2020-2021学年广东省佛山市南海区桂城街道映月中学九年级（下）第一次月考数学试卷

这是一份2020-2021学年广东省佛山市南海区桂城街道映月中学九年级（下）第一次月考数学试卷，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年广东省佛山市南海区桂城街道映月中学九年级（下）第一次月考数学试卷
一、选择题（共10小题）
1．在﹣2021，2.3，0，﹣4四个数中，最大的数是（　　）
A．﹣2021 B．2.3 C．0 D．﹣4
2．数据2，6，8，6，10的众数和中位数分别为（　　）
A．6和6 B．6和8 C．8和7 D．10和7
3．点A（1，﹣2）到y轴的距离为（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
4．若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．已知等腰三角形的两条中位线的长分别为3和5，则此等腰三角形的周长为（　　）
A．22 B．26 C．22或26 D．13
7．函数y＝（x+1）2﹣2的最小值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
8．下列用数轴表示不等式组的解集正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（　　）

A．5 B．2.5 C．4.8 D．2.4
10．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，对称轴为直线x＝﹣1，下列命题：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③当y＜0时，﹣3＜x＜1；④a﹣2b+c＞0；⑤m（ma+b）+b≥a（m为实数）．其中正确的命题有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题（共7小题）
11．若m+n＝2，mn＝1，则m3n+mn3+2m2n2＝　 　．
12．已知单项式xay3与﹣4x2y4﹣b是同类项，那么a﹣b的值是　 　．
13．如果|a﹣2|+（b+3）2＝0，那么a+b＝　 　．
14．当x＝1时，代数式ax3+bx+1的值为2020，当x＝﹣1时，代数式ax3+bx+1的值为　 　．
15．如图，DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，若∠BAC＝110°，则∠DAE＝　 　°．

16．如图，四边形OABC为菱形，OA＝2，以点O为圆心，OA长为半径画，恰好经过点B，连接OE，OE⊥BC，则图中阴影部分的面积为　 　．

17．如图，分别过反比例函数图象上的点P1（1，y1），P2（2，y2），…，Pn（n，Pn）…．作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，…，An…，连接A1P2，A2P3，…，An﹣1Pn，…，再以A1P1，A1P2为一组邻边画一个平行四边形A1P1B1P2，以A2P2，A2P3为一组邻边画一个平行四边形A2P2B2P3，依此类推，则点Bn的纵坐标是 　 　．（结果用含n代数式表示）

三、解答题（共8小题）
18．计算：（﹣1）2018﹣（）﹣1+2×（）0+．
19．先化简再从1，0，﹣1这三个数中选个合适的数作为x的值代入求值．
20．如图，点E、F在AB上，且AE＝BF，∠C＝∠D，AC∥BD．
求证：CF∥DE．

21．某校对该校学生最喜欢的球类运动的情况进行了抽样调查，从足球，乒乓球、篮球、排球等四个方面进行了一次调查（每位同学必选择一项且只能选择一项），并将调查结果绘制了如图不完整的统计图．请根据图中的信息解答以下问题：

（1）本次调查选取了 　 　名学生，乒乓球所在扇形的圆心角的度数为 　 　°；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）甲、乙、丙、丁四位同学分别最喜欢足球、乒乓球、乒乓球、篮球，现在要从这4名同学中随机抽取两名同学，请你利用画树状图或列表的方法，求出这两名同学最喜欢的球类运动项目不一样的概率．
22．为应对新冠肺炎疫情，某服装厂决定转型生产口罩，根据现有厂房大小决定购买10条口罩生产线，现有甲、乙两种型号的口罩生产线可供选择．经调查：购买3台甲型口罩生产线比购买2台乙型口罩生产线多花14万元，购买4条甲型口罩生产线与购买5条乙型口罩生产线所需款数相同．
（1）求甲、乙两种型号口罩生产线的单价；
（2）已知甲型口罩生产线每天可生产口罩9万只，乙型口罩生产线每天可生产口罩7万只，若每天要求产量不低于75万只，预算购买口罩生产线的资金不超过90万元，该厂有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？最少费用是多少？
23．如图，直线y＝﹣2x+2与反比例函数y＝的图象相交于点A（﹣2，a）和B（3，b）．
（1）求出反比例函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出＞﹣2x+2时，x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．

