；
故有实数a的最大值为4．
[选修4-4，坐标系与参数方程]
22．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；
（2）已知P（2，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．
解：（1）由（t为参数），消去参数t，可得直线l的普通方程为x+y﹣3＝0，
由，
即，
又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
∴曲线C的直角坐标方程为；
（2）将直线l的参数方程化为，代入代入曲线C的直角坐标方程，
得，
＞0，＜0，
∴＝＝＝．
[选修4-5，不等式选讲]
23．设函数f（x）＝|x+|+|x﹣a|．
（1）若f（2）＞a+1，求a的取值范围；
（2）若对∀a∈（0，+∞），f（x）≥m恒成立，求实数m的取值范围．
解：（1）函数f（x）＝|x+|+|x﹣a|，
又f（2）＞a+1，可得|2+|+|2﹣a|＞a+1，
等价为或或或，
解得a≤﹣或﹣＜a＜0或0＜a＜或a∈∅，
则a的取值范围为（﹣∞，0）∪（0，）；
（2）对∀a∈（0，+∞），f（x）≥m恒成立，
可得m≤f（x）min，
由f（x）＝|x+|+|x﹣a|≥|x++a﹣x|＝|a+|＝a+≥2，
当且仅当﹣1≤x≤1时，上式取得等号，
则m≤2，即m的取值范围是（﹣∞，2]．
2021年四川省成都市高考数学一诊试卷（理科）
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1} C．{0，1} D．{﹣1，0}
2．已知i是虚数单位，设z＝，则复数+2对应的点位于复平面（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．抛物线y＝2x2的焦点坐标为（ ）
A．（1，0） B．（，0） C．（0，） D．（0，）
4．已知a＝log0.22，b＝0.32，c＝20.3，则（ ）
A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a
5．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
6．若tan（α+）＝﹣3，则sin2α＝（ ）
A． B．1 C．2 D．﹣
7．设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（ ）
A．y＝﹣2x B．y＝4x﹣2 C．y＝2x D．y＝﹣4x+2
8．已知函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则此函数的解析式为（ ）
A．y＝sin（2x+） B．y＝sin（2x+）
C．y＝sin（4x+） D．y＝sin（4x+）
9．下列命题中的真命题有（ ）
A．已知a，b实数，则“”是“log3a＞log3b”的充分而不必要条件
B．已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）ex＞1，则￢p：∃x0≤0，使得（x0+1）ex≤1
C．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α．“m∥β”是“α∥β”的充要条件
D．“∃x0∈R，＞x02”的否定为“∀x∈R，2x≤x2”
10．如图为某几何体的三视图，已知正视图为一正方形和其内切圆组成，圆半径为1，则该几何体表面积为（ ）
A．16﹣2π B．16+π C．16﹣π D．16+2π
11．自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了．造化钟神秀，阴阳割昏晓．荡胸生曾云，决毗入归鸟．会当凌绝顶，一览众山小．”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再人们出行的阻碍，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”．在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等．如图为某工程队将A到D修建一条隧道，测量员测得一些数据如图所示（A，B，C，D在同一水平面内），则A，D间的距离为（ ）
A．km B．km C．km D．km
12．已知双曲线＝1，O为坐标原点，P，Q为双曲线上两动点，且OP⊥OQ，则△POQ面积的最小值为（ ）
A．20 B．15 C．30 D．25
二、填空题（共3小题）.
13．已知向量＝（2，1），＝（﹣1，k），•（2﹣）＝0，则k等于 ．
14．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 ．
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481．
15．的展开式中x2y2项的系数是
三、解答题（共1小题，满分0分）
16．函数f（x）＝ex﹣1﹣e﹣x+1+asinπx（x∈R，a＞0）存在唯一的零点，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题
17．已知等比数列{an}的公比q＞1，且a1，a3的等差中项为10，a2＝8．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列{bn}的前n项和Sn．
18．为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动．为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间分别在[2，3），[3，4），[4，5），…，[8，9），[9，10）（单位：小时）的数据，整理得到的数据绘制成频率分布直方图（如图）．
（Ⅰ）由图中数据求a的值，并估计从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[5，6）的概率；
（Ⅱ）为了进一步了解学生该天锻炼身体的情况，现从抽取的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[2，3）和[8，9）的人中任选3人，求其中在[8，9）的人数X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在哪个时间段？（只需写出结论）
19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB∥DC，∠ADC＝，AB＝AD＝CD＝2，PD＝PB＝，PD⊥BC．
（1）求证：平面PBD⊥平面PBC；
（2）在线段PC上存在点M，使得，求平面ABM与平面PBD所成锐二面角的大小．
20．已知F1，F2分别为椭圆C1：＝1（a＞b＞0），且焦距是2，离心率是．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）不平行于坐标轴的直线与圆x2+（y+1）2＝1相切，且交椭圆C1于A，B，若椭圆C1上一点P满足，求实数λ2的取值范围．
21．已知函数f（x）＝2x3+3（1+m）x2+6mx（x∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若f（1）＝5，函数g（x）＝a（lnx+1）﹣≤0在（1，+∞）上恒成立，求整数a的最大值．
[选修4-4，坐标系与参数方程]
22．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；
（2）已知P（2，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．
[选修4-5，不等式选讲]
23．设函数f（x）＝|x+|+|x﹣a|．
（1）若f（2）＞a+1，求a的取值范围；
（2）若对∀a∈（0，+∞），f（x）≥m恒成立，求实数m的取值范围．
参考答案
一、选择题（共12小题）.
