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2020-2021学年广东省茂名市高州市八年级（下）期末数学试卷
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这是一份2020-2021学年广东省茂名市高州市八年级（下）期末数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3B．x＜3C．x≠3D．x≠﹣3
3．（3分）已知a，b，c均为实数，且a＞b，那么下列式子不一定成立的是（ ）
A．ac＞bcB．c﹣a＜c﹣bC．﹣2a＜﹣2bD．＞
4．（3分）下列四个不等式的解集在数轴上表示如图所示的是（ ）
A．＞1B．≥1C．D．
5．（3分）下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠A＝∠B，∠C＝∠DB．AB＝AD，CB＝CD
C．AB＝CD，AD＝BCD．AB∥CD，AD＝BC
6．（3分）已知某个正多边形的一个外角为40°，这个正多边形内角和等于（ ）
A．1080°B．1260°C．1440°D．1620°
7．（3分）下列各式从左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）
A．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2B．a3+a2＝a3（1+）
C．mn2+2mn＝mn（n+2）D．x2+4x+5＝（x+2）2+1
8．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，∠ABC的角平分线与线段AC相交于点D，若CD＝8，则AD的长（ ）
A．6B．5C．4D．3
9．（3分）如图，将线段MN平移至PQ的位置，已知M、N的坐标分别为（0，2）、（4，0），则x+y的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
10．（3分）下列说法中，不正确的是（ ）
A．命题“若a+b＞0，则a＞0”的逆命题为“若a＞0，则a+b＞0”
B．△ABC的三边长a，b，c满足a2+bc＝b2+ac，那么△ABC是等腰三角形
C．平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心
D．若分式方程﹣1＝有增根，则a的值为2
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）若＝0，则x＝ ．
12．（4分）已知m﹣n＝2，m＝3，则m2﹣mn＝ ．
13．（4分）在平行四边形ABCD中，∠B＝3∠C，则∠A＝ ．
14．（4分）已知+x2+y2﹣2xy＝0，则xy＝ ．
15．（4分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AMN，点C和点N是对应点，若AB＝2，则BM＝ ．
16．（4分）如果不等式组的解集为x＜3a+1，则a的取值范围为 ．
17．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝2AB＝8．点P是线段BC上的动点，以AC为对角线的所有平行四边形APCE中，PE的最小值为 ．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）因式分解：（1）3m﹣3n；
（2）2mn2﹣8m．
19．（6分）解不等式（组），并把它的解集表示在数轴上．
20．（6分）解方程：＝2﹣．
四、解答题（ニ）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB∥CD，OB＝OD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
22．（8分）如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作BC的平行线AF交CD于F，延长AB、DC交于点E．
求证：（1）AC平分∠EAF；
（2）∠FAD＝∠E．
23．（8分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
（1）将△ABC沿y轴向上平移3个单位得到△A′B′C′，那么B′的坐标为 ；
（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A1B1C1．
（3）若将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A2（﹣2，0），B2（﹣4，1），C2（﹣3，﹣3），则该旋转中心的坐标为 ．
（4）设P为x轴上的一个动点，当PA+PC取得最小值时，点P的坐标为 ．
五、解答题（三）（本大题共2小题，毎小题10分，共20分）
24．（10分）数字技术在农业生产中应用不仅可以促进传统农业生产、经营、交易的数字化转型，提升生产效率、优化产品供给结构，同时可以普惠数字金融等农村信息消费新模式、新业态、新供给的创新实践，打破城乡经济机会在地理上分布不均的障碍．某村计划对面积为1600m2的农场进行数字化硬件改造升级，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成改造的面积是乙队每天能完成改造面积的3倍，如果两队各自独立完成面积为720m2区域的改造时，甲队比乙队少用8天．
（1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的改造；
（2）若甲队每天改造费用是2.7万元，乙队每天改造费用为0.8万元，要使这次改造的总费用不超过22万元，则至少应安排乙工程队改造多少天？
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD，连接并延长AC交BD于点E．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在一点F，使得以O，A，B，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）设点P为线段AB中点，点Q为y轴上一动点，连接PQ，以PQ为边向P右侧作以Q为直角顶点的等腰直角三角形PQR，在Q点运动过程中，当点R落在直线BD上时，求点R的坐标．
2020-2021学年广东省茂名市高州市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据定义进行判断求解．
【解答】解：A．不是中心对称图形，不符合题意．
B．不是中心对称图形，不符合题意．
C．是中心对称图形，符合题意．
D．不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
2．（3分）分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3B．x＜3C．x≠3D．x≠﹣3
【分析】根据分式有意义的条件可得x+3≠0，再解即可．