24．如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦于点E，交⊙O于点F，且CE＝CB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；
（3）如果CD＝15，BE＝10，sinA＝，求⊙O的半径．

25．已知，如图，抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A在点B左侧，点B的坐标为（1，0）、C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？如存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．


2020-2021学年广东省佛山市南海区桂城街道映月中学九年级（下）第一次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．在﹣2021，2.3，0，﹣4四个数中，最大的数是（　　）
A．﹣2021 B．2.3 C．0 D．﹣4
【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵﹣2021＜﹣4＜0＜2.3，
∴在﹣2021，2.3，0，﹣4四个数中，最大的数是2.3．
故选：B．
2．数据2，6，8，6，10的众数和中位数分别为（　　）
A．6和6 B．6和8 C．8和7 D．10和7
【分析】将这组数据重新排列，再根据众数和中位数的概念求解即可．
【解答】解：将数据重新排列为2、6、6、8、10，
所以这组数据的众数为6，中位数为6，
故选：A．
3．点A（1，﹣2）到y轴的距离为（　　）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【分析】根据点到y轴的距离等于横坐标的长度解答．
【解答】解：点A（1，﹣2）到y轴的距离为：|1|＝1，
故选：A．
4．若⊙O的内接正n边形的边长与⊙O的半径相等，则n的值为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】因为⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，推出这个多边形的中心角＝60°，构建方程即可解决问题．
【解答】解：∵⊙O的半径与这个正n边形的边长相等，
∴这个多边形的中心角＝60°，
∴＝60°，
∴n＝6，
故选：C．
5．下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用二次根式的加减法对A、B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的乘法法则对D进行判断．
【解答】解：A、与不能合并，所以A选项错误；
B、原式＝，所以B选项错误；
C、原式＝2×3＝6，所以C选项错误；
D、原式＝＝，所以D选项正确．
故选：D．
6．已知等腰三角形的两条中位线的长分别为3和5，则此等腰三角形的周长为（　　）
A．22 B．26 C．22或26 D．13
【分析】根据三角形中位线定理求出等腰三角形的两边长，分腰为10、腰为6两种情况，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【解答】解：等腰三角形的两条中位线长分别为3和5，
根据三角形中位线定理可知，等腰三角形的两边长为6和10，
当腰为10时，则三边长为10，10，6时，周长为26；
当腰为6时，则三边长为6，6，10时，周长为22，
故选：C．
7．函数y＝（x+1）2﹣2的最小值是（　　）
A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2
【分析】抛物线y＝（x+1）2﹣2开口向上，有最小值，顶点坐标为（﹣1，﹣2），顶点的纵坐标﹣2即为函数的最小值．
【解答】解：根据二次函数的性质，当x＝﹣1时，二次函数y＝（x﹣1）2﹣2的最小值是﹣2．
故选：D．
8．下列用数轴表示不等式组的解集正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【分析】选项A根据“同大取大”判断即可；
选项B根据“同小取小”判断即可；
选项C根据“大小小大中间找”，包含实心圆点2，不包含空心圆点1；
选项D根据“大小小大中间找”，包含实心圆点1，不包含空心圆点2．
【解答】解：A、不等式组的解集为x≥2，故本选项不合题意；
B、不等式组的解集为x＜1，故本选项不合题意；
C、不等式组的解集为1＜x≤2，故本选项符合题意；
D、不等式组的解集为1≤x＜2，故本选项不合题意；
故选：C．
9．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（　　）

A．5 B．2.5 C．4.8 D．2.4
【分析】先求证四边形AFPE是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用三角形面积求得AP最短时的长，然后即可求出PM最短时的长．
【解答】解：连接AP，如图所示：
∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，
∴BC＝＝10，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP，EF与AP互相平分，
∵M是EF的中点，
∴M为AP的中点，
∴PM＝AP，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短，
∴当AP⊥BC时，AP＝＝4.8，
∴AP最短时，AP＝4.8，
∴当PM最短时，PM＝AP＝2.4．
故选：D．