1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B为整数集，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0，1，2} B．{﹣2，﹣1，0，1} C．{0，1} D．{﹣1，0}
解：A＝{x|﹣1≤x≤2}，B＝Z，
∴A∩B＝{﹣1，0，1，2}．
故选：A．
2．已知i是虚数单位，设z＝，则复数+2对应的点位于复平面（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
解：∵z＝＝，
∴，
则+2对应点为（2，1），在第一象限．
故选：A．
3．抛物线y＝2x2的焦点坐标为（ ）
A．（1，0） B．（，0） C．（0，） D．（0，）
解：整理抛物线方程得x2＝y
∴焦点在y轴，p＝
∴焦点坐标为（0，）
故选：D．
4．已知a＝log0.22，b＝0.32，c＝20.3，则（ ）
A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜c＜a
解：∵a＝log0.22＜log0.21＜0，∴a＜0，
b＝0.32＝0.09，
∵c＝20.3＞20＝1，∴c＞1，
∴c＞b＞a，
故选：C．
5．已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n
解：A、m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线，故A错误；
B、α，β 垂直于同一个平面γ，故α，β 可能相交，可能平行，故B错误；
C、α，β平行于同一条直线m，故α，β 可能相交，可能平行，故C错误；
D、垂直于同一个平面的两条直线平行，故D正确．
故选：D．
6．若tan（α+）＝﹣3，则sin2α＝（ ）
A． B．1 C．2 D．﹣
解：由tan（α+）＝﹣3，得＝﹣3，解得tanα＝2，
所以sin2α＝＝＝＝．
故选：A．
7．设函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax．若f（x）为奇函数，则曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（ ）
A．y＝﹣2x B．y＝4x﹣2 C．y＝2x D．y＝﹣4x+2
解：函数f（x）＝x3+（a﹣1）x2+ax，若f（x）为奇函数，
可得a＝1，所以函数f（x）＝x3+x，可得f′（x）＝3x2+1，f（1）＝2；
曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线的斜率为：4，
则曲线y＝f（x）在点（1，2）处的切线方程为：y﹣2＝4（x﹣1）．即y＝4x﹣2．
故选：B．
8．已知函数y＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则此函数的解析式为（ ）
A．y＝sin（2x+） B．y＝sin（2x+）
C．y＝sin（4x+） D．y＝sin（4x+）
解：由函数的图象可得A＝1，＝＝﹣，∴ω＝2．
再根据五点法作图可得2×+φ＝π，求得φ＝，故有函数y＝sin（2x+），
故选：B．
9．下列命题中的真命题有（ ）
A．已知a，b实数，则“”是“log3a＞log3b”的充分而不必要条件
B．已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）ex＞1，则￢p：∃x0≤0，使得（x0+1）ex≤1
C．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α．“m∥β”是“α∥β”的充要条件
D．“∃x0∈R，＞x02”的否定为“∀x∈R，2x≤x2”
解：对于A：已知a，b实数，则“”是“log3a＞log3b”的必要不充分条件，故A错误；
对于B：已知命题p：∀x＞0，总有（x+1）ex＞1，则￢p：∃x0＞0，使得（x0+1），故B错误；
对于C：设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α．“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件，故C错误；
对于D：“∃x0∈R，＞x02”的否定为“∀x∈R，2x≤x2”，故D正确．
故选：D．
10．如图为某几何体的三视图，已知正视图为一正方形和其内切圆组成，圆半径为1，则该几何体表面积为（ ）
A．16﹣2π B．16+π C．16﹣π D．16+2π
