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2020-2021学年广东省揭阳市普宁市八年级（下）期末数学试卷
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这是一份2020-2021学年广东省揭阳市普宁市八年级（下）期末数学试卷，共22页。
2020-2021学年广东省揭阳市普宁市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个正确选项，请将正确答案写在答题卷的相应位置
1．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）对于①（x+2）（x﹣1）＝x2+x﹣2，②x﹣4xy＝x（1﹣4y），从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解
B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算
D．①是乘法运算，②是因式分解
3．（3分）在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE＝3，则BC的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．24
4．（3分）如图所示，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，则下列结论中错误的是（ ）
A．OA＝OC B．∠ABC＝∠ADC C．AB＝CD D．AC＝BD
5．（3分）不等式组，的解集在数轴上表示正确的（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）解分式方程﹣＝时，去分母后得到的方程正确的是（ ）
A．2x﹣（x﹣2）＝x﹣1 B．4x﹣2（x﹣2）＝x﹣1
C．4x+2（x﹣2）＝x﹣1 D．2x+（x﹣2）＝x﹣1
7．（3分）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．等腰三角形的两底角相等
B．全等三角形的对应角相等
C．角平分线上的点到角两边的距离相等
D．平行四边形的对角线互相平分
8．（3分）如图，一次函数y＝ax和y＝kx+4的图象相交于点（1，3），则不等式ax＞kx+4的解集为（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．x＞3 D．x＜3
9．（3分）某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶6个，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶500元/个，B型分类垃圾桶550元/个，总费用不超过3100元，则不同的购买方式有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形OAiBi∁iDiEi，则正六边形OAiBi∁iDiEi（i＝4）的顶点∁i的坐标是（ ）
A．（1，﹣） B．（1，） C．（1，﹣2） D．（2，1）
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案写在答题卷的相应位置
11．（4分）分解因式x3y﹣16xy的结果为 ．
12．（4分）一个多边形的内角和是它的外角和的4.5倍，这个多边形的边数是 ．
13．（4分）用反证方法证明“在△ABC中，AB＝AC，则∠B必为锐角”的第一步是假设 ．
14．（4分）化简（﹣）÷的结果是 ．
15．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，若BF＝2，则CF的长为 ．
16．（4分）到2020年末，我国高铁运营里程约为3.8万公里，超过世界高铁总里程的60%，现有某高铁平均速度提升50km/h后，行驶700km用时和提速前行驶600km用时相同，求提速后该高铁的平均速度 km/h．
17．（4分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，将△ABC沿射线BC方向平移m个单位得到△DEF，顶点A，B，C分别与D，E，F对应，若以A，D，E为顶点的三角形满足AD＝AE时，则m的值为 ．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）请将正确答案写在答题卷的相应位置
18．（6分）解分式方程：﹣1＝．
19．（6分）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，D是BC的中点，证明：∠B＝∠C．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．
（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）请将正确答案写在答题卷的相应位置
21．（8分）已知A＝（1+）÷．
（1）直接写出当x取什么值时，A有意义；
（2）化简A；
（3）当x是不等式组的整数解时，求A的值．
22．（8分）已知a、b、c是△ABC的三边的长，
（1）若满足（a﹣b）b﹣（b﹣a）c＝0，试判断此三角形的形状．
（2）若满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断此三角形的形状．
23．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）已知：CD＝6，∠A＝120°，求△DCE的底边CE上的高．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）请将正确答案写在答题卷的相应位置
24．（10分）某科技公司研发出一款多型号的智能手表，一家代理商出售该公司的A型智能手表，去年销售总额为80000元，今年A型智能手表的售价每只比去年降了400元，若售出的数量与去年相同，销售总额将比去年减少25%．
（1）请问今年A型智能手表每只售价多少元？
（2）今年这家代理商准备新进一批A型智能手表和B型智能手表共100只，它们的进货价与销售价格如表，若B型智能手表进货量不超过A型智能手表数量的3倍，所进智能手表可全部售完，请你设计出进货方案，使这批智能手表获利最多，并求出最大利润是多少元？
A型智能手表
B型智能手表
进价
800元/只
1000元/只
售价
今年的售价
1500元/只
25．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB边上一点，连接CD，∠ADC＝120°，把△ADC绕点A逆时针旋转得到△AD′C′（旋转后点C、D的对应点分别为C′、D′），设旋转的度数为m（0°≤m≤360°）．
（1）当m＝30°时，如图2，连接CC′并延长，交AB于点E．请直接写出∠ACC′的度数；