10．如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，对称轴为直线x＝﹣1，下列命题：①abc＜0；②b2﹣4ac＜0；③当y＜0时，﹣3＜x＜1；④a﹣2b+c＞0；⑤m（ma+b）+b≥a（m为实数）．其中正确的命题有（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点判断①；根据抛物线与x轴的交点判断②；根据抛物线的对称性判断③；根据抛物线与x轴的交点为（1，0）判断④；根据函数的最小值判断⑤．
【解答】解：①∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴b＞0，
抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＜0，本小题说法正确；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，本小题说法错误；
③∵抛物线与x轴的交点为（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣3，0），
∴当y＜0时，﹣3＜x＜1，本小题说法正确；
④∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣＝﹣1，
∴b＝2a，
∵抛物线与x轴的交点为（1，0），
∴a+b+c＝0，
∴c＝﹣3a，
∴a﹣2b+c＝a﹣4a﹣3a＝﹣6a＜0，本小题说法错误；
⑤∵对称轴为直线x＝﹣1，
∴当x＝﹣1时，y有最小值，
∴am2+bm+c≥a﹣b+c，
∴m（ma+b）+b≥a（m为实数），本小题说法正确；
故选：B．
二、填空题（共7小题）
11．若m+n＝2，mn＝1，则m3n+mn3+2m2n2＝　4　．
【分析】把m3n+mn3+2m2n2因式分解后，再根据完全平方公式解答即可．
【解答】解：∵m+n＝2，mn＝1，
∴m3n+mn3+2m2n2
＝mn（m2+2mn+n2）
＝mn（m+n）2
＝1×22
＝4．
故答案为：4．
12．已知单项式xay3与﹣4x2y4﹣b是同类项，那么a﹣b的值是　1　．
【分析】根据同类项的定义直接得到a，b的值，然后把它们代入a﹣b中进行计算即可．
【解答】解：∵单项式xay3与﹣4x2y4﹣b是同类项，
∴a＝2，4﹣b＝3，
∴a＝2，b＝1，
∴a﹣b＝2﹣1＝1．
故答案为：1．
13．如果|a﹣2|+（b+3）2＝0，那么a+b＝　﹣1　．
【分析】根据非负数的性质求出a和b的值，进而求得代数式的值．
【解答】解：∵|a﹣2|+（b+3）2＝0，
∴a﹣2＝0，b+3＝0，
解得a＝2，b＝﹣3，
∴a+b＝2﹣3＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．当x＝1时，代数式ax3+bx+1的值为2020，当x＝﹣1时，代数式ax3+bx+1的值为　﹣2018　．
【分析】根据题意，可得：a+b+1＝2020，据此求出当x＝﹣1时，代数式ax3+bx+1的值为多少即可．
【解答】解：∵当x＝1时，代数式ax3+bx+1的值为2020，
∴a+b+1＝2020，
∴当x＝﹣1时，
ax3+bx+1
＝﹣a﹣b+1
＝﹣（a+b+1）+2
＝﹣2020+2
＝﹣2018．
故答案为：﹣2018．
15．如图，DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，若∠BAC＝110°，则∠DAE＝　40　°．

【分析】根据三角形内角和定理得到∠B+∠C＝70°，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，EA＝EC，根据等腰三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：∵∠BAC＝110°，
∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝180°﹣110°＝70°，
∵DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，
∴DA＝DB，EA＝EC，
∴∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C，
∴∠DAB+∠EAC＝∠B+∠C＝70°，
∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠DAB+∠EAC）＝40°，
故答案为：40．
16．如图，四边形OABC为菱形，OA＝2，以点O为圆心，OA长为半径画，恰好经过点B，连接OE，OE⊥BC，则图中阴影部分的面积为　π﹣　．