【解答】由题意得：x+3≠0，
解得：x≠﹣3，
故选：D．
3．（3分）已知a，b，c均为实数，且a＞b，那么下列式子不一定成立的是（ ）
A．ac＞bcB．c﹣a＜c﹣bC．﹣2a＜﹣2bD．＞
【分析】A：因为a、b、c均为实数，当c＜0时，根据不等式的性质③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即可得出答案；
B：先根据不等式的性质③，不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，再根据不等式性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即可得出答案；
C：根据不等式的性质③，不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即可得出答案；
D：根据不等式的性质②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，进行计算即可得出答案．
【解答】解：A∵a＞b，当c＜0时，ac＜bc，
∴ac不一定大于bc，故A选项符合题意；
B：∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，c﹣a＜c﹣b，
∴c﹣a＜c﹣b一定成立，故B选项不符合题意；
C：∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，﹣2a＜﹣2b，
∴﹣2a＜﹣2b一定成立，故C选项不符合题意；
D：∵a＞b，
∴，
∴一定成立，故D选项不符合题意．
故选：A．
4．（3分）下列四个不等式的解集在数轴上表示如图所示的是（ ）
A．＞1B．≥1C．D．
【分析】分别求出每个不等式的解集，与数轴所表示的解集比较即可得出答案．
【解答】解：A．去分母得x+3＞2，移项、合并得x＞﹣1，与数轴所表示的解集相符合；
B．去分母得x+3≥2，移项、合并得x≥﹣1，与数轴所表示的解集不符；
C．去分母得x+3≤2，移项、合并得x≤﹣1，与数轴所表示的解集不符；
D．去分母得x+3＜2，移项、合并得x＜﹣1，与数轴所表示的解集不符；
故选：A．
5．（3分）下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠A＝∠B，∠C＝∠DB．AB＝AD，CB＝CD
C．AB＝CD，AD＝BCD．AB∥CD，AD＝BC
【分析】根据平行四边形的判定定理（①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形）进行判断即可．
【解答】解：
A、∵∠A＝∠B，∠C＝∠D，∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，
∴2∠B+2∠C＝360°，
∴∠B+∠C＝180°，
∴AB∥CD，但不能推出其它条件，即不能推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；
B、根据AB＝AD，CB＝CD不能推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；
C、∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；
D、由AB∥CD，AD＝BC也可以推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；
故选：C．
6．（3分）已知某个正多边形的一个外角为40°，这个正多边形内角和等于（ ）
A．1080°B．1260°C．1440°D．1620°
【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出它的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可．
【解答】解：正多边形的每个外角相等，且其和为360°，
据此可得，
解得n＝9．
（9﹣2）×180°＝1260°，
即这个正多边形的内角和为1260°．
故选：B．
7．（3分）下列各式从左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）
A．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2B．a3+a2＝a3（1+）
C．mn2+2mn＝mn（n+2）D．x2+4x+5＝（x+2）2+1
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，根据因式分解的概念判断即可．
【解答】解：A选项，属于整式乘法，不符合题意；
B选项，等号右边不是整式的积的形式，不符合题意；
C选项，符合因式分解的概念，符合题意；
D选项，等号右边是整式的和的形式，不符合题意；
故选：C．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，∠ABC的角平分线与线段AC相交于点D，若CD＝8，则AD的长（ ）
A．6B．5C．4D．3
【分析】根据直角三角形的性质求出∠ABC，根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD＝30°，根据等腰三角形的性质求出BD，根据含30°角的直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，
则∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴∠C＝∠CBD，
∴BD＝CD＝8，
在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，BD＝8，
∴AD＝BD＝4，
故选：C．
9．（3分）如图，将线段MN平移至PQ的位置，已知M、N的坐标分别为（0，2）、（4，0），则x+y的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】根据将线段MN平移至PQ的位置，N（4，0）的对应点为Q（5，2），得出平移规律：横坐标加1，纵坐标加2，求出M的对应点P的坐标，得出x、y的值，进而求解即可．
【解答】解：∵将线段MN平移至PQ的位置，且N（4，0）的对应点为Q（5，2），
∴平移规律是：横坐标加1，纵坐标加2，
∴M（0，2）的对应点P的坐标为（1，4），
∴x＝1，y＝4，
∴x+y＝1+4＝5．
故选：B．
10．（3分）下列说法中，不正确的是（ ）
A．命题“若a+b＞0，则a＞0”的逆命题为“若a＞0，则a+b＞0”
B．△ABC的三边长a，b，c满足a2+bc＝b2+ac，那么△ABC是等腰三角形
C．平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心
D．若分式方程﹣1＝有增根，则a的值为2
【分析】根据逆命题的概念、因式分解、中心对称图形的概念、分式方程的解法判断即可．
【解答】解：A、命题“若a+b＞0，则a＞0”的逆命题为“若a＞0，则a+b＞0”，说法正确，不符合题意；