（2）在（1）的条件下，请判断△DCE的形状，并说明理由；
（3）①小明在探究的过程中发现：当m＝90°时，如图3，四边形ACBC′为平行四边形，请证明小明的结论的正确性；
②请你再探究：在△ADC绕点A逆时针旋转过程中，是否存在其他的情形，使以A、B、C、C′四点组成的四边形为平行四边形？若存在，请在备用图中画出旋转后的图形，并请直接写出m的值；若不能，请说明理由．
2020-2021学年广东省揭阳市普宁市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个正确选项，请将正确答案写在答题卷的相应位置
1．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
2．（3分）对于①（x+2）（x﹣1）＝x2+x﹣2，②x﹣4xy＝x（1﹣4y），从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解
B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算
D．①是乘法运算，②是因式分解
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：从左边到右边变形，①是整式乘法，②是因式分解，
故选：D．
3．（3分）在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE＝3，则BC的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．24
【分析】根据三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半可知，ED＝BC，进而由DE的值求得BC．
【解答】解：∵D，E分别是△ABC的边AB和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵DE＝3，
∴BC＝2DE＝6．
故选：C．
4．（3分）如图所示，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，则下列结论中错误的是（ ）
A．OA＝OC B．∠ABC＝∠ADC C．AB＝CD D．AC＝BD
【分析】根据平行四边形的性质（①平行四边形的对边平行且相等，②平行四边形的对角相等，③平行四边形的对角线互相平分）判断即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC（平行四边形的对角线互相平分），正确，不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，正确，不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，正确，不符合题意；
D、根据四边形ABCD是平行四边形不能推出AC＝BD，错误，符合题意；
故选：D．
5．（3分）不等式组，的解集在数轴上表示正确的（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x+1≤﹣1，得：x≤﹣2，
解不等式﹣＞﹣1，得：x＜2，
则不等式组的解集为x≤﹣2，
故选：B．
6．（3分）解分式方程﹣＝时，去分母后得到的方程正确的是（ ）
A．2x﹣（x﹣2）＝x﹣1 B．4x﹣2（x﹣2）＝x﹣1
C．4x+2（x﹣2）＝x﹣1 D．2x+（x﹣2）＝x﹣1
【分析】分式方程两边乘以2（x﹣1）去分母得到结果，即可作出判断．
【解答】解：去分母得：4x+2（x﹣2）+x﹣1．
故选：C．
7．（3分）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．等腰三角形的两底角相等
B．全等三角形的对应角相等
C．角平分线上的点到角两边的距离相等
D．平行四边形的对角线互相平分
【分析】分别写出各个命题的逆命题，根据全等三角形的判定、等腰三角形的判定、角平分线的性质和平行四边形的判定定理判断即可．
【解答】解：A、等腰三角形的两底角相等的逆命题是两角相等的三角形是等腰三角形，逆命题是真命题；
B、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，逆命题是假命题；
C、角平分线上的点到角两边的距离相等的逆命题是到角两边的距离相等的点在角平分线上，逆命题是真命题；
D、平行四边形的对角线互相平分的逆命题是对角线互相平分的四边形是平行四边形，逆命题是真命题；
故选：B．
8．（3分）如图，一次函数y＝ax和y＝kx+4的图象相交于点（1，3），则不等式ax＞kx+4的解集为（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．x＞3 D．x＜3
【分析】观察函数图象得到，当x＞1时，直线y＝ax都在直线y＝kx+4的上方，于是可得到不等式ax＞kx+4的解集．
【解答】解：由图象可知，当x＞1时，ax＞kx+4，
即不等式ax＞kx+4的解集为x＞1．
故选：A．
9．（3分）某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶6个，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶500元/个，B型分类垃圾桶550元/个，总费用不超过3100元，则不同的购买方式有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【分析】设购买A型分类垃圾桶x个，则购买B型分类垃圾桶（6﹣x）个，根据总价＝单价×数量，结合总费用不超过3100元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合x，（6﹣x）均为非负整数，即可得出x的可能值，进而可得出购买方案的数量．
【解答】解：设购买A型分类垃圾桶x个，则购买B型分类垃圾桶（6﹣x）个，
依题意，得：500x+550（6﹣x）≤3100，
解得：x≥4．
∵x，（6﹣x）均为非负整数，
∴x可以为4，5，6，
∴共有3种购买方案．
故选：B．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形OAiBi∁iDiEi，则正六边形OAiBi∁iDiEi（i＝4）的顶点∁i的坐标是（ ）
A．（1，﹣） B．（1，） C．（1，﹣2） D．（2，1）
【分析】由于正六边形旋转4次，每次转45°，所以点C与C4关于原点对称，可以直接把的C4坐标写出来．
【解答】解：∵正六边形旋转4次，即45°×4＝180°，
∴点C与C4关于原点对称，
∵C的坐标为（﹣1，），
∴C4的坐标为（1，﹣）．
故选：A．
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案写在答题卷的相应位置
11．（4分）分解因式x3y﹣16xy的结果为 xy（x+4）（x﹣4） ．