【分析】连接OB，根据菱形的性质得到OA＝AB＝BC＝CO，根据题意得到△AOB、△OBC为等边三角形，求出∠AOE、OF，根据扇形面积公式、梯形面积公式计算，得到答案．
【解答】解：连接OB，OE与BC的交点为F，
∵四边形OABC为菱形，
∴OA＝AB＝BC＝CO，
由题意得，OA＝OB，
∴OA＝AB＝OB＝OC＝BC，即△AOB、△OBC为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，∠BOC＝60°，
∵OE⊥BC，
∴BF＝FC＝BC＝1，∠BOE＝∠BOC＝30°，
∴∠AOE＝90°，OF＝OB•cos∠BOE＝，
则图中阴影部分的面积＝﹣×（1+2）×＝π﹣，
故答案为：π﹣．

17．如图，分别过反比例函数图象上的点P1（1，y1），P2（2，y2），…，Pn（n，Pn）…．作x轴的垂线，垂足分别为A1，A2，…，An…，连接A1P2，A2P3，…，An﹣1Pn，…，再以A1P1，A1P2为一组邻边画一个平行四边形A1P1B1P2，以A2P2，A2P3为一组邻边画一个平行四边形A2P2B2P3，依此类推，则点Bn的纵坐标是 　　．（结果用含n代数式表示）

【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求得点P1、P2的纵坐标，由平行四边形对边平行且相等的性质求得点B1的纵坐标是y2+y1、B2的纵坐标是y3+y2、B3的纵坐标是y4+y3，据此可以推知点Bn的纵坐标是：yn+1+yn＝+＝．
【解答】解：∵点P1（1，y1），P2（2，y2）在反比例函数的图象上，
∴y1＝3，y2＝；
∴P1A1＝y1＝3；
又∵四边形A1P1B1P2，是平行四边形，
∴P1A1＝B1P2＝3，P1A1∥B1P2，
∴点B1的纵坐标是：y2+y1＝+3，即点B1的纵坐标是；
同理求得，点B2的纵坐标是：y3+y2＝1+＝；
点B3的纵坐标是：y4+y3＝+1＝；
…
点Bn的纵坐标是：yn+1+yn＝+＝；
故答案是：．
三、解答题（共8小题）
18．计算：（﹣1）2018﹣（）﹣1+2×（）0+．
【分析】直接利用负指数幂的性质以及零指数幂的性质和二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：原式＝1﹣3+2+3
＝3．
19．先化简再从1，0，﹣1这三个数中选个合适的数作为x的值代入求值．
【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可．
【解答】解：原式＝（﹣）÷
＝×
＝1+x，
∵x≠0，x≠1，
∴x＝﹣1，
当x＝﹣1时，原式＝1+（﹣1）＝0．
20．如图，点E、F在AB上，且AE＝BF，∠C＝∠D，AC∥BD．
求证：CF∥DE．

【分析】根据已知条件证明△ACF≌△BDE可得∠AFC＝∠BED，进而可得CF∥DE．
【解答】证明：∵AE＝BF，
∴AE+EF＝BF+EF，
即AF＝BE，
∵AC∥BD，
∴∠A＝∠B，
在△ACF和△BDE中，
，
∴△ACF≌△BDE（AAS），
∴∠AFC＝∠BED，
∴CF∥DE．
21．某校对该校学生最喜欢的球类运动的情况进行了抽样调查，从足球，乒乓球、篮球、排球等四个方面进行了一次调查（每位同学必选择一项且只能选择一项），并将调查结果绘制了如图不完整的统计图．请根据图中的信息解答以下问题：

（1）本次调查选取了 　50　名学生，乒乓球所在扇形的圆心角的度数为 　144　°；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）甲、乙、丙、丁四位同学分别最喜欢足球、乒乓球、乒乓球、篮球，现在要从这4名同学中随机抽取两名同学，请你利用画树状图或列表的方法，求出这两名同学最喜欢的球类运动项目不一样的概率．
【分析】（1）根据喜欢乒乓球的人数除以占的百分比求出被调查学生的人数，360°乘以乒乓球人数占的百分比得出圆心角度数；
（2）求出喜欢足球的人数，补全条形统计图即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，抽取的这两名同学最喜欢的球类运动项目不一样的结果有10种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）本次调查选取的学生人数为：20÷40%＝50（名），乒乓球所在扇形的圆心角的度数为：360°×40%＝144°，
故答案为：50，144；
（2）条形统计图中喜欢足球的学生人数为：50﹣20﹣15﹣5＝10（名），
将条形统计图补充完整如图：