B、△ABC的三边长a，b，c满足a2+bc＝b2+ac，
则a2﹣b2+bc﹣ac＝0，
整理得：（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，
∴a＝b，
∴△ABC是等腰三角形，本说法正确，不符合题意；
C、平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心，说法正确，不符合题意；
D、﹣1＝，
方程两边同乘x﹣2，得6﹣x+2+ax＝0，
解得，x＝，
当x＝2，即a＝﹣3时，方程有增根，本说法错误，符合题意；
故选：D．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）若＝0，则x＝ ﹣1 ．
【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
【解答】解：若＝0，则，
解得x＝﹣1，
故答案为：﹣1．
12．（4分）已知m﹣n＝2，m＝3，则m2﹣mn＝ 6 ．
【分析】将原式利用提公因式法分解因式后再代入计算可求解．
【解答】解：∵m﹣n＝2，m＝3，
∴原式＝m（m﹣n）
＝3×2
＝6，
故答案为6．
13．（4分）在平行四边形ABCD中，∠B＝3∠C，则∠A＝ 45° ．
【分析】由平行四边形邻角相等、对角互补，可知：∠A＝∠C，∠C+∠B＝180°，然后根据题意求解即可．
【解答】解：如图所示．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠C+∠B＝180°．
∵∠B＝3∠C，
∴4∠C＝180°．
∴∠A＝∠C＝45°．
故答案为：45°．
14．（4分）已知+x2+y2﹣2xy＝0，则xy＝ 4 ．
【分析】先将+x2+y2﹣2xy＝0变形为，根据算术平方根以及偶次方的非负性，可得2x﹣4＝0，x﹣y＝0，进而求得x＝y＝2，故xy＝4．
【解答】解：∵+x2+y2﹣2xy＝0，
∴．
又∵，（x﹣y）2≥0．
∴，（x﹣y）2＝0．
∴2x﹣4＝0，x﹣y＝0．
∴x＝2，x＝y．
∴y＝2．
∴xy＝2×2＝4．
故答案为：4．
15．（4分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AMN，点C和点N是对应点，若AB＝2，则BM＝ 2 ．
【分析】由旋转得AB＝AM，∠MAB＝60°，从而有△ABM是等边三角形，即可求出MB的长度．
【解答】解：连接MB，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AMN，
∴AB＝AM，∠MAB＝60°，
∴△ABM是等边三角形，
∴MB＝AB＝2，
故答案为：2．
16．（4分）如果不等式组的解集为x＜3a+1，则a的取值范围为 a≤0 ．
【分析】根据确定不等式组解集的口诀“同小取小”可得关于a的不等式3a+1≤1，解之即可．
【解答】解：∵不等式组的解集是x＜3a+1，
∴3a+1≤1，
解得a≤0，
故答案为：a≤0．
17．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝2AB＝8．点P是线段BC上的动点，以AC为对角线的所有平行四边形APCE中，PE的最小值为 4 ．
【分析】设PE与AC交于点O，由四边形APCE是平行四边形，可得AC＝2OA＝8，点O为AC的中点，得PE＝2OP，转化为求OP的最小值即可．
【解答】解：设PE与AC交于点O，
∵四边形APCE是平行四边形，
∴PE＝2OP，AC＝2OA＝8，
∴OA＝OC＝4，
过点O作OH⊥BC于H，则点P与点H重合时，OP最小，即PE最小，
∵∠ABC＝90°，AC＝2AB＝8，
∴∠ACB＝30°，
∴OH＝2，
∴PE的最小值为4．
故答案为：4．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）因式分解：（1）3m﹣3n；
（2）2mn2﹣8m．
【分析】（1）直接提公因式3即可；
（2）先提公因式2m，再利用平方差公式即可．
【解答】解：（1）原式＝3（m﹣n）；
（2）原式＝2m（n2﹣4）＝2m（n+2）（n﹣2）．
19．（6分）解不等式（组），并把它的解集表示在数轴上．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①，得：x＞2，
解不等式②，得：x≤3，
则不等式组的解集为2＜x≤3，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
20．（6分）解方程：＝2﹣．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到m的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：m﹣1＝2（m﹣3）+1，
去括号得：m﹣1＝2m﹣6+1，
移项合并得：﹣m＝﹣4，
解得：m＝4，
检验：当m＝4时，m﹣3＝﹣1≠0，
∴分式方程的解为m＝4．
四、解答题（ニ）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB∥CD，OB＝OD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
【分析】要证四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的判定，和已知条件，只需证AB＝CD，继而需求证△ABO≌△CDO，根据全等三角形的性质得到AB＝CD，由平行四边形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO．
在△ABO与△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（ASA）．
∴AB＝CD，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
22．（8分）如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作BC的平行线AF交CD于F，延长AB、DC交于点E．
求证：（1）AC平分∠EAF；
（2）∠FAD＝∠E．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到BA＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠BCA，根据平行线的性质得到∠CAF＝∠BCA，等量代换证明结论；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA，再根据三角形的外角性质证明即可．
【解答】证明：（1）∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵BC∥AF，
∴∠CAF＝∠BCA，
∴∠CAF＝∠BAC，即AC平分∠EAF；
（2）∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠DCA是△ACE的一个外角，