【分析】先提公因式xy，再用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：原式＝xy（x2﹣16）
＝xy（x+4）（x﹣4），
故答案为：xy（x+4）（x﹣4）．
12．（4分）一个多边形的内角和是它的外角和的4.5倍，这个多边形的边数是 11 ．
【分析】由题意知一个多边形的内角和是外角和的4.5倍，可设这个多边形是n边形，由多边形的内角和公式得n边形的内角和为180°（n﹣2），多边形的外角和是360°，从而列出一元一次方程180°（n﹣2）＝4.5×360°，解出n即可．
【解答】解：设这个多边形是n边形，
则这个多边形的内角和是180°（n﹣2），外角和是360°，
由题意得：180°（n﹣2）＝4.5×360°，
解得：n＝11，
这个多边形的边数是11．
故答案为：11．
13．（4分）用反证方法证明“在△ABC中，AB＝AC，则∠B必为锐角”的第一步是假设 ∠B一定不是锐角（是直角或钝角） ．
【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．
【解答】解：∠B与90°的大小关系有∠B＞90°，∠B＝90°，∠B＜90°三种情况，
因而∠B＝90°的反面是∠B＞90°或∠B＜90°．
因此用反证法证明“∠B＝90°”时，应先假设∠B＞90°或∠B＜90°．
即∠B一定不是锐角（是直角或钝角）．
14．（4分）化简（﹣）÷的结果是 ．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式＝•＝．
故答案为：
15．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，若BF＝2，则CF的长为 4 ．
【分析】连接AF，根据三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求解∠B＝∠C＝30°，利用线段垂直平分线的性质可求解∠BAF＝30°，即可求解∠FAC＝90°，再利用含30° 角的直角三角形的性质可求解CF的长．
【解答】解：连接AF，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵EF垂直平分AB，
∴BF＝AF，
∴∠BAF＝∠B＝30°，
∴∠CAF＝120°﹣30°＝90°，
∴CF＝2AF＝2BF，
∵BF＝2，
∴CF＝4．
故答案为4．
16．（4分）到2020年末，我国高铁运营里程约为3.8万公里，超过世界高铁总里程的60%，现有某高铁平均速度提升50km/h后，行驶700km用时和提速前行驶600km用时相同，求提速后该高铁的平均速度 350 km/h．
【分析】根据路程÷速度＝时间结合行驶700km用时和提速前行驶600km用时相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设提速后该高铁的平均速度为xkm/h，则提速前的速度是（x﹣50）km/h，
根据题意，得＝．
解得x＝350．
经检验，x＝350是原方程的解，且符合题意．
故答案是：350．
17．（4分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，将△ABC沿射线BC方向平移m个单位得到△DEF，顶点A，B，C分别与D，E，F对应，若以A，D，E为顶点的三角形满足AD＝AE时，则m的值为 ．
【分析】过点A作AN⊥BC于N，由平移的性质得出四边形ABED是平行四边形，根据平行四边形的性质得到BE＝AD＝m，由勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：过点A作AN⊥BC于N，
∵AB＝AC＝5，BC＝8，
∴BN＝CN＝4，
∴AN＝＝＝3，
∵将△ABC沿射线BC方向平移m个单位得到△DEF，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴BE＝AD＝m，
∴NE＝m﹣4，
∵AN2+NE2＝AE2，
∴32+（m﹣4）2＝m2，
∴m＝．
故答案为．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）请将正确答案写在答题卷的相应位置
18．（6分）解分式方程：﹣1＝．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：﹣1＝，
方程两边乘（x﹣2）2得：x（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝4，
解得：x＝4，
检验：当x＝4时，（x﹣2）2≠0．
所以原方程的解为x＝4．
19．（6分）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，D是BC的中点，证明：∠B＝∠C．
【分析】先根据角平分线的性质，可得DE＝DF，再证得Rt△BED≌Rt△CFD，即可得出结论．
【解答】证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴∠B＝∠C．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．
（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
【分析】（1）利用中心对称的性质，分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）利用旋转变换的性质，分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．
（2）如图，△A2B2C2即为所求作．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）请将正确答案写在答题卷的相应位置
21．（8分）已知A＝（1+）÷．
（1）直接写出当x取什么值时，A有意义；
（2）化简A；
（3）当x是不等式组的整数解时，求A的值．
【分析】（1）根据分式有意义的条件，可知x2﹣1≠0，x≠0，然后即可求得x的取值范围；
（2）根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子；
（3）根据x是不等式组的整数解和（1）中的结果，可以得到x的值，然后将x的值代入（2）中化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1）∵A＝（1+）÷，
∴x2﹣1≠0，x≠0，
∴x≠0，±1，
即x≠0，±1时，A有意义；
（2）A＝（1+）÷
＝
＝
＝4（x﹣1）
＝4x﹣4；
（3）由不等式组，得﹣2＜x＜3，
∵x是不等式组的整数解，
∴x＝﹣1，0，1，2，
由（1）知，x≠0，±1，
∴x＝2，
当x＝2时，原式＝4×2﹣4＝4．
22．（8分）已知a、b、c是△ABC的三边的长，
（1）若满足（a﹣b）b﹣（b﹣a）c＝0，试判断此三角形的形状．