解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为一个长为2，宽为2，高为1的长方体，挖去一个半径为1的半球．
故几何体的表面积为S＝4×2×1+2×2+4﹣π•12+2•π•12＝16+π．
故选：B．
11．自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了．造化钟神秀，阴阳割昏晓．荡胸生曾云，决毗入归鸟．会当凌绝顶，一览众山小．”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再人们出行的阻碍，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”．在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等．如图为某工程队将A到D修建一条隧道，测量员测得一些数据如图所示（A，B，C，D在同一水平面内），则A，D间的距离为（ ）
A．km B．km C．km D．km
解：如图所示，连接BD，
在△BCD中，∵BD2＝BC2+CD2﹣2BC•CD•cos∠BCD＝9+25﹣2×3×5×（﹣）＝49，∴BD＝7，
又∵，即，解得：sin∠DBC＝，
∵∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC，∴cos∠ABD＝cos（90°﹣∠DBC）＝sin∠DBC＝，
在△ABD中，AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cos∠ABD＝16+49﹣2×4×7×＝65﹣12，
即A，D间的距离为km，
故选：A．
12．已知双曲线＝1，O为坐标原点，P，Q为双曲线上两动点，且OP⊥OQ，则△POQ面积的最小值为（ ）
A．20 B．15 C．30 D．25
解：设直线OP的方程为y＝kx，k＞0，
且P在第一象限内，
代入双曲线＝1，可得P（，k），
由OP⊥OQ，可将上面中的k换为﹣，
可得Q（k，﹣），
所以△POQ面积S＝|OP|•|OQ|＝•••
＝10（1+k2）≥10（1+k2）•＝20，
当且仅当5﹣4k2＝5k2﹣4，即k＝1时，上式取得等号，
所以△POQ面积的最小值为20．
故选：A．
二、填空题
13．已知向量＝（2，1），＝（﹣1，k），•（2﹣）＝0，则k等于 12 ．
解：∵＝（2，1），＝（﹣1，k），
∴2﹣＝2（2，1）﹣（﹣1，k）＝（5，2﹣k），
又∵•（2﹣）＝0，
∴2×5+1×（2﹣k）＝0，
解得k＝12
故答案为：12
14．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 01 ．
7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481．
解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号
依次为08，02，14，07，02，01；
其中第二个和第四个都是02，重复，舍去；
可知对应的数值为08，02，14，07，01，04；
则第5个个体的编号为01．
故答案为：01．
15．的展开式中x2y2项的系数是 420
解：∵ 表示8个因式（1+2x﹣）的乘积，要得到含x2y2的项，
需其中有2个因式取2x，2个因式取﹣，其余的因式都取1．
故展开式中x2y2项的系数为•22•••＝420，
故答案为：420．
三、解答题（共1小题，满分0分）
16．函数f（x）＝ex﹣1﹣e﹣x+1+asinπx（x∈R，a＞0）存在唯一的零点，则实数a的取值范围是 （0，] ．
解：函数f（x）＝ex﹣1﹣e﹣x+1+asinπx（x∈R，a＞0）存在唯一的零点，
等价于函数φ（x）＝asinπx 与函数g（x）＝e1﹣x﹣ex﹣1只有唯一一个交点，
∵φ（1）＝0，g（1）＝0，
∴函数φ（x）＝asinπx 与函数g（x）＝e1﹣x﹣ex﹣1唯一交点为（1，0），
又∵g′（x）＝﹣e1﹣x﹣ex﹣1，且e1﹣x＞0，ex﹣1＞0，
∴g′（x）＝﹣e1﹣x﹣ex﹣1在R上恒小于零，即g（x）＝e1﹣x﹣ex﹣1在R上为单调递减函数，
又∵φ（x）＝asinπx （a＞0）是最小正周期为2，最大值为a的正弦函数，
∴可得函数φ（x）＝asinπx 与函数g（x）＝e1﹣x﹣ex﹣1的大致图象如图：
∴要使函数φ（x）＝asinπx 与函数g（x）＝e1﹣x﹣ex﹣1只有唯一一个交点，则φ′（1）≥g′（1），
∵φ′（1）＝πacosπ＝﹣πa，g′（1）＝﹣e1﹣1﹣e1﹣1＝﹣2，
∴﹣πa≥﹣2，解得a≤，
又∵a＞0，∴实数a的范围为（0，]．
故答案为：（0，]．