∴∠DCA＝∠E+∠EAC，
∴∠E+∠EAC＝∠FAD+∠CAF，
∵∠CAF＝∠EAC，
∴∠FAD＝∠E．
23．（8分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
（1）将△ABC沿y轴向上平移3个单位得到△A′B′C′，那么B′的坐标为 （0，0） ；
（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A1B1C1．
（3）若将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A2（﹣2，0），B2（﹣4，1），C2（﹣3，﹣3），则该旋转中心的坐标为 （0，1） ．
（4）设P为x轴上的一个动点，当PA+PC取得最小值时，点P的坐标为 （2，0） ．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．
（2）利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（3）两组对应点的连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
（4）作点C关于x轴的对称点E，连接AE交x轴于点P，点P即为所求．
【解答】解：（1）如图1中，△A′B′C′即为所求，B′的坐标为（0，0），
（2）如图1中，△A1B1C1即为所求．
故答案为：（0，0）．
（3）如图2中，旋转中心J的坐标为（0，1）．
故答案为：（0，1）．
（4）如图2中，点P的坐标为（2，0）．
故答案为：（2，0）．
五、解答题（三）（本大题共2小题，毎小题10分，共20分）
24．（10分）数字技术在农业生产中应用不仅可以促进传统农业生产、经营、交易的数字化转型，提升生产效率、优化产品供给结构，同时可以普惠数字金融等农村信息消费新模式、新业态、新供给的创新实践，打破城乡经济机会在地理上分布不均的障碍．某村计划对面积为1600m2的农场进行数字化硬件改造升级，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成改造的面积是乙队每天能完成改造面积的3倍，如果两队各自独立完成面积为720m2区域的改造时，甲队比乙队少用8天．
（1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的改造；
（2）若甲队每天改造费用是2.7万元，乙队每天改造费用为0.8万元，要使这次改造的总费用不超过22万元，则至少应安排乙工程队改造多少天？
【分析】（1）设乙工程队每天能完成xm2的改造，则甲工程队每天能完成3xm2的改造，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合“两队各自独立完成面积为720m2区域的改造时，甲队比乙队少用8天”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设应安排乙工程队改造m天，则安排甲工程队改造天，根据社区要使这次改造的总费用不超过22万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成xm2的改造，则甲工程队每天能完成3xm2的改造，
依题意得：﹣＝8，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，
∴3x＝180．
答：甲工程队每天能完成60m2的改造，乙工程队每天能完成180m2的改造．
（2）设应安排乙工程队改造m天，则安排甲工程队改造天，
依题意得：2.7×+0.8×m≤22，
解得：m≥20．
答：至少应安排乙工程队改造20天．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD，连接并延长AC交BD于点E．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在一点F，使得以O，A，B，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）设点P为线段AB中点，点Q为y轴上一动点，连接PQ，以PQ为边向P右侧作以Q为直角顶点的等腰直角三角形PQR，在Q点运动过程中，当点R落在直线BD上时，求点R的坐标．
【分析】（1）利用旋转得旋转前、后的图形全等，从而得到三组对应边相等，进一步得出EA＝ED，通过HL，证得△ABE≌△DCE；
（2）运用分类讨论思想，①当AB，OA为平行四边形OABF的边时，②当AB，OB为平行四边形OABF的边时，③当OA，OB为平行四边形OABF的边时，分别进行讨论，运用中点坐标公式进行求解；
（3）找到点R的运动轨迹，为平行于AE的平行线l，求出直线l及直线BD的函数解析式，再利用交点，得出交点R的坐标．
【解答】解：（1）∵将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD，
∴△OAB≌△OCD，
∴OA＝OC，BA＝DC，OB＝OD，
又∵x轴⊥y轴，
∴∠CAO＝45°，∠ODB＝45°，
∴EA＝ED，∠AED＝∠AEB＝90°，
∴Rt△AEB≌Rt△DEC（HL）．
（2）∵直线AB的函数解析式是：y＝2x+4，
∴令x＝0，得y＝4，即B（0，4），OB＝4；
令y＝0，得x＝﹣2，即A（﹣2，0），OA＝2；
∴AB＝＝＝，
∵OC＝OA＝2，OB＝4，
∴点C为OB的中点，C（0，2），
设点F（x，y），
①当AB，OA为平行四边形OABF的边时，点C为对角线BC的中点，
∴点C也是对角线FA的中点，
∵C（0，2），A（﹣2，0），
∴，解得，
∴F1（2，4），
②当AB，OB为平行四边形OABF的边时，AO为对角线，
∴，即AO的中点坐标为：（﹣1，0），
∴AO的中点也是对角线FB的中点，
∴，解得，
∴F2（﹣2，﹣4），
③当OA，OB为平行四边形OABF的边时，AB为对角线，
∴，即AB的中点坐标为：（﹣1，2），
∴，解得，
∴F3（﹣2，4），
综上所述，点F的坐标为（2，4）或（﹣2，﹣4）或（﹣2，4）；
（3）
∵点P为线段AB中点，A（﹣2，0），B（0，4），
∴Px＝＝﹣1，Py＝＝2，
∴P（﹣1，2），
当点Q运动时，可以发现点R在直线l上运动，l||AE，
当点R运动到x轴上时，
∵OA＝OC，∠AOC＝90°，
∴∠COA＝45°，
又∵l||AE，
∴∠QR'O＝45°，
又∵△PQR是等腰直角三角形，
∴∠PR'Q＝45°，
∴∠PR'O＝∠PR'Q+∠QR'O＝45°+45°＝90°，即PR'⊥x轴，
∴R'（﹣1，0），即OR'＝OQ＝1，
∴Q（0，1），
设直线l的函数解析式为：y＝kx+b，将R'（﹣1，0），Q（0，1）代入得，
，解得，
∴直线l的函数解析式是：y＝x+1，
设直线BD的函数解析式为：y＝mx+n，将B（0，4），D（4，0）代入得，
，解得，
∴直线BD的函数解析式为：y＝﹣x+4，
当点R在直线BD上，即直线l与直线BD有交点时，
令x+1＝﹣x+4，