（2）若满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断此三角形的形状．
【分析】把所给的等式能进行因式分解的要因式分解，整理为非负数相加得0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状．
【解答】解：（1）∵（a﹣b）b﹣（b﹣a）c＝0，
∴（a﹣b）（b+c）＝0，
∵a、b、c是△ABC的三边的长，
∴b+c≠0，
∴a﹣b＝0，
∴a＝b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
∴a＝b，b＝c，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形．
23．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）已知：CD＝6，∠A＝120°，求△DCE的底边CE上的高．
【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，由线段关系可证FD＝CE，可得结论；
（2）由平行四边形的性质可得AB∥CD，CD＝AB＝6，∠A＝120°，由锐角三角函数和勾股定理可求解．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵F是AD的中点，
∴FD＝AD，
∵CE＝BC，
∴FD＝CE，
∵FD∥CE，
∴四边形CEDF是平行四边形；
（2）过点D作DG⊥CE于点G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠A+∠ADC＝180°，∠DCE＝∠ADC，
∵∠A＝120°，
∴∠DCE＝∠ADC＝180°﹣∠A＝60°，
在Rt△DGC中，∠DGC＝90°，∠DCE＝60°，
∴∠CDG＝30°，
∵CD＝6，
∴CG＝CD＝3，
故△CDE的底边CE上的高DG＝．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）请将正确答案写在答题卷的相应位置
24．（10分）某科技公司研发出一款多型号的智能手表，一家代理商出售该公司的A型智能手表，去年销售总额为80000元，今年A型智能手表的售价每只比去年降了400元，若售出的数量与去年相同，销售总额将比去年减少25%．
（1）请问今年A型智能手表每只售价多少元？
（2）今年这家代理商准备新进一批A型智能手表和B型智能手表共100只，它们的进货价与销售价格如表，若B型智能手表进货量不超过A型智能手表数量的3倍，所进智能手表可全部售完，请你设计出进货方案，使这批智能手表获利最多，并求出最大利润是多少元？
A型智能手表
B型智能手表
进价
800元/只
1000元/只
售价
今年的售价
1500元/只
【分析】（1）设今年A型智能手表每只售价x元，则去年售价每只为（x+400）元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；
（2）设今年新进A型a只，则B型（100﹣a）只，获利y元，由条件表示出W与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出W的最大值．
【解答】解：（1）今年A型智能手表每只售价x元，去年售价每只为（x+400）元，
根据题意得，
解得：x＝1200，
经检验，x＝1200是原方程的根，
答：今年A型智能手表每只售价1200元；
（2）设新进A型手表a只，全部售完利润是W元，则新进B型手表（100﹣a）只，
根据题意得，W＝（1200﹣800）a+（1500﹣1000）（100﹣a）＝﹣100a+50000，
∵100﹣a≤3a，
∴a≥25，
∵﹣100＜0，W随a的增大而减小，
∴当a＝25时，W增大＝﹣100×25+50000＝47500元，
此时，进货方案为新进A型手表25只，新进B型手表75只，
答：进货方案为新进A型手表25只，新进B型手表75只，这批智能手表获利最多，并求出最大利润是47500元．
25．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB边上一点，连接CD，∠ADC＝120°，把△ADC绕点A逆时针旋转得到△AD′C′（旋转后点C、D的对应点分别为C′、D′），设旋转的度数为m（0°≤m≤360°）．
（1）当m＝30°时，如图2，连接CC′并延长，交AB于点E．请直接写出∠ACC′的度数；
（2）在（1）的条件下，请判断△DCE的形状，并说明理由；
（3）①小明在探究的过程中发现：当m＝90°时，如图3，四边形ACBC′为平行四边形，请证明小明的结论的正确性；
②请你再探究：在△ADC绕点A逆时针旋转过程中，是否存在其他的情形，使以A、B、C、C′四点组成的四边形为平行四边形？若存在，请在备用图中画出旋转后的图形，并请直接写出m的值；若不能，请说明理由．
【分析】（1）由旋转知AC＝AC′，根据∠CAC′＝30°得∠ACC′＝＝75°；
（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝AC知∠ABC＝∠BAC＝45°，结合∠ACC′＝75°知∠BCE＝90°﹣∠ACC′＝15°，继而知∠AEC＝∠ABC+∠BCE＝60°，根据∠ADC+∠CDE＝180°，∠ADC＝120°得∠CDE＝60°，继而知∠CDE＝∠DEC＝∠ECD＝60°，即可得证；
（3）①m＝90°时，由∠ACB＝90°，∠BAC′＝90°知∠ACB+∠BAC′＝180°，据此得AC′∥BC，再由AC′＝AC，AC＝BC知AC′＝BC，即可得四边形ACBC′为平行四边形；
②m＝270°时，由∠C′AC＝90°知∠C′AC＝∠ACB，从而得AC′＝BC，结合AC′＝CB证得四边形AC′CB为平行四边形．
【解答】解：（1）由旋转知AC＝AC′，
∵∠CAC′＝30°，
∴∠ACC′＝＝75°；
（2）△DCE是等边三角形，
理由：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠BAC＝45°，
由（1）知，∠ACC′＝75°，
∴∠BCE＝90°﹣∠ACC′＝15°，
∴∠AEC＝∠ABC+∠BCE＝60°，
∵∠ADC+∠CDE＝180°，∠ADC＝120°，
∴∠CDE＝60°，
∴∠CDE＝∠DEC＝∠ECD＝60°，
∴△DCE是等边三角形；
（3）①当m＝90°时，四边形ACBC′为平行四边形，如图3所示：
∵∠ACB＝90°，∠BAC′＝90°，
∴∠ACB+∠BAC′＝180°，
∴AC′∥BC，
∵AC′＝AC，AC＝BC，
∴AC′＝BC，
∴四边形ACBC′为平行四边形；
②当m＝270°时，四边形ACBC′为平行四边形，如图4所示：
当m＝270°时，∠C′AC＝90°，
∴∠C′AC＝∠ACB，
∴AC′＝BC，
∵AC′＝CB，
∴四边形AC′CB为平行四边形
综上所述，当m＝90°或m＝270°时，以A、B、C、C′四点组成的四边形为平行四边形．