（3）画树状图如图：

共有12种等可能的结果，抽取的这两名同学最喜欢的球类运动项目不一样的结果有10种，
∴抽取的这两名同学最喜欢的球类运动项目不一样的概率为＝．
22．为应对新冠肺炎疫情，某服装厂决定转型生产口罩，根据现有厂房大小决定购买10条口罩生产线，现有甲、乙两种型号的口罩生产线可供选择．经调查：购买3台甲型口罩生产线比购买2台乙型口罩生产线多花14万元，购买4条甲型口罩生产线与购买5条乙型口罩生产线所需款数相同．
（1）求甲、乙两种型号口罩生产线的单价；
（2）已知甲型口罩生产线每天可生产口罩9万只，乙型口罩生产线每天可生产口罩7万只，若每天要求产量不低于75万只，预算购买口罩生产线的资金不超过90万元，该厂有哪几种购买方案？哪种方案最省钱？最少费用是多少？
【分析】（1）设未知数，列二元一次方程组可以求解，
（2）设购买甲设备a台，根据购买甲型设备不少于3台，和购买甲、乙两种新设备的资金不超过110万元，列出不等式组，根据不等式组的整数解得出购买方案．
【解答】解：（1）设甲型号口罩生产线的单价为x万元，乙型号口罩生产线的单价为y万元，由题意得：
，
解得：，
答：甲型号口罩生产线的单价为10万元，乙型号口罩生产线的单价为8万元．
（2）设购买甲型号口罩生产线m条，则购买乙型号口罩生产线（10﹣m）条，由题意得：
，
解得：2.5≤m≤5，
又∵m为整数，
∴m＝3，或m＝4，或m＝5，
因此有三种购买方案：
①购买甲型3条，乙型7条；
②购买甲型4条，乙型6条；
③购买甲型5条，乙型5条．
当m＝3时，购买资金为：10×3+8×7＝86（万元），
当m＝4时，购买资金为：10×4+8×6＝88（万元），
当m＝5时，购买资金为：10×5+8×5＝90（万元），
∵86＜88＜90，
∴最省钱的购买方案为：选购甲型3条，乙型7条，最少费用为86万元．
23．如图，直线y＝﹣2x+2与反比例函数y＝的图象相交于点A（﹣2，a）和B（3，b）．
（1）求出反比例函数的表达式；
（2）根据图象，直接写出＞﹣2x+2时，x的取值范围；
（3）求△AOB的面积．

【分析】（1）把点A（﹣2，a）和B（3，b）代入y＝﹣2x+2求出a、b的值，确定出A、B的坐标，再将A坐标代入反比例解析式求出k的值，确定出反比例函数解析式；
（2）根据一次函数与反比例函数的交点坐标，结合图形，找出满足题意不等式的解集即可；
（3）对于一次函数，确定出C的坐标，三角形AOB面积＝三角形AOC面积+三角形BOC面积，求出即可．
【解答】解：（1）点A（﹣2，a）和B（3，b）代入y＝﹣2x+2得：a＝4+2＝6，b＝﹣6+2＝﹣4，
∴A（﹣2，6）和B（3，﹣4）
把A（﹣2，6）代入反比例解析式得：k＝﹣2×6＝﹣12，
∴反比例函数解析式为y＝﹣；
（2）由图象得：＞﹣2x+2时，x的取值范围为﹣2＜x＜0或x＞3；
（3）对于一次函数y＝﹣2x+2，
令y＝0，得到x＝1；即C（1，0），
∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC＝+＝5．
24．如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦于点E，交⊙O于点F，且CE＝CB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）连接AF、BF，求∠ABF的度数；
（3）如果CD＝15，BE＝10，sinA＝，求⊙O的半径．