解得，x＝1.5，则y＝﹣x+4＝2.5，
∴R（1.5，2.5）．
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日期：2021/8/12 11:46:02；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.cm；学号：37675298
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3B．x＜3C．x≠3D．x≠﹣3
3．（3分）已知a，b，c均为实数，且a＞b，那么下列式子不一定成立的是（ ）
A．ac＞bcB．c﹣a＜c﹣bC．﹣2a＜﹣2bD．＞
4．（3分）下列四个不等式的解集在数轴上表示如图所示的是（ ）
A．＞1B．≥1C．D．
5．（3分）下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠A＝∠B，∠C＝∠DB．AB＝AD，CB＝CD
C．AB＝CD，AD＝BCD．AB∥CD，AD＝BC
6．（3分）已知某个正多边形的一个外角为40°，这个正多边形内角和等于（ ）
A．1080°B．1260°C．1440°D．1620°
7．（3分）下列各式从左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）
A．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2B．a3+a2＝a3（1+）
C．mn2+2mn＝mn（n+2）D．x2+4x+5＝（x+2）2+1
8．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，∠ABC的角平分线与线段AC相交于点D，若CD＝8，则AD的长（ ）
A．6B．5C．4D．3
9．（3分）如图，将线段MN平移至PQ的位置，已知M、N的坐标分别为（0，2）、（4，0），则x+y的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
10．（3分）下列说法中，不正确的是（ ）
A．命题“若a+b＞0，则a＞0”的逆命题为“若a＞0，则a+b＞0”
B．△ABC的三边长a，b，c满足a2+bc＝b2+ac，那么△ABC是等腰三角形
C．平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心
D．若分式方程﹣1＝有增根，则a的值为2
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）若＝0，则x＝ ．
12．（4分）已知m﹣n＝2，m＝3，则m2﹣mn＝ ．
13．（4分）在平行四边形ABCD中，∠B＝3∠C，则∠A＝ ．
14．（4分）已知+x2+y2﹣2xy＝0，则xy＝ ．
15．（4分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AMN，点C和点N是对应点，若AB＝2，则BM＝ ．
16．（4分）如果不等式组的解集为x＜3a+1，则a的取值范围为 ．
17．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝2AB＝8．点P是线段BC上的动点，以AC为对角线的所有平行四边形APCE中，PE的最小值为 ．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）因式分解：（1）3m﹣3n；
（2）2mn2﹣8m．
19．（6分）解不等式（组），并把它的解集表示在数轴上．
20．（6分）解方程：＝2﹣．
四、解答题（ニ）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB∥CD，OB＝OD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
22．（8分）如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作BC的平行线AF交CD于F，延长AB、DC交于点E．
求证：（1）AC平分∠EAF；
（2）∠FAD＝∠E．
23．（8分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
（1）将△ABC沿y轴向上平移3个单位得到△A′B′C′，那么B′的坐标为 ；
（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A1B1C1．
（3）若将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A2（﹣2，0），B2（﹣4，1），C2（﹣3，﹣3），则该旋转中心的坐标为 ．
（4）设P为x轴上的一个动点，当PA+PC取得最小值时，点P的坐标为 ．
五、解答题（三）（本大题共2小题，毎小题10分，共20分）
24．（10分）数字技术在农业生产中应用不仅可以促进传统农业生产、经营、交易的数字化转型，提升生产效率、优化产品供给结构，同时可以普惠数字金融等农村信息消费新模式、新业态、新供给的创新实践，打破城乡经济机会在地理上分布不均的障碍．某村计划对面积为1600m2的农场进行数字化硬件改造升级，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成改造的面积是乙队每天能完成改造面积的3倍，如果两队各自独立完成面积为720m2区域的改造时，甲队比乙队少用8天．
（1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的改造；
（2）若甲队每天改造费用是2.7万元，乙队每天改造费用为0.8万元，要使这次改造的总费用不超过22万元，则至少应安排乙工程队改造多少天？
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD，连接并延长AC交BD于点E．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在一点F，使得以O，A，B，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）设点P为线段AB中点，点Q为y轴上一动点，连接PQ，以PQ为边向P右侧作以Q为直角顶点的等腰直角三角形PQR，在Q点运动过程中，当点R落在直线BD上时，求点R的坐标．
2020-2021学年广东省茂名市高州市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据定义进行判断求解．
【解答】解：A．不是中心对称图形，不符合题意．
B．不是中心对称图形，不符合题意．
C．是中心对称图形，符合题意．
D．不是中心对称图形，不符合题意．
故选：C．
2．（3分）分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3B．x＜3C．x≠3D．x≠﹣3
【分析】根据分式有意义的条件可得x+3≠0，再解即可．
【解答】由题意得：x+3≠0，
解得：x≠﹣3，
故选：D．