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日期：2021/8/11 12:05:00；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298
2020-2021学年广东省揭阳市普宁市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个正确选项，请将正确答案写在答题卷的相应位置
1．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）对于①（x+2）（x﹣1）＝x2+x﹣2，②x﹣4xy＝x（1﹣4y），从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解
B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算
D．①是乘法运算，②是因式分解
3．（3分）在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE＝3，则BC的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．24
4．（3分）如图所示，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，则下列结论中错误的是（ ）
A．OA＝OC B．∠ABC＝∠ADC C．AB＝CD D．AC＝BD
5．（3分）不等式组，的解集在数轴上表示正确的（ ）
A． B．
C． D．
6．（3分）解分式方程﹣＝时，去分母后得到的方程正确的是（ ）
A．2x﹣（x﹣2）＝x﹣1 B．4x﹣2（x﹣2）＝x﹣1
C．4x+2（x﹣2）＝x﹣1 D．2x+（x﹣2）＝x﹣1
7．（3分）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．等腰三角形的两底角相等
B．全等三角形的对应角相等
C．角平分线上的点到角两边的距离相等
D．平行四边形的对角线互相平分
8．（3分）如图，一次函数y＝ax和y＝kx+4的图象相交于点（1，3），则不等式ax＞kx+4的解集为（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．x＞3 D．x＜3
9．（3分）某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶6个，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶500元/个，B型分类垃圾桶550元/个，总费用不超过3100元，则不同的购买方式有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形OAiBi∁iDiEi，则正六边形OAiBi∁iDiEi（i＝4）的顶点∁i的坐标是（ ）
A．（1，﹣） B．（1，） C．（1，﹣2） D．（2，1）
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案写在答题卷的相应位置
11．（4分）分解因式x3y﹣16xy的结果为 ．
12．（4分）一个多边形的内角和是它的外角和的4.5倍，这个多边形的边数是 ．
13．（4分）用反证方法证明“在△ABC中，AB＝AC，则∠B必为锐角”的第一步是假设 ．
14．（4分）化简（﹣）÷的结果是 ．
15．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，若BF＝2，则CF的长为 ．
16．（4分）到2020年末，我国高铁运营里程约为3.8万公里，超过世界高铁总里程的60%，现有某高铁平均速度提升50km/h后，行驶700km用时和提速前行驶600km用时相同，求提速后该高铁的平均速度 km/h．
17．（4分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，将△ABC沿射线BC方向平移m个单位得到△DEF，顶点A，B，C分别与D，E，F对应，若以A，D，E为顶点的三角形满足AD＝AE时，则m的值为 ．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）请将正确答案写在答题卷的相应位置
18．（6分）解分式方程：﹣1＝．
19．（6分）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，D是BC的中点，证明：∠B＝∠C．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．
（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）请将正确答案写在答题卷的相应位置
21．（8分）已知A＝（1+）÷．
（1）直接写出当x取什么值时，A有意义；
（2）化简A；
（3）当x是不等式组的整数解时，求A的值．
22．（8分）已知a、b、c是△ABC的三边的长，
（1）若满足（a﹣b）b﹣（b﹣a）c＝0，试判断此三角形的形状．
（2）若满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断此三角形的形状．
23．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）已知：CD＝6，∠A＝120°，求△DCE的底边CE上的高．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）请将正确答案写在答题卷的相应位置
24．（10分）某科技公司研发出一款多型号的智能手表，一家代理商出售该公司的A型智能手表，去年销售总额为80000元，今年A型智能手表的售价每只比去年降了400元，若售出的数量与去年相同，销售总额将比去年减少25%．
（1）请问今年A型智能手表每只售价多少元？
（2）今年这家代理商准备新进一批A型智能手表和B型智能手表共100只，它们的进货价与销售价格如表，若B型智能手表进货量不超过A型智能手表数量的3倍，所进智能手表可全部售完，请你设计出进货方案，使这批智能手表获利最多，并求出最大利润是多少元？
A型智能手表
B型智能手表
进价
800元/只
1000元/只
售价
今年的售价
1500元/只
25．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB边上一点，连接CD，∠ADC＝120°，把△ADC绕点A逆时针旋转得到△AD′C′（旋转后点C、D的对应点分别为C′、D′），设旋转的度数为m（0°≤m≤360°）．
（1）当m＝30°时，如图2，连接CC′并延长，交AB于点E．请直接写出∠ACC′的度数；
（2）在（1）的条件下，请判断△DCE的形状，并说明理由；
（3）①小明在探究的过程中发现：当m＝90°时，如图3，四边形ACBC′为平行四边形，请证明小明的结论的正确性；