三、解答题
17．已知等比数列{an}的公比q＞1，且a1，a3的等差中项为10，a2＝8．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列{bn}的前n项和Sn．
解：（Ⅰ）由题意可得：，
∴2q2﹣5q+2＝0，
∵q＞1，∴，∴数列{an}的通项公式为．
（Ⅱ） ，∴，
＝，
上述两式相减 可得
∴＝．
18．为了认真贯彻落实北京市教委关于做好中小学生延期开学期间“停课不停学”工作要求，各校以教师线上指导帮助和学生居家自主学习相结合的教学模式积极开展工作，并鼓励学生积极开展锻炼身体和课外阅读活动．为了解学生居家自主学习和锻炼身体的情况，从某校高三年级随机抽取了100名学生，获得了他们一天中用于居家自主学习和锻炼身体的总时间分别在[2，3），[3，4），[4，5），…，[8，9），[9，10）（单位：小时）的数据，整理得到的数据绘制成频率分布直方图（如图）．
（Ⅰ）由图中数据求a的值，并估计从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[5，6）的概率；
（Ⅱ）为了进一步了解学生该天锻炼身体的情况，现从抽取的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体的总时间在[2，3）和[8，9）的人中任选3人，求其中在[8，9）的人数X的分布列和数学期望；
（Ⅲ）假设同一时间段中的每个数据可用该时间段的中点值代替，试估计样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在哪个时间段？（只需写出结论）
解：（Ⅰ）因为（0.05+0.1+0.18+a+0.32+0.1+0.03+0.02）×1＝1，所以a＝0.2．
因为0.2×1×100＝20，
所以该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[5，6）的学生有20人．
所以从该校高三年级中随机抽取一名学生，这名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[5，6）的概率为．
（Ⅱ）由图中数据可知，该天居家自主学习和锻炼身体总时间在[2，3）和[8，9）的人分别为5人和3人．
所以X的所有可能取值为0，1，2，3．
P（X＝0）＝，P（X＝1）＝，
P（X＝2）＝，P（X＝3）＝．
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
所以数学期望E（X）＝．
（Ⅲ）样本中的100名学生该天居家自主学习和锻炼身体总时间的平均数在[5，6）．
19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，AB∥DC，∠ADC＝，AB＝AD＝CD＝2，PD＝PB＝，PD⊥BC．
（1）求证：平面PBD⊥平面PBC；
（2）在线段PC上存在点M，使得，求平面ABM与平面PBD所成锐二面角的大小．
【解答】（1）证明：因为四边形ABCD是直角梯形，且AB∥DC，∠ADC＝，AB＝AD＝2，
所以BD＝，又CD＝4，∠BDC＝45°，
由余弦定理可得，BC＝，
所以CD2＝BD2+BC2，故BC⊥BD，
又因为BC⊥PD，PD∩BD＝D，PD，BD⊂平面PBD，
所以BC⊥平面PBD，又因为BC⊂平面PBC，
所以平面PBD⊥平面PBC；
（2）设E为BD的中点，连结PE，
因为PB＝PD＝，所以PE⊥BD，PE＝2，
由（1）可得平面ABCD⊥平面PBD，平面ABCD∩平面PBD＝BD，
所以PE⊥平面ABCD，
以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，4，0），D（2，0，0），P（1，1，2），
因为，所以，所以，
平面PBD的一个法向量为，
设平面ABM的法向量为，
因为，，
则有，即，
令x＝1，则y＝0，z＝﹣1，故，
所以，
故平面ABM与平面PBD所成锐二面角的大小为．
20．已知F1，F2分别为椭圆C1：＝1（a＞b＞0），且焦距是2，离心率是．
（1）求椭圆C1的方程；
（2）不平行于坐标轴的直线与圆x2+（y+1）2＝1相切，且交椭圆C1于A，B，若椭圆C1上一点P满足，求实数λ2的取值范围．
解：（1）由已知可得2c＝2，且，所以a＝2，c＝1，
则b2＝a2﹣c2＝3，
所以椭圆C1的方程为；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），P（x0，y0），由，
则x1+x2＝λx0，y1+y2＝λy0，且…①
又因为直线y＝k（x+t），（kt≠0）与圆相切，所以，即k＝）…②