3．（3分）已知a，b，c均为实数，且a＞b，那么下列式子不一定成立的是（ ）
A．ac＞bcB．c﹣a＜c﹣bC．﹣2a＜﹣2bD．＞
【分析】A：因为a、b、c均为实数，当c＜0时，根据不等式的性质③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即可得出答案；
B：先根据不等式的性质③，不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，再根据不等式性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即可得出答案；
C：根据不等式的性质③，不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即可得出答案；
D：根据不等式的性质②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，进行计算即可得出答案．
【解答】解：A∵a＞b，当c＜0时，ac＜bc，
∴ac不一定大于bc，故A选项符合题意；
B：∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，c﹣a＜c﹣b，
∴c﹣a＜c﹣b一定成立，故B选项不符合题意；
C：∵a＞b，∴﹣a＜﹣b，﹣2a＜﹣2b，
∴﹣2a＜﹣2b一定成立，故C选项不符合题意；
D：∵a＞b，
∴，
∴一定成立，故D选项不符合题意．
故选：A．
4．（3分）下列四个不等式的解集在数轴上表示如图所示的是（ ）
A．＞1B．≥1C．D．
【分析】分别求出每个不等式的解集，与数轴所表示的解集比较即可得出答案．
【解答】解：A．去分母得x+3＞2，移项、合并得x＞﹣1，与数轴所表示的解集相符合；
B．去分母得x+3≥2，移项、合并得x≥﹣1，与数轴所表示的解集不符；
C．去分母得x+3≤2，移项、合并得x≤﹣1，与数轴所表示的解集不符；
D．去分母得x+3＜2，移项、合并得x＜﹣1，与数轴所表示的解集不符；
故选：A．
5．（3分）下列条件中能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．∠A＝∠B，∠C＝∠DB．AB＝AD，CB＝CD
C．AB＝CD，AD＝BCD．AB∥CD，AD＝BC
【分析】根据平行四边形的判定定理（①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形）进行判断即可．
【解答】解：
A、∵∠A＝∠B，∠C＝∠D，∠A+∠B+∠C+∠D＝360°，
∴2∠B+2∠C＝360°，
∴∠B+∠C＝180°，
∴AB∥CD，但不能推出其它条件，即不能推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；
B、根据AB＝AD，CB＝CD不能推出四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误；
C、∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项正确；
D、由AB∥CD，AD＝BC也可以推出四边形ABCD是等腰梯形，故本选项错误；
故选：C．
6．（3分）已知某个正多边形的一个外角为40°，这个正多边形内角和等于（ ）
A．1080°B．1260°C．1440°D．1620°
【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等即可求出它的边数，再根据多边形的内角和公式计算即可．
【解答】解：正多边形的每个外角相等，且其和为360°，
据此可得，
解得n＝9．
（9﹣2）×180°＝1260°，
即这个正多边形的内角和为1260°．
故选：B．
7．（3分）下列各式从左到右的变形中，属于分解因式的是（ ）
A．（x+y）（x﹣y）＝x2﹣y2B．a3+a2＝a3（1+）
C．mn2+2mn＝mn（n+2）D．x2+4x+5＝（x+2）2+1
【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，根据因式分解的概念判断即可．
【解答】解：A选项，属于整式乘法，不符合题意；
B选项，等号右边不是整式的积的形式，不符合题意；
C选项，符合因式分解的概念，符合题意；
D选项，等号右边是整式的和的形式，不符合题意；
故选：C．
8．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，∠ABC的角平分线与线段AC相交于点D，若CD＝8，则AD的长（ ）
A．6B．5C．4D．3
【分析】根据直角三角形的性质求出∠ABC，根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD＝30°，根据等腰三角形的性质求出BD，根据含30°角的直角三角形的性质解答即可．
【解答】解：在△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，
则∠ABC＝90°﹣30°＝60°，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD＝30°，
∴∠C＝∠CBD，
∴BD＝CD＝8，
在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，BD＝8，
∴AD＝BD＝4，
故选：C．
9．（3分）如图，将线段MN平移至PQ的位置，已知M、N的坐标分别为（0，2）、（4，0），则x+y的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【分析】根据将线段MN平移至PQ的位置，N（4，0）的对应点为Q（5，2），得出平移规律：横坐标加1，纵坐标加2，求出M的对应点P的坐标，得出x、y的值，进而求解即可．
【解答】解：∵将线段MN平移至PQ的位置，且N（4，0）的对应点为Q（5，2），
∴平移规律是：横坐标加1，纵坐标加2，
∴M（0，2）的对应点P的坐标为（1，4），
∴x＝1，y＝4，
∴x+y＝1+4＝5．
故选：B．
10．（3分）下列说法中，不正确的是（ ）
A．命题“若a+b＞0，则a＞0”的逆命题为“若a＞0，则a+b＞0”
B．△ABC的三边长a，b，c满足a2+bc＝b2+ac，那么△ABC是等腰三角形
C．平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心
D．若分式方程﹣1＝有增根，则a的值为2
【分析】根据逆命题的概念、因式分解、中心对称图形的概念、分式方程的解法判断即可．
【解答】解：A、命题“若a+b＞0，则a＞0”的逆命题为“若a＞0，则a+b＞0”，说法正确，不符合题意；
B、△ABC的三边长a，b，c满足a2+bc＝b2+ac，
则a2﹣b2+bc﹣ac＝0，
整理得：（a﹣b）（a+b﹣c）＝0，
∴a＝b，
∴△ABC是等腰三角形，本说法正确，不符合题意；
C、平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心，说法正确，不符合题意；