②请你再探究：在△ADC绕点A逆时针旋转过程中，是否存在其他的情形，使以A、B、C、C′四点组成的四边形为平行四边形？若存在，请在备用图中画出旋转后的图形，并请直接写出m的值；若不能，请说明理由．
2020-2021学年广东省揭阳市普宁市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个正确选项，请将正确答案写在答题卷的相应位置
1．（3分）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
2．（3分）对于①（x+2）（x﹣1）＝x2+x﹣2，②x﹣4xy＝x（1﹣4y），从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A．都是因式分解
B．都是乘法运算
C．①是因式分解，②是乘法运算
D．①是乘法运算，②是因式分解
【分析】根据因式分解的定义逐个判断即可．
【解答】解：从左边到右边变形，①是整式乘法，②是因式分解，
故选：D．
3．（3分）在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE＝3，则BC的长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．24
【分析】根据三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半可知，ED＝BC，进而由DE的值求得BC．
【解答】解：∵D，E分别是△ABC的边AB和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵DE＝3，
∴BC＝2DE＝6．
故选：C．
4．（3分）如图所示，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，则下列结论中错误的是（ ）
A．OA＝OC B．∠ABC＝∠ADC C．AB＝CD D．AC＝BD
【分析】根据平行四边形的性质（①平行四边形的对边平行且相等，②平行四边形的对角相等，③平行四边形的对角线互相平分）判断即可．
【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC（平行四边形的对角线互相平分），正确，不符合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠ADC，正确，不符合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB，正确，不符合题意；
D、根据四边形ABCD是平行四边形不能推出AC＝BD，错误，符合题意；
故选：D．
5．（3分）不等式组，的解集在数轴上表示正确的（ ）
A． B．
C． D．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：解不等式x+1≤﹣1，得：x≤﹣2，
解不等式﹣＞﹣1，得：x＜2，
则不等式组的解集为x≤﹣2，
故选：B．
6．（3分）解分式方程﹣＝时，去分母后得到的方程正确的是（ ）
A．2x﹣（x﹣2）＝x﹣1 B．4x﹣2（x﹣2）＝x﹣1
C．4x+2（x﹣2）＝x﹣1 D．2x+（x﹣2）＝x﹣1
【分析】分式方程两边乘以2（x﹣1）去分母得到结果，即可作出判断．
【解答】解：去分母得：4x+2（x﹣2）+x﹣1．
故选：C．
7．（3分）下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．等腰三角形的两底角相等
B．全等三角形的对应角相等
C．角平分线上的点到角两边的距离相等
D．平行四边形的对角线互相平分
【分析】分别写出各个命题的逆命题，根据全等三角形的判定、等腰三角形的判定、角平分线的性质和平行四边形的判定定理判断即可．
【解答】解：A、等腰三角形的两底角相等的逆命题是两角相等的三角形是等腰三角形，逆命题是真命题；
B、全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的三角形全等，逆命题是假命题；
C、角平分线上的点到角两边的距离相等的逆命题是到角两边的距离相等的点在角平分线上，逆命题是真命题；
D、平行四边形的对角线互相平分的逆命题是对角线互相平分的四边形是平行四边形，逆命题是真命题；
故选：B．
8．（3分）如图，一次函数y＝ax和y＝kx+4的图象相交于点（1，3），则不等式ax＞kx+4的解集为（ ）
A．x＞1 B．x＜1 C．x＞3 D．x＜3
【分析】观察函数图象得到，当x＞1时，直线y＝ax都在直线y＝kx+4的上方，于是可得到不等式ax＞kx+4的解集．
【解答】解：由图象可知，当x＞1时，ax＞kx+4，
即不等式ax＞kx+4的解集为x＞1．
故选：A．
9．（3分）某单位为响应政府号召，需要购买分类垃圾桶6个，市场上有A型和B型两种分类垃圾桶，A型分类垃圾桶500元/个，B型分类垃圾桶550元/个，总费用不超过3100元，则不同的购买方式有（ ）
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
【分析】设购买A型分类垃圾桶x个，则购买B型分类垃圾桶（6﹣x）个，根据总价＝单价×数量，结合总费用不超过3100元，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合x，（6﹣x）均为非负整数，即可得出x的可能值，进而可得出购买方案的数量．
【解答】解：设购买A型分类垃圾桶x个，则购买B型分类垃圾桶（6﹣x）个，
依题意，得：500x+550（6﹣x）≤3100，
解得：x≥4．
∵x，（6﹣x）均为非负整数，
∴x可以为4，5，6，
∴共有3种购买方案．
故选：B．
10．（3分）如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正六边形OABCDE绕点O顺时针旋转i个45°，得到正六边形OAiBi∁iDiEi，则正六边形OAiBi∁iDiEi（i＝4）的顶点∁i的坐标是（ ）
A．（1，﹣） B．（1，） C．（1，﹣2） D．（2，1）
【分析】由于正六边形旋转4次，每次转45°，所以点C与C4关于原点对称，可以直接把的C4坐标写出来．
【解答】解：∵正六边形旋转4次，即45°×4＝180°，
∴点C与C4关于原点对称，
∵C的坐标为（﹣1，），
∴C4的坐标为（1，﹣）．
故选：A．
二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案写在答题卷的相应位置
11．（4分）分解因式x3y﹣16xy的结果为 xy（x+4）（x﹣4） ．
【分析】先提公因式xy，再用平方差公式分解因式即可．
【解答】解：原式＝xy（x2﹣16）
＝xy（x+4）（x﹣4），
故答案为：xy（x+4）（x﹣4）．
12．（4分）一个多边形的内角和是它的外角和的4.5倍，这个多边形的边数是 11 ．
【分析】由题意知一个多边形的内角和是外角和的4.5倍，可设这个多边形是n边形，由多边形的内角和公式得n边形的内角和为180°（n﹣2），多边形的外角和是360°，从而列出一元一次方程180°（n﹣2）＝4.5×360°，解出n即可．
