课时跟踪检测（十一） 正弦定理

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1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是( )
A.eq \f(5,3) B.eq \f(3,5)
C.eq \f(3,7) D.eq \f(5,7)
解析：选A 根据正弦定理得eq \f(sin A,sin B)＝eq \f(a,b)＝eq \f(5,3).故选A.
2．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：选B 由题意有eq \f(a,sin A)＝b＝eq \f(b,sin B)，则sin B＝1，
即角B为直角，故△ABC是直角三角形．故选B.
3．在△ABC中，若a＝2，b＝2eq \r(3)，A＝30°，则B为( )
A．60° B．60°或120°
C．30° D．30°或150°
解析：选B 由正弦定理可知eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，∴sin B＝eq \f(bsin A,a)＝eq \f(2\r(3)×\f(1,2),2)＝eq \f(\r(3),2)，∵B∈(0°，180°)，∴B＝60°或120°.故选B.
4．已知△ABC中，b＝4eq \r(3)，c＝2，C＝30°，那么此三角形( )
A．有一解 B．有两解
C．无解 D．解的个数不确定
解析：选C 由正弦定理和已知条件得eq \f(4\r(3),sin B)＝eq \f(2,sin 30°)，∴sin B＝eq \r(3)>1，∴此三角形无解．故选C.
5．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，C＝eq \f(π,4)，c＝eq \r(2)，a＝x，若满足条件的三角形有两个，则x的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)，1)) B．(eq \r(2)，2)
C．(1,2) D．(1，eq \r(2))
解析：选B 在△ABC中，根据正弦定理eq \f(a,sinA)＝eq \f(c,sinC)即eq \f(x,sinA)＝eq \f(\r(2),sin\f(π,4))，所以sinA＝eq \f(1,2)x，由题意可得，当A∈(eq \f(π,4)，eq \f(3π,4))时，满足条件的△ABC有两个，所以eq \f(\r(2),2)sin B
B．在锐角△ABC中，不等式sin A>cs B恒成立
C．在△ABC中，若acs A＝bcs B，则△ABC必是等腰直角三角形
D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
解析：选ABD 对于A，在△ABC中，由正弦定理可得eq \f(a,sin A)＝eq \f(b,sin B)，所以sin A>sin B⇔a>b⇔A>B，故A正确；对于B，在锐角△ABC中，A，B∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，且A＋B>eq \f(π,2)，则eq \f(π,2)>A>eq \f(π,2)－B>0，所以sin A>sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－B))＝cs B，故B正确；对于C，在△ABC中，由acs A＝bcs B，利用正弦定理可得sin 2A＝sin 2B，得到2A＝2B或2A＝π－2B，故A＝B或A＝eq \f(π,2)－B，即△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D，在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，由余弦定理可得，b2＝a2＋c2－2accs B，所以ac＝a2＋c2－ac，即(a－c)2＝0，解得a＝c，又B＝60°，所以△ABC必是等边三角形，故D正确．故选A、B、D.
2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c＝2acs B，则三角形一定是( )
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
解析：选C ∵c＝2acs B，∴sin C＝2sin Acs B，
∴sin(A＋B)＝2sin Acs B，∴sin Acs B＋cs Asin B＝2sin Acs B，∴sin Acs B－cs Asin B＝0，∴sin(A－B)＝0，∴A＝B.故选C.
3．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cs A＝－eq \f(1,4)，则eq \f(b,c)＝( )
A．6 B．5
C．4 D．3
解析：选A ∵ asin A－bsin B＝4csin C，∴ 由正弦定理得a2－b2＝4c2，即a2＝4c2＋b2.由余弦定理得cs A＝eq \f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq \f(b2＋c2－4c2＋b2,2bc)＝eq \f(－3c2,2bc)＝－eq \f(1,4)，∴ eq \f(b,c)＝6.故选A.
4．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.△ABC的面积为4 eq \r(3)，且2bcs A＋a＝2c，a＋c＝8，则其周长为( )
A．10 B．12
C．8＋eq \r(3) D．8＋2 eq \r(3)
解析：选B ∵2bcs A＋a＝2c，∴2sin Bcs A＋sin A＝2sin C，又∵A＋B＋C＝π，
∴2sin Bcs A＋sin A＝2sin(A＋B)＝2sin Acs B＋2cs Asin B，
∴sin A＝2sin Acs B，∵sin A≠0，∴cs B＝eq \f(1,2)，
又∵0