联立方程，消去y整理可得：（4+3k2）x2+6k2tx+3k2t2﹣12＝0，
所以x，所以y，
所以P（﹣），代入①得，
②代入③得，t≠±1，t≠0，
因为（），（）2++1≠3，
所以λ2∈（0，．
21．已知函数f（x）＝2x3+3（1+m）x2+6mx（x∈R）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若f（1）＝5，函数g（x）＝a（lnx+1）﹣≤0在（1，+∞）上恒成立，求整数a的最大值．
解：（1）f′（x）＝6x2+6（1+m）x+6m＝6（x+1）（x+m），
①当m＝1时，f′（x）≥0，f（x）在R上单调递增；
②当m＞1时，﹣m＜﹣1，令f'（x）＝0⇒x＝﹣m，或x＝﹣1，
则有f′（x）＞0⇒x＜﹣m或x＞﹣1，此时函数f（x）为单调递增；f′（x）＜0⇒﹣m＜x＜﹣1，此时函数f（x）单调递减；
③当m＜1时，﹣m＞﹣1，f'（x）＝0⇒x＝﹣m，或x＝﹣1，
则有f′（x）＞0⇒x＜﹣1或x＞﹣m，此时函数f（x）为单调递增；f′（x）＜0⇒﹣1＜x＜﹣m，此时函数f（x）单调递减；
综上，m＝1时，f（x）在R上单调递增；
m＞1时，f（x）在（﹣∞，﹣m）和（﹣1，+∞）上单调递增，在（﹣m，﹣1）上单调递减；
m＜1时，f（x）在（﹣∞，﹣1）和（﹣m，+∞）上单调递增，在（﹣1，﹣m）上单调递减．
（2）由f（1）＝2+3（1+m）+6m＝5得，m＝0，所以f（x）＝2x3+3x2，
又因为当x∈（1，+∞）时，lnx+1＞0，
所以g（x）＝a（lnx+1）﹣≤0在（1，+∞）上恒成立，
即在（1，+∞）上恒成立，
此时，令h（x）＝（x∈（1，+∞）），则有a≤h（x）min，
∵＝，
令F（x）＝2lnx﹣（x＞1），则有F'（x）＝＞0，
即得F（x）在（1，+∞）上单调递增，
又因为F（2）＝2ln2﹣＜0，F（e）＝2﹣＞0，
故可得h'（x）＝0在（1，+∞）上有且只有一个实根x0，且2＜x0＜e，
此时，
所以当1＜x＜x0时，h'（x）＜0，此时函数h（x）单调递减，当x＞x0时，h'（x）＞0，此时函数h（x）单调递增，
因此可得h（x）min＝h（x0）＝＝2x0＜2e．
从而可得a＜2x0＜2e，
所以：当a＝5时，不等式g（x）≤0不恒成立；当a＝4时，不等式g（x）≤0恒成立；
故有实数a的最大值为4．
[选修4-4，坐标系与参数方程]
22．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；
（2）已知P（2，1），直线l与曲线C相交于A，B两点，求的值．
解：（1）由（t为参数），消去参数t，可得直线l的普通方程为x+y﹣3＝0，
由，
即，
又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
∴曲线C的直角坐标方程为；
（2）将直线l的参数方程化为，代入代入曲线C的直角坐标方程，
得，
＞0，＜0，
∴＝＝＝．
[选修4-5，不等式选讲]
23．设函数f（x）＝|x+|+|x﹣a|．
（1）若f（2）＞a+1，求a的取值范围；
（2）若对∀a∈（0，+∞），f（x）≥m恒成立，求实数m的取值范围．
解：（1）函数f（x）＝|x+|+|x﹣a|，
又f（2）＞a+1，可得|2+|+|2﹣a|＞a+1，
等价为或或或，
解得a≤﹣或﹣＜a＜0或0＜a＜或a∈∅，
则a的取值范围为（﹣∞，0）∪（0，）；
（2）对∀a∈（0，+∞），f（x）≥m恒成立，
可得m≤f（x）min，
由f（x）＝|x+|+|x﹣a|≥|x++a﹣x|＝|a+|＝a+≥2，
当且仅当﹣1≤x≤1时，上式取得等号，
则m≤2，即m的取值范围是（﹣∞，2]．
相关试卷
2023-2024学年四川省成都市高考数学（理）第一次诊断性检测模拟试题（含解析）： 这是一份2023-2024学年四川省成都市高考数学（理）第一次诊断性检测模拟试题（含解析），共21页。试卷主要包含了考试结束后，只将答题卡交回，若实数满足，则的最小值为，已知平面，则是的，若，则，已知，且，则等内容，欢迎下载使用。
四川省成都市石室中学2023届高三数学（理）高考模拟测试试题（Word版附解析）： 这是一份四川省成都市石室中学2023届高三数学（理）高考模拟测试试题（Word版附解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023届四川省成都市石室中学高考适应性考试（一）数学（理）试题含解析： 这是一份2023届四川省成都市石室中学高考适应性考试（一）数学（理）试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