【解答】解：设这个多边形是n边形，
则这个多边形的内角和是180°（n﹣2），外角和是360°，
由题意得：180°（n﹣2）＝4.5×360°，
解得：n＝11，
这个多边形的边数是11．
故答案为：11．
13．（4分）用反证方法证明“在△ABC中，AB＝AC，则∠B必为锐角”的第一步是假设 ∠B一定不是锐角（是直角或钝角） ．
【分析】熟记反证法的步骤，直接填空即可．
【解答】解：∠B与90°的大小关系有∠B＞90°，∠B＝90°，∠B＜90°三种情况，
因而∠B＝90°的反面是∠B＞90°或∠B＜90°．
因此用反证法证明“∠B＝90°”时，应先假设∠B＞90°或∠B＜90°．
即∠B一定不是锐角（是直角或钝角）．
14．（4分）化简（﹣）÷的结果是 ．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
【解答】解：原式＝•＝．
故答案为：
15．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，若BF＝2，则CF的长为 4 ．
【分析】连接AF，根据三角形的内角和定理及等腰三角形的性质可求解∠B＝∠C＝30°，利用线段垂直平分线的性质可求解∠BAF＝30°，即可求解∠FAC＝90°，再利用含30° 角的直角三角形的性质可求解CF的长．
【解答】解：连接AF，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵EF垂直平分AB，
∴BF＝AF，
∴∠BAF＝∠B＝30°，
∴∠CAF＝120°﹣30°＝90°，
∴CF＝2AF＝2BF，
∵BF＝2，
∴CF＝4．
故答案为4．
16．（4分）到2020年末，我国高铁运营里程约为3.8万公里，超过世界高铁总里程的60%，现有某高铁平均速度提升50km/h后，行驶700km用时和提速前行驶600km用时相同，求提速后该高铁的平均速度 350 km/h．
【分析】根据路程÷速度＝时间结合行驶700km用时和提速前行驶600km用时相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】解：设提速后该高铁的平均速度为xkm/h，则提速前的速度是（x﹣50）km/h，
根据题意，得＝．
解得x＝350．
经检验，x＝350是原方程的解，且符合题意．
故答案是：350．
17．（4分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，将△ABC沿射线BC方向平移m个单位得到△DEF，顶点A，B，C分别与D，E，F对应，若以A，D，E为顶点的三角形满足AD＝AE时，则m的值为 ．
【分析】过点A作AN⊥BC于N，由平移的性质得出四边形ABED是平行四边形，根据平行四边形的性质得到BE＝AD＝m，由勾股定理列方程即可得到结论．
【解答】解：过点A作AN⊥BC于N，
∵AB＝AC＝5，BC＝8，
∴BN＝CN＝4，
∴AN＝＝＝3，
∵将△ABC沿射线BC方向平移m个单位得到△DEF，
∴四边形ABED是平行四边形，
∴BE＝AD＝m，
∴NE＝m﹣4，
∵AN2+NE2＝AE2，
∴32+（m﹣4）2＝m2，
∴m＝．
故答案为．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）请将正确答案写在答题卷的相应位置
18．（6分）解分式方程：﹣1＝．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：﹣1＝，
方程两边乘（x﹣2）2得：x（x﹣2）﹣（x﹣2）2＝4，
解得：x＝4，
检验：当x＝4时，（x﹣2）2≠0．
所以原方程的解为x＝4．
19．（6分）如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，D是BC的中点，证明：∠B＝∠C．
【分析】先根据角平分线的性质，可得DE＝DF，再证得Rt△BED≌Rt△CFD，即可得出结论．
【解答】证明：∵D是BC的中点，
∴BD＝CD，
∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴∠B＝∠C．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．
（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1；
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°后得到△A2B2C2，请画出△A2B2C2．
【分析】（1）利用中心对称的性质，分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可．
（2）利用旋转变换的性质，分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求作．
（2）如图，△A2B2C2即为所求作．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题8分，共24分）请将正确答案写在答题卷的相应位置
21．（8分）已知A＝（1+）÷．
（1）直接写出当x取什么值时，A有意义；
（2）化简A；
（3）当x是不等式组的整数解时，求A的值．
【分析】（1）根据分式有意义的条件，可知x2﹣1≠0，x≠0，然后即可求得x的取值范围；
（2）根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子；
（3）根据x是不等式组的整数解和（1）中的结果，可以得到x的值，然后将x的值代入（2）中化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：（1）∵A＝（1+）÷，
∴x2﹣1≠0，x≠0，
∴x≠0，±1，
即x≠0，±1时，A有意义；
（2）A＝（1+）÷
＝
＝
＝4（x﹣1）
＝4x﹣4；
（3）由不等式组，得﹣2＜x＜3，
∵x是不等式组的整数解，
∴x＝﹣1，0，1，2，
由（1）知，x≠0，±1，
∴x＝2，
当x＝2时，原式＝4×2﹣4＝4．
22．（8分）已知a、b、c是△ABC的三边的长，
（1）若满足（a﹣b）b﹣（b﹣a）c＝0，试判断此三角形的形状．
（2）若满足a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，试判断此三角形的形状．
【分析】把所给的等式能进行因式分解的要因式分解，整理为非负数相加得0的形式，求出三角形三边的关系，进而判断三角形的形状．
【解答】解：（1）∵（a﹣b）b﹣（b﹣a）c＝0，
∴（a﹣b）（b+c）＝0，
∵a、b、c是△ABC的三边的长，
∴b+c≠0，
∴a﹣b＝0，
∴a＝b，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）∵a2+2b2+c2﹣2b（a+c）＝0，