D、﹣1＝，
方程两边同乘x﹣2，得6﹣x+2+ax＝0，
解得，x＝，
当x＝2，即a＝﹣3时，方程有增根，本说法错误，符合题意；
故选：D．
二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）若＝0，则x＝ ﹣1 ．
【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
【解答】解：若＝0，则，
解得x＝﹣1，
故答案为：﹣1．
12．（4分）已知m﹣n＝2，m＝3，则m2﹣mn＝ 6 ．
【分析】将原式利用提公因式法分解因式后再代入计算可求解．
【解答】解：∵m﹣n＝2，m＝3，
∴原式＝m（m﹣n）
＝3×2
＝6，
故答案为6．
13．（4分）在平行四边形ABCD中，∠B＝3∠C，则∠A＝ 45° ．
【分析】由平行四边形邻角相等、对角互补，可知：∠A＝∠C，∠C+∠B＝180°，然后根据题意求解即可．
【解答】解：如图所示．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠C+∠B＝180°．
∵∠B＝3∠C，
∴4∠C＝180°．
∴∠A＝∠C＝45°．
故答案为：45°．
14．（4分）已知+x2+y2﹣2xy＝0，则xy＝ 4 ．
【分析】先将+x2+y2﹣2xy＝0变形为，根据算术平方根以及偶次方的非负性，可得2x﹣4＝0，x﹣y＝0，进而求得x＝y＝2，故xy＝4．
【解答】解：∵+x2+y2﹣2xy＝0，
∴．
又∵，（x﹣y）2≥0．
∴，（x﹣y）2＝0．
∴2x﹣4＝0，x﹣y＝0．
∴x＝2，x＝y．
∴y＝2．
∴xy＝2×2＝4．
故答案为：4．
15．（4分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AMN，点C和点N是对应点，若AB＝2，则BM＝ 2 ．
【分析】由旋转得AB＝AM，∠MAB＝60°，从而有△ABM是等边三角形，即可求出MB的长度．
【解答】解：连接MB，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AMN，
∴AB＝AM，∠MAB＝60°，
∴△ABM是等边三角形，
∴MB＝AB＝2，
故答案为：2．
16．（4分）如果不等式组的解集为x＜3a+1，则a的取值范围为 a≤0 ．
【分析】根据确定不等式组解集的口诀“同小取小”可得关于a的不等式3a+1≤1，解之即可．
【解答】解：∵不等式组的解集是x＜3a+1，
∴3a+1≤1，
解得a≤0，
故答案为：a≤0．
17．（4分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝2AB＝8．点P是线段BC上的动点，以AC为对角线的所有平行四边形APCE中，PE的最小值为 4 ．
【分析】设PE与AC交于点O，由四边形APCE是平行四边形，可得AC＝2OA＝8，点O为AC的中点，得PE＝2OP，转化为求OP的最小值即可．
【解答】解：设PE与AC交于点O，
∵四边形APCE是平行四边形，
∴PE＝2OP，AC＝2OA＝8，
∴OA＝OC＝4，
过点O作OH⊥BC于H，则点P与点H重合时，OP最小，即PE最小，
∵∠ABC＝90°，AC＝2AB＝8，
∴∠ACB＝30°，
∴OH＝2，
∴PE的最小值为4．
故答案为：4．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
18．（6分）因式分解：（1）3m﹣3n；
（2）2mn2﹣8m．
【分析】（1）直接提公因式3即可；
（2）先提公因式2m，再利用平方差公式即可．
【解答】解：（1）原式＝3（m﹣n）；
（2）原式＝2m（n2﹣4）＝2m（n+2）（n﹣2）．
19．（6分）解不等式（组），并把它的解集表示在数轴上．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式①，得：x＞2，
解不等式②，得：x≤3，
则不等式组的解集为2＜x≤3，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
20．（6分）解方程：＝2﹣．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到m的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：m﹣1＝2（m﹣3）+1，
去括号得：m﹣1＝2m﹣6+1，
移项合并得：﹣m＝﹣4，
解得：m＝4，
检验：当m＝4时，m﹣3＝﹣1≠0，
∴分式方程的解为m＝4．
四、解答题（ニ）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，AB∥CD，OB＝OD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
【分析】要证四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的判定，和已知条件，只需证AB＝CD，继而需求证△ABO≌△CDO，根据全等三角形的性质得到AB＝CD，由平行四边形的判定定理即可得到结论．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠ABO＝∠CDO．
在△ABO与△CDO中，
，
∴△ABO≌△CDO（ASA）．
∴AB＝CD，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
22．（8分）如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作BC的平行线AF交CD于F，延长AB、DC交于点E．
求证：（1）AC平分∠EAF；
（2）∠FAD＝∠E．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到BA＝BC，根据等腰三角形的性质得到∠BAC＝∠BCA，根据平行线的性质得到∠CAF＝∠BCA，等量代换证明结论；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠DCA，再根据三角形的外角性质证明即可．
【解答】证明：（1）∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴BA＝BC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵BC∥AF，
∴∠CAF＝∠BCA，
∴∠CAF＝∠BAC，即AC平分∠EAF；
（2）∵BD所在的直线垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵∠DCA是△ACE的一个外角，
∴∠DCA＝∠E+∠EAC，
∴∠E+∠EAC＝∠FAD+∠CAF，
∵∠CAF＝∠EAC，
∴∠FAD＝∠E．
23．（8分）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：
（1）将△ABC沿y轴向上平移3个单位得到△A′B′C′，那么B′的坐标为 （0，0） ；