【分析】（1）连接OB，由圆的半径相等和已知条件证明∠OBC＝90°，即可证明BC是⊙O的切线；
（2）连接OF，AF，BF，首先证明△OAF是等边三角形，再利用圆周角定理：同弧所对的圆周角是所对圆心角的一半即可求出∠ABF的度数；
（3）作CH⊥BE于H，如图，利用等腰三角形的性质得BH＝5，再证明∠A＝∠ECH，则sin∠ECH＝sinA，于是可计算出CE＝13，从而得到DE＝2，在Rt△ADE中利用正弦的定义计算出AE，接着利用勾股定理计算出AD，然后根据D为半径OA的中点即可得到OA的长．
【解答】（1）证明：连接OB，
∵OB＝OA，CE＝CB，
∴∠A＝∠OBA，∠CEB＝∠ABC，
又∵CD⊥OA，
∴∠A+∠AED＝∠A+∠CEB＝90°，
∴∠OBA+∠ABC＝90°，
∴OB⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：如图1，连接OF，AF，BF，

∵DA＝DO，CD⊥OA，
∴AF＝OF，
∵OA＝OF，
∴△OAF是等边三角形，
∴∠AOF＝60°，
∴∠ABF＝∠AOF＝30°；
（3）解：连接OF，如图2所示：
∵DA＝DO，CD⊥OA，
∴AF＝OF＝OA，
过点O作OG⊥AB于点G，则AG＝BG，
在Rt△AOG中，sin∠BAO＝＝＝，
设DE＝5x，则AE＝13x，AD＝12x，AO＝24x，
∵BE＝10，
∴AB＝10+13x，
则AG＝AB＝5+x，
又∵Rt△AOG中，sin∠BAO＝，则＝，
则＝，
解得x＝，
∴AO＝24x＝．

25．已知，如图，抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，点A在点B左侧，点B的坐标为（1，0）、C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值．
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？如存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）将B、C的坐标代入抛物线中，求出待定系数的值，即可得出抛物线的解析式．
（2）根据A、C的坐标，易求得直线AC的解析式．由于AB、OC都是定值，则△ABC的面积不变，若四边形ABCD面积最大，则△ADC的面积最大；过点D作DE∥y轴交AC于E，则E（m，﹣m﹣3），可得到当△ADC面积有最大值时，四边形BCD的面积最大值，然后列出四边形的面积与m的函数关系式，利用配方法可求得此时m的取值范围；
（3）本题应分情况讨论：①过C作x轴的平行线，与抛物线的交点符合P点的要求，此时P、C的纵坐标相同，代入抛物线的解析式中即可求出P点坐标；②将AC平移，令C点落在x轴（即E点）、A点落在抛物线（即P点）上；可根据平行四边形的性质，得出P点纵坐标（P、C纵坐标的绝对值相等），代入抛物线的解析式中即可求得P点坐标．
【解答】解：（1）将点B、C的坐标代入抛物线的解析式得：，
解得：a＝，c＝﹣3．
∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣3
（2）令y＝0，则x2+x﹣3＝0，解得x1＝1，x2＝﹣4
∴A（﹣4，0）、B（1，0）
令x＝0，则y＝﹣3
∴C（0，﹣3）
∴S△ABC＝×AB×OC＝×5×3＝
设D（m，m2+m﹣3）
过点D作DE∥y轴交AC于E．直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，则E（m，﹣m﹣3）

DE＝﹣m﹣3﹣（m2+m﹣3）＝﹣（m+2）2+3
当m＝﹣2时，DE有最大值为3
此时，S△ACD有最大值为×DE×4＝2DE＝6
∴四边形ABCD的面积的最大值为6+＝．
（3）如图所示：

①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形，
∵C（0，﹣3）
∴设P1（x，﹣3）
∴x2+x﹣3＝﹣3
解得x1＝0，x2＝﹣3
∴P1（﹣3，﹣3）；
②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC＝PE时，四边形ACEP为平行四边形，
∵C（0，﹣3）
∴设P（x，3），
∴x2+x﹣3＝3，
解得x＝或x＝，
∴P2（，3）或P3（，3）
综上所述存在3个点符合题意，坐标分别是P1（﹣3，﹣3）或P2（，3）或P3（，3）．
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日期：2021/8/11 12:02:59；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298