∴（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0，
∴a＝b，b＝c，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形．
23．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE＝BC，连接DE，CF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）已知：CD＝6，∠A＝120°，求△DCE的底边CE上的高．
【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，由线段关系可证FD＝CE，可得结论；
（2）由平行四边形的性质可得AB∥CD，CD＝AB＝6，∠A＝120°，由锐角三角函数和勾股定理可求解．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵F是AD的中点，
∴FD＝AD，
∵CE＝BC，
∴FD＝CE，
∵FD∥CE，
∴四边形CEDF是平行四边形；
（2）过点D作DG⊥CE于点G，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠A+∠ADC＝180°，∠DCE＝∠ADC，
∵∠A＝120°，
∴∠DCE＝∠ADC＝180°﹣∠A＝60°，
在Rt△DGC中，∠DGC＝90°，∠DCE＝60°，
∴∠CDG＝30°，
∵CD＝6，
∴CG＝CD＝3，
故△CDE的底边CE上的高DG＝．
五、解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）请将正确答案写在答题卷的相应位置
24．（10分）某科技公司研发出一款多型号的智能手表，一家代理商出售该公司的A型智能手表，去年销售总额为80000元，今年A型智能手表的售价每只比去年降了400元，若售出的数量与去年相同，销售总额将比去年减少25%．
（1）请问今年A型智能手表每只售价多少元？
（2）今年这家代理商准备新进一批A型智能手表和B型智能手表共100只，它们的进货价与销售价格如表，若B型智能手表进货量不超过A型智能手表数量的3倍，所进智能手表可全部售完，请你设计出进货方案，使这批智能手表获利最多，并求出最大利润是多少元？
A型智能手表
B型智能手表
进价
800元/只
1000元/只
售价
今年的售价
1500元/只
【分析】（1）设今年A型智能手表每只售价x元，则去年售价每只为（x+400）元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；
（2）设今年新进A型a只，则B型（100﹣a）只，获利y元，由条件表示出W与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出W的最大值．
【解答】解：（1）今年A型智能手表每只售价x元，去年售价每只为（x+400）元，
根据题意得，
解得：x＝1200，
经检验，x＝1200是原方程的根，
答：今年A型智能手表每只售价1200元；
（2）设新进A型手表a只，全部售完利润是W元，则新进B型手表（100﹣a）只，
根据题意得，W＝（1200﹣800）a+（1500﹣1000）（100﹣a）＝﹣100a+50000，
∵100﹣a≤3a，
∴a≥25，
∵﹣100＜0，W随a的增大而减小，
∴当a＝25时，W增大＝﹣100×25+50000＝47500元，
此时，进货方案为新进A型手表25只，新进B型手表75只，
答：进货方案为新进A型手表25只，新进B型手表75只，这批智能手表获利最多，并求出最大利润是47500元．
25．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB边上一点，连接CD，∠ADC＝120°，把△ADC绕点A逆时针旋转得到△AD′C′（旋转后点C、D的对应点分别为C′、D′），设旋转的度数为m（0°≤m≤360°）．
（1）当m＝30°时，如图2，连接CC′并延长，交AB于点E．请直接写出∠ACC′的度数；
（2）在（1）的条件下，请判断△DCE的形状，并说明理由；
（3）①小明在探究的过程中发现：当m＝90°时，如图3，四边形ACBC′为平行四边形，请证明小明的结论的正确性；
②请你再探究：在△ADC绕点A逆时针旋转过程中，是否存在其他的情形，使以A、B、C、C′四点组成的四边形为平行四边形？若存在，请在备用图中画出旋转后的图形，并请直接写出m的值；若不能，请说明理由．
【分析】（1）由旋转知AC＝AC′，根据∠CAC′＝30°得∠ACC′＝＝75°；
（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝AC知∠ABC＝∠BAC＝45°，结合∠ACC′＝75°知∠BCE＝90°﹣∠ACC′＝15°，继而知∠AEC＝∠ABC+∠BCE＝60°，根据∠ADC+∠CDE＝180°，∠ADC＝120°得∠CDE＝60°，继而知∠CDE＝∠DEC＝∠ECD＝60°，即可得证；
（3）①m＝90°时，由∠ACB＝90°，∠BAC′＝90°知∠ACB+∠BAC′＝180°，据此得AC′∥BC，再由AC′＝AC，AC＝BC知AC′＝BC，即可得四边形ACBC′为平行四边形；
②m＝270°时，由∠C′AC＝90°知∠C′AC＝∠ACB，从而得AC′＝BC，结合AC′＝CB证得四边形AC′CB为平行四边形．
【解答】解：（1）由旋转知AC＝AC′，
∵∠CAC′＝30°，
∴∠ACC′＝＝75°；
（2）△DCE是等边三角形，
理由：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠BAC＝45°，
由（1）知，∠ACC′＝75°，
∴∠BCE＝90°﹣∠ACC′＝15°，
∴∠AEC＝∠ABC+∠BCE＝60°，
∵∠ADC+∠CDE＝180°，∠ADC＝120°，
∴∠CDE＝60°，
∴∠CDE＝∠DEC＝∠ECD＝60°，
∴△DCE是等边三角形；
（3）①当m＝90°时，四边形ACBC′为平行四边形，如图3所示：
∵∠ACB＝90°，∠BAC′＝90°，
∴∠ACB+∠BAC′＝180°，
∴AC′∥BC，
∵AC′＝AC，AC＝BC，
∴AC′＝BC，
∴四边形ACBC′为平行四边形；
②当m＝270°时，四边形ACBC′为平行四边形，如图4所示：
当m＝270°时，∠C′AC＝90°，
∴∠C′AC＝∠ACB，
∴AC′＝BC，
∵AC′＝CB，
∴四边形AC′CB为平行四边形
综上所述，当m＝90°或m＝270°时，以A、B、C、C′四点组成的四边形为平行四边形．
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日期：2021/8/11 12:05:00；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298
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