（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A1B1C1．
（3）若将△ABC绕某点逆时针旋转90°后，其对应点分别为A2（﹣2，0），B2（﹣4，1），C2（﹣3，﹣3），则该旋转中心的坐标为 （0，1） ．
（4）设P为x轴上的一个动点，当PA+PC取得最小值时，点P的坐标为 （2，0） ．
【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．
（2）利用中心对称的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（3）两组对应点的连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．
（4）作点C关于x轴的对称点E，连接AE交x轴于点P，点P即为所求．
【解答】解：（1）如图1中，△A′B′C′即为所求，B′的坐标为（0，0），
（2）如图1中，△A1B1C1即为所求．
故答案为：（0，0）．
（3）如图2中，旋转中心J的坐标为（0，1）．
故答案为：（0，1）．
（4）如图2中，点P的坐标为（2，0）．
故答案为：（2，0）．
五、解答题（三）（本大题共2小题，毎小题10分，共20分）
24．（10分）数字技术在农业生产中应用不仅可以促进传统农业生产、经营、交易的数字化转型，提升生产效率、优化产品供给结构，同时可以普惠数字金融等农村信息消费新模式、新业态、新供给的创新实践，打破城乡经济机会在地理上分布不均的障碍．某村计划对面积为1600m2的农场进行数字化硬件改造升级，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成改造的面积是乙队每天能完成改造面积的3倍，如果两队各自独立完成面积为720m2区域的改造时，甲队比乙队少用8天．
（1）求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的改造；
（2）若甲队每天改造费用是2.7万元，乙队每天改造费用为0.8万元，要使这次改造的总费用不超过22万元，则至少应安排乙工程队改造多少天？
【分析】（1）设乙工程队每天能完成xm2的改造，则甲工程队每天能完成3xm2的改造，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合“两队各自独立完成面积为720m2区域的改造时，甲队比乙队少用8天”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设应安排乙工程队改造m天，则安排甲工程队改造天，根据社区要使这次改造的总费用不超过22万元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【解答】解：（1）设乙工程队每天能完成xm2的改造，则甲工程队每天能完成3xm2的改造，
依题意得：﹣＝8，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，
∴3x＝180．
答：甲工程队每天能完成60m2的改造，乙工程队每天能完成180m2的改造．
（2）设应安排乙工程队改造m天，则安排甲工程队改造天，
依题意得：2.7×+0.8×m≤22，
解得：m≥20．
答：至少应安排乙工程队改造20天．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD，连接并延长AC交BD于点E．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在一点F，使得以O，A，B，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）设点P为线段AB中点，点Q为y轴上一动点，连接PQ，以PQ为边向P右侧作以Q为直角顶点的等腰直角三角形PQR，在Q点运动过程中，当点R落在直线BD上时，求点R的坐标．
【分析】（1）利用旋转得旋转前、后的图形全等，从而得到三组对应边相等，进一步得出EA＝ED，通过HL，证得△ABE≌△DCE；
（2）运用分类讨论思想，①当AB，OA为平行四边形OABF的边时，②当AB，OB为平行四边形OABF的边时，③当OA，OB为平行四边形OABF的边时，分别进行讨论，运用中点坐标公式进行求解；
（3）找到点R的运动轨迹，为平行于AE的平行线l，求出直线l及直线BD的函数解析式，再利用交点，得出交点R的坐标．
【解答】解：（1）∵将△OAB绕点O顺时针旋转90°得到△OCD，
∴△OAB≌△OCD，
∴OA＝OC，BA＝DC，OB＝OD，
又∵x轴⊥y轴，
∴∠CAO＝45°，∠ODB＝45°，
∴EA＝ED，∠AED＝∠AEB＝90°，
∴Rt△AEB≌Rt△DEC（HL）．
（2）∵直线AB的函数解析式是：y＝2x+4，
∴令x＝0，得y＝4，即B（0，4），OB＝4；
令y＝0，得x＝﹣2，即A（﹣2，0），OA＝2；
∴AB＝＝＝，
∵OC＝OA＝2，OB＝4，
∴点C为OB的中点，C（0，2），
设点F（x，y），
①当AB，OA为平行四边形OABF的边时，点C为对角线BC的中点，
∴点C也是对角线FA的中点，
∵C（0，2），A（﹣2，0），
∴，解得，
∴F1（2，4），
②当AB，OB为平行四边形OABF的边时，AO为对角线，
∴，即AO的中点坐标为：（﹣1，0），
∴AO的中点也是对角线FB的中点，
∴，解得，
∴F2（﹣2，﹣4），
③当OA，OB为平行四边形OABF的边时，AB为对角线，
∴，即AB的中点坐标为：（﹣1，2），
∴，解得，
∴F3（﹣2，4），
综上所述，点F的坐标为（2，4）或（﹣2，﹣4）或（﹣2，4）；
（3）
∵点P为线段AB中点，A（﹣2，0），B（0，4），
∴Px＝＝﹣1，Py＝＝2，
∴P（﹣1，2），
当点Q运动时，可以发现点R在直线l上运动，l||AE，
当点R运动到x轴上时，
∵OA＝OC，∠AOC＝90°，
∴∠COA＝45°，
又∵l||AE，
∴∠QR'O＝45°，
又∵△PQR是等腰直角三角形，
∴∠PR'Q＝45°，
∴∠PR'O＝∠PR'Q+∠QR'O＝45°+45°＝90°，即PR'⊥x轴，
∴R'（﹣1，0），即OR'＝OQ＝1，
∴Q（0，1），
设直线l的函数解析式为：y＝kx+b，将R'（﹣1，0），Q（0，1）代入得，
，解得，
∴直线l的函数解析式是：y＝x+1，
设直线BD的函数解析式为：y＝mx+n，将B（0，4），D（4，0）代入得，
，解得，
∴直线BD的函数解析式为：y＝﹣x+4，
当点R在直线BD上，即直线l与直线BD有交点时，
令x+1＝﹣x+4，
解得，x＝1.5，则y＝﹣x+4＝2.5，
∴R（1.5，2.5）．
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日期：2021/8/12 11:46:02；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.cm；学号：37675298
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